有理数域上多项式不可约的判定-论文
多项式在有理数域上不可约判定，
第21卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.21 No.12008年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2008有理数域上的一类不可约多项式张 卫，史滋福(湖南师范大学 数学与计算机科学学院，长沙 410081)摘 要: 首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论，讨论了形如12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"的多项式的性质，并且得到了定理：若，6n >()0x ϕ>且它的次数小于的一半，则n 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"在Q 上不可约.关键词: 有理数域; 不可约多项式; 次数中图分类号：O151.23 文献标识码：A 文章编号: 1672-5298(2008)01-0005-03A Class Irreducible Polynomials on Rational Number FieldZHANG Wei , SHI Zi-fu(Department of Mathematics, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)Abstract: Some common results which used to decide a polynomial on rational number field irreducible are explained in this paper. Some properties of polynomial such as 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"are discussed and some theorem is obtained if ，6n >()0x ϕ>and the degree of ()x ϕ is less than a half of ,then n ()f x is irreducible on rational number field.Key words: rational number field; irreducible polynomial; degree研究数域上不可约多项式就如研究整数中的素数一样重要. 如果F 是代数闭域，则F 上的不可约多项式就是全体的一次多项式，而在素域F 上的不可约多项式研究却是一个复杂的工作. 在我们熟悉的有理数域Q 上，存在着任意次的不可约多项式. 到目前为止，在有理数域Q 上，判断多项式不可约的方法主要有以下几类:Ⅰ 通过多项式的系数与某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein 判别法及其推广形式[1][2]. Ⅱ 通过多项式的系数与某素数的大小关系来判定不可约，如命题1[3]设是一个素数，且整数适合p 12,,,n a a a "10nk k a =p <<∑，则多项式212()n n f x p a x a x a x =++++"在Q 上不可约.Ⅲ 将多项式作为函数所得到的一些特殊取值来判定不可约，如命题2[4] 若整系数多项式()f x 对于无限个整数值x ，其函数值()f x 都是素数，那么多项式()f x 在Q 上不可约.Ⅳ 通过辅助多项式的根的取值来判定不可约，如 命题3[5] 设是n 个两两不同的整数，那么多项式12,,,n a a a "1()()1ni i f x x a ==−−∏在Q 上不可约.本文给出一类可以通过的多项式的次数或者多项式在某点的取值来进行判定的不可约多项式.收稿日期：2007-12-20 基金项目: 湖南省自然科学基金项目(04JJ40003) 作者简介：张 卫(1963− ), 男，江西赣州人，博士，湖南师范大学讲师. 主要研究方向: 多项式代数和环论命题4[5]设是n (n ≥2)个两两不同的整数，如果多项式12,,,a a a "n 1()()1ni i f x x a ==−+∏在Q 上可约，则n 是一个偶数.引理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上可约，则存在整系数多项式h x ，使得()2()()f x h x =.证明 因为n ，对于任何整数3≥0x ，或者()201020()()0n x a x a x a −−="或者−2201020010203()()()()()()n x a x a x a x a x a x a −−−≥−−−"2≥,所以，因此0()0f x ≠()f x 没有一次有理因式.现设()()()f x g x h x =是()f x 的真因式分解，其中()g x 与都是整系数多项式，且()h x ()g x 与的次数都小于，令()h x n ()()()x g x h x ϕ=−，由()1i f a =,()()1i i g a h a ==±，于是()0,1,2,,i a i n ϕ==".