1.1-1.2 矩阵的概念与运算
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
线性代数及应用PPT课件
上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满 足运算要求。
证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 证：设
记
证明DC=AG。 因为 元为：
A的 i 行乘以B的 l 列
，
， 则DC的第i,j
得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。
证明 (AB)T =BTAT
证：
即
。
剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等。设
通大学出版社
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念 定义1 m × n元，排成m行n列的矩形阵列：
称作为：维是m × n的矩阵。 一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。
简记为：
确定一个矩阵的两要素：
1．元：a ij 的值； 2．维：m，n的值。
矩阵的例： 问题：A的元和维是什么？
广矩阵进行一系列行初等变换，使得
R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ]
(R= R1R2 ••• R s)。事实上R=A-1
可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成 单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即
1.1.2 一些特殊矩阵 对于矩阵
本课程仅限于实矩阵。
n阶方阵：m=n时的矩阵，
a11 a12 a1n
A
a21 a22 a2n
或 An n
an1 an2 ann
列矩阵（列向量）：n=1，
行矩阵（行向量）：m=1，
数或标量：m=n=1。 向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。
例：
分别是3维列向量和4维行向量。
学习参考书目
矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]
![矩阵论简明教程(第二版)第一讲[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a4cb202d2f60ddccda38a0ad.png)
所以A的特征值为1 2 2，3 7.
当1 2 2时，解方程组 2 I A x 0.由 2 2 1 2 2 1 2 I A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0
1 k 1
1
1 3 E i, j k
1
k 1
1
三、其他特殊矩阵
k 1 幂零矩阵： A 0, k : 某正整数;
A 2 幂等矩阵：
C11 C12 C21 C22 则AB Cs1 Cs 2
C1r t C2 r , 其中 Cij Aik Bkj k 1 Csr i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A21 设 A As1 A12 A22 As 2
k3 x3，k3 0.
二、特征值与特征向量的性质 定义3
设A aij
定理1
nn
C
nn
, 称 a11 a22 ann .
ann为A的迹，记为
trA,即trA a11 a22
设n 阶方阵A aij
1 1 +2 + +n a11 a22 ann =trA; 2 12 n det A; 3 AT的特征值是1，2， ，n ,而AH的特征值是
2 2 得基础解系 x1 1 , x2 0 0 1
所以对应1 2 2的全部特征向量为 k1 x1 k2 x2 , 其中k1 , k2不同时为0.
当3 7时，解方程组 7 I A x 0.由 8 2 2 1 0 0.5 7 I A 2 5 4 0 1 1 2 4 5 0 0 0 1 得基础解系 x3 2 , 故对应3 7的全部特征向量为 2
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
第1章 矩阵及其运算
第1章 矩阵及其运算§1.1 矩阵的概念矩阵是线性代数研究的主要对象之一. 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895)被公认是矩阵论的创立者. 1858年，他发表《矩阵论的研究报告》一文，定义了矩阵相等、矩阵运算法则、矩阵转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，这可以看作矩阵作为数学研究对象和研究内容的标志.什么是矩阵？如何定义矩阵的关系与运算？矩阵的概念最简单的表述是：由n m ⨯个数构成m 行、n 列的矩形数表即为m 行n 列的矩阵.其数学表达为：设ij a ),,2,1;,,2,1(n j m i ==是n m ⨯个数，将其排成m 行、n 列，构成矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为m 行、n 列矩阵，也称为n m ⨯阶矩阵.通常用大写字母A 、B 、C 等表示.也用符合()nm ij a ⨯表示上述矩阵.ij a 称为矩阵()nm ija ⨯第i 行第j 列的元素，)(21in i i a a a 为矩阵()nm ija ⨯第i (m i ,,2,1 =)行，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mj j j a a a 21为矩阵()nm ija ⨯的第j (n j ,,2,1 =)列. 数集F 上m n ⨯阶矩阵的全体记作m nF⨯.矩阵作为一种工具，它在工程技术、通讯技术、信息传输、图象识别、经济等领域中有着广泛的应用，这也促使矩阵理论成为了线性代数的主要内容.下面我们给出几个实例.例 1.1 安徽省是我国重要的煤炭基地之一，境内的淮南矿业、淮北矿业、皖北煤电矿业等集团公司年生产能力在亿吨水平.其产品除自给外，主要供应上海、浙江、江苏等地.