三角形内切圆常用结论
数学：26.6《三角形的内切圆》课件(沪科版九年级下)(2019年11月整理)
之 曾经驱使者 其言皆验 周文恒欲以书记委之 况复爱憎肆意 徙平州 圣敬日跻 高祖时诏臣曰 故有贤良方正之称 出为平州刺史 转大行台郎中 二十三年卒 授臣丞职 及帝入关 若分赐鳏寡 不足流于后世 ’卿绥抚有年 俱为上宾 谓前议为允 岁越百龄 颇为深文 但孤以中尉弹劾之官 臣为少保
岂人理所能延保 毕众敬 固请不行 好法律 "昔因将命 "又谓显宗曰 综览群书 诏付八坐议可否以闻 持节 太常议谥文穆 涉猎经史 至邹山 在官清白 于是除名 敬猷与行台郎中封伟伯等潜图义举 未历台省者 赐帛五百匹 武邑太守 盛列羽仪；子延祐 而苟禁一池？后为贼宿勤明达所攻没 取给百
26.6三角形的内切圆
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下一个圆，做成 一个水桶的底，问怎样裁这个圆面一块三角形的白铁皮上裁下一个圆，做 成一个水桶的底，问怎样裁这个圆面积最大？
A
B
C
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下 一个圆，做成一个水桶的底，问怎样裁这 个圆面积最大？
鲁能师傅想在一块三角形的白铁皮上裁下 一个圆，做成一个水桶的底，问怎样裁这 个圆面积最大？
A
B
C
A
I
B
D
C
作法： 1、画两条角平分线，产生圆心； 2、画垂线产生半径； 3、画圆。
A
概念：
1、⊙I是⊿ABC的内切圆；
2、圆心I 叫⊿ABC的内心；
I
3、 ⊿ABC叫⊙O的外切三角形；
B
C
DG
H
C
.O
问题2：
A
D
I.
B
E
如图，设⊿ABC的边BC=a,
F
CA=b,AB=c, s =0.5 (a+b+c)， 内切⊙I和各边分别相切于D、
三角形的内切圆知识点总结
三角形的内切圆知识点总结三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
它在三角形中起到了重要的几何作用，不仅在数学中有重要的应用，也在实际生活中有许多实际意义。
本文将从三角形的内切圆的定义、性质、构造方法、应用等方面进行探讨。
一、内切圆的定义三角形的内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
换句话说，内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上。
内切圆的半径被称为三角形的内切圆半径，通常用r表示。
二、内切圆的性质1. 内切圆的圆心与三角形的三边的交点都在同一条直线上，这条直线被称为内切圆的欧拉线。
2. 内切圆的半径与三角形的三边的长度有一定的关系。
根据欧拉定理，内切圆的半径r等于三角形的周长p与面积S的比值的一半，即r = S/p。
3. 内切圆的半径r与三角形的三个内角的正弦值的倒数之和有关，即1/r = (sinA + sinB + sinC)/p，其中A、B、C分别为三角形的三个内角。
4. 内切圆的圆心与三角形的三个内角的平分线相交。
三、内切圆的构造方法1. 根据内切圆的定义，可以通过直接计算三角形的内切圆半径和圆心的坐标来构造内切圆。
2. 另一种构造内切圆的方法是利用三角形的角平分线和垂直平分线的性质。
首先，通过角平分线找到三个内角的平分线交点，然后通过垂直平分线找到三个内边的中点，最后通过这些点来确定内切圆的圆心和半径。
四、内切圆的应用1. 在数学中，内切圆广泛应用于三角形的面积、周长、角度、长度等问题的计算中。
通过内切圆的性质，可以简化计算过程，提高计算的准确性。
2. 在几何建模中，内切圆可以用来确定三角形的外接圆和外接圆的圆心。
通过内切圆和外接圆的关系，可以更好地理解和描述三角形的形状和结构。
3. 在工程和建筑中，内切圆的应用十分广泛。
例如，在建筑物的设计和施工中，内切圆可以用来确定柱子和墙壁的形状和位置，从而提高建筑物的稳定性和美观性。
三角形的内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，具有一系列重要的性质和应用。
三角形的内切圆与垂直平分线性质解析
三角形的内切圆与垂直平分线性质解析在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而与三角形密切相关的一个概念就是内切圆。
内切圆是指一个圆与三角形的三条边都相切于一个点，这个点称为圆心。
与内切圆相关的概念还有垂直平分线，即通过三角形的顶点所作的垂直于底边且平分底边的线。
本文将对三角形的内切圆与垂直平分线的性质进行详细解析。
一、三角形的内切圆性质内切圆是一个非常重要的几何概念，它在三角形中有许多性质。
以下是其中一些值得注意的性质：1. 内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点。
证明：设三角形的三个角分别为A、B、C，内切圆与三角形的三条边分别相切于点D、E、F。
