毕业设计论文-有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文

嘉应学院

本科毕业论文（设计）

（2014届）

题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会

学号：101010100

学院：数学学院

专业：数学与应用数学

指导老师：许鸿儒

申请学位：学士学位

嘉应学院教务处制

摘要

在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。

关键词：有理数域, 可约, 因式分解

Abstract

In polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.

Key words： rational number field, reducible, factorization

目录

1 有理数域上的多项式基本内容 (i)

1.1 多项式因式分解的基本概念 (1)

1.2 本原多项式 (2)

1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5)

2 多项式的有理根及因式分解 (7)

2.1多项式在有理数域上的性质 (7)

2.2多项式有理根的判定 (8)

2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10)

2.4因式分解的特殊解法 (12)

参考文献................................................... 错误！未定义书签。

1

1 有理数域上的多项式基本内容

1.1 多项式因式分解的基本概念

在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：5

315⨯=；在此基础上，通过

类比,我们得到因式分解的一般定义：

定义 1.1.1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。 例1 分解44

-x 的因式

在有理数域中，它的分解式是：

)

2)(2(2

2

-+x

x

，分解到这里就不能再继续分解，不

然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中,它的分解式是：

)

2)(2)(2(2

-++x x x

，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：

)

2)(2)(2)(2(i x i x x x -

+

-

+。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，

再理解其不能再分的含义。

所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。

定义1.1.2 给定[]X F 的任何一个多项式

)

(x f ， 对于F 中的任何一个不为零的元素

c

。c 是

)

(x f 的因式。c

)

(x f 也是

)

(x f 的因式，我们把)

(x f 的这样的因式叫作它的平

凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式（非平凡因式或真因式）。 例2。设2

)3)(2(3)(),1(2)( ++-=-=x x x g x x f

由定义可以知道

)

(x f 只有平凡因式，()x g 有非平凡因式

因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非平凡因式的积来考虑的。

2

1.2 本原多项式

定义1.2.1 若是一个整系数多项式

)

(x f 系数互素，那么

)

(x f 叫作一个本原多项式。

引理1.2.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。

证 设给了两个本原多项式

m

m i

i x

a x a x a a x f +++=10)(

n

n j

j x

b x b x b b x g ++++= 10)(

并且

n

m n m j

i j i x

c x

c x c c x g x f ++++++++= 10)()(

如果

)

()(x g x f 不是本原多项式，那么一定存在一个素数

p

，它能整除所有系数

,10,c c ,…m n

c

+ , 由于)

(x f 和)(x g 都是本原多项式，所以p 不能整除

)

(x f 的所有系数，也

不能整除)(x g 所有系数。令a i 和b j 各是)

(x f 和)(x g 的第一个不能被p 整除的系数。我

们考察

)()(x g x f 的系数 j

c +i ,们有

1

11

10b a b

a b

a b

a b a c j i j i j

i j i j

i j

i +-++-++

++++++=

这等式的左端被p 整除。根据选择i a 和j b 的条件，所有系数10,-i a a 以及01

b b j -

都能被p 整除，因而等式右端除i

a j

b

这一项外，其它每一项也都能被p 整除。因此乘积i

a j

b

也必须被p 整除。但p 是一个素数，所以p 必须整除i a 或j b .这与假设矛盾。

设

)

(x f 是有理数域上的一个多项式。若是

)

(x f 的系数不全是整数，那么以

)

(x f 系数

分母的一个公倍数c 乘)

(x f ，就得到一个整系数多项式)

(x cf 。显然，多项式

)

(x f 与)

(x cf

在有理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论有理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理数域上是否可约。

设

11

)(a x a x

a x

a x f n i n n

n ++++=-- 是有理系数多项式，选取适当的整数c 乘以

)

(x f ，总可以使)

(x cf

是整系数多项式，如果)

(x cf

的各项系数有公因式d ，可以提出来，

即)

()(x dg x cf

=，

)

()(x g c d x f =

，其中)(x g 是各项系数互质的整系数多项式。