第一章 几何光学基本原理 (2)

绪论

1.光学的研究内容：

a.光的发射、传播和接收等的规律；

b.光和其他物质的相互作用（吸收、色散、散射等）；

c.光的本性；

d.光在生产、生活中的应用。

2.光学按内容可分为：

几何光学，波动（物理）光学，量子（分子）光学和现代光学。

3.光学与生产实践的关系：

生产实践、科学实验推动了光学的发展，光学的发展为生产提供了实验手段和理论依据，生产技术发展反过来提出新的光学课题和研究条件。

4.光学的研究方法：

在观察和实验的基础上，对物理现象进行分析、抽象和终合，进而提出假说，形成理论，并不断经受实践的检验。（实验----假说----理论----实验）

5.光学发展的五个时期：

a.萌芽时期(B.C.4～A.C.15)

观察到直进、反射和折射现象，发现镜面成像规律、建立反射定律，制成面镜眼镜、透镜、暗箱和幻灯等。

Euclid提出投射学说：光是从人眼向被看见的物体伸展着的某种触须似的东西。

b.几何光学时期(A.C.16～A.C.18)

观察到衍射、干涉和偏振现象，建立折射定律，制成显微镜、望远镜。

L.Newton 提出微粒理论：光是按惯性沿直线飞行的微粒流。

C.Huggens 提出波动理论：光是一种在特殊弹性媒质中传播的机械波。

c.波动光学时期(1800～1900)

解释了干涉、衍射、偏振现象和物质发射、吸收光的现象，测定了光速。

J.C.Maxwell 提出电磁理论：光是电磁波。

这一时期除了黑体辐射、光电效应和以“静止以太”为背景的绝对时空观存在无法解释的困难外，经典物理形成了一套严整的理论体系。

d.量子光学时期(1900～1960)

M.Plank 提出辐射的量子论：各种频率的电磁波只能以一定分量的能量自振子辐射出，这种能量微粒子称为量子。光的量子称为光子。(1900年)

A.Einstein把量子论贯穿到整个辐射和吸收过程中，提出光子理论：光是具有波粒二象性的光量子。(1905年)

e.现代光学时期(1960～)

1960年，制成了历史上第一台激光器，激光的问世，标志着现代光学的开始，光学成为现代物理学的一块前沿阵地，并派生出许多崭新的分支学科，如付里叶光学、非线性光学、集成光学、激光光谱学等。

第一章 几何光学基本原理

几何光学：撇开光的波动本性，而仅以光的直线传播性质为基础，研究光在透明介质中传播的问题的光学。几何光学是成像的一级近似理论，仅适用于波面的线度远大于波长的情况；几何光学是波动光学的近似情况，用波面和“光线”代替了波长、位相、振幅等波动特征量；但几何光学具有直观、方便、不涉及光的本性问题的优点。

§1几何光学的基本定律

一、光线和波面

“光线”——表示光的传播方向的几何线，系一理想模型； 波面 ——波传播过程中的同位相面。 二、几何光学的基本定律

1.直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播。

2.独立传播定律：自不同方向或由不同物体发出的光线相交，对每一光线的独立传播不相互影响。

3.反射定律(Euclid low):光通过两种介质的分界面时，入射光线、反射光线、法线在同一平面内；入射光线、反射光线分居于法线异侧；且反射角i 1'与入射角i 1相等，即

i i 11'=

4.折射定律(Snell low):光通过两种介质的分界面时，入射光线、折射光线、法线在同一平面内；入射光线、折射光线分居于法线异侧；且折射角i 2与入射角i 1满足关系：

sin sin i i n 1

2

21= 其中比例常数称为第二种介质相对于第一种介质的相对折射率。

某种介质相对于真空的折射率，称为该介质的（绝对）折射率n ；可以证明：

n c v

=

其中c 、v 分别为光在真空、介质中的传播速度；c m s =?3108/，v 以介质特性、光波波长有关。由n n n 2121=/可得：

n i n i 1122sin sin = 5.光路可逆原理：光经多次反射和折射后，光路是可逆的。 几点说明:a.光路可逆原理可由前面的定律推出，故称为原理； b.分界面可以是曲面，法线系指入射电处的曲面法线； c.关于“海市蜃楼”。