如果()0x ϕ≠，则必有deg(())x n ϕ<，这是不可能的，所以()0x ϕ=. 因此()()g x h x =，即有2()()f x h x =. 由引理1立即可得.定理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，则当是偶数时，多项式12,,,n a a a "n 212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上不可约.定理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+".若存在0x , 使得，则0()0f x <()f x 在Q 上不可约.引理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".若()f x 有真因式()g x ，则()g x 的次数至少是的一半.n 证明 设()()()f x g x h x =，且deg(())g x <[2n]，由于()1,1,2,,i f a i n =="，所以, ，于是()1i g a =±1,2,,i n ="()g x 至少在[个点恒取值]deg(())12ng x ≥+1+或者1−，此时()g x 是常数，矛盾.推论1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+""有真因式()g x ，则()g x 的次数deg(())[]2ng x r n ≤+−.引理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数， 12,,,n a a a "[]2nr <，且222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".如果()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()f x h x =.证明 设()f x 的真因式分解()()()f x g x h x =，(),()g x h x 都是整系数多项式，且次数[]2n deg(()),deg(())g x h x r n ≤≤+−[]2n . 令()()()x g x h x ϕ=−，和引理1相仿，由于也有deg(())x n ϕ<，所以()0x ϕ=，即2()()f x h x =.类似地可以证明引理4设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+ 6 湖南理工学院学报(自然科学版) 第21卷.第1期 张 卫等：有理数域上的一类不可约多项式 7如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()=f x h x .定理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且 deg(())x n ϕ+是奇数，则()f x 在Q 上不可约.定理4 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且存在实数0x ，使得0()0f x <，则()f x 在Q 上不可约.定理5 设是n (n >6)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+，如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()0x ϕ=没有有理根，则()f x 在Q 上不可约.证明 不妨设，令12n a a a <<<"012n x a =−，因为0()0x ϕ≠，所以01()2r x ϕ≥，从而0001010()()()()()1ϕ−=−−−+"n n f x x x a x a x a <123311()()()()122222124211()()()(122222−⋅⋅⋅⋅⋅−+<−⋅⋅⋅⋅⋅−+""r r n n =222((2)!122−++−−⋅−+=−+n n r r n n 2)!1>. 因为当n 时，62deg(())[]log (2)!22nr x ，所以n ϕ=<<−−0()0f x <，再由定理4即得定理5.鉴于在定理证明中关于()x ϕ其实只利用了01()2r x ϕ≥，所以有推论2 若, 且，那么212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+"6n >()f x 在Q 上不可约.最后提出两个问题作为本文的结束. 问题1 定理5在的时候是否也成立？6n =问题2 推论2中由于()x ϕ的次数仅等于1，是否的条件可以去掉？ 6n >参考文献[1] 张海山. Eisenstein 判别法的推广[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2001，22(3):13~15 [2] 陈 侠. 