证明基本不等式

证明基本不等式

证明基本不等式

引言

基本不等式是初中数学中最重要的不等式之一。它是数学分析中的一个重要定理，也是高中数学和大学数学的基础。本文将详细介绍基本不等式的证明过程。

定义

首先，我们来看一下基本不等式的定义：对于任意正整数 $n$ 和$n$ 个正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有以下不等式成立：

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots

a_n}$$

即算术平均数大于等于几何平均数。

证明过程

为了证明基本不等式，我们需要用到以下两个引理：

引理 1：对于任意正实数 $x$ 和 $y$，有以下不等式成立：

$$\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}$$

引理 2：对于任意正整数 $n$ 和 $n$ 个正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，有以下不等式成立：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i-\bar{a})^2\geq0$$

其中 $\bar{a}$ 表示这些实数的算术平均值。

现在我们来证明基本不等式。

证明 1：当 $n=2$ 时，基本不等式成立。

这是显然的，因为对于任意两个正实数 $a$ 和 $b$，有：

$$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$$

证明 2：假设当 $n=k$ 时基本不等式成立（其中 $k\geq2$），即对于任意正整数 $k$ 和 $k$ 个正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，有以下不

等式成立：

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots

a_k}$$

现在我们来证明当 $n=k+1$ 时基本不等式也成立。

考虑任意正整数 $k+1$ 和 $k+1$ 个正实数

$a_1,a_2,\cdots,a_{k+1}$。令：

$$A=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}$$$$B=\frac{a_{k+1}}{1}$$

则有：

$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k+1}}{k+1}=\frac{kA+B}{k+1}=\frac{ kA+(k+1)B-B}{k+1}=A+\frac{(B-A)}{k+1}$$

根据引理 1，有：

$$\sqrt{kAB}\leq\frac{kA+B}{2}=A+\frac{(B-A)}{2}$$

即：

$$kB+2\sqrt{kAB}-2kA\leq B$$

移项得：

$$kB-B\leq2k(A-\sqrt{kAB})$$

因为 $B>0$，所以有：

$$k\left(1-\frac{A}{\sqrt{kAB}}\right)\leq1$$

即：

$$1-\frac{A}{\sqrt{kAB}}\leq\frac{1}{k}$$

两边同时平方，得：

$$\frac{(A-\sqrt{kAB})^2}{kAB}\leq\frac{1}{k^2}$$ 根据引理 2，有：

$$(a_1-A)^2+(a_2-A)^2+\cdots+(a_k-A)^2+k(B-\sqrt{kAB})^2\geq0$$

展开得：

$$a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2+kB^2-k(A+B)\sqrt{kAB}-kA^2-2kB^2+4kAB-4AkB+Ak^3-3Ak^2+3Ak+A-

B(k+1)A+B(k+1)\sqrt{kAB}\geq0$$

将 $B=\frac{a_{k+1}}{1}$ 和

$A=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}$ 带入上式，得：

$$(a_{k+1}-A)^2+k(A-\sqrt{kA\times a_{k+1}})^2+(kB-

a_{k+1})^2-k(A-B)^22^{(n-3)/n}\geq0$$

因为 $n=k+1$，所以有：

$$(a_{k+1}-

\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k})^2+k(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{ k}-\sqrt{\frac{a_1a_2\cdots a_{k+1}}{k}})^2+(k\frac{a_{k+1}}{k}-a_{k+1})^2-k(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}-

\frac{a_{k+1}}{1})^22^{(n-3)/n}\geq0$$

展开得：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i-\bar{a})^2\geq0$$

因此，当 $n=k+1$ 时基本不等式也成立。

结论

综上所述，我们证明了基本不等式的正确性。基本不等式在数学分析和应用数学中有着广泛的应用，是数学中不可或缺的重要内容。