03平面任意力系
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第03章+平面力系
物系平衡的特点： ① 当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平 衡状态。 ② 每个单体可列3个平衡方程, 整个系统可列3n个方程 （设物系中有n个物体） 在求解静定的物体系的平衡问题时, 可以选每个物体为研 究对象, 列出全部平衡方程，然后求解；也可以先取整个系统 为研究对象, 列出平衡方程，求出部分未知量，再从系统中选 取某些物体作为研究对象, 列出另外的平衡方程，直至求出所 有的未知量为止。
Fy =0 mO (F )=0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
m A (F )=0 mB (F )=0
例3-3 求图示刚架在A、B端所受的约束反力。
解：⑴ 作刚架的受力图。 ⑵ 列出平衡方程：
cos45 å F =0, F 窗 sin45 å F =0, F 窗
x A
y
A
+ F =0 + FB =0
(1)正负号的规定 (2)投影是代数量 (3)力沿轴的分力与力在轴上的投影的区别
Fy Fx cos a = , cos b = F F
讨论：力的投影与分量
y
y
y
F
Fy
O
F
F
Fy
F
O
Fx
x
Fy
O
Fx
x
O
Fx
x
Fx
x
分力Fx=？
⑴ 力F在垂直坐标轴 x、y上的投影与沿轴分 解的分力大小相等。 ⑵ 力F在相互不垂直的轴 x、y‘上的投影与沿 轴分解的分力大小是不相等的。
例3-5 试计算刚架支座A、B的约束反力。
解：⑴ 取整体为研究对象，列出平衡方程：
å å
å
Fx =0, FAx +10kN - FBx =0
第03章 平面任意力系(第4-6讲)
第 4 讲教案第4讲平面任意力系简化第三章 平面任意力系力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系。
（简易吊车梁）当物体所受的力对称于某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面力系。
本章将讨论平面任意力系（简称平面力系）的简化和平衡问题。
§3-1 力线平移定理实际工程与实际生活中与力线平移有关的例子是很多的。
例如、驾船划桨，若双桨同时以相等的力气划，船在水面只前进不转动；若单桨划，船不仅有向前的运动，而且有绕船质心的转动。
此外，乒乓球运动中的各种旋转球也都与力线平移有关。
F A xF AyG 1 G 2F BABα设计： 1、用图片（课件中的简易吊车梁受力）引入平面任意力系。
2、启发学员思考分析任意力系合成和平衡问题的方法：化复杂问题为简单问题。
3、由分析方法引出力线平移设计： 1、用动画讲解力线平移定理。
ABCα定理：作用在刚体上某点的力F可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对新作用点的矩。
如图。
证明：在点B上加一平衡力系(F',F")，令F'=-F"=F。
则力F与力系（F',F",F）（图b）等效或与力系[F',(F,F"）]（图c）等效。
后者即为力F向B点平移的结果。
附加力偶（F,F’）的力偶矩M=Fd=M B(F)证毕。
·该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。
其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。
·该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。
例1、如单手攻丝时（图），由于力系（F'，M O）的作强调：1、该定理表明一个力可分解为同平面内的一个力和一个力偶。
2、其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可合用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。
平面任意力系
M P sin θ FAy = - + l 2
M F 0 ∑
B i
例2：如图所示支架，其中Q=Q'，求A、B处的约束力。
F
A
Q
r
r
B
解：1）以AB为研究对象
2）列平衡方程
a
FAy
Q
l
2Qr
∑M
A
=0
FB cosα l - Fa - 2Qr 0
F
FAx
B
FB
A
B
F l a 2Qr FAy l 0
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主 矢和力系对任一点的主矩都等于零，即
RO ∑ Fi 0
MO ∑ M O Fi 0
2 R ∑X 2 ∑ Yi 0 O i M o M o Fi 0
O O
b） R 0, M 0 力系简化为一个力偶，其力偶矩等于主矩Mo。
O O
c） RO 0, M O 0 力系可以简化为一个合力R，其大小和方向均与
Ro相同，而作用线与简化中心点 O 的距离为: d M O RO 。
R 0, M 0 原力系为平衡力系， 其简化结果与简化中心的 d）
例2：水平外伸梁AB，若均布载荷q=20kN/m，P=20kN，力
偶矩m =16kN· m，a =0.8m。求支座A、B处的约束力。
FA
FB
解：（1）选梁AB为研究对象，画受力图。
（2）属于平面平行力系，列平衡方程求解未知量。
M M
A
0 0
B
