浙江省杭州市2020-2021学年高一上册期末数学综合模拟卷及答案
浙江省2020~2021学年高一上册期末综合模拟
数学学科试卷
（总分：150分）
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合{}4,3,2,1=A ，{}
A x x y y
B ∈-==,23，则B A =（ ） A. {1} B. {4} C. {1，3} D. {1，4} 2、设∈b a ,R ，则“()02<-a b a ”是“b a <”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3、设函数???>≤-=0
,log 0
,14)(2x x x x f x ，则))1((f f 等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4、若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则2a ＋5
b
的最小值为（ ）
A. 2
B. 2 2
C. 10
2
D. 2
5、已知函数f (x )＝x －2，若f (2a 2－5a ＋4) A. ??? ??∞-21,∪(2,＋∞) B. [2,6) C. ??? ??21,0∪[2,6) D. (0,6) 6、为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3cos 2=的图像（ ） A. 向左平移12π个单位长度得到 B. 向右平移12π个单位长度得到 C. 向左平移4π个单位长度得到 D. 向右平移4π个单位长度得到 7、函数() 610lg 2++=x x y 的零点是αtan 1=x 和βtan 2=x ，则()βα+tan =（ ） A. 35 B. 25 C. 25- D. 3 5 - 8、若关于x 的不等式2 3x a x >--至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4133< <-a B. 413413<<-a C. 33<<-a D. 34 13 <<-a 二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的0分） 9、下列四个命题：其中不正确的命题是（ ） A. 函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递增，则f (x )在R 上是增函数 B. 若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a <0且a >0 C. 当a >b >c 时，则有bc >ac 成立 D. y ＝1＋x 和y ＝(1＋x )2不表示同一个函数 10、已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图像可能是（ ） 11、如图，一半径为3的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系()2sin ++=?ωx A y ，则有（ ） A. πω215 = B. A =3 C. 15 2π ω= D. A =5 12、已知函数?????>≤--=0 ,log 0,2)(22x x x x x x f ，若x 1 C ．1 D ．0 三、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 13、已知()32 tan -=-απ，则()()()α απαπαsin 9cos sin 3cos +-++-的值为 . 14、若函数22 1)(x x x f +=与x a bx ax x g ++=2)(（∈b a ,R ）的图像有交点，则222b a +的最小值为 . 15、已知a>0，b>0，若)(log log log 964b a b a +==，则 a b = . 16、设常数a ∈R ，则方程|x ＋a |·e x ＝1的解的个数组成的集合是A ＝ . 17、已知函数)sin()(?ω+=x x f ?? ? ? ?≤ >2,0π?ω，4 π-=x 为f (x )的零点，4 π =x 为y = f (x )图像的对称轴； 且f (x )在?? ? ??36 518π π， 上单调，则ω的所有可能取值组成的集合为 . 四、简答题（本大题共6个小题，共65分） 18、（10分）已知函数1cos 2)(2-=x x f ，∈x R . （1）求?? ? ??6πf 的值； （2）求函数f (x ) 的最小正周期； （3）设x x f x g 2cos 34)(+??? ??-=π，求g (x ) 在?? ????20π，上的值域 . C D 19、（10分）某厂每年生产某种产品x 万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本 为20万元，浮动成本k (x )＝? ??? ? x 2＋20x ，0 x －200，x >25，若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡． （1）设年利润为f (x )（万元），试求f (x )与x 的关系式； （2）年产量x 为多少万件时，该厂所获利润f (x )最大？并求出最大利润． 20、（10分）已知函数 . （1）当a=1时，判断函数h (x )在()∞+，1上的单调性及零点个数； （2）若关于x 的方程)(log )(2x g x f =有两个不相等实数根，求实数a 的取值范围 . 