03第三章 平面任意力系
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第03章 平面任意力系(第4-6讲)
第 4 讲教案第4讲平面任意力系简化第三章 平面任意力系力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系。
（简易吊车梁）当物体所受的力对称于某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面力系。
本章将讨论平面任意力系（简称平面力系）的简化和平衡问题。
§3-1 力线平移定理实际工程与实际生活中与力线平移有关的例子是很多的。
例如、驾船划桨，若双桨同时以相等的力气划，船在水面只前进不转动；若单桨划，船不仅有向前的运动，而且有绕船质心的转动。
此外，乒乓球运动中的各种旋转球也都与力线平移有关。
F A xF AyG 1 G 2F BABα设计： 1、用图片（课件中的简易吊车梁受力）引入平面任意力系。
2、启发学员思考分析任意力系合成和平衡问题的方法：化复杂问题为简单问题。
3、由分析方法引出力线平移设计： 1、用动画讲解力线平移定理。
ABCα定理：作用在刚体上某点的力F可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对新作用点的矩。
如图。
证明：在点B上加一平衡力系(F',F")，令F'=-F"=F。
则力F与力系（F',F",F）（图b）等效或与力系[F',(F,F"）]（图c）等效。
后者即为力F向B点平移的结果。
附加力偶（F,F’）的力偶矩M=Fd=M B(F)证毕。
·该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。
其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。
·该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。
例1、如单手攻丝时（图），由于力系（F'，M O）的作强调：1、该定理表明一个力可分解为同平面内的一个力和一个力偶。
2、其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可合用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
工程力学-平面任意力系
即：
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
第三章平面任意力系
平面任意力系
主矢、主矩
固端约束力
简化
分解主矢
=
=
≠
=
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
三、平面任意力系的简化结果分析
通过分析，平面任意力系的简化得到主矢和主矩。
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
=
当主矢和主矩为零或非零时，其结果如何？
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化 三、平面任意力系的简化结果分析
Pz
A
M P d cos
P
2
例3-1 已知：力P、轮A的直径d,将
图示力P分解后，向轴线平移。
M
解：1)建立坐标系
x
B
2)将力P分解成Pz和Py分量
Pz Pcos
Py Psin
M
3)将Pz向轴线平移
B
力线向一点平移时所得附加力
偶等于原力对平移点之矩。
力偶M’与M 平衡。
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
M O2x2F2yy2F2x
y1
Mo (Fi ) (xiFiy yiFix )
所以得： M O R R x iF iy y iF ix 第三章平面任意力系
（b）
§3-1 平面任意力系的简化 五、平面任意力系的平衡
如果主矢、主矩均为零，原力系平衡。
主矢 主矩
FR 0
MO Mo (Fi ) 0
（3-5）
第三章平面任意力系
§3-1 平面任意力系的简化
例3-2 已知：P1 450kN, P2 200kN, F1 300kN,
F2 70kN; 求：
主矢 FR Fi 主矩 MO MO (Fi )
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
工程力学-材料力学-第03章 平面任意力系(邱清水)
3.1
（2 M O F M 2 F2 cos 60 2 F3 3F4 sin 30 2.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，故最后合成结果是一个合力 FR，合力到O点的距离为
d M O FR 0.421 m
A B C
附加条件：A，B，Ｃ 三点不共线直
为什么要附加条件？
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
平面平行力系的平衡方程：
如果选Oxy坐标系的y轴与各力平
行，则不论力系是否平衡，各力在x轴
上的投影恒等于零。 于是，平面平行力系的平衡的数 目只有两个 即
F 0 M F 0
y O
或
M F 0 M F 0
A B
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.平面任意力系平衡方程的应用
力系平衡方程主要用于求解单个物体或物体系统平衡时 的未知约束力，也可用于求解物体的平衡位置和确定主动 力之间的关系。 应用平衡方程解题的大致步骤如下： 1）选取研究对象，画出受力分析图； 2）选取坐标系，列出平衡方程； 3）求解方程组。
2
