高一数学必修1主要考点
高中数学必修1主要考点
考点一：集合间的运算：求交集（A n B）、并集（A U B）、补集（C u A）
类型题1 :用列举法表示的集合间的运算
对于用列举法表示的集合间的运算，A n B （交集）为A与B的相同元素组成
的集合，A U B （并集）为A与B的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合，C u A （补集）为在全集U中把A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。
例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7},集合B={2,5,8},求 A n B, A U B, C u A。
解：A n B={1,3,5,7 } n {2,5,8}={5}
A U B={1,3,5,7 } U {2,5,8}={1,2,3,5,7,8}
C u A={2,4,6,8,9,10}
类型题2 :用描述法表示的集合间的运算（主要针对用不等式描述元素特征）对于用描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴
或文氏图表示出来（常选用数轴表示），再通过观察图形求相应运算。A n B （交集）为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。A U B （并集）为图形中A加
上B所表示的集合。C u A （补集）为图形中表示全集U的部分中去除表示A剩下
的部分所表示的集合（若全集为R，则数轴表示时是整条数轴）注意表示数轴是带
有等于号的用实心点表示，没带等于号的用空心点表示。
例2、已知集合A={x|0 解：A n B={x|0 数轴表示：（此部分可在草稿纸进行） -10123 U B={x|0 A C R A={X| x < 0 或x > 2} 数轴表示：（此部分可在草稿纸进行） I ■ : —』/彳"? 考点二：求函数的定义域 求函数定义域的主要依据: （1） 分式的分母不为 0; （2） 偶次方根的被开方数不小于 0, 0取0次方没有意义（即指数为 0的幕函数底 数不 能为0）； （3） 对数函数的真数必须大于 0； （4） 指数函数和对数函数的底数必须大于 0且不等于1； （5） 当函数涉及实际问题时，还必须保证实际问题有意义。 （6） 如果f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都 有 意义的实数集合。（即求各集合的交集） 注意：函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 例1 :已知函数 f (x) = .. x 3 + ，求函数的定义 x 2 卄 x 3 0 x 3 解： 解得： x 2 0 x 2 考点三：相同函数的判断 3构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域?由于值域是由定义域和对应关 系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两 例2、求函数y log 0.2(4 x) (x 3）° 的定义域。 解： 4 x 0 x 4 4且 x x 3 解得： 3 ?所给函数的定义域为｛x| x 3} o 0 x 例 3、 求函数y (x 1)x lo g (x 2) x 的定义域。 x 1 0 x 1 x 1 1 x 0 解： x 2 0解得： x 2 ?所给函数的定义域为 ｛x| x 2且x 3} o x 2 1 x 3 x 0 x 0 ???所给函数的定义域为 ｛x|x 80,其中一边长为x ,求它的面积关于x 的函数的解析式, 3 且 x 2} o 例4、设一个矩形周长为 并写出定义域? 解：由题意知，另一边长为 所以s= 80 2x 2 80 2x ，且边长为正数，所以 2 (40 — x ) x (0v x v 40) 0 V x v 40. 个函数相等(或为同一函数) 3两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 例1、下列函数中哪个与函数y=x相等？ i__ 1____________________ 2 (1)y = ( X )2；(2) y = (3x3 ); (3) y = , x2 ; (4) y= — x 解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x; (1)y = ( , x )2的定义域为｛x|x>0｝，定义域不相同; (2)y = (3x3 )定义域为R，化简后对应关系为y=x,与y=x为同一函数； (3)y =?... x2定义域为R，化简后对应关系为y=|x|，对应关系不相同； 2 x (4)y= 定义域为｛X|X M 0｝，定义域不相同。 x 考点四：单调性证明及性质应用 1、定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x i, X2,当X1VX2时, 都有f(X1) 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1, X2,当X1 2、性质 增函数：在单调区间内，对于任意X1 减函数：在单调区间内，对于任意X1 3、定义法证明单调性步骤 ①在单调区间内任取X1 , X2 € D，且X1 ②作差f(X1)—f(x 2)； ③变形(通常是因式分解和配方)； ④定号(即判断差f(X1) —f(x2 )的正负)； ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 3 例1、证明函数f (x )= 在］3,5 ］上是减函数。 