关于整系数不可约多项式[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2004，21(1): 77~78 [3] 冯克勤，余红兵. 整数与多项式[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 138~142[4] 黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:154~171 [5] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南: 山东教育出版社, 1989: 11~44李克安教授被评为第三届湖南省“双十佳期刊编辑”为了进一步加强编辑队伍建设，鼓励期刊出版行业出人才，出好人才，繁荣和发展期刊出版事业，中共湖南省委宣传部、湖南省新闻出版局联合组织评选了第三届湖南省“双十佳期刊编辑”。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。
定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。
定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、 成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。
证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。
反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。
注1:带余除法中g(x)必须不为零。
F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。
(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。
整系数多项式在有理数域内不可约的一种新判别方法
文献［１］中给出了整系数多项式在有理数域内不可约 的一种判别方法－Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法，此判别法仅是判别整 系数多项式在有理数域上不可约的充分条件，而非必要条 件。借鉴 Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法的研究，给出了一种新的判别方
ห้องสมุดไป่ตู้
若 ｋ＋ｍ＞ｆ，则 ＋ｍ＝ｂｋｃｍ＋６… ｃｍ—ｌ＋ｂｋ＋２ｃｍ一２＋…
Ｚｈａｎｇ Ｈｏｎｇ ｇａｎｇ，Ｚｈａｎｇ Ｌｉ ｈｏｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂｏｄａ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏ ｆ Ｊｉｌｉｎ Ｎｏｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｐｉｎｇ，Ｊｉｌｉｎ １ ３６０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ Ｃｒ ｉｔｅｒｉｏｎ，ｔ ｈ ｅ ｔｈｅｓｉｓ ｏｆｆｅｒｓ ａ ｎｅｗ ｍ ｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔ ｈ ｅ Ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｉｌｉｔｙ
给出了一些特殊类整系数多项式在有理数域内是否可约的 判别。但随着代数学的发展，特别是抽象代数学的完善 ，相 信会探索出更多新的判别方法。
一 方面ｐｌａ ，则有 Ｐｌ ｂｌＣ ，又因为ｐ ０ ，从而 ｐ只能 整除 ｂ ，ｃ 中的一个。不妨设 Ｐｌ ｂ ，但Ｐ ｃｍ．
另一方面ｐ ００，则ｐ ６０假设 ｂｆ，ｂｆ一 一，ｂ。，ｂ０中第 一 个不被Ｐ整除的为 ｂ ，即Ｐ ｌ ｂｆ，Ｐ Ｉ ｂｆ＿Ｊ，…，ｐ Ｉ ｂ ＋ ，但ｐ
a文献1中给出了整系数多项式在有理数域内不可约的一种判别方法eisenstein判别法此判别法仅是判别整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件而非必要条借鉴eisenstein判别法的研究给出了一种新的判别方1预备知识定理1eisenstein判别法设f是一个整系数多项式
有理系数多项式不可约
有理系数多项式不可约在代数学中，多项式的概念十分广泛。
除了无理数系数的多项式之外，还有一种重要的类型是具有有理数系数的多项式。
对于有理系数多项式来说，一个重要且有趣的性质就是它的不可约性问题。
本文将就这个问题进行深入探讨和研究。
首先，我们需要了解什么是多项式的不可约性。
多项式的不可约性是指该多项式不能被分解为几个一次或二次因式的乘积的形式。
换句话说，如果一个多项式可以被表示为一个长度的多项式的乘积形式，那么这个多项式就被称为可约的；反之，则被称为不可约的。