假设各矿业集团均生产甲、乙两种等级的煤，我们以ij a 记i 集团供应给j 销地甲级煤的年销售量(单位：万吨)，以ij b 记i 集团供应给j 销地乙级煤的年销售量(单位：万吨)，以ij c 记i 销地购买j 集团甲级煤的价格(单位：万元/万吨)，以ij d 记i 销地购买j 集团乙级煤的价格(单位：万元/万吨)，则上述数据我们可以简洁的用数表表示如下：表1.1 甲级煤销量图表表1.2 乙级煤销量图表表1.3 甲级煤销售价格表1.4 乙级煤销售价格表1.1至表1.4实际上就是一个矩形数表，其分别对应的就是3行4列和4行3列的矩形，即我们可以用矩阵分别将其简单的表示如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a A ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343332312423222114131211b b b b b b b b b b b b B ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=434241333231232221131211c c c c c c c c c c c c C ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=434241333231232221131211d d d d d d d d d d d d D ， 依据ij a 、ij b 的符号意义，ij ij b a +应为i 集团供应给j 销地的煤总量，其对应的矩形表格为：表1.5 煤炭销售总量图表表1.5用矩阵表示即为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++=343433333232313124242323222221211414131312121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a E . 显然，表1.5是表1.1和表1.2的汇总.我们也称矩阵E 为矩阵A 与矩阵B 的和.用数学符号表示即为： A B E +=.即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+343332312423222114131211b b b b b b b b b b b b 111112121313141421212222232324243131323233333434a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫⎪=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭. 取矩阵A 的第k 行的元素)(4321k k k k a a a a ，取矩阵C 的第l 列的元素⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛l l l l c c c c 4321，将其对应位置元素相乘并相加，得数记为kl f ，即l k l k l k l k kl c a c a c a c a f 44332211+++=，3,2,1=k ，3,2,1=l .以kl f 为元素，可以定义一个33⨯阶的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211f f f f f f f f f F . 在矩阵F 中，元素411431132112111111c a c a c a c a f +++=，422432232222122122c a c a c a c a f +++=，433433332332133133c a c a c a c a f +++=的实际意义分别是淮南、淮北、皖北矿业集团销售甲级煤炭的总收入.而112233f f f ++的实际意义则是三大集团公司销售甲级煤炭的年总收入.我们称其为矩阵F 的迹，记作trF ，即112233trF f f f =++. 同样，取矩阵B 的第k 行的元素)(4321k k k k b b b b ，取矩阵D 的第l 列的元素⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛l l l l d d d d 4321，将其对应位置元素相乘并相加，得数记为kl g ，即l k l k l k l k kl d b d b d b d b g 44332211+++=，3,2,1=k ，3,2,1=l .以kl g 为元素，也可以定义一个33⨯阶的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211g g g g g g g g g G . 在矩阵G 中，元素411431132112111111d b d b d b d b g +++=，422432232222122122d b d b d b d b g +++=，433433332332133133d b d b d b d b g +++=的实际意义分别是淮南、淮北、皖北矿业集团销售乙级煤炭的总收入.112233trG g g g =++的实际意义则是三大集团公司销售乙级煤炭的年总收入.由矩阵A 和矩阵C 按上述法则所确定的矩阵F 称为矩阵A 与C 的乘积，记为AC F =.同样，矩阵G 则是矩阵B 与D 的乘积，记作BD G =.例 1.2 某股份公司生产四种产品，各种产品在生产过程中的生产成本以及在各季度的产量分别由表1.6和表1.7给出.表1.6 产品生产成本(单位：万元/吨)表1.7 各季度产量(单位：吨)在年度股东大会上，公司总裁准备用一个简单的数表向股东们介绍所有产品在各个季度的各项生产成本，各个季度的总成本，以及全年各项的总成本.假设你就是这个公司的“总裁”，你如何来制作这个表格？解：表1.6是一个3行4列的数表，用矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5.07.06.03.085.09.005.18.065.07.08.05.0M ，表1.7是一个4行4列的数表，用矩阵表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=85009000950085001000095009500105007000550060006500850011000105009000N .在矩阵M 中取消耗品对应的行，取矩阵N 中季节对应的列，将其相应位置元素对应相乘并相加，则可以得到某种消耗品的在某个季节的总消耗成本.