02投影梯度法 - 360文档中心

JordanLectureNote-3：梯度投影法

JordanLectureNote-3：梯度投影法Jordan Lecture Note-3：梯度投影法在这⼀节，我们介绍如何⽤梯度投影法来解如下的优化问题：\begin{align} \mathop{\min}&\quad f(x)\nonumber\\\mathop{s.t.}&\quad \mathbf{A}_1 x\leq b_1\nonumber\\&\quad \mathbf{A}_2x= b_2\label{equ:originalModel}\end{align}其中x\in\mathbb{R}^n,\mathbf{A}_1\in\mathbb{R}^{m_1\times n},b_1\in\mathbb{R}^{m_1},\mathbf{A}_2\in\mathbb{R}^{m_2\times n},b_2\in\mathbb{R}^{m_2}，并且假设\left[\begin{array}{lcr}\mathbf{A}_1\\\mathbf{A}_2\end{array}\right]为⾏满秩矩阵。

定义：1. 矩阵\mathbf{P}\in\mathbb{R}^{n\times n}，若\mathbf{P}^\prime=\mathbf{P},\mathbf{P}^2=\mathbf{P}，则称\mathbf{P}为投影矩阵。

2. 设\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}为⾏满秩矩阵，则\mathbf{A}的零空间为L_{\mathbf{A}}=\{x\in\mathbb{R}^n|\mathbf{A}x=0\}，对应的正交空间为L_{\mathbf{A}}^{\perp}=\{\mathbf{A}^\prime y|y\in\mathbb{R}^m\}。

对\forall x\in\mathbb{R}^n进⾏正交分解使x=x_1+x_2,x_1\in L_{\mathbf{A}},x_2\in L_{\mathbf{A}}^{\perp}，则x_1=\mathbf{P_A}x，其中\mathbf{P_A}=\mathbf{I}-\mathbf{A}^\prime (\mathbf{A}\mathbf{A}^\prime)^{-1}\mathbf{A}称为\mathbf{A}的投影矩阵。

projected gradient descent 公式解析

Projected Gradient Descent（投影梯度下降）是一种优化算法，用于解决约束优化问题。

它的基本思想是在满足约束条件的可行解集合中，寻找使得目标函数最小化的解。

投影梯度下降的公式解析如下：
假设我们的目标函数为f(x)，x 是我们想要优化的变量，我们的约束条件是x 必须满足C。

我们的目标是在满足约束C 的情况下，找到使f(x) 最小的x。

投影梯度下降的算法步骤如下：
1. 首先，我们选择一个初始点x0，这个点可以是随机生成的，也可以是根据一些启发式方法得到的。

2. 然后，我们计算函数在当前点的梯度，即∇f(x0)。

3. 我们将当前的点x0 向梯度的反方向移动一小段距离，距离的大小由学习率ε 控制。

这个距离是我们在梯度方向上所做的“小跳跃”。

4. 然后，我们将新的点投影到约束集合C 上。

投影的意思是我们找到一个新的点x1，使得它满足约束条件C，并且它离我们原来的点x0 的距离尽可能地小。

这个新的点x1 就是我们的新解。

5. 我们重复步骤2-4，直到达到停止条件为止。

停止条件可以是
目标函数的值已经足够小，或者我们已经达到了预设的最大迭代次数。

这就是投影梯度下降的基本算法步骤。

在每一步迭代中，我们都会试图在满足约束条件的可行解集合中找到一个可以使目标函数最小化的解。

采用改进投影梯度非负矩阵分解和非采样Contourlet变换的图像融合方法

采用改进投影梯度非负矩阵分解和非采样Ｃｎｏｒｅ变换的图像融合方法ｏｔｕｌｔ
杨粤涛，明，朱贺柏根，文。高
（．１中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春１０３；３０３２中国科学院研究生院，．北京１０３）００９
ｔｏｉｅｃｍｐｅｉｉｎｔｏｌｘｔｍｙ，ａｍａｅｆｓｏｌｏｉｈｂｏｉｇｔｅＩｐｏｅｎｉｇｕｉｎａｇｒｔｍｙｃｍｂｎｈｍｒｖｄＰＧＮＭＦ（ＰＩＧＮＭＦ）ａｄｎＮｏｓｂａｌｄＣｏｔｕｌｔＴｒｎｆｒ（ＣＴ）ｉｐｏｏｅｎｔｉａｅ．Ｆｒｔｙｈｅｉｔｒｄｏｉ — ｎｕｓｍｐｅｎｏｒｅａｓｏｍＮＳｓｒｐｓｄｉｈｓｐｐｒｉｓｌ，ｔｅｒｇｓｅｅｒｇ
第１９卷
第５期
光学精密工程
ＯｐｉｓａｄＰｅｉｉｎＥｎｉｅｒｎｔｎｒｃｓｏｇｎｅｉｇｃ
Ｖｏ＿９Ｎｏ５ｌ１．
Ｍａ０１ｖ２１
２１０１年５月
文章编号
１０ — ２Ｘ（０１０ — １３００４９４２１）５１４ —８
７、．０、．２和２７９、．０、．４。０９１３１Ｏ１．６２２３１０９
关键词：图像融合；负矩阵分解；影梯度；采样Ｃｎｏｒｔ非投非ｏｔｕｌ变换ｅ中图分类号：Ｐ９．Ｔ３１４文献标识码：Ａｄｉ１．７８ＯＥ２１１０．４ｏ：０３８／Ｐ．０１９ｉｒｖｄｐｏｔｄｕｉｎａｇｒｔｂｓｄｏｍｐｏｅｒｊｃｅｈｅ

