消费者的零售店选择行为：基于拓展的NBD-Dirichlet模型的研究

P( X x ) (r x) x!(r ) ( 1) r x
r


0
( 1) r x xr 1e ( 1) d (r x)
（10）
式（10）中积分部分实际上就是 Gamma 分布的累计概率函数，根据定义该项等于 1， 由此我们得到可以用于估计的 NBD 模型形式，如式（11） 。
《中国零售研究》2007 年第 2 期（总第 4 期）
P( X x)
( r x ) x!(r ) ( 1) r x
r
（11）
本文在对 DM 模型和 NBD 模型进行估计时均采用的是极大似然估计，将式（8）和式 （11）放入下式（12）中求解极大值就可以估计这两个模型的参数。
P(r) M (r p, x)D( p) P( x )G()
（1）
由以上的描述可知 NBD-Dirichlet 模型是由四个分布的联合分布组成，具体表示如下： a）每个消费者在多个商店中选择某一商店服从多项式分布（概率密度函数如式（2）所 示） 。式（2）中 n 表示所有选择项的总数，xk 表示第 k 家店被选择的数量，pk 表示第 k 家店 被选择的概率。
《中国零售研究》2007 年第 2 期（总第 4 期）
不是解释现象， 因而以往的文献仅仅解决了消费者选择什么商店和多少次选择该商店等两个 问题， 对于消费者为什么选择的问题没有进行探讨。 由于该模型没有解释消费者选择商店的 原因，因而研究结论的指导意义有所下降，这也限制了该模型的应用。 为了解决以往研究方法的不足之处，本文拟拓展传统的是 NBD-Dirichlet 模型，探讨将 解释变量加入该模型之中，使 NBD-Dirichlet 模型能够同时解决消费者选择什么、选择多少 和为什么选择等三个方面的问题，从而更加全面地反映消费者的商店选择行为。 实际上，上述三个问题的解决还可以回答很多零售企业关心的问题。例如，消费者选 择商店的原因和消费者忠诚于商店的原因是否一致？哪些因素会分别影响消费者的选择和 重复选择？企业应当分别采取什么策略吸引新的顾客， 保留老的顾客？以往的研究对这类问 题没有非常明确的回答。 本文的实证部分将尝试研究我国消费者的超市选择行为， 探讨上述 的问题。
k ( n
j 1 x j )1
k 1
dpk 1 dp2 dp1
（ 7）
式（7）中积分部分实际上就是 Dirichlet 分布的累计概率函数（参见式 3） ，根据定义该 项等于 1，由此我们得到可以用于估计的 DM 模型表达式（8） 。
n! P( X x) x1 , , x k ( S )
LL ( ) ln L( ) ln p( X x )
i 1 n
（12）
2.2
NBD-Dirichlet 模型的各项应用表达式
通过上述式（8）和式（11）DM 模型和 NBD 模型的估计，我们可以得到 NBD-Dirichlet 模型的各项参数， 这些参数为我们进一步计算市场渗透、 购买频率等一系列指标提供了条件。 NBD-Dirichlet 模型在估计最后的参数时遵循贝叶斯先验概率规则，最后得到的参数是市场 均值和各超市自身数据的加权值， 因而在预测中能够有较高的稳定性， 不会受到特异值的干 扰。以下的式（13）至式（20）就是我们通常所关心的各项消费者惠顾行为计算公式。 商店 j 的市场份额如式（13）所示：

k j 1
( j x j )
j 1 ( j )
k

( S n)
（8）
将式（4）和式（5）形成 NBD 的联合概率分布函数，其累计概率函数如式（9）所示。
P( X x)
0
e x r r 1e d x! (r )
（9）
与上述 DM 模型的做法一样，通过将与无关的项提出积分号，并在积分号里外分别加 入构造的分式之后得到式（10） 。
j 1
其中， S

