2013考研数一真题及解析

1 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）已知极限0arctan lim

k x x x c x

→-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ） （A ）12,2k c ==- （B ）12,2

k c == C ）13,3k c ==- （D ）13,3k c == （2）曲面2

cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ）

（A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++=

（C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=

（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==?，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S -=（ ） （A ）34 （B ）14 （C ）14- （D ）34

- （4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记

33

()(2)(1,2,3,4)63i

i l y x I y dx x dy i =++-=??，则= ( )

（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I

（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则

（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价

（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价

（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价

（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 （6）矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000?? ? ? ??

?相似的充分必要条件为

（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0=

（C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=

（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,

全国统一服务热线：400—668—2155 {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）

（A ）123P P P >> （B ）213P P P >>

（C ）312P P P >> （D ）132P P P >>

（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ）

（A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α-

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n

→∞-= ． (10)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该

方程的通解为y = ．

(11)设sin sin cos x t y t t t

=??=+?（t 为参数），则224t d y dx π== ． (12)2

1ln (1)x dx x +∞

=+? ． （13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则

（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

计算1

0,?其中1ln(1)()x t f x dt t +=? （16）（本题满分10分）

设数列{}n a 满足条件：0123,1,(1)0(2),n n a a a n n a n -==--=≥()S x 是幂级数

0n n n a x ∞=∑的和函数，

（I ）

证明：()()0S x S x ''-=, （II ） 求()S x 的表达式. （17）（本题满分10分）