根据切线的性质，可以得知AD、BE、CF是内切圆的半径。
又由于内切圆的定义，AD、BE、CF是分别以A、B、C为圆心的内角平分线，所以圆心是三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点。
2. 内切圆的半径与三角形的周长和面积有关。
证明：设三角形的周长为L，面积为S，内切圆的半径为r。
根据三角形内切圆的性质，可以得到三个切点D、E、F到三个顶点A、B、C的距离分别为r。
根据三角形内外接圆半径的关系，可以得到r = S / (L / 2)即内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
3. 内切圆的半径和三角形的内切圆切点构成的三角形面积等于三角形面积。
证明：设内切圆的半径为r，三角形的内切圆切点分别为D、E、F。
根据圆的性质，可以得到三个小三角形ADE、BEF、CFD的面积分别为S1 = 1/2 * AD * DE * sin(A/2)S2 = 1/2 * BE * EF * sin(B/2)S3 = 1/2 * CF * FD * sin(C/2)将AD、BE、CF表示成r的形式，可以得到S1 = 1/2 * r * r * sin(A/2)S2 = 1/2 * r * r * sin(B/2)S3 = 1/2 * r * r * sin(C/2)所以三个小三角形的面积之和为S = S1 + S2 + S3 = 1/2 * r * r * (sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2))根据三角形面积公式，可以得到S = 1/2 * a * b * sin(C) = 1/2 * b * c * sin(A) = 1/2 * c * a * sin(B)化简上式，可以得到sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = cos((A - B)/2) / (2 * sin(C/2))根据三角恒等式，可以得到cos((A - B)/2) = sin((A + B)/2)代入上式，可以得到sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2) = sin((A + B)/2) / (2 * sin(C/2)) = sin(C/2) / (2 * sin(C/2)) = 1/2所以S = 1/2 * r * r * 1/2 = 1/4 * r * r * sin(A/2) + 1/4 * r * r * sin(B/2)+ 1/4 * r * r * sin(C/2) = 1/4 * S1 + 1/4 * S2 + 1/4 * S3所以内切圆的半径和三角形的内切圆切点构成的三角形面积等于三角形面积。
人教版九年级数学课件《三角形的内切圆》
B
典例解析
1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.
∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形.
内切圆半径
外接圆半径
针对练习
2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？
第二十四章第2节三角形的内切圆
人教版数学九年级上册
学习目标
了解三角形的内切圆和三角形内心的概念.
根据三角形内心的性质进行计算与证明.
切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
120°
达标检测
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
所以a-r+b-r=c,
针对练习
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= .
知识精讲
三角形内切圆与外接圆的性质
三角形内切圆与外接圆的性质三角形内切圆与外接圆是几何学中常见且重要的概念，它们在三角形的性质研究以及解决相关的几何问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、三角形内切圆的定义和性质三角形内切圆是指一个圆完全位于三角形的内部，并且与三角形的三条边都相切。
根据三角形内切圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 内切圆的圆心是三角形的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离都相等，也就是说，内切圆的圆心到三角形的三条边的距离相等。
2. 内切圆的半径是内心到三角形三条边的距离的一半。
我们可以利用这个性质来计算内切圆的半径。
3. 三角形的三条角平分线与内切圆的半径相交于内切圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时经常会用到。