a m qa p 2 a FB a 0 2 3a m qa p a FA a 0 2
M F 0 ∑
B i
例2：如图所示支架，其中Q=Q'，求A、B处的约束力。
F
A
Q
r
r
B
解：1）以AB为研究对象
2）列平衡方程
a
FAy
Q
l
2Qr
∑M
A
=0
FB cosα l - Fa - 2Qr 0
F
FAx
B
FB
A
B
F l a 2Qr FAy l 0
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主 矢和力系对任一点的主矩都等于零，即
RO ∑ Fi 0
MO ∑ M O Fi 0
2 R ∑X 2 ∑ Yi 0 O i M o M o Fi 0
O O
b） R 0, M 0 力系简化为一个力偶，其力偶矩等于主矩Mo。
O O
c） RO 0, M O 0 力系可以简化为一个合力R，其大小和方向均与
Ro相同，而作用线与简化中心点 O 的距离为: d M O RO 。
R 0, M 0 原力系为平衡力系， 其简化结果与简化中心的 d）
例2：水平外伸梁AB，若均布载荷q=20kN/m，P=20kN，力
偶矩m =16kN· m，a =0.8m。求支座A、B处的约束力。
FA
FB
解：（1）选梁AB为研究对象，画受力图。
（2）属于平面平行力系，列平衡方程求解未知量。
M M
A
0 0
B
a m qa p 2 a FB a 0 2 3a m qa p a FA a 0 2
平面任意力系(有汇交力偶总结)
此时原力系为一平衡力系。
由上可知，平面任意力系简化的最后结果有三种 可能性，即：可能为一个力、可能为一个力偶、或者 可能平衡。
综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为： ① 任选一简化中心； ② 计算力系的主矢和对简化中心的主矩； ③ 对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。
三、平面任意力系的平衡条件及平衡方程
3、主矢和主矩的解析表达式
F1x F2 x Fnx Fx FRx
F1 y F2 y Fny Fy FRy
所以，主矢的大小和方向可分别 由以下两式确定：
y
’ F F 34 F m m3 R F1 2 m1 O O F4’ m4 F1’ MO O F5 ’ m F 5 F3 5
Fi FR
mi mO Fi
M O mi mO Fi
结论：平面任意力系向已知点简化的结果为一力和一 力偶。将该力称为主矢；该力偶称为主矩。
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
1、主矢
该力等于汇交力系的矢量和，即：
FAy 固定支座所产生的约束 反力可用水平、铅垂两个方 向分力及一个约束反力偶共 三个约束反力构成。 MA A
FA FAx
4、简化结果分析
(1) 当主矢FR 0，主矩 M O 0时 FR’
O
由力的平移定理的逆过程 可知，原力系最后可以简化为 一个合力。
合力作用线到点O的距离d， 可由下式计算：
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：其主矢和对简 化中心的主矩同时为零，即
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
平面任意力系的合成与平衡条件(建筑力学)
平面汇交力系 合成 FR=Fi 平面力偶系 合成 M=Mi
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零 FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
MO MO (Fi ) 0
平面任意力系 的平衡方程
Fx 0
Fy 0 MO(Fi ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡方程的基本式
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量 （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可 （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合 成与平衡条件
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系
平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系：各力的作用线在同一平面 内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。 研究方法：
（平面任意力系） 未知力系
力系向一点简化
已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
平面任意力系的简化
F Bd
A
F′
F Bd
A F′ ′
F′ M
B A
M=±F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同 时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
平面任意力系的简化
为什么钉子有
时会折弯？ F ′ F
M
两圆盘运动形式 是否一样？
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 MA(F ) 0 。
