毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文
有理数域上的多项式因式分解
有理数域上的多项式因式分解
三次多项式的因式分解：分解先提公共的因式，再像二次那样因式分解。
因式分解的
步骤：1、提取公因式这个是最基本的2、完全平方3、平方差公式4、十字相乘因式分解的步骤：
1、抽取公因式
这个是最基本的，就是有公因式就提出来（相同取出来剩下的相加或相减）。
2、全然平方
看到式字内有两个数平方就要注意下了，找找有没有两数积的两倍，有的话就按照公
式进行。
3、平方差公式
这个要熟记，因为在配完全平方时有可能会拆添项，如果前面是完全平方，后面又减
一个数的话，就可以用平方差公式再进行分解。
4、十字相加
首先观察，有二次项，一次项和常数项，可以采用十字相乘法，（十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数）。
浅谈多项式的因式分解技巧
浅谈多项式的因式分解技巧摘要：在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题。
分解因式与整式乘法为相反变形。
是整式的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积。
这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的。
关键词：因式分解转化方法因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为以后学习分式运算、解方程和方程组以及代数式和三角函数的恒等变形提供必要的基础，所以因式分解是中学代数教学的一个重要内容，它是初中代数的基础。
在教学中对这部分内容应给予足够的重视。
下面我将谈一谈因式分解的几种比较常见方法的应用技巧：一、提公因式法。
这是因式分解的最基本也是最常用的方法，它的理论依据就是乘法的分配律，在这个过程中，要严防在提取公因式以后漏项的错误。
二、运用公式法。
运用公式法的关键是熟悉各公式的形式和特点，对于初学者来说，如何根据要分解的多项式的形式和特点，来选择应该运用什么公式，往往很不容易掌握，这也是运用公式法的难点，教学时应注意分析实例，指明思路，交代方法，以便克服难点。
1.能运用平方差公式因式分解的多项式特点：（1）项数为两项。
（2）每项都可以写成完全平方的形式。
（3）两项之间的运算是求差，即具备a2-b2形式。
2.能运用完全平方公式因式分解的多项式的特点：（1）项数为3项。
（2）其中两项之间可以写成两数的平方和的形式。
（3）第三项恰好是这两数积的2倍，即具备a2±2ab＋b2的形式，具体运用哪一个公式，明确公式的实质是关键。
三、分组分解法。
运用分组分解法的关键是熟悉以上两种分解方法的基础上对多项式进行正确的分组，然后再利用提公因式法或公式法分解。
因式分解的过程可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。
多项式的根的分布问题-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要考虑多项式的正根、负根的个数问题，通过介绍多项式的相关定理及符号原则，并举出实例，总结整理多项式的根的分布问题，把多项式的根的分布问题进行细致归纳．关键字：多项式；存在性；二分法；根ABSTRACTThis paper mainly considers the number of positive and negative roots of polynomials．By introducing the relatrd theorems and sign principles of polynomials，and gives examples．Summarizes and sorts out the root distribution of polynomials，and sums up the root distribution of polynomials in detail．Keywords：polynomial；exist；dichotomy；root目录摘要 (I)ABSTRACT............................................................................................................. I I 第1章绪论 (1)第2章多项式根的存在性 (2)2．1相关定理介绍 (2)2．2例题总结 (2)第3章多项式的根的确定性 (4)3．1奇次多项式的根的确定性 (4)3．2偶次多项式的根的确定性 (4)第4章笛卡尔符号原则 (8)4．1多项式的正根 (9)4．2多项式的负根 (9)第5章总结 (11)参考文献 (12)致谢 (13)第1章绪论在数论、代数的组成和数值代数等多个学科里面，都会将多项式作为它们知识网络的基础之一．多项式作为一个可以孤立的体系，也可以与其他的学科体系相联系，并与它们形成一个复杂而又明了的知识网络．在理论和实际应用方面，多项式有着多种多样的内容和作用，一般情况下，它在实际应用研究方面通常会对于某类特定情形下的多项式在一些概括的概念或特定的问题中帮助其求出答案；而在理论方面，就显得有较强的针对性，究其原因，还是取决于多项式它的封闭性、齐次性、可分解性、可约性等其它推导的各种性质．另外，在一些线性或非线性微分方程、常系数微分方程乃至其它微分动力系统中，我们可以利用多项式已知的各种性质来求得问题的近似解或者说是解的取值范围，得到它们特定式子根的实部情况，使所联系的系统达到稳定即可，而不用一定要得出所列多项式的精确解和它们的一切根．