高中数学随机变量分布列知识点

第二章随机变量及其分布

内容提要：

一、随机变量的定义

设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数

与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。

二、分布函数的概念和性质

1．分布函数的定义

设是随机变量，称定义在上的实值函数

为随机变量的分布函数。

2．分布函数的性质

(1) ，

（2）单调不减性：，

（3）

（4）右连续性：。

注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。

（5）

注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。

三、离散型随机变量

1．离散型随机变量的定义

若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。

2．离散型随机变量的分布律

（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为

或用表格表示：

x1 x2 … x n…

p k P1 p2… p n…

或记为

~

（2）性质：，

注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。

其中。

注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。

3．离散型随机变量的分布函数

=，它是右连续的阶梯状函数。

4．常见的离散型分布

（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为

即

0 1

p 1–p p

（2）二项分布

（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。

（ⅱ）二项分布的定义

设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为

，，

称随机变量服从参数为的二项分布，记作。

注：即为两点分布。

（3）泊松分布：若随机变量的分布律为

，，

则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。