FRy arctan FRx
F F F arctan F
2
2
2
x
y
y
x
3.1 平面任意力系的简化.主矢与主矩 3．固定端（或插入端）约束
图(a)为固定端约束在计算时所用的简图。物体在固嵌部分所 受力是比较复杂的（图(b)），但当物体所受主动力为一平面 力系时，这些约束力亦为平面力系，可将它们向A点简化得一 力和一力偶（图(c)）。这个力可用两个未知正交分力来代替。 因此，在平面力系情形下，固定端A处的约束作用可简化为两 F 个约束力 F Ax ， Ay和一个约束力偶 M A （图(d)）。
工程力学 第3章 平面力系的平衡
3.3.1 静定和静不定的概念
F A
C
l/2 l/2
l
FAy F
A
FAx
C
(c)
B 约束力中未知量个数为 2，而独立的静力学平衡方程 个数为 3，一般情况下，平衡方程无法得到全部满足， 即刚体无法保持平衡。静力学范围内无解。 实际上，这类问题属于动力学范畴，未知约束力须由
B 动力学原理求解。 或系统的主动力满足一定条件时也可以平衡。
3.3.1 静定和静不定的概念
F
A
B
C
l/2 l/2
l
FAy F
A
FAx
FB
B C
Fx Fy
0 0
M A 0
FAx FAy
0 F
FB
0
FB
2l
F
l
/
2
0
FAx 0
FAy
3F 4
FB
F 4
独立的平衡方程的个数与约束力中未知量的个数相等， A、B 两处的约束力可由独立的平衡方程求解得到
(a)
唯一的一组解。
平面力系的平衡
3.3 静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题
3.3.1 静定和静不定的概念
F A
C
l/2 l/2
l
B
Fx Fy M
0 0 A 0
FAx FAy FB
0 F FB FC 2l FC l F
l
0 /2
0
FAx FAy FB
Mi 0
平面力系的平衡
3.1 平面任意力系的平衡条件·平衡方程
力系类型 平面任意力系 平面汇交力系 平面平行力系 平面力偶系
独立平衡方程个数 3 2 2 1
第三章 平面任意力系和平面平行力系
10
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
理论力学平面任意力系
齿轮II上旳力偶矩M；轴 承A，B处旳约束力。
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）
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mO2 ( F ) FD2 cos 0 2
D2 cos 0 12
F
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
第二节 力偶与力偶矩
一、力偶的概念
大小相等方向相反作 用线互相平行的两个 力叫做力偶。并记为 （F，F´）。 力偶中两个力所在的 平面叫力偶作用面。 两个力作用线间的垂 直距离叫力臂
5 RA m 0 m 100 20kN 5 5 RB RA 20kN RA
计算结果RA、RB皆为正值，表示它们假设的指向与实际的指向相同。
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
3-5 图3-19中梁AB处于平衡，如何确定A和B处约束反力的方 向？根据是什么？（图中力的单位为N，长度单位为cm）。
X 0, Y 0,
X A T cos 0 YA P Q T sin 0
l （求解过程略） Qa 0 2 （4）分析讨论 ，反力随重物的位置而变化，应按反力的最大值进行设计
m A ( F ) 0, T sin l P
力偶与力矩
力对点之矩
矩心
力臂
F
F使物体 绕O点转动效应的物理 量称为力F 对O点的力矩。O称 为力矩中心。点到力的作用线 的垂直距离称为力臂。 F对O点之矩：力矩
mo ( F ) Fd
+
_
力矩的单位：牛顿米(N· m) 或千牛顿米(kN· m)
力对点之矩 力偶与力矩 力偶的等效 合成与平衡 小 结
• 3-1 图3-15中设AB=l，在A点受四个大小均等于F的力F1. 、 F2 、.F3和F4作用。试分别计算每个力对B点之矩。
F1
简化结果：
主矩
主矢： 主矩：
只是原力系的向量和，所 以它与简化中心的选择无 关。而力系对于简化中心 的主矩Lo 显然与简化中心 =mo(F) 的选择有关。 原力系的主矩等于原力系中各力对O点之矩的代数和。 Lo=m1+m2+· · · +mn =mo(F1)+mo(F2)+· · · mo(Fn)
力对点之矩 力偶与力矩 力偶的等效 合成与平衡 小 结
力偶的三要素
力偶的大小 力偶的转向
力偶矩：力偶对物
体转动效应的度量 m( F , F ' ) Fd
力偶矩的单位：
牛顿米（N· m)或千 牛顿米(kN· m)
力偶的作用平面
y F’ d F
m Fd
+
d F’
_
力 偶 矩 矢
三力矩式：
mA(F ) 0 mB ( F ) 0 mC ( F ) 0
A、B、C三点不能在一条直线上
取矩点
取矩点
取矩点
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
一般式： 取矩点
X 0 Y 0 m (F ) 0
A
取矩点
解：（1）选横梁AB为研究对象
（2）放坐标轴，画受力图 （3）列平衡方程，求未知量
• 重要推论(不适于变形体)
• 1 力偶可以在作用面内任意转 移，而不影响它对物体的作 用效应。 • 2 在保持力偶矩的大小和转向 不改变的条件下，可以任意 改变力和力偶臂的大小，而 不影响它对物体的作用。
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
三、 平面力偶系的合成与平衡
