高斯光束与几何光束的区别与联系探讨
第8章高斯光束
l2 f 2
f
2
1
l f
(3) F 1 R(l) 1 (l f 2 )时,
2
2l
(4)F
时，
w0 w0
1
lim w0 lim
F
w F 0
F (l F )2 f 2
lim F
1
1
(l
- F)2 F
f F
2 2
w0 1 w0
w0 w0
1
l f
2
1
RR
2
F
25
结论
只有 F 1 R(l) ,才有聚焦作用
F15 q
五、透镜对高斯光束的变换规律
q=l+if q=-l+if
q Fq Fq
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数
l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离
f、f :物像高斯光束焦参数
q q
f(w0)
O
f(w0) Z
O
l F l
16
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l
解 (1)
0
f
f
02
3.14 106 3.14 106
1m
z=0.5m
q(z) பைடு நூலகம் if 0.5 i(m)
(2)
w(z) w0
1
z2 f2
w0
1
0.52 12
1.12mm
f2
12
R(z) z 0.5 2.5m
z
0.5
8
例8-2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
课本上式（2.2.15）为精确推导的、n次往的返传播矩阵:
Tn
A C
Bn D
1
sin
A sin
n sinn
C sin n
1
rnn T n r11
D
sin
B sin n
n sinn
1
其中 arccos 1 A D
2
可求得rn,n
总结： 1、反射镜R符号规定： •凹面向着腔内， R>0，相当于凸薄透镜 f>0； •凸面向着腔内时，R<0，相当于凹薄透镜 f<0。 2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始坐标（r0,0） 无关； 3、当光线传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。
g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
L f2
q
L
f1
q
f2
Aq Cq
L
B D
f1
对于自再现模有 q q
Cq2 D Aq B 0
1
qz
1
Rz
i
w2 z
AD BC 1
q
AD
2C
A D 2C
2
1 C2
当Im q 0时可得到一实的光斑半径wz为保证q参数有虚部，
第三章--高斯光束及其特性
qM
AqM B 1 CqM D qM
D Ai 2B
1 (D A)2 4 B
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
1 D A 1 (D A)2 4
i
qM 2B
B
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
R(z) 2B (D A)
(z) (
)1 2
B12
1
D
2
A
2
2
0 (z)
z
R(z
)
1
1
2(z) R(z)
R(z) 2
2
(
z
)
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数：
➢ 用q参数表征高斯光束
u00
(
x
,
y
,
z
)
c00
0 (z
)
exp[
x2
2(
y2 z)
]exp{
i[k
(
z
x2 y2 ) arctg 2R(z)
1 11
q2 q1 F
q2
Aq1 Cq1
B D
复曲率半径q
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸： 入射高斯光束的光腰在l处， 出射高斯光束的光腰在l ’处
q q0
if
02
q
q0
if
02
等和式实两部端对的应虚相部等
f l
(l
F2 f F )2
l(l F ) f (l F )2 f
z f
]}
u00 ( x,
y, z) c00
0 exp{ik (z)
x2
高斯光束半径定义
高斯光束半径定义高斯光束（Gaussian beam）是一种具有特定半径的光束，具有广泛的应用。
本文将从不同角度探讨高斯光束半径的定义和其在科学研究和实际应用中的重要性。
高斯光束的半径是指光束在传播过程中横向电场分布的特征尺寸。
常用的衡量指标是光束的束腰半径（waist radius），也称为高斯光束的半径。
束腰半径定义为光束横向电场分布强度最大处的位置到光轴的距离。
具体而言，束腰半径可以用来描述高斯光束的横向尺寸大小。
高斯光束的半径在科学研究中起着重要作用。
首先，在光学领域中，高斯光束的半径是设计和分析光学系统的关键参数之一。
例如，在激光器中，高斯光束的半径决定了激光器的输出功率和光束质量，对于激光器的稳定性和性能至关重要。
在光学通信系统中，高斯光束的半径决定了光纤的耦合效率和传输损耗。
因此，准确测量和控制高斯光束的半径对于光学系统的设计和优化至关重要。
在原子物理和量子光学领域，高斯光束的半径也具有重要意义。
例如，在光晶格中，高斯光束被用于操控原子的运动和相互作用。
束腰半径决定了光晶格的深度和原子的局域化程度，进而影响到原子的行为和量子相干效应。
因此，精确测量和控制高斯光束的半径对于研究量子光学现象和实现量子计算具有重要意义。
在生物医学领域，高斯光束的半径也被广泛应用。
例如，在激光手术中，医生需要控制高斯光束的半径来实现精确的切割和烧灼。
束腰半径决定了激光束的聚焦能力和光学效应的尺度，对于手术的准确性和安全性至关重要。
在光学成像中，高斯光束的半径也决定了成像的分辨率和对细微结构的探测能力。
因此，准确测量和控制高斯光束的半径对于生物医学应用具有重要意义。
高斯光束的半径是描述光束横向尺寸大小的重要参数，对于光学系统的设计和优化、量子光学研究、生物医学应用等领域具有重要意义。
准确测量和控制高斯光束的半径是科学研究和实际应用中必不可少的工作。
希望通过对高斯光束半径的深入理解和探索，能够推动相关领域的发展和创新。
第5讲-高斯光束
20
lim(z) z z 0 z0
• 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面 波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横 截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近， 且等相位面保持球面。
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位 角无关，如果考虑方位角的变化 0 ，则算符可以表示为：
53均匀介质中的高阶高斯光束0????22222211zrrrr?????????????????????????????2222222210222210dxdxxxdxdxdydxxyrdydy????????????????????????????????????????????????????????????????????????????022ikzxyexyze????????????????????????其解为厄米多项式?仍为基本高斯光束解所以总的解为?其中的mn为xy方向上的零点数此时高阶高斯光束分布为厄米高斯光束表示为temmn模式
ω/2
ω
3ω/2
2ω
功率透过比 39.3% 86.5% 98.89% 99.99%
在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要