§2费马(Fermat)原理

一、光程

光在真空中相距l 的两点A 、B 间传播所需时间为：t l c =/

光在介质中相距l 的两点A 、B 间传播所需时间为：t l v nl c ‘==// 由此可见，光在介质中经过路径l 所需的时间等于在真空中经过路径nl 所需的

时间。定义光程

?=nl

则不管光在什么介质中传播，只要光程相等，光的传播时间就相等。故光程具有

折合路程的含义，光程可理解为相同时间内光在真空中传播的路程。 若光线连续经过几种介质1,2,…,k.则

?=∑n s i i i=1

k

若光线经过非均匀介质()n n s =则

?=?nds A

B

二、Fermat 原理

光在指定的两点间传播，实际的光程总是一极值。即光沿光程值为最小、最大或恒定的路径传播。

nds A

B

?=极值（极小、极大或恒定值）

一般情况下，实际光程取极小值。

例：均匀介质中，光程取极小值，光沿直线传播（按几何公理，两点间最短的距离是直线）。

三、由Fermat 原理推导折射定律 设分界面是M 1平面，上下为均匀 介质n 1n 2， 光通过A 点后通过B 点。 (1)过A 、B 两电作平面M 2垂直于 M 1，交线记为oo '

(2)折射点C 一定在oo '上 AC AC C B C B '"'">> ∴??AC'B AC"B >

故入射面和折射面在同一平面内。

(3)设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2) C(x,0)，则x 1

121222222 ()

()()

()d n x x x x y n x x x x y ?

ACB dx

=

--+-

--+111212

22222

2

='-'=-≡n AC n CB

n i n i 1

211220sin sin 即 n i n i 1122sin sin =

（可推出

d 20?ACB

2

dx >，故光沿光程?为极小值的路径传播）

四、光程取最大、恒定、最小的情况举例

?=恒量?=极小?=极大

（镜面是旋转椭球面，P、'P是两个焦点，是规定通过的两点）

§3 单心光束实像和虚像

一、几个概念

1.发光点（物点）

只有几何位置，没有形状大小的“光源”程为发光点（物点）。

若光线实际发自某点，则该点称为实发光点；若光线是等价于发自某点，则该点称为虚发光点。多个物点（发光点）的集合称为物。

2.单心光束

有一定关系的一些光线的集合称为光束。

自一发光点发出的许多光线构成的光束称为单心光束（或同心光束）。

均匀介质中，单心光束的波面为球面，若发光点在无穷远处，则单心光束的波面为平面。

3.像

自物点发出的光束，经光学系统后，若仍是单心光束，则把此单心光束的交点（称为顶点或光心）称为光学系统对该物点的像点。多个像点的集合称为像。

若光线实际通过光心，则得实像；若光线的延长线通过光心，则得虚像。

二、人眼的特性物像共异性

人眼不能看到光线本身，只能看到光束的光心。

人眼以直接刚刚进入瞳孔前的光线来判断光束的光心位置。

物像共性：物、像都不过是进入瞳孔的光束的光心（的集合）而已。 物像异性：物可向各个方向发光，而像只向某些方向发光。

§4光在平面上的反射和折射

由于反射、折射，单心光束不再保持单心性，保持光束单心性的问题，在适当条件下，可以得到解决。 一、光在平面上的反射

如图，P 为发光点，MM'为分界面。由反射定律容易证明： ∠PAN =∠'P AN ?PAB ≌?'P AB

即：PA P A =' ?PAP '为一等腰三角形。故MM'垂直平分PP '，PN NP ='. 结论：

1.像点与物点相对于反射平面对称，像是虚像；

2.平面镜是最简单、但又能完善成像的光学系统。

二、光在平面上的折射

如图，xoz 面是介质分界面，设n n 12>，P 为物点，PA PA 12、是靠得很近的两条光线，各有关点的坐标为 ()A x 10, ()B x 20, ()P y 110,()P y 220, ()P y 0, ()'''P x y , 则由图可推出

y n

n y n n x 12

12

122212

1=+-?? ??