本文首先介绍多项式的相关理论基础（罗尔定理和零点定理），然后根据相关定理得到多项式的根的存在性以及根的确定性，其次介绍由笛卡尔符号原则得到多项式的正根、负根的个数的方法，并举出实例，解决多项式的正根、负根的个数的问题．通过总结整理多项式的根的分布问题，可以帮助我们快速准确的选解决多项式的根的问题，从而进一步加深我们对多项式的根的分布的掌握，把多项式的根的分布问题进行细致归纳．第2章多项式根的存在性2.1相关定理介绍罗尔定理和零点定理是高等数学微积分理论中的两个重要定理．在实际问题里，罗尔定理讨论多项式根中的应用非常多，主要取决于多项式的连续求导、次数随求导次数依次降级的性质．零点定理反映了闭区间上连续函数的一个性质，在有关方程根的存在性方面有着重要的应用．罗尔定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(a)=f(b)，那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得f′(ξ)=0．[1]运用点一：如果想要讨论一个函数它的导数根是否存在，或当根存在时其取值范围和具体有哪几个，那么这个函数在定义域内是连续可导的，由罗尔定理不难看出，其导数方程至少有一个根会存在于多项式方程两个根之间．运用点二：若是将罗尔定理反过来看的话，我们可以发现：如果多项式方程f(x)=0没有解出来根，则方程f(x)=0最多有一个根．可以根据已知函数方程的根来求其它函数方程的跟，然后再根据零点定理，就可以得到“如果方程f′(x)=0没有根，则方程f(x)=0只有一个根．”这样的结论．零点定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)∙f(b)<0），则在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ζ(a<ζ<b)，使f(ζ)=0．[2]应用根据所给方程作辅助函数，再寻找闭区间，是辅助函数在该区间端点处的函数值异号．2.2例题总结例2.1 设函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)，讨论方程f′(x)=0有几个实根，并分别指出他们所在的区间．分析：令f(x)=0，则 x=1、2、3、4，可得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0，再利用罗尔定理，即可得出结论．解：函数f(x)在（−∞,+∞）内处处可导，并且满足f(1)=f(2)=f(3)= f(4)=0，f(x)在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上分别满足罗尔定理的三个条件因此至少存在一点ξ1∈(1,2)，ξ2∈(2,3)，ξ3∈(3,4)使得f′(ξ1)=f′(ξ2)=f′(ξ3)=0即ξ1，ξ2，ξ3是f′(x)=0的三个实根，又因为f′(x)=0是三次方程，至多有三个实根，故f′(x)=0只有三个实根，分别在区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内．例2.2 证明方程6x7+2x+a=0至多有一个根，其中a为任意常数．分析：用反证法，假设方程有两个不同的实根，再由罗尔定理可知其导数方程至少有一个根，从而产生矛盾，即可得出结论．证明：方程6x7+2x+a=0的导数方程42x6+2=0没有根假设方程6x7+2x+a=0有两个根，由罗尔定理可知其导数方程42x6+2=0至少有一个根．产生矛盾．所以方程6x7+2x+a=0有一个根．例2.3 证明方程2x3−5x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根．分析：在解决此类问题时，要牢记方程的根=函数的零点．通过区间端点值的正负来判断是否存在零点，即方程的根．证明：函数f(x)=2x3−5x2+1在闭区间[0,1]上连续又f(0)=1>0，f(1)=−2<0根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ζ，使得f(ζ)=0即2ζ3−5ζ2+1=0(0<ζ<1)因此方程2x3−5x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个根．第3章多项式的根的确定性3.1奇次多项式的根的确定性例3.1 奇次多项式必至少有一个实根．证明：设f(x)=a n x n+a n−1x n−1+⋯+a1x+a0(其中n为奇数)明显有f(x)为连续函数，当a n<0时有：lim(x→−∞)，f(x)=−∞lim(x→+∞)，f(x)=+∞由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个零点即f(x)至少有一个实数根．当a n<0时有：lim(x→−∞)，f(x)=+∞lim(x→+∞)，f(x)=−∞由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个零点即f(x)至少有一个实数根．综上所述：奇次多项式必至少有一个实根．3.2偶次多项式的根的确定性定理3.1 任何实系数四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0如果满足下列两个条件之一：（1）a>0，e>0，c−14a b2−14ed2>0；（2）a<0，e<0，c−14a b2−14ed2<0；则方程无实根．[3]定理3.2 任意实系数六次方程a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=0如果满足下列两个条件之一：（1）a6>0，a0>0，a4−14a6a52>0，a2−14(a4−14a6a5)a32−14a0a12>0；（2）a6>0，a0>0，a4−14a6a52>0，a2−1a4−14a6a52a32−14a0a12>0；则方程无实根．