有理系数多项式的不可约性的重要性在于它与代数基本定理有着密切的关系。
代数基本定理指出任何次数大于1的多项式在复数域上都可以被分解成一次因式的整数次幂的和。
这意味着对于给定的有理系数多项式，如果能证明它是不可约的，那么我们就可以利用代数基本定理将其转化为一些简单的因式和指数运算来解决相关问题。
因此，理解并解决有理系数多项式的不可约性问题具有重要的理论和实践意义。
为了更好地理解和探究有理系数多项式的不可约性，我们可以从以下三个方面入手：一、定义的理解：需要仔细阅读和理解关于多项式的定义以及相关的数学知识，以便能够正确地处理和处理涉及有理系数多项式的问题。
二、方法的应用：由于有理系数多项式的特殊性，可能需要使用不同于无理数系数的多项式的方法来解决问题。
例如，可以通过观察特殊情况下的例子或者借助其他工具如几何方法和矩阵知识等来寻找规律和方法。
三、数值模拟实验：通过具体的数值模拟实验可以直观地看到某些有理系数多项式的行为，从而帮助我们更准确地把握其性质和特点。
基于以上分析，我们将以一个具体的有理系数多项式为例来进行说明和分析。
假设我们有这样一个多项式f(x)=x^4+2x^3-5x^2+6x+7, 它是一个四次多项式。
在这个例子中，我们可以通过观察发现它没有公因子（即不是可约的），并且无法通过合并同类项的方式将它化简到更高次的单项式之和的形式。
这就意味着这个多项式是不可约的。
利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定
第27卷V01．27第3期N o．3中州大学学报J O U R N A L O F Z H O N G Z H O U U N I V E R SnY2010年6月JuJ．20l O利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定王骁力1，夏云青2(1．南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061；2．中州大学信息工程学院，郑州450044)摘要：文中讨论了整系数多项式的不可约判定的充分条件Ei s ens t ei n判别法的若干等价形式，并借助同态映射，i正B／t了整系数多项式不可约的若干判定定理，推广了已知结果。
关键词：同态；可约性；有理数域；多项式；艾森斯坦因判别法中图分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1008-3715(2010)03—0100—03有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题可以归结为整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题。
已有整系数多项式的不可约判定的充分条件的Ei s ens t ei n判别法…，一些学者也给了一些结果m51。
本文首先讨论了Ei sens t ei n判别法的若干等价形式，然后借助同态映射证明了判定有理系数多项式可约性的若干结果。
1．E i se ns t e i n判别法的等价形式Ei s em t ei n判别法…设以茗)=乏口．膏‘是一个整系数多项式，如果存在素数P，使得：(1)p不整除a。
；(2)pl a。
，O≤i≤忍一1；(3)p2不整除口0，那么，(菇)在有理数域上是不可约的。
引理1【21设，(菇)=乏q茹‘是数域F上的一个多项式，％≠o，口o≠o，则g(x)=乏嘶石”‘也是数域F上的多项式，且火石)与g(茗)在数域，上同时可约或同时不可约。
引理2设以茗)=置a；膏‘是数域，上的一个多项式，a．≠0，口o≠0，m为一个正整数，则数域F上的多项式h(算)=蓦口‘p戚矿．。
=薹％一i p州”。
茗i与，(鼻)在数域F上同时可约或同时不可约。
不可约多项式定义
不可约多项式定义好的，以下是为您生成的关于“不可约多项式定义”的文章：---【不可约多项式定义】**开场白**嘿，朋友们！在数学的奇妙世界里，有一个叫做“不可约多项式”的概念。
你有没有在做数学题或者学习代数的时候，被这个词搞得有点晕头转向？其实啊，它并没有那么神秘，今天咱们就一起来揭开它的面纱！**什么是不可约多项式？**简单来说，不可约多项式就是在某个数域范围内，不能再分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说，在有理数域上，多项式 x² + 1 就是不可约多项式。
给您举个生活中的例子，不可约多项式就像是一个完整的、无法再拆开的拼图块。
如果能拆开，那就不是不可约多项式啦。
这里要纠正一个常见的误区哦，有些人可能会觉得只要多项式看起来复杂，就是不可约多项式，这可不对！得按照严格的数学定义和方法来判断。
**关键点解析**3.1 核心特征或要素不可约多项式有几个关键要素。
首先是数域，不同的数域中，同一个多项式的可约性可能不同。
比如 x² - 2 在有理数域上是不可约的，但在实数域上就不是了，因为在实数域上它可以分解为 (x - √2)(x + √2) 。
这就好比同样的一个物品，在不同的环境下可能有不同的用途。