Rosen梯度投影法

package XU;import Jama.Matrix;/** 通用性说明：* 当目标函数不同时，程序需修改的地方如下* 1、函数getFunction_xy中的f* 2、求梯度的函数getGradient* 3、线性约束方程组系数矩阵A* 4、线性约束方程组矩阵b* 5、可行点，初始可行点最好多项选择择几个不同的去求最值，以防止求出的只是区域极值而不是全域最值*/public class Rosen {//实现返回函数的代数式，在最优化目标函数的表达式变化时，在这个函数中改即可，防止在进退法和黄金分割法中更改public static double getFunction_xy(double x,double y){double f=0;f=Math.pow(x,2)*y*(4-x-y);return f;}//求梯度,注意不同的目标函数，梯度不一样，此函数不具有通用性public static double[] getGradient(double[] Xi){double[] Gradient=new double[Xi.length];Gradient[0]=Xi[0]*Xi[1]*(8-3*Xi[0]-2*Xi[1]);Gradient[1]=Math.pow(Xi[0],2)*(4-Xi[0]-2*Xi[1]);/*System.out.println();System.out.println("梯度为：");for(int i=0;i<Xi.length;i++)System.out.print(Gradient[i]+",");System.out.println();*/return Gradient;}public static void main(String[] args){double[] Minf=new double[3];//线性约束方程组系数矩阵Adouble[][] A={{-1,-1},{1,0},{0,1}};//线性约束方程组矩阵bdouble[] b={-6,0,0};//存储可行点double[] Xi={2,2};Minf=getMminf(A,b,Xi);System.out.println(Minf[0]+","+Minf[1]+","+Minf[2]);}//以下为各种不需修改的功能函数/*功能：解决二元非线性函数在线性约束条件下的极值问题〔投影梯度算法〕* 注意以下几点〔二元情况下〕：* 1、可行点Xi一定为两个元素的向量* 2、矩阵A1的大小是变化的，行数是不定的，但列数一定为2。

两种求解单调变分不等式的投影收缩算法

投影收缩算法求解单调变分不等式的研究一、介绍两种求解单调变分不等式的投影收缩算法；求解单调变分不等式的投影收缩算法是一种常用的数值优化方法，它可以求解一组单调变分不等式的最优解。

其中，最常用的有两种：梯度投影算法和拉格朗日投影算法。

梯度投影算法是一种基于梯度的投影收缩算法，它以梯度下降的方式求解单调变分不等式。

它的基本思想是：首先，计算出每个变量的梯度，然后，根据梯度的方向，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新梯度，直到满足单调变分不等式的最优解。

例如，假设我们有一个单调变分不等式，其中有两个变量x和y，梯度投影算法首先会计算出每个变量的梯度，然后根据梯度的方向，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新梯度，直到满足单调变分不等式的最优解。

拉格朗日投影算法是一种基于拉格朗日函数的投影收缩算法，它以拉格朗日函数的最小值为目标，求解单调变分不等式的最优解。

其基本思想是：首先，将每个变量的拉格朗日函数作为最优化目标函数，然后，根据拉格朗日函数的梯度，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新拉格朗日函数，直到满足单调变分不等式的最优解。

例如，假设我们有一个单调变分不等式，其中有两个变量x和y，拉格朗日投影算法首先会将每个变量的拉格朗日函数作为最优化目标函数，然后根据拉格朗日函数的梯度，将变量移动到更优的位置，并在每次迭代中更新拉格朗日函数，直到满足单调变分不等式的最优解。

总之，求解单调变分不等式的投影收缩算法是一种非常有效的数值优化方法，它可以有效地求解一组单调变分不等式的最优解。

它的两种常用的算法：梯度投影算法和拉格朗日投影算法，都是基于梯度的投影收缩算法，但是它们的实现方式有所不同，前者以梯度下降的方式求解，而后者以拉格朗日函数的最小值为目标，求解单调变分不等式的最优解。

