第二十七章综合能力检测题

第二十七章综合能力检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知△ABC∽△A′B′C′，且BC∶B′C′＝AC∶A′C′，若AC＝3，A′C′＝1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比是(D)A．2∶3 B．3∶2 C．5∶3 D．3∶52．(2015·眉山)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2这与三条平行线分别交于点A，B，C 和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(C)A．4 B．5 C．6 D．8第2题图第3题图第5题图第6题图3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的各顶点坐标分别为A(1，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，1)，四边形BFGH的各顶点坐标分别为F(4，0)，G(4，4)，H(0，2)，则下列说法正确的是(D)A．四边形ABCD与四边形BFGH相似但不位似B．四边形ABCD与四边形BFGH位似但不相似C．四边形ABCD与四边形BFGH位似，且相似比为1∶ 2D．四边形ABCD与四边形BFGH位似，且相似比为1∶24．下列说法正确的是(C)A．所有的菱形形状都相同B．所有的矩形形状都相同C．所有的正方形形状都相同D．所有的梯形形状都相同5．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边的中点，P是BC边上的一动点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是(A)A．BP＝PC B．AB·PC＝EC·BPC．∠APB＝∠EPC D．BP＝2PC6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC 等于( D )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶27．如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E ，F 分别为边AB ，CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 与矩形ABCD 相似，则a ∶b 等于( A ) A.2∶1 B ．1∶ 2 C.3∶1 D ．1∶ 3第7题图第8题图第9题图第10题图8．(2015·潍坊)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N ；第二步，连接MN 分别交AB ，AC 于点E ，F ；第三步，连接DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是( D )A ．2B ．4C ．6D ．89．(2015·常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA ∶O 1A 1＝k(k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB ＝∠A 1O 1B 1；②△AOB ∽△A 1O 1B 1；③AB A 1B 1＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.其中成立的个数为( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE 于点G ，BG ＝42，则△EFC 的周长为( D )A ．11B ．10C ．9D ．8二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图是百度地图的一部分(比例尺1∶4000000)．若测量杭州到嘉兴的图上距离是4 cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为__160__km.第11题图第12题图第14题图12．如图，DE 是△ABC 的中位线，则△ADE 与△ABC 的面积的比是__1∶4__．13．(2015·梅州)已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是__AF ＝12AC (答案不唯一)__．(写出一个即可)14．(2015·天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度CD 是__8__米．15．如图所示，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△A 1B 1C 1(顶点均在格点上)，若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是__(－4，－3)__．第15题图第16题图第17题图16．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO ＝__12__． 17．如图，把△ABC 沿AB 平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若AB ＝2，则此三角形移动的距离AA′是．18．(2015·湖州)已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示)，以此类推….若A 1C 1＝2，且点A ，D 2，D 3，…，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是__3827__． 解：点拨：延长D 4A 和C 1B 交于点O ，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A 9C 9C 10D 10的边长．三、解答题(共66分)19．(6分)如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．解：∵DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE EC ，即25＝AE 5－AE ，解得AE ＝107. 20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．(1)以原点O 为位似中心，相似比为1∶2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；(2)若点D(a ，b)在线段AB 上，请直接写出经过(1)的变化后点D 的对应点D 1的坐标．解：(1)图略，C 1(－6，4)；(2)D 1(2a ，2b )．21．(9分)(2015·南京)如图，△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且AD CD ＝CD BD. (1)求证：△ACD ∽△CBD ；(2)求∠ACB 的大小．解：(1)∵CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°.又∵AD CD ＝CD BD，∴△ACD ∽△CBD ；(2)∵△ACD ∽△CBD ，∴∠A ＝∠BCD.在△ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，即∠ACB ＝90°.22．(9分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸)．①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB ＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE ＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB ＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？解：由题意，得∠BAD ＝∠BCE.∵AB ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CBE ＝90°，∴△BAD ∽△BCE ，∴BD BE ＝AB CB ，∴BD 9.6＝1.71.2，解得BD ＝13.6.故河宽BD 是13.6米． 23．(10分)如图，矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1__＝__S 2＋S 3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．解：△BCD ∽△CFB ，△BCD ∽△DEC ，△CFB ∽△DEC.证明△BCD ∽△DEC ，∵∠EDC ＋∠BDC ＝90°，∠CBD ＋∠BDC ＝90°，∴∠EDC ＝∠CBD.又∵∠BCD ＝∠DEC ＝90°，∴△BCD ∽△DEC.24．(11分)如图，已知AB ⊥BC 于点B ，CD ⊥BC 于点C ，AB ＝4，CD ＝6，BC ＝14，P 为BC 边上一点，试问BP 为何值时，以A ，B ，P 为顶点的三角形与以P ，C ，D 为顶点的三角形相似？解：分两种情况：①当AB BP ＝DC CP 时，△ABP ∽△DCP.设BP ＝x ，则CP ＝14－x.∴4x＝614－x ，解得x ＝5.6. 即当BP ＝5.6时，△ABP ∽△DCP.②当AB BP ＝PC CD时，△ABP ∽△PCD.设BP ＝x ，则CP ＝14－x.∴4x ＝14－x 6，解得x 1＝2，x 2＝12.综上所述，当BP ＝5.6或BP ＝2或BP ＝12时，以A ，B ，P 为顶点的三角形与以P ，C ，D 为顶点的三角形相似．25．(13分)(1)如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P.求证：DP BQ ＝PE QC； (2)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．①如图2，若AB ＝AC ＝1，直接写出MN 的长；②如图3，求证：MN 2＝DM·EN.解：(1)在△ABQ 中，∵DP ∥BQ ，∴△ADP ∽△ABQ ，∴DP BQ ＝AP AQ.同理，在△ACQ 中，EP CQ ＝AP AQ .∴DP BQ ＝EP CQ ；(2)MN ＝29； (3)∵∠B ＋∠C ＝90°，∠CEF ＋∠C ＝90°，∴∠B ＝∠CEF.又∵∠BGD ＝∠EFC ，∴△BGD ∽△EFC ，∴DG CF ＝BG EF，∴DG ·EF ＝CF·BG .又∵DG ＝GF ＝EF ，∴GF 2＝CF·BG .由(1)得，DM BG ＝MN GF ＝EN CF ，∴(MN GF )2＝DM BG ·EN CF，∴MN 2＝DM·EN.。