• 平面力偶系的合成结果 为一合力偶，合力偶等 于各已知力偶矩的代数 和。
x
o
x
A
F
mo(F)
o
力偶无合力
mo ( F ) mo ( F ' ) Fx F ' ( x d ) Fx F ' x F ' d F ' d
o
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
二、力偶的等效
• 平面力偶的等效定理
• 在同一平面内的两个力偶，只 要它们的力偶矩大小相等、转 动方向相同，则两力偶必等效。
力对点之矩 力偶与力矩 力偶的等效 合成与平衡 小 结
R´=F1+F2+· · · +Fn=F
注意：力系的主向量R´
第5节
简化结果：
简化结果的分析 合力矩定理
（1）若 R´=0, Lo0
则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于简化中心的主矩。
（2）若R´ 0, Lo=0
则R´即为原力系的合力R，通过简化中心。
2力偶也是力学的一个基本概念。 （1）力偶是由等值、反向、作用线不重合的二平行力所组 成的特殊力系。它对物体只产生转动效应，可用力偶矩来度 量它。即
m F d
应注意力偶臂d是两力作用线间的垂直距离。 （2） 力偶无合力，力偶不能与一个力相平衡，只能与另一 个力偶相平衡。力偶的最重要的性质是等效性，在保持力偶 不变的条件下，可任意改变力和力偶臂，并可在作用面内任 意搬移。
第 6节
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件 力系的主向量R´和力系的主矩Lo
都等于零。即
2 2 R Rx Ry ( X ) 2 ( Y ) 2 0
Lo mo ( F ) 0
X 0 Y 0 m (F ) 0
o
一般式：
取矩点
M mi
• 平面力偶系平衡的必要 和充分条件是：力偶系 中各力偶矩代数和等于 零。
m 0
i
=
=
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
例3-3 在汽缸上要钻四个相同的孔，现估计钻每个孔的切削力偶矩 m1=m2=m3=m4=m=-15Nm,当用多轴钻床同时钻这四个孔时,问工件受 到的总切削力偶矩是多大? • 解:作用在汽缸上的力偶大小相等,转 向相同,又在同一平面内,因此这四个 力偶的合力矩为
力系中所有各力在两个任选坐 标轴的每个轴上的投影的代数和分 别等于零，以及各力对于平面内任 意一点之矩的代数和也等于零。
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
二力矩式：
X 0(或 Y 0) mA(F ) 0 mB ( F ) 0
取矩点
取矩点
A、B两点连线不能与x轴（或y轴）垂直
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
工程中的平面一般力系问题
定义：如果作用在物体上诸力的作用线都分 布在同一平面内，不汇交于同一点，也不互 相平行，这种力系称为平面一般力系（简称 平面力系） Q
P
A P XA YA A
力对点之矩
Q
B
RB B
力偶与力矩 力偶的等效 合成与平衡 小 结
工程中的平面任 意力系问题
M m m1 m2 m3 m4 4m 4 ( 15) 60N m
负号表示合力偶矩顺时针方向转动。知道总切削力偶矩之后，就可 考虑夹紧措施，设计夹具。
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
例3-4 梁AB受一力偶作用，其矩 m=-100kNm. 尺寸如图所示 ，试求 支座A、B的反力。 解：（1）取梁AB为研究对象
力对点之矩 力偶与力矩 力偶的等效 合成与平衡 小 结
（3）力偶在任意坐标轴上的投影等于零。力偶对任一点 之矩为一常量，并等于力偶矩。
（4）平面力偶系合成为一个合力偶，合力偶矩等于诸分 力偶矩的代数和。即
M m
（5）平面力偶系的平衡方程是
m 0
由此方程可求出一个未知量，它是解平面力偶系平衡 问题的基本方程。
r A
F"
m mB ( F )
m Fr cos 0
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
第4节 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
• 设物体上作用一平面力系F1，F2，，Fn,如 图所示。在力系所在平面内任选一点O，称为 简化中心。
作用于联轴器上的力有电 动机传给联轴器的力偶， 每个螺栓的反力，其方向 如图所示。如假设四个螺 栓的受力均匀，即 P1=P2=P3=P4=P，则组成 两个力偶并与电动机传给 联轴器的力偶平衡。于是 由 m 0 :
m P AC P BD 0 AC BD m 2.5 P 8.33kN (每个螺栓所受的力) 2 AC 2 0.15
第三章 平面任意力系
第 三 章 平 面 汇 交 力 系
§3-1 平面力对点之矩
§3-2 力偶 §3-3 力线平移定理 §3-4 平面任意力系向已知点的简化 力系的主矢和主矩
§3-5 简化结果的讨论 合力矩定理
§3-6 平面任意力系的平衡
第一节 平面力对点之矩
• 1 力F对O点之矩不仅取决于力的 大小，同时还与矩心的位置有关。 • 2 力F对任一点之矩，不会因该 力沿其作用线移动而改变,因为此 时力臂和力的大小均未改变。 • 3 力的作用线通过矩心时，力矩 等于零。 • 4 互相平衡的二力对同一点之矩 的代数和等于零。 • 5 作用于物体上的力可以对物体 内外任意点取矩计算。
（3）若 R´ 0, Lo0
则力系仍然可以简化为一个合力。
d=L0 /R´
力对点之矩
力偶与力矩
力偶的等效
合成与平衡
小 结
合力矩定理
数和。 例 4－ 1
若平面力系可以合成为一个合力时，则其合力对