它们都可以有效地求解一组单调变分不等式的最优解，但是前者更适合于复杂的优化问题，而后者更适合于简单的优化问题。

二、分析两种投影收缩算法的优势和劣势；投影收缩算法是一种用于解决优化问题的算法，它可以将复杂的优化问题转化为更容易求解的问题。

压缩感知下梯度投影在图像去噪中的应用

ｂｏｕｎｄａｒｙ．Ｆｏｒｔｈｅｉｍａｇｅｄｅ —ｎｏｉｓｉｎｇｐｒｏｖｉｄｅｓｎｅｗｉｄｅａｓａｎｄｍｅｔｈｏｄｓ．
ｓｐａｃｅ，ｔｈｕｓａｎａｌｏｇｏｕｓｔｏｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓａｎｄｔｏａｃｈｉｅｖｅａｎｉｍａｇｅ
ｔｈａｔａｑｕｉｃｋｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｕｓｉｎｇｔｈｅｈｉｇｈ－－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｉｍａｇｅｓｉｇｎａｌｉｎａｌｏｗ－－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ
ｏｎｔｈｅｉｍａｇｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓｔｈｅｕｓｅｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄｓｅｎｓｉｎｇｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｉｄｅａｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｍａｇｅｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎａｎｄｒｅｃｅｐｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｉｓｉｎｅｖｉｔａｂｌｙａｆｆｅｃｔｅｄｂｙｍａｎｙｆａｃｔｏｒｓａｎｄｎｏｉｓｅ，ｗｈｉｃｈｔｙｐｉｃａｌｌｙｍａｋｅｓｔｈｅｉｍａｇｅｂｌｕｒｒｙｉｌｌｅｇｉｂｌｅ．ＦｏｒｒｅｍｏｖａｌｏｆｉｍａｇｅＧａｕｓｓｉａｎｗｈｉｔｅｎｏｉｓｅｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ

求解非负矩阵分解的修正非单调投影梯度法

设Ｂ∈Ｒ，（Ａ，Ｂ）＝Ｔｒ（ＡＢ）．Ａ．表示的第ｉ列，
．表示Ａ的第ｉ行
１０７０
应用数学学报
３７卷
２算法
在［２６】中，作者提出了一非单调谱投影梯度法．如果这个方法直接应用于（１．３），则解的有界性不能得到保证．为了克服此缺陷，我们稍微修正算法［２６］在ＮＭＦ中，我们发现
其中ｋＭＰＧＮＭＦ的迭代次数，ｔ是运行时间．我们用算法１测试了一些问题，并与算法［２４】（记为ＭＵＡ）和算法［２７】（记为ＰＧＮＭＦ）进行比较．在测试问题之前，我们需要讨论一下在算法１中如何选取参数．在算法１中，我们发现当参数Ｍ选择任何大于３的整数时，数据结果是相同的．因此选择Ｍ＝５．在算法１中，ｉ和都是按如下的式子定义的正数：
本文２０１２年１Ｏ月２５日收到．２０１３年２月２７日收到修改稿．国家自然科学基金（Ｎｏ．１１３６１０１８，６１３６２０２１），广西自然科学基金（Ｎｏ．ＰＦ１４１２５９），广西杰出青年基金
ＯＺ ¨ ＝ｍｉｎ｛＆。，ｍａｘ｛ｃ￣
其中
＝
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嚣ｒｏｄｄ … ｋ＋１；．
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ｋ＋ｌ
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（ｓ．６）令ｍ（＋１）＝ｍｉｎ｛ｍ（ｋ）＋１，Ｍ）

基于梯度投影法的电子稳像算法

子稳像算法。该算法根据梯度帧内变化剧烈、帧问变化稳定、梯度投影曲线变化明显等特点，利用图像的梯度分布情况进行运动估计。实
验结果表明，该算法可提高微光图像序列的帧间运动估计精度。
关健词：电子稳像；灰度投影法；梯度投影法；微光图像；光流
ＥｌｃｒｎｃＩａｅＳａｉｚｔｎＡｌｏｉｈｅｔｏｉｍｇｔｂｌａｉｇｒｔｍｉｏ
ｐｅｅｔａｌｃｒｎｃｍａｅＳａｉｚｔｎＥＳａｇｒｈｂｓｄｏｒｄｅｔｒｊｃｏｔｏ．ｔａｔｉｅｔｅｄｓｂｔｎｏｅｉｇｒｄｅｔｏｒｓｎｓｎＥｅｔｉＩｇｔｂｌａｉ（Ｉ）ｌｏｉｍａｅｎｇａｉｎｏｅｔｎｍｅｈｄＩｃｎｕｉｚｉｒｕｉｆｏｉｏｔｐｉｌｈｔｉｏｈｔｍａｅａｉｎｇｔ
１概述
在目标跟踪过程中，摄像机载体的随机振动和姿态变化
的像素灰度值，
Ｎ
、 Ⅳ 分别为图像投影区域的行、列数。
图像第ｉ行的灰度投影值为：
Ｇｒｙｋｆ＝∑ Ｇｋｆ）ａＹ（）（Ｊ，
ｌ
产生的不平稳运动会导致视频图像序列的不稳定甚至模糊，
（）１
图像第列的灰度投影值为：
Ｍ
ＧａＸＩｊ＝∑ ＧｋｆＪｒｙ￣）（（），
ｌＳ＝
（）２
投影曲线反映了图像灰度分布的特点，为方便描述，将
图像行方向的投影曲线记为水平投影曲线，将图像列方向的投影曲线记为垂直投影曲线。

