特殊数域上的多项式
数域上的一元多项式的带余除法及其应用
莆田学院数学与应用数学系《高等代数选讲》课程论文题目数域上一元多项式环中的带余除法及其应用学生姓名黄秋秋学号010401018专业数学与应用数学（师范）班级数学1012013年 6 月 6 日数域上的一元多项式环中的带余除法及其应用摘要：本文通过介绍了数域上的一元多项式在环数域上的带余除法的定理，证明以及它的两种计算格式和两种求带余除法的算法—辗转相除法和其在数域上的应用并举例子来说明带余除法的广泛用法。
关键词：一元多项式 带余除法 算法一、数域上的一元多项式环中的带余除法的定义与性质[1]带余除法的定义：对于[]p x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠。
一定有[]p x 中多项式()q x ，()r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立。
其中()()()()r x g x ∂<∂或()0r x =。
并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
证明：存在性()1()0f x =，取()()0q x r x ==。
()2设()0f x ≠，令()(),f x g x 的次数分别为,n m 对()f x 的次数n 作数学归纳当n m <时，显然()0q x =，()()r x f x =成立。
当n m ≥时，令,n m ax bx 分别为()(),f x g x 的首项。
显然()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而多项式()()()11n m f x f x b ax g x --=-的次数小于n 或0。
对于次数为0，取()1n m q x b ax --=，()0;r x =对于次数小于n ，由归纳法假设，对()()1,f x g x 有()()11,q x r x 存在。
使 ()()()()111f x q x g x r x =+，其中()()()()1r x g x ∂<∂或者()10r x =。
数域f上次数等于n的全体多项式
数域f上次数等于n的全体多项式
在数学中，我们通常会研究定义在某一数域f上的多项式。
当我们限制多项式的次数时，我们可以得到一个次数等于n的多项式集合。
这个集合中的所有多项式都可以表示为以下形式之一：
p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 其中a_i为数域f上的常数。
现在我们来研究数域f上次数等于n的全体多项式的性质。
首先，我们可以证明这个集合是一个向量空间，它的维度为n+1。
这意味着我们可以用n+1个线性无关的多项式来表示这个集合中的任何一个
多项式。
其次，我们可以证明这个集合中的多项式具有加法和标量乘法的性质。
也就是说，如果我们有两个次数等于n的多项式p(x)和q(x)，以及一个数域f上的常数c，那么它们的和p(x) + q(x)和标量积c·p(x)都是次数等于n的多项式。
最后，我们可以将这个集合中的多项式表示为一个矩阵的形式，这个矩阵被称为范德蒙矩阵。
这个矩阵的第i行第j列的元素为
x_i^{j-1}，其中x_i为数域f上的一个常数。
这个矩阵具有一些特
殊的性质，比如它的行列式值为prod_{i<j}(x_i - x_j)，其中x_i
为数域f上的不同常数。
总之，数域f上次数等于n的全体多项式是一个非常有趣的数学对象，它在数学中有着广泛的应用。
- 1 -。
有理数域上分圆多项式的不可约性
有理数域上分圆多项式的不可约性有理数域上的分圆多项式，也叫线性有理函数，它由一系列“常数"和“幂”组成，并满足特定数学关系，即“多项式函数”。
也就是说，它是一组有关有理数的函数关系，在有理数域上可以被表示为一组简单的函数公式。
有理数域上的分圆多项式有若干特殊性质，其中不可约性是一个重要性质，其原理也是本文的重点内容。
一般来说，分圆的多项式是指当它的次数(即多项式中的项数)不为一时，多项式的其他项(即多项式中的比一次项更高次数的项)可以用较小的多项式相除而得，得出一个多项式比例，而这个多项式比例小数据结构体中的所有分母项，被称为非可约多项式。
化简分圆多项式的方法是一般的方法：把原先的多项式以最高幂的多项式为系数除以最高幂的多项式，得出一个新的多项式，该多项式的次数比原先的多项式的次数少1，即称作除以最高幂的多项式的分子数。
接下来，以新出的多项式系数重复上述操作，直到整个多项式可以分解出有理数作为分子数和分母数，即可以带有系数的分数表示，这就是多项式化简到有理数的方法。
在某些情况下，多项式不能再按上述方法化简为有理数，即没有分数表示，也没有微分解出有理数，此时，多项式就称为不可约多项式。
不可约多项式不产生有理数比例式，而是得到一批多项式，其中有一个多项式的次数和分数的分母一样。
化简的结果是，有理数域上分圆多项式不可约，也就是说它无法归约。
将有理数域上分圆多项式用有理数域上的多项式方法表示方法做进一步讨论，不可约的多项式L(x)，在有理数领域里可以表示为：L(x)=A(x*p+q)+B(x*r+s)其中，A,B,p,q,r,s分别为实数常数，x表示有理数域上变量。
当p/r和q/s 都不等于任何有理数时，多项式不可约。
有理数域上分圆多项式的不可约性，是一个重要的主题，它不仅体现了有理数域上的多项式的特性，而且对学习数学有极大的意义。