[3]定理3.3 任意实系数2 n次（n≥3为正整数）方程a2n x2n+a2n−1x2n−2+⋯+a1x+a0=0如果满足下列两个条件之一：（1）a2n>0，a0>0，a′2n−2=a2n−2−14a2n a2n−12>0，a′2n−4=a2n−4−14a′2n−2a2n−32>0，a′2n−6=a2n−6−14a′2n−4a2n−52>0，……，a′4=a4−14a′6a52>0 ，a′2=a2−14a′4a32−1(4a0)a12>0 ；（2）a2n<0，a0<0，a′2n−2<0，a′2n−4<0，a′2n−6<0，……，a′4<0，a′2<0，则方程无实根．[3]除定理3.1，定理3.2，定理3.3所述的情况方程无实根外，其他情况均有实根．当多项式的根的精确解得不到时，则用二分法得到近似解并估计误差．在数学分析中，若函数f在区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)∙f(b)<0），则至少存在一点x∗∈(a,b)，使得f(x∗)=0，即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根，这就是根的存在定理．二分法求方程的近似实根基于根的存在定理的第一个方法称作二分法(或逐次分半法)．假设f是定义在区间[a,b]上的连续函数，且f(a)与f(b)反号．根据根的存在定理，在(a,b)内至少存在一个数x∗使得f(x∗)=0．为了简单起见设在这个区间内的根是唯一的．这种方法要求将[a,b]的子区间反复减半，在每一步找出含有x∗的那一半，直到区间长度不大于预设进度ε．二分法求方程根的步骤：第一步：输入有根区间端点a，b和计算精度ε；第二步：取区间[a,b]的中点x0；第三步：计算函数值f(a)，f(x0)，若f(x0)=0，则x0就为所求实根，输出x0结束算法，否则转第四步；第四步：若f(a)∙f(x0)<0，记a=a，b=x0；否则记a=x0，b=b，转第五步；第五步：若|b−a|≤ε，则输出x0=a+b，结束算法，否则转第二步．2二分法求方程根的MATLAB程序：function x=agui_bisect(fname,a,b, );fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);if fa*fb>0 error(‘两端函数值为同号’)；endk=0;x0=(a+b)/2;while |b−a|≤εfx=feval(fname,x);if fa*fx<0;b=x;fb=fx;elsea=x;fa=fx;endk=k+1;x=(a+b)/2end例3.2 利用计算器，求方程lgx=3−x的一个近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数y=lgx和y=3−x的图像，在两个函数图像的交点处，函数值相等．这个点的横坐标就是方程lgx=3−x的解．有函数y=lgx与y= 3−x的图像可发现，方程lgx=3−x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．解：图1设f(x)=lgx+x−3，利用计算器计算得f(2)<0，f(3)>0⇒x1∈(2,3)；f(2.5)<0，f(3)>0⇒x1∈(2.5,3)；f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.75)；f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5,2.625)；f(2.5626)<0，f(2.625)>0⇒x1∈(2.5626,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为x1≈2.6．第4章笛卡尔符号原则设实系数多项式函数f(x)=a0x n+a1x n−1+⋯+a i x n−i+⋯+a n(a0≠0) (1)定理4.1 n次多项式f(x)至多有n个不同的根．[5]定理4.2（笛卡尔符号原则）对于多项式函数f(x)，它的正实根个数等于f(x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的，数；f(x)的负实根个数等于f(−x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数．[6]定理4.3 设f(x)为实系数多项式，D(f)为f(x)的根的判别式，则当D(f)=0时，方程f(x)=0有重根；当D(f)<0时，方程f(x)=0无重根，且有奇数对虚根；当D(f)>0时，方程f(x)=0无重根，且有偶数对虚根．[6]对（1）式中的f(x)，D(f)定义为:D(f)=(−1)n(n−1)2a0−1R(f,f′)，其中f′为f(x)的导函数，R(f,f′)称为f和f′的结式,是由f(x)的各项系数确定的一个2n−1阶方阵R的行列式．如果当k>0或k<0时记a k=0，则R的第i行第j列的元素为r ij={a j−i, 当 1≤i≤n−1,(i−j+1)a j+n−i−1,当 n≤i≤2n−1.定理4.4(根的上下界定理) 设(1)式中a0>0，（1）若存在正实数M，当用x−M去对f(x)作综合除法时第三行数字仅出现正数或0，那么M就是f(x)的根的一个上界；（2）若存在不大于0的实数m，当用x−m去对f(x)作综合除法时第三行数字交替地出现正数（或0）和负数（或0）时，那么m就是f(x)的根的一个下界．定理4.5（判断根上下界的牛顿法）设有实数k，使f(k)，f′(k)，⋯，f m(k)，⋯，f n(k)均为非负数，或均为非正数，则方程f(x)=0的实根都小于k，这里f m(k)表示f(x)的m阶导数．[6]4.1多项式的正根想要求一个多项式的根，并且是正根，那么该怎样求呢？