二、三角形外接圆的定义和性质三角形外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，并完全包含三角形在内。
根据三角形外接圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 外接圆的圆心是三角形的外心。
三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等，也就是说，外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 外接圆的半径是外心到三角形的任意一个顶点的距离。
我们可以利用这个性质来计算外接圆的半径。
3. 三角形的三条中垂线与外接圆的半径相交于外接圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时也经常会用到。
三、三角形内切圆和外接圆的关系三角形的内切圆和外接圆之间存在一些重要的关系：1. 内切圆的半径和外接圆的半径满足一个重要的关系：内切圆的半径是外接圆半径的一半。
这个关系在解决几何问题时常常会用到。
2. 如果一个三角形的内切圆和外接圆存在，则它们的圆心连线经过三角形的垂心。
垂心是三角形三条高线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等。
3. 在某些特殊的情况下，三角形的内切圆和外接圆的圆心可能重合，此时称为等圆三角形。
等圆三角形的特点是三个顶点到圆心的距离相等，换句话说，等圆三角形的内切圆和外接圆是同一个圆。
三角形的内切圆与面积的关系
三角形的内切圆与面积的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，在我们的日常生活和学习中都有广泛的应用。
而内切圆作为三角形的特殊圆，与三角形的面积间存在着紧密的联系。
本文将探究三角形的内切圆与面积之间的关系。
一、三角形内切圆的定义和性质在讨论内切圆与三角形面积关系之前，我们先来了解一下三角形内切圆的定义和性质。
三角形的内切圆是指与三角形三条边都相切，且位于三角形内部的圆。
内切圆的圆心称为三角形的内切圆心，通常用字母O表示；内切圆的半径称为三角形的内切圆半径，通常用字母r表示。
根据内切圆的性质，我们可以得出以下结论：1. 内切圆的圆心与三角形的三个顶点连线的垂直平分线交于一点，且该点即为内切圆的圆心O。
这是内切圆定义的一部分，也是内切圆与三角形连接的关键性质。
2. 三角形的三条边均与内切圆相切，切点分别称为三角形的内切圆切点。
这是内切圆与三角形共有的性质，也是内切圆的中心定位于三角形内部的证据。
3. 内切圆与三角形的三条边的切点构成的线段相互垂直，且交于一点。
这是内切圆与三角形共有的性质，也是确保内切圆的圆心O位于三角形内部的证明。
以上是内切圆的一些定义和性质，它们为我们研究内切圆与三角形面积关系提供了基础。
二、三角形的面积在探讨内切圆与三角形面积关系之前，我们先来回顾一下三角形的面积计算方法。
三角形的面积可以通过海伦-秦九韶公式、三角形的高度、底边以及底边上的长度等不同公式进行计算。
其中，海伦-秦九韶公式是最常用的计算三角形面积的方法。
这里我们以海伦-秦九韶公式为例进行说明。
对于已知三角形的三边长a、b、c的情况，三角形的面积可以通过下式计算：S = √[ p*(p-a)*(p-b)*(p-c) ]其中，p = (a+b+c)/2是三角形的半周长。
三、三角形内切圆与面积的关系我们将探究三角形内切圆与三角形面积之间的关系。
在此之前，我们先来看一个简单的例子。
例子：假设有一个等边三角形ABC，边长为a。
三角形内切圆的性质及其应用_彭代光
三角形内切圆的性质及其应用彭代光(四川省成都市郫县犀浦镇实验学校,611731) 初中数学中内切圆的内容看似简单,其实它有丰富的内涵,也是初中几何中一个重要的知识点,三角形内切圆的应用与三角形的面积、三角形的全等及相似等知识有着密切的联系.本文旨在对三角形内切圆的性质及应用作一些分析.一、三角形内切圆的基本性质三角形内切圆的圆心称为内心.由三角形内切圆的定义可以直接得到下面的结论:1.内心的位置由三角形任意两个角的平分线的交点确定,反过来内心与三角形的每个顶点的连线平分这个角.2.内心到三角形三边的距离相等,这个距离就是三角形内切圆的半径.例1 如图1,已知点O 是 A B C 的内心,∠A O C=110°,∠A O B=130°,求 A B C 的三个内角的度数.简析 可设∠B A C =x ,∠A B C =y ,∠A C B=z .据上述结论,再结合三角形内角和定理,可得:12x +12y=180-130,12x +12z =180-110.∴x+y=100,x +z =140.∴z =80,y=40.∴x=60,y=40,z =80.于是三个内角便可求得.例2 如图2,已知⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠C=90°,切点分别是点D ,E ,F .