静力学-03-平面一般力系
平面力系的平衡
当Q=180 kN，满载W=200 kN时
mA(F )0
Q62 P2W 12 2 NB 4 0
Fi 0,
QPW N A NB 0
NA 210 kN NB 870 kN
平面力系的平面力系的平衡
平面力系的平衡
平面力系的平衡
平面一般力系
1.平面力系的简化 2.平面力系的平衡 3.物体系平衡
X 0
mA(F) 0
Y 0
XA 0
RB
a
q
a
a 2
m
P
2a
0
YA RB qa P 0
RB 12 kN
YA 24 kN
平面力系的平衡
平面平行力系
各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
平面平行力系的平衡条件
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
两个独立方程 只能求解两个独立的未知数
mA (Fi ) 0
mB (Fi ) 0
二矩式
AB连线不能平行于力的作用线
平面力系的平衡
已知：塔式起重机 P=700 kN, W=200 kN (最大起重量)，尺寸 如图。求： ①保证满载和空载时不致翻倒， 平衡块Q=？ ②当Q=180 kN时，求满载时轨道 A、B给起重机轮子的反力？
平面力系的平衡
平面力系的平衡
物体系平衡
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在材料力学中用位移协调条件来求解。
物体系平衡
物体系：由几个物体组成的系统,它们之间通过约束相连。 n个物体组成的系统: 最多3n个方程,可解3n个未知量。
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
第3章平面一般力系
平面一般力系包含以下几种特殊力系： （1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。 （2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面 内且相互平行的力系。 （3）平面力偶系：各力偶作用面共面。
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
M A / FR 2375.0 / 711.5 d a = AC = = = = 3.52 m o sin ϕ sin ϕ sin 71.6
§3.2 平面任意力系的简化
四、 合力矩定理
平面任意力系的合力对于点O之矩等于原力系对简化中心 O的主矩，即：
M O = M O ( FR ) M O = ∑ M O (F )
第3章 平面任意力系
§3.1 力线平移定理 §3.2 平面任意力系的简化 §3.3 平面任意力系的平衡条件 和平衡方程 §3.4 物体系统的平衡静定 和静不定问题 §3.5 平面桁架
§3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、 平面任意力系的平衡方程
′ =0 保证物体移动平衡 由于 FR MO=0 为转动平衡
§3.2 平面任意力系的简化
二、主矢和主矩
建立坐标系oxy
′ = F1 x + F2 x + ⋅⋅⋅ + Fnx = ∑ Fx FRx ′ = F1 y + F2 y + ⋅⋅⋅ + Fny = ∑ Fy FRy
y
MO
r ′ FR
α
O
主矢大小 ′ = ( FR ′x )2 + ( FR ′y )2 = ( ∑ Fx )2 + ( ∑ Fy ) 2 FR 主矢方向 r r ′，i ) = cos( FR
工程力学(北航版)——第四章：平面任意力系
∑mA(F)=0
Q(6 − 2) − P ⋅ 2 + FB (2 + 2) = 0
限制条件为： 限制条件为： FB ≥ 0
解得： 解得：
Q≤350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q≤350 kN
当W=400KN时，Q的范围？ W=400KN时 的范围？
MO =
∑M
Oi
方向： 方向 方向规定 +
M A ≠ MO
7
简化中心： 简化中心 (与简化中心有关)
3. 平面一般力系的合成结果
′ 初步简化结果： 初步简化结果：主矢 FR ，主矩 MO，下面分别讨论。
′ ， ① FR =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ，
′ ② FR = 0 , M O ≠ 0 即 简 化 结 果 为 一 力 偶 M = M O = ∑MOi， 此 时
刚体等效于只有一个力偶的作用（因为力偶可以在刚 体平面内任意移转，故这时，主矩与简化中心O无关。） ③ FR ≠0, O =0, ′ ≠0,M =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
′ 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR = FR 。（此时 ,
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
8
′ ≠0,M ≠0,为最一般的情况 此种情况还可以继续简 为最一般的情况。 ④ FR ≠0, O ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 FR 。
′ F R = F ′ R = − FR′ ′ M O = FR ⋅ d
