有理数域上多项式不可约的判定-论文
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因为 , ,所以士1、士7均不是 的有理根,故 在有 上不可约.
例 证明 在有理数域上不可约.
解 的最高次项的次数是3,所以可以运用有理根判别法.又士1、士107是 可能存在的有理根,而 ， ，所以士1、士107都不是 的有理根,故 在 上不可约.
当然有理数域上多项式的次数大于3，不能用上述判定方式.
可以假设 能被 整除而 不能被 整除.可以说 的所有系数不能被 整除,否则会与 (1)矛盾.设 不能整除 的最后一个系数为 .参考等式
通过假设
因此 ,从而 ,或 ,这与假设矛盾.
例10证明 在有理数域上不可约.
证明不可以用艾森斯坦因(Eisenstein)来判定 ,因为无法找到一个质数 使得
(1) 最高次项的系数被 整除;
3.3.4艾森斯坦因判别法的推广
定理 设整系数多项式 ,假如有质数 使得:
(1) 不能整除 ;
(2) 整除 ;
(3) 不能整除 ;
(4) 不能整除 ,其中 整除 ,且 , ,
故 在有理数域上不可约.
例12证明多项式 在 上不可约.
证明因为 ,取 ,则有:
(1) 不能被 整除;
(2) 被 整除, 被 整除;
毕业设计(论文)
有理数域上多项式不可约的判定
系 别 ：
数学与物理系
专业（班级）：
数学与应用数学2012级2班
作者（学号）：
赵伟（51205012006）
指导教师：
刘晓敏（讲师）
完成日期：
2016年4月22日
蚌埠学院教务处制
有理数域上多项式不可约的判定
摘 要:对于判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数域
(3) 不能被 整除;
(4) 不能被 整除.
故 在Q上不可约.
上面的几种判别方式都有局限性的,下面我们将给出其他方法用于判定.
3.4 反证法
我们在没有找到艾森斯坦因判别法中质数 时,经常运用反证法来证明.
例13证明 在 上不可约,其中 是 个整数.
证明 反证法,若多项式 在 上可约,则一定存在系数为整数的多项式 , ,有 . , ,由 ,可得: , 或者 , ,则 是等于0, , ,此时 首项系数为 ,与题设条件矛盾,故 在 上不可约.
3有理数域上多项式不可约的判别方法
3.1有理根判别法
利用是否有有理根的判别方式判定多项式在有理数域上不可约其实很简单,其前提条件是针对次数小于或者等于三次的多项式.有理根判别法顾名思义只需验证该多项式是否有有理根,如果有有理根,则在有理数域上可约.
例1判别多项式 在Q上不可约.
解 的最高次项的次数是2,所以可以运用有理根判别法.由有理根判别法,若 可约,则一定有有理根,又 的可能有理根是:士1,士7.
判别多项式不可约的范围，同时使多项式不可约的判定更加系统化.
关键词:有理数域;多项式;不可约;判别法
Abstract:
Key words:Rational Field; polynomial; irreducible; discrimination law
1 引 言
1.1 本课题的作用,意义
随着经济的不断深入发展,以及改革开放带来的机遇与挑战,当代社会迎来一个快速发展的机遇.在互联网大数据的时代背景下,数字在人们工作和学习中扮演着重要的角色.在多项式中又以其不可约的判定方式最为重要.然而一个多项式在数系定义在不同的不同数域情况下得到的有关可约性的性质是有差异的(在后文中会给出相关的介绍).本课题在探讨多项式可约性的的判定方式时,是放在有理数域上进行研究的.我们将探讨总结几种定义判定方式,使我们更好地更迅速地解决遇到有关多项式的问题.
(2) 其他各项的系数都能被 整除;
(3) 常数项不被 整除.
三个条件都满足.但存在质数 ,满足
(1) 4不能被3整除;
(2) 3,12,6能被3 整除;
(3) 3不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
一类特殊的多项式并满足用上述判定方式的判别条件,但是这类的多项式也可能是不可约的.同样的情况也适用于直接判别法和派生出的判别法.针对这类情况,引出艾森斯坦因(Eisenstein)推广法的推广.