例如：取矩阵M 的第一行与矩阵N 的第一列，将其对应位置元素相乘并相加，即22575850065.0105007.065008.090005.0=⨯+⨯+⨯+⨯所得就是春季原材料的总成本.也就是说：将矩阵M 与N 相乘，即得到各种消耗品在各个季节消耗的总成本.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=180001775018150182003037530775313253070022375224002287522575MN将矩阵MN 各行元素相加，即分别得到原材料、劳动力、经营管理的全年总成本，分别是：90225、123175、72100万元.取一个4行1列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111L ，将积矩阵MN 与矩阵L 相乘，得到一个3行1列的矩阵，其元素分别为矩阵MN 各行元素之和.即=L MN )(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛180001775018150182003037530775313253070022375224002287522575⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛72100123175902251111.取一个1行3列的矩阵()111=K ，将矩阵K 与矩阵MN 相乘，得到一个1行4列的矩阵，其元素即为矩阵MN 的各列元素之和，即()111)(=MN K ()70750709257235071475180001775018150182003037530775313253070022375224002287522575=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.而矩阵K 、)(MN 、L 的乘积是一个1行1列的矩阵，其元素为矩阵)(MN 所有元素之和，也就是全年的所有消耗的总成本，即()111)(=L MN K ()2855001111180001775018150182003037530775313253070022375224002287522575=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.将上述计算所得数据绘制成表1.8，此表格可直观反映出本公司全年消耗成本的总体情况.表1.8 成本汇总(单位：万元)春 夏 秋 冬 全年本节最后，我们给出一些结构特殊的矩阵.这些矩阵将在以后的讨论中用到. 1.对角矩阵.若n n ⨯阶矩阵()n n ij d D ⨯=中，有0()ij d i j =≠，即1122000000nn d d D d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则称矩阵D 为对角矩阵.特别：若对角阵D 的对角元素ii d 均相等，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d d D 000000，则称D 是由数d 所确定的数量阵.由1=d 所确定的数量阵称为单位矩阵，记为I ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001I .2.三角形矩阵.n n ⨯阶矩阵()n n ij a A ⨯=中，若元素0()ij a i j =>，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a A 00022211211，则称A 是上三角矩阵；若元素0()ij a i j =<，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a aa a a A21222111000，则称A 是下三角矩阵. 3.阶梯形矩阵.在矩阵中，每个非零行从左侧起第一个非零元素称为这一行的主元. 若n m ⨯矩阵A 满足：①矩阵A 中元素全为零的行在下面(如果存在零行)； ②A 的每个主元所在的列数随行数的增加严格递增. 则称矩阵A 为阶梯形矩阵. 例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=80000242000151310101111A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=400003100011031060111B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=41000301002001010001C ，都是阶梯形矩阵，而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=810002420001513101011111A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4100030000110300601111B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=410000000020010100011C ，都不是阶梯形矩阵.1A 的第三、第四行的主元在同一列；1B 的第三行的主元在第五列，而第四行的主元在第四列，主元所在的列数没有随行数的增加而严格递增，所以1A 、1B 都不是阶梯形矩阵；而1C 的第三行是零行，而第四行是非零行，零行不在最下面，所以1C 不是阶梯形.在阶梯形矩阵中，若每一个主元都是数1，且主元所在的列除主元1以外，其它元素均为0，则称这样的阶梯形为规范阶梯形矩阵.如前述矩阵C 就是规范阶梯形矩阵.注：例1.2中的矩阵计算实际上可以利用矩阵实验室(Matrix Laboratory)软件，即Matlab 软件来实现.同学们只要在安装有Matlab 软件的计算机上运行该软件，即可得到需要的结果.输入M=[0.5 0.8 0.7 0.65；0.8 1.05 0.9 0.85；0.3 0.6 0.7 0.5]；N=[9000 10500 11000 8500；6500 6000 5500 7000；10500 9500 9500 10000；8500 9500 9000 8500]； L=[1；1；1；1]； K=[1 1 1]； M*N (M*N)*L K*(M*N) K*(M*N)*L运行上述程序，输出结果为： ans =22575 22875 22400 22375 30700 31325 30775 30375 18200 18150 17750 18000 ans = 90225 123175。