解大规模非线性方程组的一种三项型投影算法

(5)
其中，〇■> 0, j > 0 ，p e (0, 1);
步骤 5 令 i = 々 + a << ，若 ||g U )||«e ，则算法停止，并令新的迭代点：ct + l = Zt;否则，通过式(2)计
算新的迭代点& +,; 步骤 6 令 & = 々 + 1 ，转步骤2.
2 充分下降性和信赖域特性
其迭代公式为
min/ ( x ) x g R\ x ktl = x k + akdk.
收稿日期：2 0 2 0 - 1 0 - 2 3 基金项目：广东普通高校重点科研项目（2019K ZD X M 042);广西自然科学基金（2018GXNSFAA281259,2020GXNS-
李丹丹、王松华2
( 1 . 广州华商学院应用数学系，广东广州 511300; 2 . 百色学院数学与统计学院，广西百色 533000)
摘要：为加快非线性单调方程组的运算效率，基于高效率线搜索方法和投影技术，构建了一个新型的无导数型三项共轭梯度投影算法 . 通过改进搜索方向，使得新算法在任何线搜索下都自动满足充分下降性条件和信赖域特性 . 在一定的假设下，新方法具有全局收敛性，初步数值试验结果表明，新算法比同类算法更加高效. 关键词：无导数型；共轭梯度法；充分下降性；信赖域性质；全局收敛性中图分类号： 0 2 2 4 文献标志码： A D O I：10. I5886/j. cnki. hdxbzkh. 2021.0015

约束优化问题的一种投影梯度Lagrange乘子法

１Ｌｇａｇａｒｎｅ乘子法
将一个约束优化问题转化为无约束优化问题常用的手法有罚函数法和Ｌｇｎｅａｒｇ乘子法。Ｌｇｎｅａ而ａｒｇａ
乘子法克服了目标函数在极小处梯度不一定为零的不足，以比罚函数法更加有效。所
１１最优性条件．
，
，＋ｙ ∑ ）
ｓ．ｈ＝ ∈ ．ｉ０ｉｔ）
；
；（）２
ｘ（＞０ｊ。ｊ） ∈Ｉｘ１
令，）），）），＿Ｊ（ √∈）ｙ，ｙｈ，ｙｙ＝）２ ∈ ，其中，＝
转化仅含等式约束的优化问题（）３
；
为，）ｙ的松弛因子。则可以将问题（）２
；
ｇ１０ｊ、 ∈ｌ。＞
（）３
关于问题（）问题（）２与３的关系，由如下定理描述：
定３问（满二充性件正点相的ａｎ乘为＋ ∈ 理设．为题３足阶分条的则，Ｌａ子， √ 【１）的应ｇｇｒｅ ∈ Ｉ
ＪＥｔｌＥＪＪ
Ｊ ∽ ＝，Ｖ ∽ ＝：ｅ＇＝Ｖｙ０岛０ ∈ｊＹ ∈ ∈
１２Ｌｇａｇ．ａｒｎｅ乘子法
Ｊ＞｝上正定，０】则是局部极小点。
考虑问题（）１的简化情形：ｍｆ￣ｍ（）
第４期
张燕新曹
毅：约束优化问题的一种投影梯度Ｌｇａｇ乘子法ａｒｎｅ
７
定理２（充分二阶性条件）设ｓ存在Ｌｒ乘子Ａ０∈ ，）Ｖ＝ ∈ ，ａａｇｎ ≤ ， ∈ 使得：）∑ＡＶ＋Ｖ（，ｉ） √ 如 ∑ 岛３ｚ（： ∈。果矩阵日）Ｖ＋２＋ｘＩｘ０ｊ＇ｇ（＝ ∑Ａ ∑ Ｖ在Ｖｈ岛子空间Ｔ）（｛ｘｙＥ