3.3 艾森斯坦因(
3.3.1 艾森斯坦因(
定理 设 是一个整系数多项式,若有一个素数 使得
(1) 不整除最高次项的系数 ;
(2) 整除其他各项的系数;
(3) 不整除常数项 .
那么多项式 在有理数域上不可约.
证明 反证法 假设 是有理数域上的一个非0的多项式,那么 就可以写成如下形式:
所以
, .
由 被 整除,得到 或 能被 整除.可是 不能被 整除,故 和 不能被 同时整除.所以不妨假设 不能被 能整除,但 不能被 整除.另一方面,因为 不能被 不整除,所以 不能被 整除,假定 , ,……, 中首先不能被 整除的是 .比较一下 中 的系数,得出等式
3.2因式分解唯一性
定理 因式分解的唯一性定理定理 数域 上每一个次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.
把多项式分解成实数域上次数比它小的几个不可约的因式乘积的形式,而将有理数域看做成实数域上的一部分.如果该多项式不可约的因式全都是有理数,由因式分解的唯一性定理确定了关于该多项式的不可约因式是唯一的的,可以得知,该多项式在 上必然可约.
（ 是 上多项式.）
在上式中用 代替 ，有
,
这说明在有理数域上 是可约的,与已给条件矛盾.所以 在 上不可约.
所以对于一些在有理数域上的多项式,当不能直接用艾森斯坦因判别方式判定该多项式可约性时,可通过适当的替换 后,再用艾森斯坦因判别方式来判断.
例8证明 在有理数域上不可约.
证明
取 ,则有 不被 整除, , , 能被 整除 , , , 不被 整除.这些都符合前面给出的艾森斯坦因判定方式的几个条件，故通过前面的分析我们可得出结论 在有理数域上不可约,故 在有理数域上不可约.
(2) 其他各项的系数都能被 整除;
(3) 常数项不被 整除.
三个条件都满足.但存在质数 ,满足
(1) 2不能被3整除;
(2) 3,9,12,6能被3整除;
(3) 3不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
例11证明 在有理数域上不可约.
证明不可以用艾森斯坦因判别方式,因为无法找到一个质数 使得
(1) 最高次项的系数被 整除;
上不可约多项式的问题.对于判断整系数不可约多项式,有经典的艾森斯坦因判
别法,但这个判别法只是判别多项式不可约的一个充分条件,这就限制了它的使
用范围,同时还存在着大量的多项式不能用艾森斯坦因判别法判别.本文主要把
前人研究整系数不可约多项式所得的成果进行总结和归纳,在此基础上做了一
些研究和探讨，给出了有理根判别法、反证法以及克朗奈克等判别方法,拓宽了
定义 数域 上的次数大于或等于1的多项式 称为域 上的不可约多项式,如果它不能表示成数域 上两个次数比 的次数低的多项式的乘积.
2.2 本原多项式
设 是有理数域上的一个多项式,取一整数b,前提条件是 总是一个系数为整数的多项式式,若 的每一项系数都有公因子,那么公因子可以提出来,得到 ,也就是 ,其中 是有理数域上的一整系数多项式,而且 的每一项系数都只有 这样的公约数,例如一多项式
式中 能整除 , ,…… ,故 必须整除 .可是 是一个质数,故 至少能整除 与 中一个.这是与前面所述矛盾.所以 在有理数域上是不可约.
例6证明 在 上不可约.
证明 若取 ,则有:
（1）Fra Baidu bibliotek不能被 整除;
（2） , , 可以被 整除;
（3） 不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
例7在任意的 情况下,证明 在有理数域上不可约.
例9证明 在有理数域不可约.
证明 令 , ,显然 ,倘若 在 上不可约,则没有有理根,令 ,代入
则
由于
(1) 5整除120,240,125,3;
(2) 5不整除24;
(3) 不整除30
故由艾森斯坦因间接判别方式可以证明出 在有理数域上不可约,故 在有理数域上不可约.
艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法和间接判别法是判定多项式在 上非常常用的方法,但是,这种方法是有局限性的,因为不一定每次都能找到适合的数字 , , ,使得 成立,故我们给出如下的一种判别式.
在介绍和总结多项式在有理数域上不可约的相关判别方式之前,我们需要先了解一下相关概念等知识.