i 1
k
i
且 p 0; p 1 i i
i 1
k 1
c）消费者惠顾某家商店的次数服从 Poisson 分布（概率密度函数如式（4）所示） 。
P( x ) e x x!
（4）
其中，>0，它表示消费者的惠顾率 d）不同消费者的惠顾率服从 Gamma 分布（概率密度函数如式（5）所示）
G ( )
r r 1e
(r )
（ 5）
其中，、r 为大于 0 的参数。 首先将式（3）与式（2）形成 DM 联合概率分布，其累计概率函数如式（6）所示。 k 2 k 1 k 1 k 1 1 1 p1 1 p j n x j n! x j 1 P( X x) j 1 ( p j j )(1 p j ) 0 0 x1 ,, xk j 1 j 1
1 引
言
随着市场竞争日趋激烈，消费者选择在哪里购买商品成为企业需要关注的一个重要问 题。 它不但关系到零售企业的生存和发展， 也关系到生产企业如何选择销售渠道并制订销售 计划。因此，消费者的零售店选择问题是当前渠道研究中的核心问题之一。在研究消费者零 售店选择时，需要解决以下三个方面的基本问题：首先，消费者选择什么商店；第二，消费 者选择多少次该商店；第三，消费者为什么会这样选择。以往的研究并没有很好地解决这三 个问题。 在过去的零售店选择研究中大量应用离散选择模型。Stanley、Sewall 和 Gautschi 是最 早采用离散选择模型研究消费者购物选择行为的学者。Arnold、Oum 和 Tigert 首次采用多 元 Logit 模型研究了消费者零售店选择问题。随后，各类离散选择模型大量地应用于商店选 择研究中。例如，Fotheringham 将嵌套 Logit 模型引入了零售店选择的研究之中；Rust 和 Donthu 通过修正 logit 选择模型提出了如何在商店选择研究中估计地理位置偏差值； Solgaard 和 Hansen 采用随机系数贝叶斯模型研究了消费者对不同业态商店的选择行为。虽然离散选 择模型被大量地应用，但该模型只能够解决消费者选择什么商店和为什么选择等两个问题， 对于消费者选择多少次， 为什么选择这么多次的问题研究不足。 而消费者选择次数的问题是 非常重要的，它反映了消费者对零售店的忠诚程度。 与离散选择模型不同的是，NBD-Dirichlet 模型是一种概率分布模型，它能够较全面地 描述消费者的购买行为，其计算结果常常被作为基准来评价其他研究方法。NBD-Dirichlet 模型应用最多的领域是测量品牌绩效 ，但该模型也被应用于研究消费者的商店选择行为。 Keng 和 Ehrenberg 首次应用该模型研究了消费者的商店选择行为；Uncles 和 Ehrenberg 利用 该模型分析了美国多个包装产品在不同的零售渠道的销售状况； Uncles 和 Hammond 进一步 介绍了这一模型在商店选择中的应用；Keng、Uncles 和 Ehrenberg 利用该模型研究了日本 消费者的品牌选择和商店选择行为。但是，传统的 NBD-Dirichlet 模型主要用于描述现象而
2
NBD-Dirichlet 模型及其拓展
2.1 NBD-Dirichlet 模型
首先，本文描述在零售店选择过程中 NBD-Dirichlet 模型各个推导步骤的含义。
NBD-Dirichlet 模型可以表达为以下式（1）的联合分布模型。假设消费者对商店的选择相互 独立，消费者的随机选择就符合多项式分布，它在式（1）中由 M（r│p, x）表示。在多项 式分布 M（r│p, x）中有两个参数 p 和 x，分别表示选择的比例和数量。假设选择的比例 p 服从 Dirichlet 分布（或称多元 Beta 分布，式（1）中由 D（p）表示） ，则可以得到联合概率 函 数 M(r │ p, x)D(p) ，这一分布函数就是多项式 Dirichlet 分布（ Dirichlet-Multinomial Distribution， 简称 DM 模型） 。 另一个参数 x 是消费者选择的数量， 它一般服从 Poisson 分布， 由式（1）中的 P(x│)表示，如果假设该 Poisson 分布的唯一参数符合 Gamma 分布（在式 （1）中由 G（）表示） ，那么消费者选择的数量服从联合分布 P(x│)G(),这一联合分布 函数就是负二项式分布函数（ Negative Binomial Distribution ，简称 NBD 模型） 。由于 NBD-Dirichlet 模型假设消费者对不同选择项的选择比例具有独立性，同时各选项所占的份 额之间具有独立性，因此 DM 模型和 NBD 模型可以分开估计，它们分别表示了两个非常重要 的问题，即消费者选择什么和消费者选择多少次。在消费者商店惠顾研究中，这两个问题就 变成消费者选择什么商店？商店惠顾频次是多少？
( S )

k j 1
( j )
( p j j )(1 p j ) k 1 dpk 1 dp2 dp1
1
j 1 j 1
k 1
k 1
（6）
将式（6）中与 p 无关的项提出积分号，并在积分号里外分别加入构造的分式整理后得 到式（7） 。
n! P( X x) x1 ,, x k ( S )
M ( r p, x ) n! x0 p0 p1x1 p kxk x0 ! x1! xk !
（ 2）
其中， n xi
i 1
k
《中国零售研究》2007 年第 2 期（总第 4 期）
b）消费者选择某家店的概率 p 服从 Dirichlet 分布（概率密度函数如式（3）所示） 。 k 1 k 1 ( S ) 1 （ 3） D( p ) k ( p j j )(1 p j ) k 1 j 1 ( j ) j 1
( S ) ( S j k ) Pj f (r , ) 1 k 1 ( S k ) ( S j )