x 1 证明：设 x i , X 2 ［3,5］，且 x i X 2，则 X 1, X 2 [3,5] , X 1 X 1 X 2 , X 2 X 1 f (x 1) f (x 2) 0,即f (x 1) f (x 2) 3 因此，函数f (x )= 在［3,5］上是减函数。 X 1 4、利用函数单调性求变量取值范围 常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性，并求变量的取值范围。此类题 型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面，再结合二次函数开口方向 即可求解。 取值范围。 2 例1、求函数y (x 1) 2, 0 x 2的最大值与最小值。 解：???函数y (x 1)2 2为二次函数，图像开口向上，对称轴为 x=1 ?函数在对称轴处取得最小值 f(1)=-2，又f(0)= f(2)=-1，故函数最大值为-1。考点六：奇偶性判断及性质应用 f(X i ) f(X 2) 3 x-i 1 3 x 2 3(X 2 X i ) 区 1)(X 2 1) 1 0, X 2 1 0 0 例2、设函数f X 3a 1 x 2 a 在区间1, 上是增函数，求实数 解：?二次函数 f 3a 1 2 x a 图象开口向上, 对称轴为: (3a 1) 2 ? ??函数f X 3a 1 x 3a 1 2 a 2在区间(葺」，)上是增函数 又由题意知：函数 x x 2 2 3a 1 x a 在区间1, 上是增函数 3a 1彳 1 , 2 考点五：求函数最值： 求函数最值一般结合函数单调性进行求解 解得：a 1 ?实数a 的取值范围为 ,1 1定义 偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f ( x) f(X), 那么f (x)就叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f( x) f (x), 那么f (x)就叫做奇函数. 2、性质 偶函数：f( x) f (x)，图象关于y轴对称； 图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。 奇函数：f( x) f (x)，图象关于原点对称，f(0) f( 0) 0 ; 图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。 典型题：利用奇偶性性质求函数解析式 例1函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x 0时，f(x) x 1，求当x 0 时，f (x)的表达式。解：令x 0,则x 0, f ( x) ( x) 1 x 1 f (x)是定义域为R的奇函数， f (x) f ( x) ???当x 0时，f(x) f ( x) (x 1) x 1。 ???当x 0时，f (x)的表达式为：f (x) x 1 3、判断奇偶性步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f ( x)与f (x)的关系; ③作出相应结论： 若f ( x) f (x)或f ( x) f (x) 0,则f (x)是偶函数； 若f( x) f (x )或f( x) f(x) 0,则f (x)是奇函数 例2、判断下列函数的奇偶性 解：(1) f (x)的定义域为｛2｝，定义域不关于原点对称 因此函数f (x)既不是奇函数，也不是偶函数 ??? f (x)是偶函数 log a b log c b (a 0，且a 1; c 0 , 且c 1 log c a 例1计算「 下列各式的, 值： (1) (a b)3 ( a b) ⑵ log 3 25 log 31 6 ⑶ log 9: 27 解：(1) (a b)3 (a b) 3 1 (a b) (a b ) 4 (2) log 3 25 log 3 16 .25 log log 3 (5 ) 2 2 log 5 3 _ 16 4 4 log 9 27 log 3 27 log 3 33 3 (3) 39 2 — lo log 3 3 2 n log a M (n R) ? 3、 b 0). ③ log a 换底公式: (1) f(x) x 2 2 x (2) f(x) |x 1| |x 1| (2) f (x)的定义域为R ， 定义域关于原点对称 又 f ( X )| x 1 | I x 1| |x 1| |x 1| f(x) 1、 (1) r r a ? a r s a (a 0, r,s R) r s rs (2) (a ) a (a 0,r,s R) (3) (ab)r r s a a / (a 0,r,s R) 2、 0,且 a 1, M N) log a M + log a N ； 那么: ② log a - lOg a M - log a N 如果a 考点七：指数式、对数式运算 实数指数幕的运算性质： 对数的运算性质: ① log a (M ?