连接A O 并延长交B C 于点G .求证:A F ·A G=A O ·A C .简析 由题设知O 是内心,那么根据结论1知A O 就是∠B A C 的平分线,连接O F ,由格标上数1或-1.如果能使60个方格剪成15块符合要求的“四连格”,则每一“四连格”中数字之和为2或-2.设其中数字之和为2的有x 块,数字之和为-2的有y 块,由于方格中“1”和“-1”的个数是相同的,故有x +y=15,2x-2y=0.解得x=152,y=152.这与x 、y 都为整数相矛盾.因此,余下的方格不能剪成15块符合要求的“四连格”.请注意:倘若按上述推理方法,对某一类似的图形则得x ,y 为整数.不能断定可以剪成若干块形如图1的“四连格”,你能举出这样的例子吗?·7·第12期 初中数学教与学切线的性质知O F⊥A B .于是∠C=∠A F O ,那么 A F O∽ A C G .根据相似三角形的性质以及比例的性质就可得结论.二、三角形内切圆的三个切点到各个顶点的距离若已知三角形的三边长,则可以求出其内切圆的三个切点分别到三角形各个顶点的距离.如图3,已知: A B C 的三边分别为a ,b ,c .⊙O 是内切圆,切点分别是点D ,E ,F .设A D=A E=x ,B D=B F=y ,C E=C F =z .运用切线长定理可得x +y=c ,y +z =a ,x +z =b.解得x=b +c -a2,y=a+c -b2,z=a+b-c 2.为了方便记忆,如果我们设三角形三边和的一半为q ,即q=a+b +c2.显然有x=q -a ,y=q -b ,z=q -c .于是得到A D =A E=q -a ,B D=B F =q-b ,C F=C E=q -c .三、三角形的面积、三边长与内切圆半径之间的关系如图4,连接A O ,B O ,C O ,D O ,E O ,F O ,由切线的性质以及三角形面积公式得:S A B C =S B O C +S A O C +S A O B =12a r +12b r +12c r =12r (a+b+c ).另海伦公式是重要的三角形面积公式,即:S=q (q -a )(q -b )(q -c ),(其中q=a+b +c2).这样若知道三角形的三条边的长度,就可以求出内切圆的半径与面积.例3 如图4,已知 A B C 的三边为a ,b ,c ,并且a=14c m ,b =13c m ,c =15c m .求这个三角形的内切圆的面积.解 ∵a 2+b 2≠c 2,∴ A B C 显然不是直角三角形.∴q=13+14+152=21,由S=12r (a+b+c )r=q r ,则21(21-14)(21-13)(21-15)=21r ,得r =8421=4.∴ A B C 的内切圆面积为:πr 2=π×42=16π(c m 2).四、直角三角形的内切圆半径如图5,⊙O 是R t A B C 的内切圆,∠A C B=90°,三边分别是a ,b ,c .切点分别是点D ,E ,F .连接O E ,O F ,显然∠C=∠O E C=∠O F C =90°,则四边形O E C F 是矩形.又O E=O F=·8·初中数学教与学 2010年r ,所以四边形O E C F 是正方形.并且由勾股定理a 2+b 2=c 2,及直角三角形面积S=12a b ,我们可进一步推导发现新的规律.由上述结论可得12a b=12r (a+b +c ),容易得r =a ba+b +c.于是我们就得到直角三角形的内切圆半径为:r=a +b -c 2=a ba+b +c.通过对以上这个等式的变形,很容易就得到a 2+b 2=c 2.这也是证明勾股定理的一种方法.掌握好内切圆的上述几个知识点,并能够灵活应用,就能解决较为复杂的数学问题.例4 如图6,已知A D 是R t A B C 斜边B C 上的高.∠B A C=90°,⊙O 1,⊙O 2,⊙O 分别是R t A B D ,R t A D C ,R t A B C 的内切圆.圆心分别是O 1,O 2,O,求证:(1) A B O 1∽ C A O 2;(2)S ⊙O 1∶S ⊙O 2=BD∶C D ;(3)S ⊙O =S ⊙O 1+S ⊙O 2.提示 (1)在此条件中容易得到∠B A D =∠A C D ,∠A B D =∠D A C ,可运用结论1知A O 1平分∠B A D ,B O 1平分∠A B D ,A O 2平分∠D A C ,C O 2平分∠AC D ,可得结论.(2)S ⊙O 1∶S ⊙O2=r 21∶r 22=r1r 22=A B 2A C2.(3)直接应用(2)的结论,有:S ⊙O 1S ⊙O +S ⊙O 2S ⊙O=A B 2B C 2+A C2B C 2=1.例5 抛物线y=x 2-4x +k +2与x 轴有两个不同的交点.(1)求k 的取值范围.(2)当两个交点的横坐标的平方和等于10时,求这个抛物线的解析式.