矩阵代数简单介绍
线性代数复习1.1 矩阵的概念给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nK n n KK a a a a a a a a a A 212222111211 ，称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ⨯矩阵。
其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。
1k ⨯矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1⨯n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。
零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。
00,0==+A A A 。
如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵；n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。
在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵1.2 矩阵的运算 ●矩阵的加、减运算以及数乘运算当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。
数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。
AB B A +=+，)()(C B A C B A ++=++，A O A =+，OA A =-+)(，A A )()(kl l k =，AA A l k l k +=+)(，B A B A k k k +=+)(，A A =1，OA =0，A A -=-)1(．●矩阵相乘记sm ij a A ⨯=)(，ns ij b B ⨯=)(，nm ij c C ⨯=)(，且ABC =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为∑==sk kjikij b ac 1，),,1;,,1(n j m i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=。
注意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BAAB ≠；ACAB A =≠且0不能推出CB =。
1.1 数域~1.2 矩阵和运算1(13秋季,林鹭)
展开和式
4
4
(1) a2i (2) 2i
i 1
i 1
22
(3) aij i1 j1
(4)
aij
1i j3
特殊矩阵及其元素表示_4
• 基础矩阵Eij
0
0
1
Eij
0
j列
i行 0 mn
1 k i且l j ekl 0 其他
A (aij )mn
m i 1
a E n
j1 ij ij
小结
✓ 数域的定义 ✓ 矩阵的概念
– 特殊矩阵
✓ 矩阵的相等、加法和数乘
下节
• 矩阵的乘法（难点、重点） • 矩阵的转置
• 作业 §1.1 Ex. 1, 2; §1.2 Ex. 1
补充: 用 表示下列式子
(1) a1b2 a3b4 ... a b 2n1 2n2 (2) a1bn a2bn1 ... anb1 (3) a1b1 a1b2 a1b3 a2b2 a2b3 a3b3
• n阶方阵A： A的行数＝列数= n
矩阵的相等
• A = (aij)m×n，B = (bij)s×t 则A = B 必须同 时满足如下两个条件
✓ m = s, n = t ✓ aij = bij i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n
特别提示 具有不同行列数的零矩阵代表不同 的矩阵。如 O2×3≠O1×6 ≠O3×2
第一章 矩阵 Matrix
§1.1-1.2 目的要求
• 掌握数域的定义, 正确判断数域；
• 熟练掌握矩阵的定义、两矩阵的相 等概念；
矩阵知识点总结图解
矩阵知识点总结图解一、矩阵的定义1.1 矩阵的概念矩阵是一个由m行n列的数域中的数字组成的矩形数组。
例如，一个3行2列的矩阵可以表示为：\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\a_{31} & a_{32} \\\end{bmatrix}\]1.2 矩阵的基本术语- 行数：矩阵中的行数为m。
- 列数：矩阵中的列数为n。
- 元素：矩阵中的每个数字称为元素，如矩阵中的a11、a12等。
- 维数：一个m行n列的矩阵的维数为m×n。
1.3 矩阵的表示矩阵可以用方括号表示，矩阵中的元素用逗号隔开，例如：\[ A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}\]二、矩阵的基本运算2.1 矩阵的加法对于两个相同维数的矩阵A和B，它们的加法定义为矩阵中相应位置元素的和。
即：\[ A + B = \begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\\end{bmatrix}\]2.2 矩阵的数乘对于一个m行n列的矩阵A和一个数k，它们的数乘定义为矩阵中每个元素与k的乘积。
即：\[ kA = \begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\\end{bmatrix}\]2.3 矩阵的乘法对于一个m行n列的矩阵A和一个p行q列的矩阵B，若n=p，则它们的乘法定义为：\[ AB = C \]其中C是一个m行q列的矩阵，其中元素cij的计算方式为：\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} \]2.4 矩阵的转置一个m行n列的矩阵A的转置是一个n行m列的矩阵，其中元素aij转置为aji。
第1节 矩阵的概念(1)
(1) 1 ⋅ A = A;
(2) k ( lA) = ( kl ) A .
加法和数乘的分配律
(1) k ( A + B ) = kA + kB; (2) ( k + l ) A = kA + lA.
例题
设矩阵 X 满足X + 2 A = 4 B − X , 试求 X .