?

y n

n y n n x 22

1

2

122222

1=+-?? ??

?

'=-?? ??

?x y n n i 12223

11t a n

'=--?? ????????

?y n n y n n i 2112222

132

11t a n

因单心光束是球面波，故可在一平面上考虑光线的分布，用两条光线找出像点的位置。而非单心光束不再是球面波，故需考虑光线的空间分布。

为此，将图绕oy 轴旋转一小角度（考虑P 发出的狭窄空间光束），光束中的所有光线不相交于一点，而是相交于两条互垂的线段上，一条为'P

所描出，另一

条是P P 12，分别称为子午、弧矢像线（或焦线），这一现象称为像散。 在垂直方向，()i x x 11200≈≈≈， '='===

x y y y n n y 0

122

1

在水面上方沿垂直方向观察水中的物体，n n 21143==，/，'

三、全反射 由n i n i 1122sin sin =，即i n n n 2121=?? ?

??arcsin sin （系单调增函数）可知，若光从

疏介质传入密介质中，即n n 12>，则i i 21<；当i 1增大到某一值i C 时，i 290= ；故

i i 1>C 时，光线不再折射而被全部反射；这种只有反射光没有折射光的现象称为全反射，i C 称为临界角：

i n n C =a r c s i n 2

1

光导纤维：直径约为101065--~m 的双层玻璃丝，结构如图所示，它具有弯曲传光、质轻、容量大、保秘性好等优点，应用于国防、医学、自控、通讯等领域中。可以证明，在介质n 0中，只有在顶角小于20i 的空间锥形体中的光线，能在光纤中传输。这里，

i n n n 0122

2

=-a r c s i n

四、棱镜

1.棱镜：由两个或两个以上的不平行的折射平面围成的透明介质元件。三棱镜由两个折射棱面和一个底面构成。

三棱镜的主截面：垂直于两折射棱面的截面。 三棱镜的顶角（棱角）：两折射棱面的夹角。 三棱镜的偏向角：入射光线与出射光线的夹角θ. 2.最小偏向角θ0

按图可以证明：当i i 11='（即i i 22=')时，最小θ，记为θ0. ()() θ=-+'-'i i i i 1212

()

i i A i B i C 22

2290+'=+='+= ()()∴=+'-+'=-θ0112212i i i i i A i A i i A

10

2222

=+='=θ 故 n n A A =+0

22

s i n s i n θ 利用上式可以测量棱镜材料的折射率n .

3.利用棱镜改变光线传播方向（全反射棱镜）

4.利用棱镜分光（色散棱镜）

利用正常色散（即波长增大时，折射率减小）使复色光分为单色光。

§5.光在球面上的反射和折射

一、符号法则

顶点O ：讨论的部分球面的中心； 曲率中心C ：球面的球心； 主轴OC ：的连线；

主截面：过OC 的任一平面。 〖符号法则〗

1.光线与主轴的交点位置均从顶点算起，凡是在顶点的右方者，其间距离

为正；凡是在顶点的左方者，其间距离

为负。物、像点到主轴的距离，在主轴上方者为正，在主轴下方者为负。

2.光线方向的倾斜角度均从主轴（或球面法线）算起，并取小于的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度为正；若沿逆时针方向转，则该角度为负。

3.在图中出现的长度量和角度量只能用正值表示。 二、球面反射对光束单心性的破坏 在?PAC 和?'P AC 中应用正弦定律得：

()PC i AC u sin sin =

-()()

'-'=-'P C i AC

u sin sin AC OC r ==-，()()PC S r r s =---=-，()()P C r S S r '''=---=-

()∴

-=--r S i r u sin sin ，()()

