上海高三数学高考二轮复习教案立体几何专题之空间的角与距离(1)含答案

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习立体几何专题之空间的角与距离①教学目标1、理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念；会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）2、理解线线角、线面角、面面角的概念定义和取值范围；会用求角的方法“一作二证三计算”。

知识梳理1、空间角：（1）空间角的计算步骤一作、二证、三算。

（2）异面直线所成角：1>范围：___________ (0°，90°]；2>计算方法:<1>平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移;<2>补体法；（3）直线与平面所成的角：1>定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；2>范围：_____________ [0°，90°]；3>斜线与平面所成角的计算：<1>直接法：关键是作垂线，找射影可利用面面垂直的性质；<2>平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角（也可平移平面）。

<3>通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d，计算这点与斜足之间的线段长l，则sindl θ=.(6)二面角：1>定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为_______ [0°，180°]；2>确定二面角的方法：<1>定义法；<2>垂面法；注：空间角的计算步骤：一作、二证、三算2、空间距离（1）七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离； （2）点与点的距离： 1>解三角形及多边形；2>空间任意两点A 、B 间的距离即线段AB 的长度： 设()111,,A x y z 、()222,,B x y z ，则()()()222121212AB x x y y z z =-+-+-（3）两条异面两条异面直线的距离：直线的公垂线段的长度；说明：两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离。

求法：1>直接法：求两异面直线的公垂线段的长度; 2>转化法：转化为线面距离或面面距离;(4)点到平面的距离：已知点P 是平面α外的任意一点，过点P 作PA α⊥，垂足为A ，则PA 唯一，则PA 是点P 到平面α的距离.即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离。

注：连结平面α外一点P 与α内一点所得的线段中，垂线段PA 最短。

求法：1>直接法：过点P 作一平面与平面α垂直，再过点P 作两平面的交线的垂线即可 2>等体积转化法：3>线面平行法：若过点P 有一直线l ∥平面α，则直线l 上的任一点到平面α的距离等于到点P 到平面α的距离(5)直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)(6)距离的共性：这其中的距离中，虽然定义不同，但总具有下列几个特征： 1>某距离是指相应线段的长度； 2>此线段是相关线段中最短的；3>除两点间的距离外，其余总与垂直相联系，由此求距离的方法就有几何法和代数等方法. (7)求距离的一般步骤： 1>找出或作出相关的距离； 2>证明它符合定义；3>归到某三角形或多边形中计算； 4>作答。

典例精讲(★★★)例1、在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点. (1)求证：四边形B ′EDF 是菱形； (2)求直线A ′C 与DE 所成的角； (3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角.分析：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，所以求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法. 解：(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EGABA ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FDG ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ， 则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. (3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示. 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. (4)解：如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630. 点评：主要考察斜线与平面所成角的概念及公式cos θ=cos θ1·cos θ2的应用，证明平面与平面垂直，主要依据是面面垂直判定定理，即只要在一个平面内找一条直线恰好与另一平面垂直即可。