（1）通过定理4.1先求有多少个解；（2）通过定理4.2知道其中有几个可能是对的正实数根；（3）通过定理4.3计算该多项式的判别式，判别它有没有重根；若无重根，则根据定理4.3，当判别式大于零时，方程的根的个数与n相差4的倍数；反之，方程的根的个数与n−2相差4的倍数．（4）若判别式等于零，用辗转相除法求出f(x)和f′(x)的最大公因式(f(x),f′(x))，该公因式的根即为f(x)的重根，用带余除法将多项式将次．（5）利用定理4.4、定理4.5或用改写方程的方法找出多项式的根的上下界．例4.1 求多项式函数f(x)=x5−5x4+14x3−34x2+48x−24的实数根．分析：根据寻找多项式函数正根的方法及步骤，分步计算，即可求得该多项式函数的实根．解：由定理4.1知f(x)至多有5个实根；由定理4.2知f(x)有5个或3个或1个正根；计算D(f)，算出R(f,f′)≈4×10−8，因其绝对值远小于1，用矩阵的初等变换求出(f(x),f′(x))=x−2，知2为多项式的一个重根．用(x−2)2除原多项式，将多项式将次，得g(x)=x3−x2+6x−6；=x2+6．显然x2+6计算g(1)=0，知1为多项式的一个根，计算g(x)x−1无实根，故原多项式的实根为1和二重根2．4.2多项式的负根想要求一个多项式的根，并且是负根，那么该怎样求呢？（1）通过定理4.1先求有多少个解；（2）通过定理4.2知道其中有几个可能是对的负实数根；（3）通过定理4.3计算该多项式的判别式，判别它有没有重根；若无重根，则根据定理4.3，当判别式大于零时，方程的根的个数与n相差4的倍数；反之，方程的根的个数与n−2相差4的倍数．（4）若判别式等于零，用辗转相除法求出f(x)和f′(x)的最大公因式(f(x),f′(x))，该公因式的根即为f(x)的重根，用带余除法将多项式将次．（5）利用定理4.4、定理4.5或用改写方程的方法找出多项式的根的上下界．例4.2 求多项式函数f(x)=3x5−2x4−15x3+10x2+12x−8的实数根．分析：根据寻找多项式函数负根的方法及步骤，分步计算，即可求得该多项式函数的实根．解：由定理4.1知f(x)至多有5个实数根；由定理4.2知f(x)有3个或1个正根，有2个或0个负根；计算D(f)，算出R(f,f′)≈4×10−8，从而知D(f)>0，方程有1个或5个实根；因为f(x)=x3(3x2−2x−15)+(10x2+12x−8)，所以(1+√46)是f(x)的一个上界．3又因为f(x)=3x(x4−5x2+4)−2(x4−5x2+4)，所以-2是f(x)的一个下界；又f(x)=(3x−2)(x4−5x2+4)=(3x−2)(x2−1)(x2−4)即得到f(x)的所有实根有2、1、-1、2、-2．3图2第5章总结本文通过相关资料的收集与整理，对多项式的根的分布问题的相关理论和方法的介绍以及这些理论和方法在例题中的应用进行阐述．对于多项式的根的分布问题，先根据罗尔定理及零点定理判断根是否存在，并讨论根的确定性，当精确解得不到时，则用二分法得到多项式的近似解并估计误差，最后由笛卡尔原则得到多项式根的个数（多项式正实根个数等于f(x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数；多项式负实根个数等于f(−x)的非零系数的符号变化个数，或者等于比该变化个数小一个偶数的数．），由此解决多项式的根的分布问题．具体在求多项式函数实根的问题中，应根据题意选择具体简洁的步骤求解．学习数学的时候，数学思维是非常重要的，不断地学习数学理论和讨论数学实际问题，不但能锻炼思维能力，还能培养我们学习数学的兴趣．知识会越用越活，我们的大脑也越用越聪明．参考文献[1]李娟，关晓红．罗尔定理在讨论多项式方程的根中的应用[J]．牡丹江教育学院学报，2010(04)．114-114[2]闫广霞．零点定理的推广及其应用[J]．河北工业大学成人教育学院学报．2002年6月．17（2）1-2[3]杨宗培．实系数一元偶次代数方程无实根的判别法则[J]．南昌大学学报（工科版）．1982（1）：56-61[4]鲍克元．基于MATLAB中随机函数的求方程实根的方法探析[J]．数学之友．2016(24):3-3[5]张禾瑞，郝鈵新．高等代数[M]．第4版．北京：高等教育出版社，1999[6]黄永，康道坤．求多项式函数实数根的方法[J]．邵通学院学报．2007年．29（5）：8-11[7]周伯壎．高等代数[M]．第4版．北京：人民教育出版社，1966致谢随着本课题的完成，我心中不免涌出诸多情感，对我的指导老师xxx老师的感激之情也不禁踊跃到字里行间．自从成为老师的学生，我始终认为，王老师将是我终生学习的榜样．恩师不仅治学严谨，兢兢业业，教书育人方面更是极具耐心，言传身教、诲人不倦，而且做学问方面也是态度认真、思维敏捷，实乃我等榜样．论文上诸多信息和知识，都是老师平日里直接或间接所讲的内容，可以说，没有恩师孜孜不倦的教导，这篇论文我可能写不出来一半．感谢恩师在这次论文中，从选题，结构设计，编排样式等诸多方面给予的指导和帮助，这给了我有力的理论支撑和信息来源，才使得我的拙作更趋于完善．另外，感谢所有在我完成毕业论过程中帮助我所有朋友和同学们．。
浅谈多项式分解的几种方法
浅谈多项式分解的几种方法摘要：多项式分解是数学中的一个重要概念，在数学、物理等各个领域应用广泛。
本文介绍了多项式分解的几种方法，包括因数分解、Sturm序列法、埃尔米特矩阵法、辗转相除法等。
同时，本文还对这些方法的优缺点进行了分析比较，以便于读者选择合适的方法来解决实际问题。
关键词：多项式分解，因数分解，Sturm序列法，埃尔米特矩阵法，辗转相除法正文：多项式是数学中重要的工具，在各个领域应用广泛。
多项式的分解也是数学中一个重要的问题，它可以使我们更加深入地理解多项式的性质和结构，同时也便于解决实际问题。