2.1 不可约多项式的概念
过去我们都知道一个多项式可进行因式分解,即分解成几个因式乘积的形式,其实我们仅仅是在有理数域上考虑这个多项式是否能进行因式分解,却并没有进一步讨论和研究这个问题,也没有严格地讨论和证明它们是否真的不可再分.其实不可再分的概念,是相对的,是相对于系数的的数域而言的,并非绝对.用以下例子加以说明
1.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题
艾森斯坦因法,有理根判别法,奇次多项式判别法等等都可为判定定义在有理数域上的多项式是否可约.其中艾森斯坦因判别法最为经典.但是国内外研究发现,艾森斯坦因判别法,有着自身不足的地方,当满足判别法的质数 不存在时,我们不能判断这个多项式是否可约.这时须要我们总结更多的关于多项式在有理数域上不可约的判定方法.需要通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方法,使得在理数域上多项式不可约的判定更加系统化.在遇到特殊的有理数系上的不可约多项式时,可以找到对应的判定方法快捷准确滴解决多项式不可约的判定问题.
解 取 ,则有:
(1) 不能被 整除;
(2) ， ， 不能被 整除;
(3) 不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
3.3.2艾森斯坦因(Eisenstein)间接判别法
有一类 上的多项式不适合用艾森斯坦来判别,因为有些 并不能满足定理的条件,所以想到多项式的等价替换,我们可以尝试对其做适当替换,给出艾森斯坦因间接判别法.
对 进行分解,可分解为
正如上面所说的那样,我们考虑 这个多项式所在的数系仅仅是而是有理数域,但是若是将 放在实数域上,则还可以因式分解为为
并且在复数域上,还可以再进一步因式分解为
由上述分析可以得出结论,必须在给定的数域进行分析,所谓的不可再分只是相对的的,只有明确系数域后,才有确切的涵义.
所以多项式是否可约与数域紧密相关.将数域 作为选定一个系数域, 作为多项环,则关于多项环 在数域 上的多项式的因式分解的不可约定义如下:
.
定义 若一个系数非0且为整数的多项式 ,该多项式的系数 除了 没有其他的公因子,即该多项式的所有系数都是互质的,则该多项式被称作为一个本原多项式.
2.3 有理数域上多项式的等价
设 是有理数域上的任意一个非0的有理系数多项式,通过上述分析可知, 都可以写成 ,其中 为有理数域上任意一个数, 是一个本原多项式，那么称 与 等价,即讨论有理数域上任意一个系数非0的多项式 的问题最终都等价地转换为讨论该多项式的一个本原多项式的问题.
例2设 是有理数域上的一个多项式, ,试证明 在有 上不可约.
解 我们通过前面关于有理根的相关分析和研究,知道士1、士4是 可能存在的有理根,但是 ， .所以运用有理根判别法,我们会得出 在 上是不可约的结论.但是 是有理数域上可约的多项式,因为 .
因此针对次数大于或者等于4的整系数多项式,有理根判别法不适用,这就需要给出其他的判别方法进行判定.
定理 有理系数多项式 在有理数域上不可约的充分必要条件是：对于任意有理数 和 ,多项式 在有理数域上不可约.
证明 (充分性) 反证法.已知 在 上不可约.若 在 上可约,那么可以设 ,（ 为 上多项式),于是 ,这与 不可约矛盾,故 在有理数域上不可约.
(必要性) 反证法.已知 不可约.如果在 上 可约,即
3.5 克朗奈克判别法
例4证明 在有理数域上不可约.
解 ，结合因式分解的唯一性定理可以知道,若 在有理数域上具有可约性,必须是该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故 在有理数域上不可约.
例5证明 在有理数域上不可约.
解 ,结合因式分解的唯一性定理可以知道,若 在有理数域上具有可约性,必须该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故 在有理数域上不可约.
3.3.3通过艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生出的一种判别法
定理 设有理数域上 是一个整系数多项式.若存在一个质数 ,使得
(1) 不整除常数项 ;
(2) 整除其他各项的系数;
(3) 不整除最高次项系数 .
则 在有理数域上不可约.
证明若 可约,那么 可以写成: .设
其中 .
于是 .
因 ,而 不能被 整除. 和 其中的一个能被 整除.
例 证明 在有理数域上不可约.