F'R F'R F''R A FR FR
(完整)03平面任意力系
第三章 平面任意力系3-1 已知N 1501=F ，N 2002=F ，N 3003=F ，N 200'==F F 。
求力系向点O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。
解：(1） 求合力R F 的大小5210121321⋅-⋅-⋅-=∑F F F F xN 62.4375230010120021150-=⋅-⋅-⋅-= 5110321321⋅-⋅-⋅-=∑F F F F yN 62.1615130010320021150-=⋅+⋅-⋅-= 主矢 N 5.466)62.161()62.437()()('2222R =-+-=∑+∑=y x F F F 主矩 852021031⋅-⋅+⋅=F F F M Om N 21448200520300210150⋅=⋅-⋅+⋅=(逆时针转向)合力R F 在原点O 的左侧上方，如图(a ）所示，且N 5.466'R R ==F F (2） 求距离dcm 59.45.4662144'===R M d O3—3 如图所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。
已知飞机的重量为kN 30=W ,螺旋桨的牵引力kN 4=F .飞机的尺寸：m 2.0=a ，m 1.0=b ， m 05.0=c ,m 5=l 。
求阻力x F 、机翼升力1y F 和尾部的升力2y F 。
解：选择坐标系如图（a)所示。
0=∑x F ，0=-F F x ，kN 4==F F x 0=∑A M ，0)()(2=+--+c b F W a l a F ykN 27.1)(2=+++=la cb F Wa F y0=∑y F ，021=-+W F F y ykN 7.2821=-=y y F W F3—5 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机,作用在机翼OA 上的气动力按梯形分布：kN/m 40 ,kN/m 6021==q q ，机翼重kN 451=W ，发动机重kN 202=W ，发动机螺旋桨的作用力偶矩m kN 18⋅=M 。
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M A 0 ， FN sin 15 1200 FRB
FRB 22.4 kN （拉力）
600 400 2 600 2
500 0
9
Fx 0 ， FAx FN sin 15 FRB FAx 4.67 kN Fy 0 ， FAy FN cos15 FRB
M A 0 ， Fy 2 (a l ) Wa F (b c) 0
Wa F (b c) 1.27 kN al F y 0 ， F y1 F y 2 W 0 Fy 2 Fy1 W Fy 2 28.7 kN
3-5 如图所示，飞机机翼上安装一台发动机，作用 在 机 翼 OA 上 的 气 动 力 按 梯 形 分 布 ： q1 60 kN/m, q 2 40 kN/m ， 机 翼 重
Wr r4 cos Fy 0 ， FO 3 y W F1 cos 0 F1 r ) r4 Fx 0 ， FO 3 x F1 sin 0 Wr tan FO 3 x r4 FO 3 y W (1
(二)研究对象：轮O 1 ，受力图（b） M O1 0 ， F2 cos r1 M 0
3-15 如图所示，轧碎机的活动颚板 AB 长 600 mm。设 机构工作时石块施于板的垂直力 F 1000 N 。又 BC CD 600 mm ，OE 100 mm 。略去各杆的重量，试根据平衡条 件计算在图示位置时电机作用力偶矩 M 的大小。 解：一、取 AB 杆为研究对象，如图（a）所示。 M A 0 ， F 400 FBC 600 0
FNA W1 W2 W FNB 33.2 kN b）当 R 5 m 时，保证起重机不翻倒的 W。 起重机不翻倒临界状态时， FNA 0 。 M B 0 ， W1 (a l 2 ) W2 (l 2 b) W ( R l 2 ) 0 1 W [W1 (a l 2 ) W2 (l 2 b)] 52.2 kN R l2 即 Wmax 52.2 kN
MA 0 W1 (l1 a ) W2 (l1 b) W ( R l1 ) FNB (l1 l 2 ) 0 1 FNB [W1 (l1 a ) W2 (l1 b) W ( R l1 )] l1 l 2
96.8 kN Fy 0, FNA FNB W1 W2 W 0
600 400 2 600 2 600 400 600
2 2
0
0
FAy 47.7 kN
3-11
如图所示，组合梁由 AC 和 CD 两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起重机重 W1 50 kN ，重心在铅直线 EC 上，起重载荷 W2 10 kN 。如不计梁重，求支座 A、B 和 D 三处的约束反力。 解： （一）取起重机为研究对象，如图（a）所示。
M F 0, FNG 2 W1 1 W2 5 0 1 FNG (W1 5W2 ) 50 kN 2
（二）取梁 CD 为研究对象，如图（b）所示
' M C 0, FN G 1 FRD 6 0 1 ' FRD FN G 8.33 kN 6
3-13 由 AC 和 CD 构成的组合梁通过铰链 C 连接。它的支承和受力如图所示。已知均布载 荷强度 q 10 kN/m ，力偶矩 M 40 kN m ，不计梁重。求支座 A、B、D 的约束反力和 铰链 C 处所受的力。 解：一、取 CD 梁为研究对象， 受力图及坐标系如图（a）所示。