在这篇文章中，我们将介绍多项式分解的几种方法，包括因数分解、Sturm序列法、埃尔米特矩阵法、辗转相除法等。
1. 因数分解法因数分解法是最常见的多项式分解方法之一。
它的基本思想是将多项式分解为两个或多个因式的乘积形式。
对于一个二次多项式，我们只需要使用一般的求根公式就可以得到它的两个因式。
对于高阶多项式，因数分解的难度就会增加几倍，甚至更多。
2. Sturm序列法Sturm序列法是一种有效的多项式分解方法，它的主要思想是基于多项式的符号变化个数来进行分解。
我们首先计算出多项式f(x)和它的导数f'(x)的Sturm序列，然后通过计算两个序列之间符号变化的个数来确定多项式的根的个数。
这个方法的优点是它可以在一个区间内求出多项式的所有实根。
3. 埃尔米特矩阵法埃尔米特矩阵法是一种通过对多项式进行矩阵变换来进行分解的方法。
它的主要思想是将多项式看成矩阵，然后通过矩阵的特征值和特征向量来进行分解。
这个方法的优点是它可以求出多项式的所有实根和复根，并且对于重复根也有良好的处理能力。
4. 辗转相除法辗转相除法也是一种常见的多项式分解方法。
它的基本思想是将一个多项式f(x)除以一个因式x-a，我们得到余数r(x)。
然后我们将f(x)和x-a进行继续相除，直到余数为0为止。
这个方法的优点是它简单易懂，但对于高阶多项式，需要进行多次相除才能得到所有的因子。
初等数学研究学年论文
浅谈因式分解的解题方法和技巧刘永青系别：数学系专业：数学与应用数学班级：1501班学号：***********摘 要 因式分解在初中数学中占据着重要的地位，它是我们解决一元二次方程和高次方程必不可少的方法，对于分式的运算也影响甚大。
本文主要是讲述因式分解的解题方法和技巧。
通过由浅入深，循循渐进地介绍提公因式法、分组分解法、十字相乘法等解题方法。
理论结合例题，使这些方法更加易于理解。
关键词 多项式；因式分解；例题；方法1 引言众所周知，因式分解是中学数学里最重要的恒等变形之一。
在初等数学中，因式分解被广泛应用。
它是我们在解题中不可缺少的有力工具。
然而，在因式分解的学习过程中有太多的坎坷。
这是由因式分解方法灵活、技巧性强的特点所决定的。
这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，对于以后学习的其他代数内容（如：分式）也是不可缺少的前提条件。
这些方法和技巧对提高解题技能和思维能力，都有着十分独特的作用。
那么在因式分解的常规解题中有哪些方法和技巧呢？我们又该侧重于哪些解题方法？在什么情况下应该用什么方法？现在，就请和我一起在本文中寻找这些问题的答案吧。
2 因式分解的概念、解题方法和技巧首先我们要了解什么叫因式分解。
教材中是这样定义的：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
2.1 提公因式法如果多项式各项都有公因式，那么我们可以把每项的公共部分提取出来。
这种把公因式提出来再进行因式分解的方法就是提公因式法。
注意提取之后的式子若能分解要继续分解，直到不能再继续分解。
现在通过一个例子来看看这种简单的方法是怎样使用的。
例1.分解因式：321688x x x +-分析：一眼看过去很显然这个多项式每项都有8x ，这就是我们讲的多项式中的公因式。
先将其从每一项拿出来，会发现剩下的221x x +-仍然可以分解，那么就要将221x x +-继续分解。
28(21)8(1)(21)x x x x x x =+-=+-解：原式 小结：当你发现一个多项式的每一项都有公因式，这时就可以考虑提公因式法。
数学综合算式多项式的因式分解
数学综合算式多项式的因式分解数学中，多项式是由常数和变量以及它们的各种乘积和幂运算组成的表达式。
多项式可以用于解决各种数学问题，其中一个重要的应用就是因式分解。
因式分解是将一个多项式表达式分解为多个因式的乘积的过程。
在本文中，我们将讨论多项式的因式分解方法以及一些常见的因式分解技巧。
1. 一元二次多项式的因式分解一元二次多项式是由一个变量的二次幂以及变量的一次幂和常数项组成的多项式。
它的一般形式为ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
我们可以使用因式分解的方法将一元二次多项式分解为两个一次因式的乘积。
具体步骤如下：首先，我们需要找到一元二次多项式的两个一次因式的形式。
一元二次多项式的一次因式的形式为(x - r)，其中r为一元二次多项式的根。
其次，我们使用因式分解公式将一元二次多项式进行因式分解。
因式分解的公式为：ax^2 + bx + c = a(x - r_1)(x - r_2)，其中r_1和r_2为一元二次多项式的两个根。
最后，我们可以根据实际问题中给定的条件，结合因式分解的结果，求解一元二次多项式的根。
2. 多项式的公因式提取公因式提取是一种常见的因式分解方法，适用于多项式中存在公因式的情况。
公因式是指多个项中共同的因子。
通过提取公因式，可以将多项式分解为两个或多个部分，其中每个部分都包含相同的因子。
具体步骤如下：首先，我们需要找到多项式中的公因式。
公因式是多项式中多个项的共同因子。
其次，我们将公因式提取出来，并将其乘以多项式的其他部分，得到分解后的形式。
最后，我们可以根据实际问题中给定的条件，进一步简化分解后的多项式，求解问题。
3. 特殊形式多项式的因式分解在实际问题中，我们会遇到一些特殊形式的多项式，例如差平方、完全平方差、立方和差等。
对于这些特殊形式的多项式，我们可以使用相应的公式进行因式分解。
例如，对于差平方形式的多项式a^2 - b^2，可以使用差平方公式进行因式分解，得到(a + b)(a - b)。
有理数域上的多项式
定理2.16 设f ( x)是一个整系数多项式， 0 f ( x) n(n 0). f ( x)在有理数域上可约当且 仅当f ( x)可分 解为两个次数都小于 n的整系数多项式的乘积 .