其次是次数，不可约多项式的次数是有规定的，不能是零次多项式（也就是常数）。
还有就是不能分解这一特性，意味着找不到其他两个非零多项式相乘能得到它。
3.2 容易混淆的概念容易和不可约多项式混淆的概念是可约多项式。
可约多项式就是能分解成两个次数更低的非零多项式乘积的多项式。
比如说在有理数域上，x² - 1 就是可约多项式，因为它可以分解为 (x - 1)(x + 1) 。
不可约多项式和可约多项式的区别就在于能否分解，这是判断的关键。
**起源与发展**不可约多项式的概念起源于代数数论的研究。
在数学的发展历程中，随着对多项式性质的深入研究，不可约多项式的重要性逐渐凸显出来。
有理系数不可约多项式的判别
有理系数不可约多项式的判别
对于一个多项式 f(x)，如果它的次数小于等于 3，那么它一定
是可约的，因为任何次数小于等于 3 的多项式都可以通过因式分解为
线性因式乘积。
对于次数大于 3 的多项式 f(x)，要判断它是否为不可约多项式，可以使用以下方法之一：
1. 尝试寻找 f(x) 的有理根。
如果 f(x) 的有理根存在，则
f(x) 是可约的，因为有理根可以转化为一次因式。
2. 使用 Eisenstein 判别法：如果存在一个素数 p，使得 p
能够整除多项式 f(x) 的所有非首项系数，但不能整除首项系数，并
且 p^2 不能整除多项式的常数项系数，那么 f(x) 是不可约的。
3. 使用约化多项式的方法。
假设 f(x) 是不可约的，那么根据
整系数多项式的性质，可以将 f(x) 看作是有理数系数多项式。
为了
判断 f(x) 是否可约，可以考虑将 f(x) 通过符号替换，转化为一个
整系数多项式 g(x) = f(ax+b)，其中 a 和 b 是整数。
如果 g(x) 是
可约的，则 f(x) 也是可约的。
这些方法可以帮助我们判断一个多项式是否是不可约多项式，但
需要注意的是，并不是所有的不可约多项式都可以通过这些方法判断
出来。
对于高次多项式，判别它是否为不可约多项式可能会更加困难。
关于有理系数多项式可约性的一个判别定理
关于有理系数多项式可约性的一个判别定理
有理系数多项式可约性是数论中一个重要的概念，它可以用来判断一个
多项式是否可以经过简化算出一个简单的形式。
在数学上，可约性判别定理
规定了有理系数多项式可约性的情况。
首先，有理系数多项式可约性判别定理的条件是，已知一个有理系数多
项式。
其次，定义在一个域K上的有理系数多项式f (x)，已知f (x)为一
个次数为n的多项式并且其系数在K上不恒为零。
给定以上条件，有理系数多项式可约性判别定理认为，如果存在一个复
数a，使得多项式f (a)=0，则此有理系数多项式是可约的。
反之，如果f (a)≠0，则此有理系数多项式是不可约的。
有理系数多项式可约性判别定理是判断一个多项式是否可约的一种有效
的方法。
它可以使用上述定理检查可约性，以尽快确定一个多项式是否可约。
此外，它能根据除可约性外的条件预测一个多项式是否可得到简化形式，对
进行数学计算极其有价值。
从而可以看出，有理系数多项式可约性判定定理是一个重要的定理，它
不仅有助于确定一个有理系数多项式是否可约，还能降低计算量，为数学计
算提供有效的帮助。
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定理 设有理数域上 是一个整系数多项式.若存在一个质数 ,使得
(1) 不整除常数项 ;
(2) 整除其他各项的系数;
(3) 不整除最高次项系数 .
则其中 .
于是 .
因 ,而 不能被 整除. 和 其中的一个能被 整除.
毕业设计(论文)
有理数域上多项式不可约的判定
系 别 ：
数学与物理系
专业（班级）：
数学与应用数学2012级2班
作者（学号）：
赵伟（51205012006）
指导教师：
刘晓敏（讲师）
完成日期：
2016年4月22日
蚌埠学院教务处制
有理数域上多项式不可约的判定
摘 要:对于判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数域
例9证明 在有理数域不可约.
证明 令 , ,显然 ,倘若 在 上不可约,则没有有理根,令 ,代入
则
由于
(1) 5整除120,240,125,3;
(2) 5不整除24;
(3) 不整除30
故由艾森斯坦因间接判别方式可以证明出 在有理数域上不可约,故 在有理数域上不可约.
艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法和间接判别法是判定多项式在 上非常常用的方法,但是,这种方法是有局限性的,因为不一定每次都能找到适合的数字 , , ,使得 成立,故我们给出如下的一种判别式.
.
定义 若一个系数非0且为整数的多项式 ,该多项式的系数 除了 没有其他的公因子,即该多项式的所有系数都是互质的,则该多项式被称作为一个本原多项式.
2.3 有理数域上多项式的等价
设 是有理数域上的任意一个非0的有理系数多项式,通过上述分析可知, 都可以写成 ,其中 为有理数域上任意一个数, 是一个本原多项式，那么称 与 等价,即讨论有理数域上任意一个系数非0的多项式 的问题最终都等价地转换为讨论该多项式的一个本原多项式的问题.