解 X + 2 A = 4 B − X ⇔ ( X + 2 A) + X = (4 B − X ) + X
A, B 的对应元均相等, 即对任意的 i 和 j , 均有 aij = bij ,
则称 A, B 是相等矩阵.
例题
1. 试判断下列两对矩阵是否相等 ⎛0 ⎜ (1) ⎜ 0 ⎜0 ⎝ 0⎞ ⎟ 0⎟与 0⎟ ⎠ ⎛ 0 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ ; (2) ⎜ ⎟ 与⎜ ⎟. ⎝ 0 0 0⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 0⎠
a12 a22 ⋮ am 2
i 行与第j列交叉点上的数称为矩阵的( i , j )元 .
通常用一个大写英文字母 A, B , C 等表示矩阵, 为标 明行数和列数也用Am×n 表示. ( i , j )元相应地记作A( i; j ).
一个m × n矩阵可简记作A = (aij )m×n 或A = (aij ).
2. 三角形矩阵
主对角线左下方的元全为零的n 阶方阵称为上三角 形矩阵；
主对角线右上方的元全为零的n 阶方阵称为下三角 形矩阵.
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ 0 a22 ⎜ ⋮ ⋮ ⎜ 0 ⎝ 0
⋯ a1n ⎞ ⎛ a11 ⎟ ⎜ ⋯ a2 n ⎟ a21 ⎜ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⋯ ann ⎠ ⎝ an1
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
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一、引例
a m 2 L a mn
2
2. 若煤有 s 个产地 A1 , A2 ,L , As 和 t 个销地 B1 , B2 ,L , Bt , 各 产地销往各地的煤为多 少 , 即调运方案可列成下表 B1 B2 L Bt a11 a12 L A1 a11 a12 L a1t a21 a22 L A2 a 21 a 22 L a 2 t → L L L M L L L L a s1 a s 2 L As a s1 a s 2 L a st 其中 a ij 表示产地 Ai 运往销地 B j 的煤的数量
或
其中 a ij 称为矩阵第 i 行第 j 列的元 .
矩阵一般用大写拉丁字 母 A, B , C ,L 来表示,
也可用 Am× n 或 (a ij ) m× n 来表示.
4
三 几种特殊矩阵
1. 零矩阵 : 所有元素均为 0 的矩阵 , 记作 O
2. A 的负矩阵 : 把矩阵 A = ( a ij ) m × n 中元变号得到的矩阵 , 称为 A 的负矩阵 , 记作 − A 即 − A = ( − a ij ) m × n
解:
2 ×1 + 3 × 2 2 × ( −2) + 3 × ( −1) 2 × ( −3 ) + 3 × 0 (1) 原式 = 1 × 1 + ( −2) × 2 1 × ( −2) + ( −2) × ( −1) 1 × ( −3) + ( −2) × 0 3 ×1 + 1× 2 3 × ( −2) + 1 × ( −1) 3 × ( −3 ) + 1 × 0
1 0 0 1 2 3 1 2 3 AE 3 = 0 1 0 = = A 4 5 6 4 5 6 0 0 1
注 : 单位矩阵在矩阵乘法中 的作用相当于 数 1 在数的乘法中的作用
16Βιβλιοθήκη 1 1 1 − 1 例4. 若 A = , B = − 1 1 求 AB , BA − 1 − 1 解: 1 1 − 1 0 0 1 AB = − 1 1 = − 1 − 1 0 0
13
a11 L A ⋅ B = a i1 L a m1 c11 L = ci1 L c m1
L a1 s b11 L b1 j L L b21 L b2 j a i 2 L a is ⋅ L L L L L L bs1 L bsj a m 2 L a ms L c1 j L c1n L L L L L c ij L c in = C L L L L L c mj L c mn a12 L
10
1 2 − 1 3 2 0 − 3 1 例1. 设 A = 3 0 1 1 , B = 4 1 − 2 0 0 4 2 0 0 2 1 1 (1) 求 3 A- 2 B
3 6 − 3 解 : (1) 3 A − 2 B = 9 0 3 0 12 6 −1 6 3 = 1 −2 7 0 8 4
3 . n 阶矩阵（方阵） : 行数与列数都等于 n 的矩阵 阶矩阵（方阵）
4. 三角形矩阵 (1) 上三角形矩阵 (2) 下三角形矩阵
a11 a12 L a1n a22 L a2 n O M ann
a11 a21 M a n1
(0, 0, 0) ≠ (0, 0, 0, 0)
8
一 矩阵的加法
1. 定义 : 设矩阵 A = ( a ij ) m×n , B = ( bij ) m×n , 令 C = ( a ij + bij ) m×n 则称矩阵 C 为矩阵 A 与 B 的和 , 记为 C = A + B . 即 A + B = ( a ij ) m×n + ( bij ) m×n = ( a ij + bij ) m×n