定理2.17（艾森施坦因（Eisenstein）判别法） 设
取p=2,则有 p 2, p 4, p 6,但p†1,p2†2. 由Eisenstein判别法，g( y )在 上不可约，
从而f ( x )在 上不可约.
Hale Waihona Puke 说明：对于某些整系数多项式来说，作适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是个可行的
办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 整系 数 多项式 f ( x ), 无论作怎样的代换 x ay b, 都不能 使 f (ay b) g( y ) 满足Eisenstein判别法的条件（其中 a,
2.8
有理数域上的多项式
有理数域上的多项式简称有理 系数多项式.本节我们讨论有理系 数多项式的可约性以及有理系数多 项式的有理根的求法.
一、有理系数多项式的可约性
定义 2.12 如果整系数多项式 f ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n 的系数互素，即 (a0 , a1 , a2 ,, an ) 1, 则称f ( x)是一个本原多项式 .
注意：
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件． 也就是说，如果一个整系数多项式
不满足Eisenstein判别法的条件，则它可能是可约的， 也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 f ( x ) 不能直接用Eisenstein 判别法来判断其是否可约，此时可考虑用适当的 代换 x ay b (a , b Z, a 0), 使 f (ay b) g( y ) 满足Eisenstein判别法的条件，从而来判定原多项 式 f ( x )不可约．
整系数多项式的因式分解
式 ，而 ＋１ ） ‘ —３ ） ＝ ＋ ‘ 一６ ｘ 一１ ４ ｘ 一ｌ ｌ ｘ ３＝厂（ ）
所 以， ， （ ） 在有理数域上的分解式为， （ ） （ Ｉ ＋１ ） —３ ） 。
例 ２ 求 多项 式 ， （ ：４ ｘ 一 一 ５ ｘ 一 １ 在 有 理数 域 上 的 因式 分解 式
关键词 ： 整 系数 多项式； 因式分解； 互素 ； 多项式的有理根
多项式是代数学 中最基本 的对象之一 ， 在数学 中有着广泛 的应 那么 舣） 在有理数域 Ｅ 是不可约的。 用。 在实 际工作 中， 常常会遇到多项式 的因式分解 问题 ， 例如判断线 ２根据多项式的有理根及重因式判别等相关结论： 性变换及矩阵是否可 以对角化 ， 对于次数 大于 ２的多项式分解有没 由推论 ４ 和引理 ３ 可知 ， 如果 仅是 的根， 则（ ｘ 僦 是 ｆ （ ｘ ） 的因式 ， ｆ 有具体 的公式可 以利用 。 （ ｘ ） 的根必须是 的形式 ， 其中 （ “ ，ｖ ） ： ｖ 是多项式最高次项系数的约 定义 １设 Ｐ 是有一些复数组成 的集合 ， 其中包含 ０和 １ 。如果 Ｐ 数 ， ｕ 是多项式常数项的约数 ， 给出 ｆ （ ｘ ） Ｎ 的 的值再逐一的验证 。特 中任意两个数（ 这两个数也可 以相 同） 的和差积商（ 除数不为零 ） 仍然 别 ， 当最高次项系数为 １ 时， 的根都是整数 ， 而且是常数项的因数。 再 是 Ｐ中的数 ， 那么 Ｐ就是一个数域。其 中， 有理数域是最小 的数域。 由引理 １ 及推论 ， 判断有理根对应的因式是否是微商的因式 ， 可以一直 定义 ２， （ ） ＝ ａ 。 十 ｑ ＋ ２ ＋ ＿ ｌ ＋ ａ ｎ ｘ ￣， （ ∞ ∈ｚ ＋ ）称 为数域 Ｐ上 的一 微商下去取 出重数 ， 分解 出重因式 ， 利用辗转相除将剩下的部分继续分 元 多项式 。其 中 ａ ０ ｑ， Ⅱ ， …， ａ ∈ Ｐ， 用， （ ） ， ｇ （ ） …表示 。 解， 对剩下 的部分在复数域上进行 因式分解 ， 最后合并无理因式 ， 限定 若 ｏ ， 则称 为首项系数 ， ｎ为多项式的次数 ， 用 （ ， （ ） ） 到有理数域 匕 。 表示。 ａ 。 为常数项 。 例 １求多项式 ， ） ＝ ＋ 一 一 １ ４ ｘ 一 ｌ ｈ ＂ ３ 在有理数域上的因式分解式。 解 ： 酋 项 系 数 的 因 子 ： ±ｌ ；常 数 项 的 因 子 ： － ＋１ ，－ ＋ ３； 则 需 要 验 证 的 有 理 该 定义是文 字 ｘ的形式表 达式 ， 给 ｘ赋予不 同意义 ， 其多项式 ，－ ＋ ３；因 为 ｆＯ） ≠０，，ｌ （ ＿１ ） ＝０， ，（ ３ ） ：０， ／（ 一３ ） ≠０；所 以 ＋１ × ｘ一３ ） 意义不 同。若 ｘ在实数中取值 时 ， 则ｆ 为中学数学 中的多项式 函数 。 根 有 ±ｌ 是 厂 （ 的因式 即 厂 （ ｘ ） ＝ ＋Ｄ 一 ３ ） 鼋 ） ， ； 若 ｘ为矩阵 ， 则ｆ 为矩阵多项式 。 ， （ ） ＝５ ｘ ＋４ ｘ 一１ ８ ｘ 一２ ８ ｘ一１ １ 定 义 ３数 域 Ｐ上 每个 次数 ≥１ 的多项式 ｆ （ ｘ ） 不能表示 成数域 Ｐ ， （ 一１ ） ＝０． ｆ （ ３ ）≠Ｏ 上 两个 次数 比 ｆ （ ｘ ） 低 的多项 式的乘积 ， 则称 ｆ （ ｘ ） 为数域 Ｐ上 的不可 约 由推论 ｌ 可知，０— ３ ） 是 ／ （ ） 的一重因式 多项式 。其 中 ， 一次多项式 总是不可约多项式 。 ｆ （ ） ＝２ ０ ｘ ＋ １ ２ Ｘ －３ ６ ｘ一２ ８． ｆ （ 一 １ ） ＝０ １多项式的辗转相除法 ， （ ） ＝６ ０ ｘ ＋２ ４ ｘ一３ ６． ｆ （ 一１ ） ＝０ 整数 固然有辗转相 除法 的现象 ， 多项式也有相似的性质 。 假定 ａ ，“’ （ ） ＝１ ２ ０ ｘ＋２ ４ ｆ （ 一 １ ） （ ｘ ） 两个 多项式 ， 用ｂ （ ｘ ） 除ａ （ ｘ ） 得商式 ａ ０ （ ｘ ） ， 得余式 ｒ （ ｘ ） ， 也 就