3.3 艾森斯坦因(
3.3.1 艾森斯坦因(
定理 设 是一个整系数多项式,若有一个素数 使得
(1) 不整除最高次项的系数 ;
(2) 整除其他各项的系数;
(3) 不整除常数项 .
那么多项式 在有理数域上不可约.
证明 反证法 假设 是有理数域上的一个非0的多项式,那么 就可以写成如下形式:
所以
, .
由 被 整除,得到 或 能被 整除.可是 不能被 整除,故 和 不能被 同时整除.所以不妨假设 不能被 能整除,但 不能被 整除.另一方面,因为 不能被 不整除,所以 不能被 整除,假定 , ,……, 中首先不能被 整除的是 .比较一下 中 的系数,得出等式
3.3.4艾森斯坦因判别法的推广
定理 设整系数多项式 ,假如有质数 使得:
(1) 不能整除 ;
(2) 整除 ;
(3) 不能整除 ;
(4) 不能整除 ,其中 整除 ,且 , ,
故 在有理数域上不可约.
例12证明多项式 在 上不可约.
证明因为 ,取 ,则有:
(1) 不能被 整除;
(2) 被 整除, 被 整除;
3.5 克朗奈克判别法
(2) 其他各项的系数都能被 整除;
(3) 常数项不被 整除.
三个条件都满足.但存在质数 ,满足
(1) 4不能被3整除;
(2) 3,12,6能被3 整除;
(3) 3不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
一类特殊的多项式并满足用上述判定方式的判别条件,但是这类的多项式也可能是不可约的.同样的情况也适用于直接判别法和派生出的判别法.针对这类情况,引出艾森斯坦因(Eisenstein)推广法的推广.
解 取 ,则有:
(1) 不能被 整除;
(2) ， ， 不能被 整除;
(3) 不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
3.3.2艾森斯坦因(Eisenstein)间接判别法
有一类 上的多项式不适合用艾森斯坦来判别,因为有些 并不能满足定理的条件,所以想到多项式的等价替换,我们可以尝试对其做适当替换,给出艾森斯坦因间接判别法.
(3) 不能被 整除;
(4) 不能被 整除.
故 在Q上不可约.
上面的几种判别方式都有局限性的,下面我们将给出其他方法用于判定.
3.4 反证法
我们在没有找到艾森斯坦因判别法中质数 时,经常运用反证法来证明.
例13证明 在 上不可约,其中 是 个整数.
证明 反证法,若多项式 在 上可约,则一定存在系数为整数的多项式 , ,有 . , ,由 ,可得: , 或者 , ,则 是等于0, , ,此时 首项系数为 ,与题设条件矛盾,故 在 上不可约.
因为 , ,所以士1、士7均不是 的有理根,故 在有 上不可约.
例 证明 在有理数域上不可约.
解 的最高次项的次数是3,所以可以运用有理根判别法.又士1、士107是 可能存在的有理根,而 ， ，所以士1、士107都不是 的有理根,故 在 上不可约.
当然有理数域上多项式的次数大于3，不能用上述判定方式.
3.2因式分解唯一性
定理 因式分解的唯一性定理定理 数域 上每一个次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.
把多项式分解成实数域上次数比它小的几个不可约的因式乘积的形式,而将有理数域看做成实数域上的一部分.如果该多项式不可约的因式全都是有理数,由因式分解的唯一性定理确定了关于该多项式的不可约因式是唯一的的,可以得知,该多项式在 上必然可约.
上不可约多项式的问题.对于判断整系数不可约多项式,有经典的艾森斯坦因判
别法,但这个判别法只是判别多项式不可约的一个充分条件,这就限制了它的使
用范围,同时还存在着大量的多项式不能用艾森斯坦因判别法判别.本文主要把
前人研究整系数不可约多项式所得的成果进行总结和归纳,在此基础上做了一
些研究和探讨，给出了有理根判别法、反证法以及克朗奈克等判别方法,拓宽了
判别多项式不可约的范围，同时使多项式不可约的判定更加系统化.
