16.2020年高三一模数学分类汇编--圆锥曲线大题

过点 (0,b) 且斜率为1的直线与圆 O 交于点 (1, 2) ，与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为 8 . 5
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和圆 O 的方程；
（Ⅱ）过圆 O 上的动点 P 作两条互相垂直的直线 l1 ，l2 ，若直线 l1 的斜率为 k(k 0) 且 l1 与
椭圆 C 相切，试判断直线 l2 与椭圆 C 的位置关系，并说明理由.
M,N 。
（Ⅰ）求椭圆 G 的方程； （Ⅱ）求证： SBOM SBCN 为定值 。
（密云一模
20）11.已知椭圆 C
：x2 a2
y2 b2
1 (a b 0) 的离心率为
3 ，且过点 A (0,1) ． 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）点 P 是椭圆上异于短轴端点 A，B 的任意一点，过点 P 作 PQ y 轴于 Q ，线段 PQ
另一个交点为 P ，直线 AN 与椭圆 C 的另一个交点为 Q ，判断直线 PQ 与 x 轴的位
置关系，并证明你的结论．
（大兴一模
19）8.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的离心率为
1 2
，且经过点 (2,0) ，一条直
线 l 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O ．
十六、圆锥曲线大题
（海淀一模
20）1.已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的离心率为
3 2
，
A1(a,0)
，
A2 (a,0) ， B(0,b) ， A1BA2 的面积为 2.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 M 是椭圆 C 上一点，且不与顶点重合，若直线 A1B 与直线 A2M 交于点 P ，直线
A1M 与直线 A2B 交于点 Q．求证： BPQ 为等腰三角形．
（西城一模
20）2.设椭圆
E
:
x2 2
y2
1 ，直线 l1 经过点
M（m，0），直线
l2 经过点 N（n，0），直线 l1∥直线 l2 ，且直线 l1 、 l2 分别与椭圆 E 相交于
A，B 两点和 C，D 两点。
（Ⅰ）若 M，N 分别为椭圆 E 的左、右焦点，且直线 l1⊥x 轴，求四边形 ABCD 的面积；
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？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
2
（房山一模
19）7.已知椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1
(a
b
0) 过
A(2, 0) ， B(0,1) 两点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和离心率的大小；
（Ⅱ）设 M ， N 是 y 轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线 AM 与椭圆 C 的
2
圆 C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，过原点的直线（不与 x 轴垂直）与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 AM、 AN 与 x 轴分别交于点 E、F．问： y 轴上是否存在定点 G，使得∠OGE=∠OFG？若存在， 求点 G 的坐标；若不存在，说明理由．
的中点为 M ．直线 AM 与直线 y 1交于点 N ， D 为线段 BN 的中点，设 O 为坐
标原点，试判断以 OD 为直径的圆与点 M 的位置关系．
（延庆一模
20）12.已知椭圆 G :
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0)
的左焦点为 F(
2, 0) ，且经过点
C ( 2,1) ，A, B 分别是 G 的右顶点和上顶点，过原点 O 的直线 l 与 G 交于 P, Q 两点（点
Q 在第一象限），且与线段 AB 交于点 M . （Ⅰ）求椭圆 G 的标准方程； （Ⅱ）若 PQ 3 ，求直线 l 的方程；
（Ⅲ）若 BOP 的面积是 ΔBMQ 的面积的 4 倍，求直线 l 的方程.
（通州一模
19）13.已知椭圆 C：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
2
，点 A(0，1)在椭
斜率．
（丰台一模
20）6.已知椭圆 C：ay22
x2 b2
1(a b
0) 的离心率为
2 ，点 P(1,0) 在椭圆 C 上， 2
直线 y y0 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（ Ⅱ ） 直 线 PA ， PB 分 别 交 y 轴 于 M ,N 两 点 ， 问 ： x 轴 上 是 否 存 在 点 Q ， 使 得
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）求证： 1 1 为定值． | OP |2 | OQ |2
（平谷一模
20）9.已知椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
t
0)的两个焦点是 F1, F2 ,
M(
2,1) 在椭
圆 C 上,且 | MF1 | | MF2 | 4, O 为坐标原点,直线 l 与直线 OM 平行,且与椭圆交于 A,B 两点.
（Ⅱ）若直线 l1 的斜率存在且不为 0，四边形 ABCD 为平行四边形，求证:m+n=0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形 ABCD 能否为矩形，说明理由。
（东城一模
19）3.已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
，它的上，下顶点分别为
A， B ，左，
右焦点分别为 F1 ， F2 ，若四边形 AF1BF2 为正方形，且面积为 2 .
连接 MA、MB 与 x 轴交于点 D，E.
(I)求椭圆 C 的标准方程;
(II)求证: | OD OE | 为定值.
（门头沟一模
19）10.已知椭圆 G :
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) ，上顶点为 B(0,1)，离心率为
2 2，
直线 l : y kx 2 交 y 轴于C 点，交椭圆于 P ,Q 两点,直线 BP ,BQ 分别交 x 轴于点
（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程；
（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线 l1, l2 ，与椭圆 E 分别交于点 C, D, M , N ，且四
边形 CDMN 是菱形，求出该菱形周长的最大值.
（朝阳一模
19）4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) ，圆 O : x2
y2
r2（O
为坐标原点）.
（石景山一模 19）5.已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0)
的右焦点为 F (1, 0) ，离心率为
2
.
2
直线 l 过点 F 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A, B ，线段 AB 的中点为 M .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （Ⅲ）延长线段 OM 与椭圆 C 交于点 P ，若四边形 OAPB 为平行四边形，求此时直线 l 的