S r i r

u 'sin 'sin --=

--'. 应用反射定律 ()sin 'sin -=i i 得：()()()()r S u S r u --=--sin 'sin ' 即： ()()

()'=+

---S r u u r S s i n s i n '

结论：单心光束经球面反射后，单心性受到破坏，变为像散光束。

三、理想成像的条件——近轴条件 要使P P P 12、、'基本重合为一点，即有明确的像点存在，必须满足条件：

s i n

tan ααα≈≈ 即：光线必须是近轴的，物点必须是近轴的。 故几何光学也称为一级近似光学或高斯光学。 四、球面反射的物像公式

近轴条件下 ()()()sin tan -≈-≈-u u AO S ()()s i n t a n -'≈-'≈'u u AO S

()()s i n s i n -'-='u u S S ()()

()()'=+---=+

'

-S r u u r S r S S

r S s i n s i n ' 整理可得：

112

'+=S S r

r 一定，()'='S S S 对应于一定的物点，有唯一的像点，此像点称为高斯(Gauss)

像点，上式称为高斯公式。

P P 、'是共轭点，PA P A 、'是共轭光线，S S 、'分别称为物距、像距。 当S =-∞时，'=S r 2，平行光

经球面反射后对应的像点称为反射球 面的（主）焦点F ，F 到O 的距离 称为焦距'f

'='=∞f S r S=-2 故高斯公式可写为

111'+='

S S f 以上讨论对凹球面、凸球面均成立。

五、球面反射成像作图法和横向放大率 1.几个概念

焦平面：经过焦点与主轴垂直的平面； 副 轴：经过曲率中心的任一直线；

横向放大率：像高'y 与物高y 之比 β≡'y y 2.作图法

以下光线中，视情况任取二条（e.只需一条）光线，即可作图求像。 a.平行于主轴的光线，经球面反射后，必然经过焦点； b.凡经过焦点的光线，经球面反射后，必然与主轴平行； c.经过曲率中心的光线，经球面反射后，按原方向返回；

d*. 经过顶点的光线，经球面反射后，反射光线与主轴的夹角等于入射光线与主轴的夹角；

e.平行于副轴的光线，经球面反射后，必然会聚于焦平面与该副轴的交点上。

据光路可逆定律，知像求物时，可将像视为物，对其求出像，所得像即为所求物。

3.横向放大率

由图可得，?PAO ∽?'P BO

即： -'=-'-='

y y S S S S 故： β='=-'y y S S 像的性质的判断：

β>'>1，y y 像是放大的，β<1，像是缩小的； β>'0，、y y 同符号，像是正立的，β<0，像是倒立的； 若S <0，则'S 0时是虚像。

六、球面折射对光束单心性的破坏 如图，PA l AP l ='='， ?PAP '=+''nl n l 由余弦定理得：

()()l r r S r r S =+---22

2cos ?()()'=+'--'-l r S r r S r 22

2cos ?A 点移动，r

是常数，?是位置

变量，由费马原理得，

d ?PAP d '

=?

0 即：

()()

n r S l n S r l --''-'

=0 故： ''+='''+?? ?

?

?n l n l r n S l nS l 1

()'='S S S ,?,单心光束经球面折射后，成为像散光束。 七、球面折射成像的物像公式

近轴条件下，cos ?≈1，l S l S =-'='，，上式成为：

''-='-n S n S n n r

此即球面折射成像的(普遍的)物像公式。

1.光焦度:Φ≡'-n n

r

称为球面折射系统的光焦度。

单位：屈光度(D )，111001D m ==-度

2.物空间和像空间：物和像均可在球面两侧空间内，物和像所在空间是完全重叠的，为区别起见，定义入射光线所在的空间为物空间，出射光线所在的空间为像空间。

3.焦点、焦距

平行于主轴的光线经球面折射后和主轴的交点称为像方（第二）焦点'F ，'F 到顶点O 的距离称为像方（第二）焦距'f

'='='='