从单纯的几何角度来说，当两个平行线表示的不可约多项式曲线相交时，刻画出的曲线形式简单明了，可以更加清晰地表示出不可约多项式的几何性质；从多项式的角度来说，不可约多项式有着一定的函数构造及函数分析性质，具有基础性意义；从数论的角度来说，不可约多项式给了一些有意义的多项式，而这些多项式经常用在大量的数学问题上，所以有必要探讨它们的不可约性及其特性。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式
3.域 扩域,代数元 求 3 5 在有理数域上的极小多项式. 4.根域 确定根域,及扩张次数 有限域的根域存在性,唯一性证明方法 重根与形式微商 Zp上n次不可约多项式根域
Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什 么？ 定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域 是GF(pn)=Zp()
定 理 2( 艾 森 斯 坦 (Eisenstein) 判 别 法 ) ： 设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是 整 系 数 多项 式 ， 若 能 找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0； 那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约 多项式。 p=3
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的 多项式，不一定就可约。 如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件， 前者在有理数域上可约，后者不可约。
2.有限域上的不可约多项式 有限域上的不可约多项式，最直观的就是将 域上所有n次多项式按次数列成表， 次数小的在前面，大的在后，次数相等的按 某种规定排列先后，排在最前面的多项式就 是不可约的，把它圈出来， 再把该多项式倍式的多项式从表中划去。 剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就 是不可约的， 重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量 就很大。
如何判别一个多项式不可约，并没有一个行 之有效的方法 1.在无限数域上的不可约多项式问题 复数域上的任何多项式都是可约的。 实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质， 知道实数域上只有2次不可约多项式。 有理数域，存在任意次不可约多项式。
高等代数 第4章多项式 4.7 特殊域上的多项式
假设对结论次数<n的多项式结论成立， 现考虑 ( f ( x)) n ，由代数基本定理，f ( x) 有一复根 。 若 为实数 则 f ( x) ( x ) f1 ( x) ，其中 若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
高等代数
f ( x) ( x )( x ) f2 ( x) ( x ( ) x ) f2 ( x)
2018/10/5 高等代数
f x 假设结论对n-1次多项式成立，则当 是n次多项式时，由于 f x 在C上至少有一个根， f1 x ，
多项式。由归纳假设知 f1 x 在C上有n-1个根， 它们也是 f x 在C上的根，所以 f x 在C上有 n个根。
2018/10/5 高等代数
f x a0 xn a1xn1
n a1 n1 a0 x x a0
an1x an
an1 an x a0 a0
a0 x 1
a1 a0 1
x n
n
x n
n2
x n 1
n x n 1
1i j n
i j x
1 1 2
n
n
—（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
2018/10/5 高等代数
得根与系数的关系为：
a1 1 n
n1n a2 12 13
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
多项式
(2) 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除
f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x) h (x)
成立. 我们用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 整除 f (x) ，
用“g(x) | f (x)”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式.
的一个最大公因式.
(2) 最大公因式有以下性质：
1) P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)一定有最大 公因式. 两个零多项式的最大公因式是零多项式， 它是唯一确定的. 两个不全为零的多项式的最大 公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子 的差别；这时，首系数为1的最大公因式是唯一 确定的. f(x)与g(x)的首系数为1的最大公因式记为 (f(x), g(x)).
注：由于重因式一定是不可约因式，所以f (x)的
重因式也和所在的数域有关.