解 的最高次项的次数是3,所以可以运用有理根判别法.又士1、士107是 可能存在的有理根,而 ， ，所以士1、士107都不是 的有理根,故 在 上不可约.
当然有理数域上多项式的次数大于3，不能用上述判定方式.
可以假设 能被 整除而 不能被 整除.可以说 的所有系数不能被 整除,否则会与 (1)矛盾.设 不能整除 的最后一个系数为 .参考等式
通过假设
因此 ,从而 ,或 ,这与假设矛盾.
例10证明 在有理数域上不可约.
证明不可以用艾森斯坦因(Eisenstein)来判定 ,因为无法找到一个质数 使得
(1) 最高次项的系数被 整除;
3.3.4艾森斯坦因判别法的推广
定理 设整系数多项式 ,假如有质数 使得:
(1) 不能整除 ;
(2) 整除 ;
(3) 不能整除 ;
(4) 不能整除 ,其中 整除 ,且 , ,
故 在有理数域上不可约.
例12证明多项式 在 上不可约.
证明因为 ,取 ,则有:
(1) 不能被 整除;
(2) 被 整除, 被 整除;
毕业设计(论文)
有理数域上多项式不可约的判定
系 别 ：
数学与物理系
专业（班级）：
数学与应用数学2012级2班
作者（学号）：
赵伟（51205012006）
指导教师：
刘晓敏（讲师）
完成日期：
2016年4月22日
蚌埠学院教务处制
有理数域上多项式不可约的判定
摘 要:对于判断有理数域上的不可约多项式的问题,最终都等价地转化为判断整数域
(3) 不能被 整除;
(4) 不能被 整除.
故 在Q上不可约.
上面的几种判别方式都有局限性的,下面我们将给出其他方法用于判定.
3.4 反证法
我们在没有找到艾森斯坦因判别法中质数 时,经常运用反证法来证明.
例13证明 在 上不可约,其中 是 个整数.
证明 反证法,若多项式 在 上可约,则一定存在系数为整数的多项式 , ,有 . , ,由 ,可得: , 或者 , ,则 是等于0, , ,此时 首项系数为 ,与题设条件矛盾,故 在 上不可约.
3有理数域上多项式不可约的判别方法
3.1有理根判别法
利用是否有有理根的判别方式判定多项式在有理数域上不可约其实很简单,其前提条件是针对次数小于或者等于三次的多项式.有理根判别法顾名思义只需验证该多项式是否有有理根,如果有有理根,则在有理数域上可约.
例1判别多项式 在Q上不可约.
解 的最高次项的次数是2,所以可以运用有理根判别法.由有理根判别法,若 可约,则一定有有理根,又 的可能有理根是:士1,士7.
判别多项式不可约的范围，同时使多项式不可约的判定更加系统化.
关键词:有理数域;多项式;不可约;判别法
Abstract:
Key words:Rational Field; polynomial; irreducible; discrimination law
1 引 言
1.1 本课题的作用,意义
随着经济的不断深入发展,以及改革开放带来的机遇与挑战,当代社会迎来一个快速发展的机遇.在互联网大数据的时代背景下,数字在人们工作和学习中扮演着重要的角色.在多项式中又以其不可约的判定方式最为重要.然而一个多项式在数系定义在不同的不同数域情况下得到的有关可约性的性质是有差异的(在后文中会给出相关的介绍).本课题在探讨多项式可约性的的判定方式时,是放在有理数域上进行研究的.我们将探讨总结几种定义判定方式,使我们更好地更迅速地解决遇到有关多项式的问题.
(2) 其他各项的系数都能被 整除;
(3) 常数项不被 整除.
三个条件都满足.但存在质数 ,满足
(1) 4不能被3整除;
(2) 3,12,6能被3 整除;
(3) 3不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
一类特殊的多项式并满足用上述判定方式的判别条件,但是这类的多项式也可能是不可约的.同样的情况也适用于直接判别法和派生出的判别法.针对这类情况,引出艾森斯坦因(Eisenstein)推广法的推广.
3.3 艾森斯坦因(
3.3.1 艾森斯坦因(
定理 设 是一个整系数多项式,若有一个素数 使得
(1) 不整除最高次项的系数 ;
(2) 整除其他各项的系数;
(3) 不整除常数项 .
那么多项式 在有理数域上不可约.