'-∞f S n n n n r S=-Φ

若主轴上某一物点发出的光线经球面折射后成为行于主轴的光线，则该物点所在位置称为物方（第一）焦点F ，F 到O 的距离称为物方（第一）焦距f

f S n n

n n

r ==-=-'-'∞S =Φ

可见， '=-'f f n n

对于反射情况，数学处理上，可以认为'=-n n ，于是'=f f ，故此时焦点焦

距可不区分物方、像方，物像公式变为1121

'+=='S S r f ，可见球面反射情况可视

为球面折射情况的特例。

对于平均折射情况，r →∞=，，

Φ0''-=n S n S 0，'='

S n n

S ，可见平均折射

情况可视为球面折射情况的特例。 4.高斯公式和牛顿公式

将普遍的物像公式两边同除以Φ得：''-=n S n S

ΦΦ

1 即：

''+=f S f

S

1 (Gauss formula) 若物距、像距不是从顶点，

而是分别从物方、像方焦点算起，符号法则不变，如图所示，则 -=--'='+'S x f S f x ，

∴''+'++=f f x f

f x

1

整理即得：

xx ff '=' (Newton formula) 后面将看到，高斯、牛顿公式对其他光学系统也同样适用。

八、球面折射成像的作图法和横向放大率 1.作图法：在已知f f r 、、'（或通过n n r 、、'折算出f f r 、、'）时，前述反射成像作图法则基本适用。

对于主轴上的物点或任意入射光线，已知n n r 、、'时，不必算出f f 、'，也可直接作图求出其共轭的像点或共轭的光线。 2.横向放大率 近轴条件下

s i n

tan i i y S ≈≈- s i n tan '≈'≈-'

'i i y S

据折射定律得：n y S n y S -='-''

故： β='=''y y nS n S

将S f x S f x xx ff =+'='+''='、、代入上式可得：

β=-=-'

'

f x x f

§6 光在连续几个球面上的折射

1.共轴光具组

各个折射球面的曲率中心在一条直线上的光学系统。

2.逐个球面成像法----追迹法

对第一个球面来说是出射的折射光线，可视为第二个球面的入射光线；即将第一个球面所成的像，看成第二个球面的物，依次逐个地对各球面成像，最后可求出物体通过整个光学系统所成的像。

可以证明： ββββ=???123 3.虚物

入图所示，

对Ⅲ 'P 3是实像 对Ⅳ 'P 3是虚物

实物：发散的入射光束的顶点； 虚物：会聚的入射光束的顶点。

成像问题，重要的不是“光束的顶点是在物空间还是在像空间的问题”，重要的是光线方向，虚物并不意味着虚无渺茫。

§7 透镜 透镜：由两个共轴球面包围某种透明介质（如玻璃）而构成的光学元件。 凸透镜：中央厚边缘薄的透镜，一般是会聚透镜； 凹透镜：中央薄边缘厚的透镜，一般是发散透镜。 厚透镜：中央厚度与曲率半径相比不可忽略的透镜； 薄透镜：中央厚度与曲率半径相比可以忽略的透镜。 一、厚透镜的成像 如图所示，利用逐次成 像法可得：

n S n S n n r n S n S t n n r ''-=-'-''-=-???????11

1

222

联立两式即可求出给定物 的像。

二、薄透镜的成像 1.普遍的物像公式

注意薄透镜：''-≈''S t S ，可得：

n S n S n n r n n

r 211122

'-=-+-=Φ

上式即薄透镜的普遍的物像公式。 2.焦点和焦距

'='=∞f S n S=-2/Φ f S n ==-'∞S =1/Φ 会聚透镜'>f 0，发散透镜'

3.光心和副轴

薄透镜可以认为O O 、'重合在一起，记为O .若n n 12=则通过O 点的光线不变，此时称O 点为光心。

副轴：通过光心的任意直线。 4.高斯公式和牛顿公式

将焦距的表达式代入普遍的物像公式中，即得：

''+=f S f

S

1 (Guass formula) 若物距、像距分别从F F 、'算起，则上式变为： xx ff '=' (Newton formula)

5.关于光焦度和焦距的讨论：

a.由f f n n //'=-12知，若n n 12≠，则f f ≠';若n n 12=，则f f =',f f =-',此时成像公式变为：

111

'-='S S f xx f '=-'2

b.由Φ=-+

-n n r n n

r 1122

知，若n n 121==，则 ()Φ=--?? ?