2 − 2
(2) 两个非零矩阵的乘积可 能是一个零矩阵
17
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 例 5. 对线性方程组 L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
1 2 1 − 1 1 BA = − 1 − 1 = 2 − 1 1 −
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
1 − 1 − 1 − 1 2 3 = 1 1 − 2 − 1 2 2 2 0 −1 − 1 1 2 2
12
三 矩阵的乘法
1. 定义 : 设矩阵 A = (a ik ) m× s , B = (bkj ) s× n , 则矩阵 A 与 B 的 乘积矩阵 C = (c ij ) , 其中 c ij = a i 1b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj = ∑ a ik bkj
一个 m 行 n 列的数表 , 称为一个 m × n 矩阵 , a 11 a 21 L a m1 a 12 a 22 L am2 L a1n L a 2n L L L a mn a 11 a 21 L a m1 a 12 a 22 L am 2 L a1n L a 2n L L L a mn
注 : (1) A 的负矩阵 − A = ( −1) A
( 2) 当矩阵 A 的所有元都有公因子 k 时, 可将 k 提到矩阵外面 .
2. 运算法则 :
(1) k ( A + B ) = k A + k B ; (3) (kl ) A = k(l A) = l (k A) ;
(2) (k + l ) A = k A + l A ; (4) 1⋅ A= A . =
1
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 1. 对线性方程组 L L L L L L a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm 未知量前的系数及常数 项按方程中的次序组成 一个阵列 a11 a 21 L a m1 a12 a 22 L L L L a1n a2n L b1 b2 L bm
9 4 0 − 6 2 3 − 8 2 − 4 0 0 0 4 2 2 7 3 − 2
11
(2) 若 A + 2 X = B 求 X
1 − 2 − 2 − 2 1 1 解：X = ( B − A) = 1 1 − 3 − 1 2 2 0 − 2 −1 1
a1t a2 t L a st
3
二 矩阵的概念
1. 数域 : 设 F 是包含 0 和 1 的数的集合 , 如果 F 中的数对加 ,
减 , 乘 , 除 ( 除数不为零 ) 封闭 , 则称 F 为一个数域
2. 矩阵 : 由 m × n 个数 a ij ( i = 1,2, L , m ; j = 1,2, L , n ) 排列成的
k =1 s
( i = 1,2,L , m; j = 1,2,L , n) , 记作 C = AB .
注 : (1) 只有当矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数相同时 , AB 才有意义 .
( 2) AB 有意义 , 未必 BA 也有意义 . 书写时要注意顺序 .
AB 称为用 A 左乘 B 或用 B 右乘 A .
L b1n L b2 n L L L bsn
其中 c ij = a i 1 b1 j + a i 2 b2 j + L+ a isbsj
14
2 1 2 3 1 − 2 − 3 例 2. 求 (1) 1 − 2 ; (2) (3 1 0) - 4 0 - 3 5 3 1 2 −1 0
特别 , a = 1 时的 n 阶数量矩阵称为 n 阶单位矩阵 记作 E n 或 E , 即 1 1 En = O 1
6
7 . 对称矩阵和反对称矩阵
(1) 如果 n 阶矩阵 A = (a ij ) 中的元满足 a ij = a ji ( i , j = 1,2,L , n ) 则称 A 为对称矩阵 . ( 2) 如果 n 阶矩阵 A = (a ij ) 中的元满足 a ij = − a ji ( i , j = 1,2,L , n ) 则称 A 为反对称矩阵 . 注 : 反对称矩阵的主对角线 上的元全为零
a11 a 21 若令矩阵 A = L a m1 a12 a 22 L am 2 L a1 n b1 x1 L a 2n b2 x2 , B = L , X = L L L b x L a mn m n
2. 运算法则 :
(1 ) 交换律 : A + B = B + A ;
( 3) A + O = O + A = A
( 2) 结合律 : ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ; (4) A + ( − A) = O