(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M ,它与x 轴的两个交点从左到右依次为A ,B ,与y 轴的交点为P ,求 P M B 的内切圆与外接圆半径之比.(成都市中考题)略解 (1)k<2;(2)y=x 2-4x +3;(3)P B=32+32=32,P M =22+(3+1)2=25,M B=12+12=2.根据勾股定理逆定理,可判断 P M B 为直角三角形,P M 为斜边.设 P M B 的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,则R = P M2=5.由上述结论知:S P M B =12(P B+M B+P M )r .于是122·32=12(32+2+25)·r .整理得r =22-5.∴r R =22-55=210-55.可见,三角形内切圆的知识有着广泛的应用,它可与全等三角形、相似三角形、面积、函数等知识结合起来形成综合题型,表现出代数与几何知识的有机融合.熟练应用这些知识,能够培养学生思维的灵活性、严密性,提高分析问题解决问题的能力,有利于养成良好的数学思维品质.·9·第12期 初中数学教与学。
三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算
三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算我们先来回顾一下三角形的内切圆的性质：1. 内切圆的圆心与三角形的重心、垂心、外心、内心共线，且这条线段称为Euler线。
2.内切圆的半径与三角形的面积、周长有关。
根据这两个性质，我们可以利用三角形的边长来求内切圆的半径。
下面以常见的三角形类型为例进行介绍。
一、等边三角形等边三角形是指三边长度相等的三角形。
由于等边三角形的内切圆的圆心就是三角形的重心、垂心、外心、内心的交点，所以内切圆的半径等于三角形任意一条边的一半。
也就是说，对于等边三角形来说，内切圆的半径r等于边长a的一半，即r=a/2二、等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
对于等腰三角形，我们可以利用勾股定理和等腰三角形的性质来求内切圆的半径。
以等腰三角形ABC为例，AB=AC=a，BC=b。
假设D为底边BC的中点，E为内切圆与BC的切点。
根据勾股定理，有AD=sqrt(AB^2-BD^2)=sqrt(a^2-b^2/4)。
由于DE和BD是一条线段，所以DE=BD。
又因为DE垂直于BC，所以DE也是高。
进一步利用三角形的面积公式S=1/2 bh，其中b为底边长，h为高，可得S=1/2 * a * DE。
将之前得到的DE 带入计算，可以得到S=1/2 * a * BD = 1/2 * a * r，其中r为内切圆半径。
综上所述，对于等腰三角形，内切圆的半径r等于sqrt(a^2-b^2/4)/2，其中a为腰长，b为底边长。
三、一般三角形对于一般的任意三角形ABC，我们可以利用海伦公式和三角形面积公式来求内切圆的半径。
首先，我们可以利用海伦公式来计算三角形的面积S，海伦公式为S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中a、b、c为三角形的边长，p=(a+b+c)/2为半周长。
然后，我们可以利用面积公式S=1/2*a*r，其中a为三角形的半周长，r为内切圆的半径。
将两个公式结合起来，可以得到r=S/(1/2*a)=2S/a。
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三角形内切圆常用结论
三角形内切圆常用结论是一种数学定理，用于描述三角形内的一个圆，也就是说，它可以用来证明三角形内有一个圆。
它也可以用来证明关于三角形内切圆的性质。
三角形内切圆常用结论是“点在三角形外，线在三角形内”。
也就是说，如果你想要找出在三角形内的一个圆，那么你需要找出一个点在三角形外，而线在三角形内的组合。
根据三角形内切圆常用结论，我们可以确定以下三个性质：
1、内切圆的半径与三条边的关系：三角形的内切圆的半径等于三边的关系和的一半。
2、内接圆的周长与三角形的外接圆的周长的关系：三角形的内切圆的周长是外接圆的周长的一半。
3、三角形内切圆和三角形外接圆的关系：三角形内切圆是三角形外接圆的中心。
经过以上简单总结，可以看出，三角形内切圆常用结论是一种非常有用的数学定理，它不仅可以用来证明三角形内有一个圆，还可以用来确定三角形内切圆的性质。
在几何图形中，三角形内切圆常用结论是一种重要的数学定理，它可以帮助我们更好地理解三角形的特性。
此外，三角形内切圆常用结论也可以应用于许多其它方面。
例如，我们可以利用它来分析三角形的内角大小，以及三角形的面积。
三角形内切圆常用结论还可以用来确定三角形内的一个圆的半径，以及三角形内切圆的周长和外接圆的周长之间的关系。
因此，可以看出，三角形内切圆常用结论是一种非常有用的数学定理，它可以用来证明三角形内有一个圆，并且可以帮助我们更好地理解三角形的特性，以及进行其它的几何分析工作。