(3) 关于重因式有下列结论：
1) 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k重因式
(k 1)，那么它是导数 f (x) 的 k - 1 重因式. 特别
(2) 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x)
的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；
如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式； 如果
k > 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
2) 设f (x) , g(x) 是P[x] 中两个多项式，g(x) 0，
数域F上多项式的最大公因式的讲解
厂 （ ） （ ） ＋ｇ （ ） （ ）＝ｄ （ ） 。 辗转 相除法是求两个多项式 的最大公 因式的一般 方法 ，
－
在每次作除法时用 的是带 余除 法 。它 的原 理 和一般 实例可 以参 见《 高等代数》 ， 为 了运算 的简化 ， 我们 可以用一个 非零
的 一题 多解 。
关键词 ： 多项 式； 最 大公 因式 ； 辗转相 除法； 一题 多解
中图分类号： Ｇ ６ ４ ２ ． ０ ； ０ １ ３
文献标志码 ： Ａ
文章编号： １ ６ ７ ４ — ６ ３ ４ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ １ ０ ７ — ０ ２
ｌ
一 一
ｄ （ ） 的 因式 ； 则称 ｄ （ ） 为 ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 。 定理： Ｆ ［ ］ 对 中任 意两个 多项式 ， （ ） ， ｇ （ ｘ ） ， 则（ １ ） ， （ ） 与ｇ （ ） 的最大公 因式一定存 在 ； （ ２ ） 若ｄ （ ｘ ） 是， （ ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 ， 那么ｃ ｄ（ ） （ ｃ 是 Ｆ 中非 零 常数 ） 也是
’ ＿ｒ
Ｘ—ｌ
０
其 最 后 不为 零的 余式为一 ÷％ 一 ÷， 所以， （ ） 与ｇ （ ） 的 最
大公 因式 （ ， （ ） ， ｇ （ ） ）＝ ＋１ 。
由于两个 多项式 的最大 公 因式 是这两个多项 式辗转相 除时最后不为零 的余式 ， 而在相 除 的一开始或 中途 ， 对 除式
最大公因式的性质 ： 设， （ ） ， ｇ （ ） Ｅ ， ［ ］ ， ｄ （ ） 是ｆ （ ） 与ｇ （ ） 的一个最大公 因式 ， 则存在 “ （ ） ， （ ） Ｅ Ｆ ［ ］ ， 使 得
高等数学(高教版)第一章多项式第二节
(ai bi ) x .
i i 0
n
3. 乘法
f (x) ·g(x) = anbmxn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1
+ … + (a1b0 + a0b1)x + a0b0 , 其中 s 次项的系数是
在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P
上的一元多项式.
在多项式 中，aixi 称为 i
次项，ai 称为
i 次项的系数.
以后我们用 f (x) , g(x) , … 或 f , g ,
… 等来代表多项式.
注意
的形式表达式.
我们这儿定义的多项式是符号或文字
当这符号是未知数时，它是中学所
看应用需要，这个符号还可以 为了能统一研究未知数和其他
asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs
所以 f (x) g(x) 可表成
i j s
a b
i
j
.
s x . f ( x) g ( x) a b i j s 0 i j s
m n
显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘 等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) g(x) ) max( ( f (x) ) , (g(x) ) ) 对于多项式的乘法，可以证明，如果 f (x) 0, g(x) 0 , 那么 f (x) g(x) 0 , 并且
学代数中的多项式. 代表其他待定事物.
Hale Waihona Puke 待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表 达式. 并且还要对它们引入运算来反映各个待定事
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1.7特殊数域上的多项式
1.分别在R 上与C 上分解因式: (1)4
5x -; (2)3
2
423x x x +--
在R 上: 42225((x x x x x x -=+=++
在C 上:425(()()(x x x x x x x x -=++=++
(2) 在R 上与在C 上都有:3
2
4231()(x x x x x x +--=-+
+ 2.已知多项式329609232()f x x x x =---有一个二重根,求()f x 的所有根.
2271209294632()()()f x x x x x '=--=-+,易知32x +是()f x 的因式,所以是
()f x 的二重因式.,所以2328()()()f x x x =+-
3.求下列多项式的有理根. (1)32
61514x x x -+-; (2) 32
4761x x x ---
(3) 5432
614113x x x x x +----
3
2
2
61514247()()x x x x x x -+-=--+,有理根为2 (2) 3
2
2
47614121()()x x x x x x ---=+--,有理根为14
-
; (3) 5
4
3
2
4
61411313()()x x x x x x x +----=+-;有理根为四重根1-,单根3; (4) 4
3243211
65421210822
()x x x x x x x x +
-++=+-++ 3121682()()x x x =
+-+,有理根为12
- 5.判断下列多项式在有理数域是否可约. (1)4
3
2
8122x x x +++;
(2)4
1x + (3)6
3
1x x ++
(4)1p x px ++,p 为奇质数.