?

?n r r 11112

此即透镜制造者方程。若n n n 120==，则 ()???

?

??--=Φ21011r r n n ，当n n >0时,凸透

镜11012r r ->?? ???：Φ>'>00，f ，是会聚的；凹透镜11012r r -

??：Φ<'<00，f 是发散的。而当n n <0时,凸透镜：Φ<'<00，f 是发散的；凹透镜：Φ>'>00，f ，是会聚的。

三、薄透镜成像的作图法和横向放大率

从图中可得： β=

'='=-=-

'

'

y y S S f x x f 四*、成像规律分析（见附录）

§8 理想光具组

一、基点和基面

1.理想光具组

能够理想成像的光具组（即单心光束经过光具组后仍然是单心光束的光具组）称为理想光具组。共轴光具组在理想成像条件（即近轴条件）下即为理想光具组。理想光具组可用等效光具组代替。

理想光具组中，物方的任一点（线、面）都与像方的任一点（线、面）共轭（这里“线”、“面”系指垂直于主轴的线、面）。本教程中只讨论理想光具组并简称为光具组。

基点和基面：焦点、主点、节点，焦平面、主平面。 2.焦点和焦平面

像方焦点'F ：平行于主轴的入射光线，经光具组后与主轴的交点。或：与物空间主轴上无限远处物共轭的像点。

像方焦平面：过'F 垂直于主轴的平面。

物方焦点F ：主轴上的一特定点，经此点的入射光线，经光具组后与主轴平行。或：与像空间主轴上无限远处像共轭的物点。 物方焦平面：过F 垂直于主轴的平面。 3.主点和主平面

薄透镜，S S ='==+001，，β，透镜平面是β=+1的一对共轭平面。 主平面：垂直于主轴β=+1的一对共轭平面。 主点：主平面与主轴的交点。

第一、第二主点（主平面）记为H H 、'。

第一主平面：若过F 的光线与像空间对应的平行于主轴的光线的交点记为M ，过M 向主轴作垂直主轴的平面MH ，则光具组对从F 处发出的光线产生的偏折，等效于MH 对同一光线所产生的偏折。

第二主平面：若平行于主轴的光线与像空间对应的过'F 的光线的交点记为'M ，过'M 向主轴作垂直主轴的平面''M H ，则光具组对平行于主轴的光线的光线产生的偏折，等效于''M H 对同一光线所产生的偏折。

结论的得出：光线PA 与''A F 共轭，存在一特殊的光线BF ，其共轭光线''B P 与PA 距主轴的距离相等。此时，M 、'M 是两对共轭光线的（PA 与''A F ，BF 与''B P ）的交点，故M 、'M 共轭（若M 为物，则'M 为像，反之亦然）。h 是任意的，h 改变，M 在MH 上移动，相应地，'M 在''M H 上移动，轨迹都是平面，此两平面即主平面。故光具组的两个主平面是共轭平面，面上任一对共轭点到主轴的距离相等（β=+1）。

物方焦距f ：物方焦点F 到第一主点H 的距离。 像方焦距'f ：像方焦点'F 到第二主点'H 的距离。 4.节点和角放大率：

节点：主轴上角放大率为1的一对共轭点K K 、'.

