【精品】2017年河北省保定市定兴三中高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)

2016-2017学年河北省保定市定兴三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1673．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈（0，），x＞sinx B．∃x0∈R，sinx0+cosx0=2C．∀x∈R，3x＞0 D．∃x0∈R，lgx0=07．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）向边长分别为3、4、5的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣9．（5分）正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为：2，则其侧面与底面的夹角为（）A．B．C．D．10．（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．3211．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．112．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13．（5分）命题p：有一个素数含有三个正因数，则￢p为．14．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1当x=4的值时，乘法运算的次数为．15．（5分）已知长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的体对角线的长为．16．（5分）已知椭圆C：9x2+y2=1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A，B，线段AB的中点为M．则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）抽样调查某大型机器设备使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如表部分数据分析如下y i=25，x i y i=112.3，x i=90参考公式：线性回归直线方程为=x+，=（1）求线性回归方程；（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用．18．（12分）已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．19．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．20．（12分）某学校制定学校发展规划时，对现有教师进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在35至50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有l人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取l人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．21．（12分）.已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若定点P（1，1）分弦AB为=，求此时直线l的方程．22．（12分）点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x=2的距离的比为，（Ⅰ）求点M的轨迹．（Ⅱ）是否存在点M到直线+y=1的距离最大？最大距离是多少？2016-2017学年河北省保定市定兴三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【解答】解：因为A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}故选：C．2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；x=1，y=1，k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；x=s=﹣2，y=t=2，k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；x=s=﹣4，y=t=0，k=3时，循环终止，输出（x，y）是（﹣4，0）．故选：B．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D．5．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∀x∈（0，），x＞sinx B．∃x0∈R，sinx0+cosx0=2C．∀x∈R，3x＞0 D．∃x0∈R，lgx0=0【解答】解：对于A，令f（x）=x﹣sinx，∀x∈（0，），f′（x）=1﹣cosx＞0，f（x）=x﹣sinx在（0，）上单增，∴f（x）＞0，∴x＞sinx，∴选项A对；对于B，sinx+cosx=，∵∴选项B错故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．8．（5分）向边长分别为3、4、5的三角形区域内随机投一点M，则该点M与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣【解答】解：∵三角形的三边长分别是3，4，5，∴三角形的为直角三角形，则三角形ABC的面积S=×3×4=6，则该点距离三角形的三个顶点的距离均大于1，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为半径为1的一个整圆的面积的，则阴影部分的面积为S1=6﹣π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，故选：B．9．（5分）正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为：2，则其侧面与底面的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，设点O是底面正方形ABCD的中心，连接OP，则OP⊥平面ABCD．设AB=2x，OP=h．取AB的中点E，连接OE，EP．则∠OEP是侧面与底面所成的二面角的平面角．由由题意可得：=，化为：．∴tan∠OEP==．∴∠OEP=．故选：A．10．（5分）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．32【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．11．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．12．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．10【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13．（5分）命题p：有一个素数含有三个正因数，则￢p为每一个素数都不含三个正因数．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：有一个素数含有三个正因数，则￢p为：每一个素数都不含三个正因数．故答案为：每一个素数都不含三个正因数．14．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1当x=4的值时，乘法运算的次数为5．【解答】解：多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x+1不难发现要经过5次乘法5次加法运算．故答案为5．15．（5分）已知长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的体对角线的长为5．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25，这个长方体的一条对角线长为：5，故答案为：5．16．（5分）已知椭圆C：9x2+y2=1，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A，B，线段AB的中点为M．则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为﹣9．【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y2），M（，），直线OM的斜率k OM=，l的斜率k=，，两式相减可得：9（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1+y2）=0，即•=﹣9，∴k OM•k=﹣9，故答案为：﹣9．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）抽样调查某大型机器设备使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如表部分数据分析如下y i=25，x i y i=112.3，x i=90参考公式：线性回归直线方程为=x+，=（1）求线性回归方程；（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用．【解答】解：（1）由题意得=4，=5，x i y i=112.3，x i=90，所以==1.23，=5﹣1.23×4=0.08，即线性回归方程为=1.23x+0.08；（2）当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38（万元）即估计使用10年时维修费用是12.38万元．18．（12分）已知p：∀x∈R，2x＞m（x2+1），q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0，（1）若q是真命题，求m的范围；（2）若p∧（￢q）为真，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）若q：∃x0∈R，x02+2x0﹣m﹣1=0为真，则方程x2+2x﹣m﹣1=0有实根，∴4+4（m+1）≥0，∴m≥﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）2x＞m（x2+1）可化为mx2﹣2x+m＜0．若p：∀x∈R，2x＞m（x2+1）为真．则mx2﹣2x+m＜0对任意的x∈R恒成立．当m=0时，不等式可化为﹣2x＜0，显然不恒成立；当m≠0时，有∴m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）¬q：m＜﹣2又p∧¬q为真，故p、¬q均为真命题．∴∴m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）19．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．【解答】（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB．因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB；（2）解：因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．由于SN=NB，所以NE=SD==CM•BM=所以S△CMB所以V B=V N﹣CMB=S△CMB•NE==﹣CMN20．（12分）某学校制定学校发展规划时，对现有教师进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在35至50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有l人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在该校教师中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取l人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【解答】解：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人设本科生为A1，A2，A3，研究生为B1，B2，从中任取2人的所有基本事件共10个：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，A1A2，A1A3，A2A3，B1B2，其中至少有一人的学历为研究生的基本事件有7个：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，∴至少有一人为研究生的概率为：p=．（2）由题意得：，解得N=78，35至50岁中抽取的人数为78﹣48﹣10=20，∴，解得x=40，y=5．21．（12分）.已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若定点P（1，1）分弦AB为=，求此时直线l的方程．【解答】解：（1）由于直线l的方程是mx﹣y+1﹣m=0，即y﹣1=m（x﹣1），经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，故直线和圆恒有两个交点．；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由=，得=，∴1﹣x1=（x2﹣1），化简的x2=3﹣2x1…①又由直线代入圆的方程，消去y得：（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）∴x1+x2=…②由①②解得x1=代入（*）式解得m=±1，∴直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=022．（12分）点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x=2的距离的比为，（Ⅰ）求点M的轨迹．（Ⅱ）是否存在点M到直线+y=1的距离最大？最大距离是多少？【解答】解：（Ⅰ）由题意得=化简得=1所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为2，2的椭圆．（Ⅱ）设直线m平行于直线l，m：+y=t，联立椭圆方程，消去x，可得（t ﹣y）2=1﹣y2，令关于y方程（t﹣y）2=1﹣y2的根的判别式为零解得t=．当t=﹣时直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远，d==．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。