证明 反证法 假设 是有理数域上的一个非0的多项式,那么 就可以写成如下形式:
所以
, .
由 被 整除,得到 或 能被 整除.可是 不能被 整除,故 和 不能被 同时整除.所以不妨假设 不能被 能整除,但 不能被 整除.另一方面,因为 不能被 不整除,所以 不能被 整除,假定 , ,……, 中首先不能被 整除的是 .比较一下 中 的系数,得出等式
3.2因式分解唯一性
定理 因式分解的唯一性定理定理 数域 上每一个次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.
把多项式分解成实数域上次数比它小的几个不可约的因式乘积的形式,而将有理数域看做成实数域上的一部分.如果该多项式不可约的因式全都是有理数,由因式分解的唯一性定理确定了关于该多项式的不可约因式是唯一的的,可以得知,该多项式在 上必然可约.
（ 是 上多项式.）
在上式中用 代替 ，有
,
这说明在有理数域上 是可约的,与已给条件矛盾.所以 在 上不可约.
所以对于一些在有理数域上的多项式,当不能直接用艾森斯坦因判别方式判定该多项式可约性时,可通过适当的替换 后,再用艾森斯坦因判别方式来判断.
例8证明 在有理数域上不可约.
证明
取 ,则有 不被 整除, , , 能被 整除 , , , 不被 整除.这些都符合前面给出的艾森斯坦因判定方式的几个条件，故通过前面的分析我们可得出结论 在有理数域上不可约,故 在有理数域上不可约.
(2) 其他各项的系数都能被 整除;
(3) 常数项不被 整除.
三个条件都满足.但存在质数 ,满足
(1) 2不能被3整除;
(2) 3,9,12,6能被3整除;
(3) 3不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
例11证明 在有理数域上不可约.
证明不可以用艾森斯坦因判别方式,因为无法找到一个质数 使得
(1) 最高次项的系数被 整除;
上不可约多项式的问题.对于判断整系数不可约多项式,有经典的艾森斯坦因判
别法,但这个判别法只是判别多项式不可约的一个充分条件,这就限制了它的使
用范围,同时还存在着大量的多项式不能用艾森斯坦因判别法判别.本文主要把
前人研究整系数不可约多项式所得的成果进行总结和归纳,在此基础上做了一
些研究和探讨，给出了有理根判别法、反证法以及克朗奈克等判别方法,拓宽了
定义 数域 上的次数大于或等于1的多项式 称为域 上的不可约多项式,如果它不能表示成数域 上两个次数比 的次数低的多项式的乘积.
2.2 本原多项式
设 是有理数域上的一个多项式,取一整数b,前提条件是 总是一个系数为整数的多项式式,若 的每一项系数都有公因子,那么公因子可以提出来,得到 ,也就是 ,其中 是有理数域上的一整系数多项式,而且 的每一项系数都只有 这样的公约数,例如一多项式
式中 能整除 , ,…… ,故 必须整除 .可是 是一个质数,故 至少能整除 与 中一个.这是与前面所述矛盾.所以 在有理数域上是不可约.
例6证明 在 上不可约.
证明 若取 ,则有:
（1）Fra Baidu bibliotek不能被 整除;
（2） , , 可以被 整除;
（3） 不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
例7在任意的 情况下,证明 在有理数域上不可约.
例9证明 在有理数域不可约.
证明 令 , ,显然 ,倘若 在 上不可约,则没有有理根,令 ,代入
则
由于
(1) 5整除120,240,125,3;
(2) 5不整除24;
(3) 不整除30
故由艾森斯坦因间接判别方式可以证明出 在有理数域上不可约,故 在有理数域上不可约.
艾森斯坦因(Eisenstein)直接判别法和间接判别法是判定多项式在 上非常常用的方法,但是,这种方法是有局限性的,因为不一定每次都能找到适合的数字 , , ,使得 成立,故我们给出如下的一种判别式.
在介绍和总结多项式在有理数域上不可约的相关判别方式之前,我们需要先了解一下相关概念等知识.