21、（11分）已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． （1）求函数f (x )的最小正周期及在区间??? ?0，π 2上的最大值和最小值； （2）若f (x 0)＝6 5，x 0∈????π4，π2，求cos 2x 0的值． 22、（12分）定义在[－4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－4,0]时，f(x)＝1 4x＋ a 3x(a∈R)． （1）求f (x)在[0,4]上的解析式； （2）当x∈[－2，－1]时，不等式f (x)≤m 2x－1 3x－1恒成立，求实数m的取值范围． 23、（12分）如图，在半径为3，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y. （1）按下列要求写出函数的关系式： ①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式； ②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值. 浙江省2020~2021学年高一上册期末综合模拟 数学学科参考答案 二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的 三、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 13、51- 14、3 4 15、 2 1 5+ 16、{1，2，3} 17、{1，5，9} 四、简答题（本大题共5个小题，共65分） 18、解：（1）函数 （2）函数的最小正周期为π （3） 故g (x ) 的值域为[-2，2] 19、(1)由题意f (x )＝40x －k (x )－20＝???? ? －x 2＋20x －20，0 x ＋180，x >25， 即f (x )＝???? ? －x 2＋20x －20，0 x ＋180，x >25. (2)当0 当x >25时，f (x )＝－????x ＋1 600x ＋180在(25,40]上单调递增，在[40，＋∞)上单调递减， x ＝40时，f (x )max ＝100， 综上，产量x ＝40(万件)时，该厂所获利润f (x )最大为100万元． 20、 21、(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间????0，π 2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝6 5 ，x 0∈????π4，π2，求cos 2x 0的值． 解 (1)f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ? ???2x ＋π6， 所以T ＝π， 又x ∈????0，π2，所以2x ＋π6∈??? ?π6，7π6， 由函数图象知f (x )∈[－1,2]，即最大值为2，最小值为－1. (2)由题意sin ????2x 0＋π6＝35， 而x 0∈????π4，π2，所以2x 0＋π6∈??? ?2π3，7π6， 所以cos ????2x 0＋π6＝－1－sin 2????2x 0＋π6＝－45 ， 所以cos 2x 0＝cos ????????2x 0＋π6－π6＝－45×32＋35×12＝3－4310 . 22、(1)因为f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数， x ∈[－4,0]时，f (x )＝14x ＋a 3 x ， 所以f (0)＝140＋a 3 0＝0，解得a ＝－1， 所以x ∈[－4,0]时，f (x )＝14x －1 3 x ， 当x ∈[0,4]时，－x ∈[－4,0]， 所以f (－x )＝14－x －1 3 －x ＝4x －3x ， 又f (－x )＝－f (x )， 所以－f (x )＝4x －3x ，f (x )＝3x －4x ， 即f (x )在[0,4]上的解析式为f (x )＝3x －4x . (2)由(1)知，x ∈[－2，－1]时，f (x )＝14x －1 3 x ， 所以f (x )≤m 2x －13x －1可化为14x －13x ≤m 2x －1 3 x －1， 整理得m ≥12x ＋2x ＋ 13 x ＝????12x ＋2·????23x ， 令g (x )＝????12x ＋2·????23x ，根据指数函数单调性可得，y ＝????12x 与y ＝??? ?23x 都是减函数， 所以g (x )也是减函数， 因为当x ∈[－2，－1]时，不等式f (x )≤m 2x －1 3 x －1恒成立， 等价于m ≥g (x )在x ∈[－2，－1]上恒成立， 所以，只需m ≥g (x )max ＝g (－2)＝4＋2×94＝17 2 . 即实数m 的取值范围是??? ?17 2，＋∞. 23、(1)∈因为QM ＝PN ＝x ，所以MN ＝ON －OM ＝3－x 2－x 3 ， 所以y ＝MN ·PN ＝x ·3－x 2－3 3x 2? ???0 所以MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ， 所以y ＝MN ·PN ＝3sin θcos θ－3sin 2θ? ???0<θ<π3. (2)由∈得，y ＝3sin ? ???2θ＋π6－32， 当θ＝π6时，y 取得最大值为32 .