(1)对于4
3
2
8122x x x +++;取2p =，则2
181222|,|,|,|,|p p p p p 由爱森斯坦
判别法知4
3
2
8122x x x +++在Q 上不可约。
(2)对于41x +，令1x y =+，
443214642x y y y y +=++++，
取2p =则2146422|,|,|,|,|,|p p p p p p 由爱森斯坦判别法知4324642y y y y ++++在Q 上不可约。
所以4
1x +在Q 上也不可约。
(3)对于6
3
1x x ++，令1x y =+，
则63654321615211893x x y y y y y y ++=++++++，取3p = 则216152118933|,|,|,|,|,|,|,|p p p p p p p p
由爱森斯坦判别法知65432615211893y y y y y y ++++++在Q 上不可约。
所以
631x x ++在Q 上也不可约。
(4)对于1p
x px ++,p 为奇质数. 令1x y =-
则11
222211112()()p p p p p p p p p x px y p y y C y
C y C y py p ---++=-+-+=-+--+-
于是1
2
2
2
12|,|,|,,|,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p p p - ，
由爱森斯坦判别法知111()()p
y p y -+-+在Q 上不可约。
所以1p
x px ++在Q 上也不可约。
6.证明下列多项式在Q 上不可约:
(2) 1
21()p p g x x
x x --=++++ ,P 为素数;
(3) 21()p
h x x px p =++-,P 为素数;
由于1
2112!()()()!p
p p p f x x px
p p x p p x p --=++-++-⋅+
于是211|,|,|(),,|!,|!p p p p p p p p p p -
由爱森斯坦判别法知12112()()!p p p x px p p x p p x p --++-++-⋅+ 在Q 上不可约。
所以()f x 在Q 上也不可约。
(2) 令1x y =+,由于11()()p x g x x -=-,111()()p yg y y +=+-
所以121122
1()p p p p p p p g x x x x y C y C y p -----=++++=++++ 于是12221|,|,|,,|,|,|p p p p p p C p C p C p p p p - ,
由爱森斯坦判别法知1
122
p p p p p y
C y
C y p ---++++ 在Q 上不可约。
所以121()p p g x x x x --=++++ 在Q 上也不可约。
(3) 如果2p =,此时223()h x x x =++由于没有实数根,故在R 上不可约,当然在Q 上也不可约;
如果3p =,则335()h x x x =++,令1x y =+,则32366()h x y y y =+++,取素数3,则由爱森斯坦判别法知32366y y y +++在Q 上不可约,所以335()h x x x =++在Q 上也不可约;
当3p >时,令1x y =+,
则1121()()()p h x y p y p =++++-1
1
23p
p p y C y
py p -=++++
由爱森斯坦判别法知1
1
23p
p p y C y
py p -++++ 在Q 上不可约。
所以21()p h x x px p =++-在Q 上也不可约
7.设()f x 是整系数多项式,证明如果01(),()f f 都是奇数,则()f x 不能有整数根.
设1
110()n
n n n f x a x a x
a x a --=++++
依题设有0a 和012n a a a a ++++ 都是奇数,因此()f x 不可能有偶数根. 如果奇数1c +是()f x 的根,这里c 是偶数. 由于 1212()(),,,,k
k k k k a c a u a k n +=+=
1222
133|,|,|,,|,|,|,|p p p p
p p C p C p C p p p p p p -
所以 111111012()()()n n n n n n f c a u a u a u a a a a ---+=++++++++ 其结果是一个偶数加一个奇数,不可能等于零,所以()f x 不能有整数根
8.设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 是整系数多项式,若0,n a a 都是奇数,11(),()f f -中至少有一个是奇数,证明()f x 没有有理根.
用反证法,假设()f x 有有理根
b
a
,那么,1()()()f x ax b f x =-,这里()g x 也是整系数多项式1211210()n n n n f x b x b x b x b ----=++++ .
首先假定1()f 是奇数,依题意00()f a =, 所以100()bf bb -=-是奇数,故0,b b 都是奇数;
111()()()f a b f =+是奇数,所以11()f 也必然是奇数,同时由于,a b b +都是奇数,所以a 是
偶数,于是1n n a ab -=是奇数导出1n b -是奇数,这说明1()f x 与()f x 具有相同的特点:
10,n b b -都是奇数,11()f 是奇数,但1()()f x f x ∂<∂;
上面的推导还可以继续下去:于是得到一串次数不断降低的多项式满足
12()()()()k f x f x f x f x ∂>∂>∂>>∂>
但()f x 的次数有限,上述步骤只能进行到一次多项式1()n f x a x b -''=+满足:
,a b ''都是奇数,且a b ''+也是奇数,而这时不可能的,所以()f x 没有有理根
同理可以证明1()f -是奇数的情形.
,并且虚数根成对出现(共轭),去掉这些成对的虚数根后,至少剩下一个不能配对的根,因此这个根就只能是实数,所以奇数次实系数多项式至少有一个实数根.。