2.1 不可约多项式的概念
过去我们都知道一个多项式可进行因式分解,即分解成几个因式乘积的形式,其实我们仅仅是在有理数域上考虑这个多项式是否能进行因式分解,却并没有进一步讨论和研究这个问题,也没有严格地讨论和证明它们是否真的不可再分.其实不可再分的概念,是相对的,是相对于系数的的数域而言的,并非绝对.用以下例子加以说明
1.2 国内外的发展趋向和发展趋势以及尚待研究的问题
艾森斯坦因法,有理根判别法,奇次多项式判别法等等都可为判定定义在有理数域上的多项式是否可约.其中艾森斯坦因判别法最为经典.但是国内外研究发现,艾森斯坦因判别法,有着自身不足的地方,当满足判别法的质数 不存在时,我们不能判断这个多项式是否可约.这时须要我们总结更多的关于多项式在有理数域上不可约的判定方法.需要通过我们归纳总结以后,得到一个较为全面的解决多项式不可约的方法,使得在理数域上多项式不可约的判定更加系统化.在遇到特殊的有理数系上的不可约多项式时,可以找到对应的判定方法快捷准确滴解决多项式不可约的判定问题.
解 取 ,则有:
(1) 不能被 整除;
(2) ， ， 不能被 整除;
(3) 不能被 整除.
故 在有理数域上不可约.
3.3.2艾森斯坦因(Eisenstein)间接判别法
有一类 上的多项式不适合用艾森斯坦来判别,因为有些 并不能满足定理的条件,所以想到多项式的等价替换,我们可以尝试对其做适当替换,给出艾森斯坦因间接判别法.
对 进行分解,可分解为
正如上面所说的那样,我们考虑 这个多项式所在的数系仅仅是而是有理数域,但是若是将 放在实数域上,则还可以因式分解为为
并且在复数域上,还可以再进一步因式分解为
由上述分析可以得出结论,必须在给定的数域进行分析,所谓的不可再分只是相对的的,只有明确系数域后,才有确切的涵义.
所以多项式是否可约与数域紧密相关.将数域 作为选定一个系数域, 作为多项环,则关于多项环 在数域 上的多项式的因式分解的不可约定义如下:
.
定义 若一个系数非0且为整数的多项式 ,该多项式的系数 除了 没有其他的公因子,即该多项式的所有系数都是互质的,则该多项式被称作为一个本原多项式.
2.3 有理数域上多项式的等价
设 是有理数域上的任意一个非0的有理系数多项式,通过上述分析可知, 都可以写成 ,其中 为有理数域上任意一个数, 是一个本原多项式，那么称 与 等价,即讨论有理数域上任意一个系数非0的多项式 的问题最终都等价地转换为讨论该多项式的一个本原多项式的问题.
例2设 是有理数域上的一个多项式, ,试证明 在有 上不可约.
解 我们通过前面关于有理根的相关分析和研究,知道士1、士4是 可能存在的有理根,但是 ， .所以运用有理根判别法,我们会得出 在 上是不可约的结论.但是 是有理数域上可约的多项式,因为 .
因此针对次数大于或者等于4的整系数多项式,有理根判别法不适用,这就需要给出其他的判别方法进行判定.
定理 有理系数多项式 在有理数域上不可约的充分必要条件是：对于任意有理数 和 ,多项式 在有理数域上不可约.
证明 (充分性) 反证法.已知 在 上不可约.若 在 上可约,那么可以设 ,（ 为 上多项式),于是 ,这与 不可约矛盾,故 在有理数域上不可约.
(必要性) 反证法.已知 不可约.如果在 上 可约,即
3.5 克朗奈克判别法
例4证明 在有理数域上不可约.
解 ，结合因式分解的唯一性定理可以知道,若 在有理数域上具有可约性,必须是该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故 在有理数域上不可约.
例5证明 在有理数域上不可约.
解 ,结合因式分解的唯一性定理可以知道,若 在有理数域上具有可约性,必须该等式,但由于上述等式右边系数不都是有理数,故 在有理数域上不可约.
3.3.3通过艾森斯坦因(Eisenstein)判别法派生出的一种判别法
定理 设有理数域上 是一个整系数多项式.若存在一个质数 ,使得
(1) 不整除常数项 ;
(2) 整除其他各项的系数;
(3) 不整除最高次项系数 .
则 在有理数域上不可约.
证明若 可约,那么 可以写成: .设
其中 .
于是 .
因 ,而 不能被 整除. 和 其中的一个能被 整除.