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嘉应学院 本科毕业论文（设计） （2014届）
题 目： 有理数域上的多项式的因式分解 姓 名： 江志会 学 号： 101010100 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 许鸿儒 申请学位： 学士学位
嘉应学院教务处制 摘 要 在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。 关键词：有理数域, 可约, 因式分解 Abstract In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements. Key words： rational number field, reducible, factorization
目 录 1 有理数域上的多项式基本内容 ............................................... i 1.1 多项式因式分解的基本概念 ............................................ 1 1.2 本原多项式 .......................................................... 2 1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 ........................................ 5 2 多项式的有理根及因式分解 ................................................. 7 2.1多项式在有理数域上的性质 ............................................. 7 2.2多项式有理根的判定 ................................................... 8 2.3多项式有理根的求法及因式分解 ........................................ 10 2.4因式分解的特殊解法 .................................................. 12 参考文献 ................................................... 错误！未定义书签。 有理数域上的多项式的因式分解
1 1 有理数域上的多项式基本内容
1.1 多项式因式分解的基本概念 在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：5315；在此基础上，通过类比,我们得到因式分解的一般定义： 定义1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。
例1 分解44x的因式 在有理数域中，它的分解式是：)2)(2(22xx，分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：)2)(2)(2(2xxx，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：
)2)(2)(2)(2(ixixxx。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，
再理解其不能再分的含义。 所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。
定义1.1.2 给定XF 的任何一个多项式 )(xf， 对于F 中的任何一个不为零的元素
c。c是)(xf 的因式。c)(xf 也是)(xf 的因式，我们把)(xf
的这样的因式叫作它的平
凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式）。
例2。设2)3)(2(3)(),1(2)( xxxgxxf
由定义可以知道)(xf只有平凡因式，xg有非平凡因式 因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的。
有理数域上的多项式的因式分解 2 1.2 本原多项式