关键词:有理数域;多项式;不可约;判别法
Abstract:
Key words:Rational Field; polynomial; irreducible; discrimination law
1 引 言
1.1 本课题的作用,意义
随着经济的不断深入发展,以及改革开放带来的机遇与挑战,当代社会迎来一个快速发展的机遇.在互联网大数据的时代背景下,数字在人们工作和学习中扮演着重要的角色.在多项式中又以其不可约的判定方式最为重要.然而一个多项式在数系定义在不同的不同数域情况下得到的有关可约性的性质是有差异的(在后文中会给出相关的介绍).本课题在探讨多项式可约性的的判定方式时,是放在有理数域上进行研究的.我们将探讨总结几种定义判定方式,使我们更好地更迅速地解决遇到有关多项式的问题.
3有理数域上多项式不可约的判别方法
3.1有理根判别法
利用是否有有理根的判别方式判定多项式在有理数域上不可约其实很简单,其前提条件是针对次数小于或者等于三次的多项式.有理根判别法顾名思义只需验证该多项式是否有有理根,如果有有理根,则在有理数域上可约.
例1判别多项式 在Q上不可约.
解 的最高次项的次数是2,所以可以运用有理根判别法.由有理根判别法,若 可约,则一定有有理根,又 的可能有理根是:士1,士7.
例2设 是有理数域上的一个多项式, ,试证明 在有 上不可约.
解 我们通过前面关于有理根的相关分析和研究,知道士1、士4是 可能存在的有理根,但是 ， .所以运用有理根判别法,我们会得出 在 上是不可约的结论.但是 是有理数域上可约的多项式,因为 .
因此针对次数大于或者等于4的整系数多项式,有理根判别法不适用,这就需要给出其他的判别方法进行判定.
1.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题
艾森斯坦因法,有理根判别法,奇次多项式判别法等等都可为判定定义在有理数域上的多项式是否可约.其中艾森斯坦因判别法最为经典.但是国内外研究发现,艾森斯坦因判别法,有着自身不足的地方,当满足判别法的质数 不存在时,我们不能判断这个多项式是否可约.这时须要我们总结更多的关于多项式在有理数域上不可约的判定方法.需要通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方法,使得在理数域上多项式不可约的判定更加系统化.在遇到特殊的有理数系上的不可约多项式时,可以找到对应的判定方法快捷准确滴解决多项式不可约的判定问题.
定理 有理系数多项式 在有理数域上不可约的充分必要条件是：对于任意有理数 和 ,多项式 在有理数域上不可约.
证明 (充分性) 反证法.已知 在 上不可约.若 在 上可约,那么可以设 ,（ 为 上多项式),于是 ,这与 不可约矛盾,故 在有理数域上不可约.
(必要性) 反证法.已知 不可约.如果在 上 可约,即
可以假设 能被 整除而 不能被 整除.可以说 的所有系数不能被 整除,否则会与 (1)矛盾.设 不能整除 的最后一个系数为 .参考等式
通过假设
因此 ,从而 ,或 ,这与假设矛盾.
例10证明 在有理数域上不可约.
证明不可以用艾森斯坦因(Eisenstein)来判定 ,因为无法找到一个质数 使得
(1) 最高次项的系数被 整除;
对 进行分解,可分解为
正如上面所说的那样,我们考虑 这个多项式所在的数系仅仅是而是有理数域,但是若是将 放在实数域上,则还可以因式分解为为
并且在复数域上,还可以再进一步因式分解为
由上述分析可以得出结论,必须在给定的数域进行分析,所谓的不可再分只是相对的的,只有明确系数域后,才有确切的涵义.
所以多项式是否可约与数域紧密相关.将数域 作为选定一个系数域, 作为多项环,则关于多项环 在数域 上的多项式的因式分解的不可约定义如下:
式中 能整除 , ,…… ,故 必须整除 .可是 是一个质数,故 至少能整除 与 中一个.这是与前面所述矛盾.所以 在有理数域上是不可约.