10
M A 0 ， FRB 2 FR' C 4 2q 3 0 1 FRB (4 FR' C 6q) 40 kN 2 Fy 0 ， FRA FRB FR' C q 2 0
FRA FR' C 2q FRB 15 kN
3-7 如图所示，液压式汽车起重机全部固定部分（包括汽车自重）总重 W1 60 kN ，旋转 （a）当 部分总重 W2 20 kN ， a 1.4 m ， b 0.4 m ， l1 1.85 m ， l 2 1.4 m 。试求：
R 3m ， 起吊重量 W 50 kN 时， 支撑腿 A、 B 所受地面的支承反力； （b） 当 R 5 m 时， 为了保证起重机不致翻倒，问最大起重量为多大？ 解：取整体为研究对象，其受力图及坐标系如图（a）所示。 a）当 R 3 m ， W 50 kN 时，求 FNA ， FNB 。
' M E 0 , FDy
M 2a
(↓)
(二)研究对象：DE 杆，受力图(b)
M (↓) a
（三）研究对象：ADB 杆，受力图(c)
M A 0 , FDx 0 Fx 0 , FAx 0 Fy 0 ， FDy M a FAy
(↑)
M 2a
(↓)
3-21 图示构架中，物体重W=1200N，由细绳跨过滑轮E而水平系于墙上，尺寸如图。不计 杆和滑轮的重量，求支承A和B处的约束反力，以及杆BC的内力F BC 。 解：一、取整体为研究对象，受力图及坐标系如图(a)所示。绳索拉力 FT W 1200 N
FRO W1 W2 FQ1 FQ 2 385000 N 385 kN M0 0 M 0 FQ1 3 FQ 2 4 5 W1 3.6 W2 4.2 M 0 M 0 M 3.6W1 4.2W2 3FQ1 4.5FQ 2 1626000 N m 1626 kN m (与原设反向)
（三）取整体为研究对象，其受力图及坐标如图（c）所示
M A 0, FRB 3 FRD 12 W1 6 W2 10 0 1 FRB (6W1 10W2 12 FRD ) 100 kN 3 Fy 0, FRA FRB FRD W2 W1 0 FRA P2 P1 FRB FRD 48.3 kN
300
20
200 8 2144 N m （逆时针转向）
'
合力 FR 在原点 O 的左侧上方，如图（a）所示，且 FR FR 466.5 N (2) 求距离 d
d
MO 2144 4.59 cm R' 466.5
3-3 如图所示，当飞机作稳定航行时，所有作用在它上面的力必须相互平衡。已知飞机的 重量为 W 30 kN ，螺旋桨的牵引力 F 4 kN 。飞机的尺寸： a 0.2 m ， b 0.1 m ， c 0.05 m ， l 5 m 。求阻力 F x 、机翼升力 F y1 和尾部的升力 F y 2 。 解：选择坐标系如图（a）所示。 Fx 0 ， Fx F 0 ， Fx F 4 kN
第三章 平面任意力系
3-1 已知 F1 150 N ， F2 200 N ， F3 300 N ， F F ' 200 N 。求力系向点 O 的
简化结果，并求力系合力的大小及其与原点 O 的距离 d。 解：(1) 求合力 FR 的大小
Fx F1
1 2 1
10 5 1 150 200 300 2 10 1 3 1 Fy F1 F2 F3 2 10 5 1 3 150 200 300 2 10 10 2 20 5 5
M
Wrr1 r3 r2 r4
3-19 构架由杆 AB、AC 和 DF 铰接而成，如图所示，在 DEF 杆上作用一力偶矩为 M 的力 偶。不各杆的重量，求 AB 杆上铰链 A，D 和 B 所受的力。 解： （一）研究对象：整体，受力图(a)
Fx 0 , FBx 0 M C 0 , FBy
1 M C 0 ， q 2 2 M FR' D 4 0 2 1 FRD ( M 2q) 15 kN 4 Fy 0 ， FRC FRD q 2 0 FRC 2q FRD 5 kN
二、取 AC 梁为研究对象，受力图及坐标系如图（b）所示。
（1）
（2）
F2
M r1 cos
（3）
（三）研究对象：轮O 2 ，受力图(c)
M O 2 0 ， F '1 cos r3 F2' cos r2
即
F '1 r3 F2' r2 Wr M r3 r2 r4 cos r1 cos
11
（4）
，得 （1） （2）代入（4）
3-17
半径为r，闸门重W，齿轮的压力角为 ，不计各齿轮的自重，求最小的启门力偶矩M及轴 O 3 的约束反力。 解： （一）研究对象：轮O 3 ，受力图(a) M O 3 0 ， Wr F1 cos r4 0
图示为一种闸门启闭设备的传动系统。已知各齿轮的半径分别为 r1 , r2 , r3 , r4 ，鼓轮的
W1 45 kN ，发动机重 W2 20 kN ，发动机螺旋 桨的作用力偶矩 M 18 kN m 。求机翼处于平衡
状态时，机翼根部固定端 O 受的力。 解：取机翼（包括螺旋桨）为研究对象，其受力如 图 (a) 所示。分布载荷可以看作三角形分布载荷 ( q1 q 2 )及均布载荷q 2 两部分组成。
FBC
2 2000 F 667 N （压力） 3 3
二、取节点 C 为研究对象，如图（b）所示。 Fy 0 ， FCE sin(60 ) FBC sin 60 0 （1） 三、取曲柄 OE 为研究对象，如图（c）所示。
' M O 0 ， M FCE cos OE 0 （2） 解方程组（1） 、 （2） ，并将 FBC 667 N 代入，得 M 7036 N cm 70 N m