(★★)例2、已知直角三角形ABC 的两直角边AC ＝2，BC ＝3，P 是斜边AB 上的一点，如图(1)，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A —CP —B ,当AB ＝7时，求二面角P —AC —B 的大小.分析：本题是折叠问题，不妨先作一个题意相同的直角三角形的模型，然后按照题意进行折叠，在实图上作出二面角P —AC —B ；然后再回到图形中，互相对照，理解之后再予以解答.解：如图(2)，过B 作CP 延长线的垂线，垂足E ，过E 作AC 的垂线，垂足为D ，连BD .∵平面APC ⊥平面BPC ，且BE ⊥CE ， ∴BE ⊥平面APC .而ED ⊥AC ,∴BD ⊥AC .∴∠BDE 是二面角P —AC —B 的平面角.∵AC =2,BC =3,AB =7,∴cos ∠ACB =213223222=⨯⨯+,∴∠ACB =60°.∴BD =3sin60°=333,CD =21BC =23. 设∠PCB =θ,则∠ACP =90°-θ,利用∠CDE =∠CEB =90°,得)90cos(23θ-︒=3cos θ, 2sin θcos θ=1,sin 2θ=1. ∴2θ=90°,θ=45°. ∴BE =BC sin 45°=3×22322=. 例3 (1) 例3 (2)∴sin ∠BDE =36233223==BD BE , ∴∠BDE =arcsin .36(★★)例3、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点. 求：(1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离.分析：空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、 点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. 解：(1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222b a b ac ++∴Q 到BD 距离为22222ba b a c ++. (2)解法一：∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离. 在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =22222)(ba cb a abc S AQS BQDABD ++==⋅∆∆(★★)例4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.分析：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得，然而求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解： 解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C ∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离， 即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1， ∴OB 1=21121B O OO += 26∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33.解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ， ∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°， ∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN （0＜x ＜1）∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为33.巩固练习：(★★★)1、设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120° 求：(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小；(2)异面直线AD 与BC 所成的角； (3)二面角A —BD —C 的大小.解：(1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角.由题设知△AHB ≌△AHD ， 则DH ⊥BH ，AH =DH ， ∴∠ADH =45°(2)∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°.(3)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角.设BC =a ,则由题设知，AH =DH =2,23a BH a =,在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ARH =HRAH=2 故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2.(★★)2、如图所示，四面体P -ABC 中，AP 、AB 、AC 两两垂直，且P A =2,AB =3,AC =4，求二面角P —BC —A 的正切值.分析：本题的关键是找二面角的平面角，而找二面角的平面角最常用的方法是利用三垂线定理，及其逆定理来处理.解： ∵P A 、AB 、AC 两两垂直，∴P A ⊥平面ABC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连结PD ， 由三垂线定理知，PD ⊥BC ，根据二面角的平面角定义， ∠PDA 为所求的角，在Rt △ABC 中，AB =3,AC =4,∴BC =5,又∵21AB ·A C =21BC ·AD ,可求得AD =512. ∴tan ∠PDA =655122==AD PA .(★★)3、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2，如图： (1)求证：平面A 1BC 1∥平面ACD 1； (2)求(1)中两个平行平面间的距离； (3)求点B 1到平面A 1BC 1的距离.解：(1)证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=652,则sin A 1BC 1=6561,则S 111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，则31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112,即两平行平面间的距离为616112.(3)解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于616112. (★★★)4、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求： (1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积.解：(1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ，∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45° 又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO=a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-课堂检测：(★★★)1、已知∠AOB =90°,过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于_________.解：在OC 上取一点C ，使OC =1，过C 分别作CA ⊥OC 交OA 于A ，CB ⊥OC 交OB 于B ，则AC =1，，OA =2，BC =3，OB =2，Rt △AOB 中，AB 2=6，△ABC 中，由余弦定理，得cos ACB =－33. (★★★)2、设D 是△ABC 的BC 边上一点，把△ACD 沿AD 折起，使C 点所处的新位置C ′在平面ABD 上的射影H 恰好在AB 上.(1)求证：直线C ′D 与平面ABD 和平面AHC ′所成的两个角之和不可能超过90°； (2)若∠BAC =90°，二面角C ′—AD —H 为60°，求∠BAD 的正切值.解：(1)证明：连结DH ，∵C ′H ⊥平面ABD ，∴∠C ′DH 为C ′D 与平面ABD 所成的角且平面C ′HA ⊥平面ABD ，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ⊥平面C ′HA .故∠DC ′E 为C ′D 与平面C ′HA 所成的角 ∵sin DC ′E =D C DE '≤DC DH'=sin DC ′H ∴∠DC ′E ≤∠DC ′H ,∴∠DC ′E +∠C ′DE ≤∠DC ′H +∠C ′DE =90° (2)解：作HG ⊥AD ，垂足为G ，连结C ′G ,则C ′G ⊥AD ，故∠C ′GH 是二面角C ′—AD —H 的平面角 即∠C ′GH =60°，计算得tan BAD =22. (★★)3、如左下图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.解：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a (★★)4、如右上图，ABCD 与ABEF 均是正方形，如果二面角E —AB —C 的度数为30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________.解：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD上，由EF ∥平面ABCD .∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =2a . (★★★)5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos 552,P A ⊥面ABCD且P A =a .(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为36. 解：(1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求. 在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a ∴AE =22a (2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a 过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形 ∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F .回顾总结1、无论是求角还是求距离，其方法大致可以分为两类：一类是直接法，即作出所求的角和距离；另一类是转化法；2、异面直线的距离，除求公垂线段外，通常划归为线面距离、面面距离；而线面距离、面面距离通常转化为点面距离；。