角放大率：υ≡'

u u

二、作图法和物像公式 1.作图法

2.物像公式 由图可得，

??NHF NMQ ∽:

()-'+-'=

--y y y f

S

…① ??''''''M H F M N Q ∽:

()y y y f S +-'=

'

'…② ??NHF QPF ∽:

-'=--y y f x …③ ??''''''M H F Q P F ∽:-'='

'

y y f x …④ 由?MHP ：()tan -=--u y x f …⑤ 由?'''M H P ：tan '='+'u y

x f …⑥

①+②：

''+=f S f

S

1 ③,④： xx ff '='

①/②： β='=-''=''=''y y fS f S nS n S n n S S ③,④： β='=-=-''y y f x x f 0 ⑤,⑥： υ='≈'=+'+'=='='u u u u x f x f f x x f tan tan 三、基点的性质

1.β=-=-'

'

f x x f

若x f =-，则由xx ff '='得，'=-'x f .即若物在物方主平面上，则像在像方主平面上，且β=1.由此得出结论：光具组的两个主平面是共轭平面，面上任一对共轭点到主轴的距离相等（β=+1）。

2.υ='='f x x f 节点υ=1， 故： x f x f =''=， 上式称为节点坐标（节平面方程）. 若n n ='，则'=-f f ，H 与

K 、'H 与'K 重合在一起。 四、简单光具组的基点 1.（反射和折射）单球面

第一主点H 、第二主点'H 即单球面的顶点O ，第一节点K 、第二节点'K 即单球面的曲率中心C . 2.薄透镜

第一主点H 、第二主点'H 即透镜中心O ，第一节点K 和第二节点'K 重合，且与O 相距f f +'.若n n ='，则f f +'=0，此时K 、'K 与O 重合，O 称为光心。

五、组合光具组的基点

由图可知，光具组的第二焦点为'F ，第二主点为'H 。图中光具组间距d f f ='+-12?，光学间隔?=-'+d f f 12，'H 2到'H 的距离'p 均遵循符号法则。

因为''F F 1、是光具组II 的共轭点，故 -'='?x f f 222，即'=-'x f f 2

22?

h h f f f f x '='-=

-'

'+'

1222? ()∴'=-''+'-=-''-'?

? ??

?

-==-''f f f x f f f f f f f f 12221222212????

'='+'-'='-'+''=='p f x f f f f f f f d

22

222122???

同理可得，光具组的第一焦点为F ，第一主点为H 。若H 1到H 的距离p 也遵循符号法则，则

f f f =

12

? p f d

=1?

六、厚透镜的基点

厚透镜可以看成是两个单球面 构成的组合光具组，如图所示。

ΦΦ112211=-=

-n r n

r 、 '=-=

--'

=--=-f nr n f r n f r n f nr n 111122221111

、、、 d t t f f n n n n

t r r ==-'+=---+??

?

??、?121211 ()()11111121212'=-''=--+-?? ??

?f f f n r r n t nr r ?

p f d =1?=-'=-'''=-'

'f n t f f t nf tf nf 11222??

'='=-=-=-

p f d f n t f f t nf tf

nf 221211

???

附录

光学系统成像的解析几何方法 田家金 王继国 王世恩

（蒙自师范高等专科学校物理系）

摘 要

本文给出了光学系统成像问题的解析几何方法，即用解析几何及解析图形来解决光学系统的成像问题。

【关键词】 光学系统 高斯公式 双曲线 １、引言

传统上，光学系统 (诸如反射、折射球面，透镜及其组合) 的成像问题，采用高斯(或牛顿)公式和横向放大率公式，或采用作图求像法来解决，以求出给定物的像的位置和大小、正倒、虚实等，但要得出不同区间的物的成像规律, 必须经过很多重复步骤的计算或作图才能得出结果，而且得出的结果是零散的,不易记忆[][][][][]12345。本文给出一般光学系统的解析几何方法，与光学专业的同行商榷。 ２．光学系统的解析几何表述 光学系统成像遵循高斯公式：

f s f

s

''+=1 (1)

将(1)式变形得： s f s

s f ''=

- 即 s f ff s f

'''