定义1.2.1 若是一个整系数多项式)(xf系数互素，那么)(xf叫作一个本原多项式。 引理1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。 证 设给了两个本原多项式
mmiixaxaxaaxf10)(
nnjjxbxbxbbxg10)(
并且 nmnmjijixcxcxccxgxf10)()(
如果)()(xgxf不是本原多项式，那么一定存在一个素数p，它能整除所有系数
,10,cc,…mnc , 由于)(xf和)(xg都是本原多项式，所以p不能整除)(xf的所有系数，也
不能整除)(xg所有系数。令ai和bj各是)(xf和)(xg的第一个不能被p整除的系数。我们考察)()(xgxf的系数 jci,们有 011110bababababacjijijijijiji 这等式的左端被p整除。根据选择ia和jb的条件，所有系数10,iaa以及01bbj 都能被p整除，因而等式右端除iajb这一项外，其它每一项也都能被p整除。因此乘积ia
jb
也必须被p整除。但p是一个素数，所以p必须整除ia或jb.这与假设矛盾。 设)(xf是有理数域上的一个多项式。若是)(xf的系数不全是整数，那么以)(xf系数分母的一个公倍数c乘)(xf，就得到一个整系数多项式)(xcf。显然，多项式)(xf与)(xcf
在有理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论有理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可约。
设011)(axaxaxaxfninnn是有理系数多项式，选取适当的整数c乘以
)(xf，总可以使)(xcf是整系数多项式，如果)(xcf的各项系数有公因式d，可以提出来，即)()(xdgxcf，)()(xgcdxf，其中)(xg是各项系数互质的整系数多项式。 有理数域上的多项式的因式分解 3 例3 )6155(15252232)(2424xxxxxf，这里 6155)(24xxxg。 所以[]Qx中的非零多项式，与[]Zx中的本原多项式有紧密的联系。 定理1.2.1 设()[]fxQx，且()0fx。则存在一个有理数0a使()afx是[]Zx中本原多项式。此外，如果有理数0b，使()bfx也是本原多项式，则ab。 实际上，设1110()...nnnnfxaxaxaxa，这里naaa,......,10都是有理数且0na。取整数c使01,,......ncacaca都是整数，并令01(,,......)ndcacaca，则
01()......nncacaca
c
fxxxdddd
便是[]Zx中本原多项式。 此外，如果有理数,ab，使()()afxgx，及()()bfxhx都是本原多项式，则()()bgxhxa，因(),()gxhx都是本原的，故ba必须是整数，并且没有素因子，从而1ba，即ab。这表明，[]Qx中非零多项式本质上唯一地对应一个本原多项式。 定义1.2.2 设()[],deg1fxZxf。如果()fx在Z上仅有平凡因式的分解，即不能分解为[]Zx中两个正次数多项式的积，则称()fx为[]Zx中不可约多项式。否则称()fx在[]Zx上可约(或可分解)。 例4 22x是不可约的，而222x在Z上可约。
研究()fx在Z上是否可约，显然只需考虑()fx是本原多项式的情形。我们注意到，如
果()fx在Z上可分解，因ZQ，则它在Q上当然是可约的。下面的结果表明，反过来的结论也成立。 定理1.2.2 设()fxxZ是本原多项式，如果()fx在Q上可约，则()fx在Z上也可约。
确切地说，设()()()fxgxhx，这里(),()[]gxhxQx，且deg,deg1gh，则存在有理数a使得： 1()()()fxagxhxa, 且 1(),()[]agxhxZxa 有理数域上的多项式的因式分解 4 事实上，由定理1.2.1知，存在有理数,ab，使得1()()agxgx和1()()bhxhx都是本原多项式。于是
11()()()abfxgxhx 由引理1.2.1，11()()gxhx是本原多项式，而()fx也是本原多项式，故ab必须是整数，且没有素因子，即1ab。因此，()agx和1()hxa都是(本原的)整系数多项式，证毕。 因此，xZ中的多项式在Z上是否可约，与它在Q上是否可约是一回事。 定理1.2.3 若是一个整系数n(n>0)次多项式()fx在有理数域上可约，那么()fx总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。 证明： 设
)()()(21xgxgxf 这里)(1xg与)(2xg都是有理数域上的次数小于n的多项式。令)(1xg的系数的公分母
是1b .那么)(1xg=)(11xhb,这里)(xh是一个整系数多项式。又令)(xh的系数的最大公因数是1a那么 )()(1111xfbaxg 这里11ba是一个有理数而)(1xf是一个本原多项式。同理， )()(2222xfbaxg 这里22ba是一个有理数而)(2xf是一个本原多项式。于是 )()()()()(21212121xfxfsrxfxfbbaaxf 其中r与s是互素的整数，并且0s。由于()fx是一个整系数多项式所以多项式)(1xf)(2xf
的每一系数与r 的乘积都必须被s整除。但r与s 互素，所以)(1xf)(2xf的每一个系数必