光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 远场发散角
– 从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利
E
0
0 (z)
exp
i
kz
(z)
i
kr 2 2q(z)
E
0
0 (z)
exp
i
kz
高斯光束
ω（ｚ）为ｚ 点处的光斑半径，它是距离ｚ 的函数，即
槡 （ ） ω（ｚ）＝ω０
１＋
λｚ πω２０
２
（４５）
·８３·
ω０ 是ｚ＝０处的ω（ｚ）值，即高斯光束的“束腰”半径。
式（４４）中 Ｒ（ｚ）是在ｚ 点处波阵面的曲率半径，它也是ｚ 的函数，即
［ （ ）］ Ｒ（ｚ）＝ｚ １＋
πω２０ λｚ
２
φ（ｚ）是与ｚ 有关的位相因子，且
当ｚ 趋向无穷大时（ｚ→∞），高斯光束的发散角 即 为 双 曲 线 两 条 渐 近 线 之 间 的 夹 角，将 其
定义为高斯激光束的远场发散角，通常用θ０ 来表示，即
θ０＝ｌｚｉ→ｍ∞２ωｚ（ｚ）＝π２ωλ０
（４１１）
如图４５所示。
图４４ 高斯光束等相位面的分布示意图
图４５ 高斯光束的发散角
理论计算表明，基模高斯光束的发散角具有毫弧度的数量级，因此其方向性相当好。由于
高阶模的发散角是随模阶次而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
４ 瑞利长度 若在ｚ＝ｚＲ 处，高斯光束光斑面积为束腰处最小光斑面积的两倍，则从束腰处算起的这个 长度ｚＲ 称为瑞利长度，如图４６所示。
在瑞利长度ｚＲ 位置处，其光斑半径ω（ｚＲ）为腰斑半径ω０ 的槡２倍，即
１ ｑ（ｚ）
因此，ｑ参数也可以用来表征高斯光束。
将式（４４）改写为如下形式
（４１５）
｛ ［ （ ）］ ｝ Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ωＡ（ｚ０）ｅｘｐ －ｉｋ ｚ＋ｘ２２＋ｙ２ Ｒ１（ｚ）－ｋω２２ｉ（ｚ） ＋ｉφ（ｚ）
将式（４１４）代入上式得
｛ ［ ］ ｝ Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ωＡ（ｚ０）ｅｘｐ －ｉｋ ｚ＋ｘ２ｑ２＋（ｚｙ）２ ＋ｉφ（ｚ）
第5讲-高斯光束
• 该修正因子满足慢变近似：'k,"k2 将这些相
关假设带入波动方程可以得到：
2 2 ik'kk2 r20
波动方程
• 令修正因子取以下形式：
E0exp ip(z)2qk(z)r2
为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到 的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物 理意义。
长度之外，高斯光束迅速发散，定义当 z时高斯光束振幅减小到
最大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）： – （下一页推导）
lim(z) z z 0 z0
– 包含在全远场发散角内的光束功率占 高斯光束总功率的86.5%
2(z)
20
1
z 20
2
20
1
z2 z20
z0
2 2 r z22 r2 21 r r z22
波动方程
• 我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半
径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于 单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：
E(x,y,z)eikz
其中e-ikz表示波数为k的严格平面波；
• 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 (x, y, z) ，
2
y
H
n
y
• (x, y, z) 仍为基本高斯光束解，所以总的解为
El,m(x,y,z)E0(0 z)Hm 2(xz)Hn 2(yz)
H 0(x) 1 H 1(x) 2x H 2(x) 4x2 2 H 3(x) 8x3 12x
exp x22(zy)2ik(2 xR 2 (zy)2)kz(mn1)(z)
ω/2
十七章--高斯光束的物理特性
Collimated range=2 = ≈ . (11)
图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。
这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的‘无重力的弦’。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于ω/20，或者一毫米的小部分。
换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为 全部距离b可以表示为
b=2 = =confocal parameter(10)
共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围 ≡b/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。
准直高斯光束传播
在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为 ，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为πω或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=π× 。
两倍的半角给出全角：
对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系Δθ≈λ/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角 ，或者
如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。
猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a= 的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积 ≡π /2与有效远场立体角π 的乘积为
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高斯光束与几何光束的区别与联系探讨
高斯光束和几何光束是两种不同的光束，它们在特性、传播方式和应用领域上有着明显的差异。
一、高斯光束与几何光束的区别
1、特性上的区别：高斯光束是一种经典物理模型，它描述的是由一个源点发出的光线，其传播轨迹满足高斯分布，其光强衰减规律为指数衰减，其传播距离越远，光强衰减越快；而几何光束是一种新型的物理模型，它描述的是由一个源点发出的光线，其传播轨迹满足几何分布，其光强衰减规律为抛物线衰减，其传播距离越远，光强衰减越慢。
2、传播方式上的区别：高斯光束的传播方式是由源点发出的，传播轨迹满足高斯分布，其光强衰减规律为指数衰减；而几何光束的传播方式是由源点发出的，传播轨迹满足几何分布，其光强衰减规律为抛物线衰减。
二、高斯光束与几何光束的联系
1、高斯光束和几何光束都是由源点发出的，传播距离越远，光强衰减越快。
2、高斯光束和几何光束都可以用来模拟光源，并可以应用于光学系统中。
3、高斯光束和几何光束都可以用来模拟实际光源，以更好地模拟实际光源的特性。
4、高斯光束和几何光束都可以用来计算光的传播、衰减和像差等特性。