-=- (2)

令 x=s －f ，y=s'－f'，则(2)式变为:

y =ff x

'

(3)

(3)式的解析几何图形如图1 所示，为一双曲线。因此，由(2)式可知，高斯公式(1)也可由一双曲线表示(如图2 所示)。

在图2中, o'点的坐标为(2f,2f')， 直线s=f, s'=f'为双曲线的渐近线。 (1) s<0, 表示实物; s>0, 表示虚物。

(2)若s'>0, 则为实像; 若s'<0, 则为虚像。

(3)若图线处于第一和第三象内, 则s'与s 符号相同，注意 f 与f'符号相反,得 β=y'/y=…=－[(fs')/(f's)]>0, 即像是正立的; 若图线处于第二和第四象限内, 则s'与s 符号相反, β<0, 即像是倒立的。

(4)对会聚光学系统(f'>0), 在ao'段和od 段, |s|>|s'|, 像是缩小的; 在o'b 段和co 段，|s|<|s'|, 像是放大的。同样, 对发散光学系统(f'<0),在ao 和o'd 段, 像是缩小的, 而在ob 和co'段,像是放大的。

(5)若图2 绘在坐标纸上, 则对于给定的物点, 可从图中求出其共轭像点的位置,反之, 对于给定的像点，也可从图中求出其共轭物点的位置。

3.简单光学系统的解析几何法

上面的讨论是就一般光学系统即理想光具组进行的, 若光学系统是简单的, 则结论当然应成立。常见的简单光学系统, 如薄透镜, 折射单球面, 无论是会聚的还是发散的, 都分别遵循图2(a)或图2(b)给出的结果。例如, 从图2(a)中可以得出, 空气中会聚薄透镜(f=－f')的成像规律: (1).若物是二倍焦距以外的实物, 则像是倒立、缩小的实象, 对应于图线 ao'段; (2).若物是一倍焦距与二倍焦距间的实物, 则像是倒立、放大的实像, 对应于图线o'b 段;(3).若物是一倍焦距以内的实物, 则像是正立、放大的虚像, 对应于图线 co 段;(4).若物是虚物(s<0) , 则像是正立、缩小的实像, 对应于图线 od 段。

若光学系统是反射单球面即球面镜, 则此时成像公式为

11

s 1s f ''

+= (4)

若(1)式中f=－f'则(1)式变为

11

s 1s f ''

-= (5)

(5)式正是空气中薄透镜的成像公式。将(4)式与(5)式比较可知, 二式中“s”相差一“-”号, 因此, 将图2 绕坐标轴旋转180°，即可得球面镜成像的解析几何图形(如图3 所示)。

在图3 中, f=f'；f'>0，表示凸面镜，f'<0，表示凹面镜；o'点的坐标为(2f,2f')，直线s=f, s'=f'为双曲线的渐近线。类同第2 节所述, 用图3 即可解决球面镜的成像问题。但此时, (1)、(4)、(5) 条不变; 而(2)、(3)条要变为:

(2')若s'>0, 则为虚像;若s'<0, 则为实像。

(3')若图线处于第一和第三象内, 则s'与s符号相同，β=y'/y=－s'/s<0, 即像是倒立的; 若图线处于第二和第四象限内, 则s'与s符号相反, β>0, 即像正立的。

4.结论

由上述的讨论可见，用解析几何及解析几何图形得出的结果，与用公式法或作图法得出的结果是一致的, 但用解析几何及解析几何图形解决光学系统的成像问题, 方法简洁, 成像规律一目了然，容易记忆。

【参考文献】

[1]Г.С.Ландсберг，Оптика，I.§66.

[2]E.赫克特等《光学》高等教育出版社1983,216,220

[3]赵凯华等《光学》北京师范大学出版社1984,75

[4]姚启钧等《光学教程》高等教育出版社1992,201,213,215

[5]K.W.Ford，Classical and Modern Physics，Xerox Collega Pub.1974，vol.2,904,918