D1_10连续函数性质习题课
江苏大数学分析-第四章 函数的连续性习题课
1．函数 f 在点 x0 有极限与函数 f 在点 x0 连续有什么区别与联系？
答：1）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 f 在U 0 (x0 ) 内有定义（ f 在点 x0 可
以没有定义）．而 f 在点 x0 连续则要求 f 在某U (x0 ) 内有定义（包括 x0 ）．
2）在极限中，要求 0 <| x - x0 |< d ，而当“ f 在点 x0 连续”时，由 于 x = x0 时，
lim
x®x0
f (x) ¹
f (x0 )
Û $e 0
> 0, "d
> 0, $x¢ÎU °(x0 ;d ) ，使得
f (x¢) - f ( x0 ) ³ e0 ．
例如狄利克雷函数
D(
x)
=
ì1,当x为有理数, íî0,当x为无理数,
"x0
Î
R,
lim
x®x0
D(x)
不存在．
因为："x0
，取 e 0
第四章 函数的连续性习题课
一 概念叙述
1．叙述 f 在在点 x0 连续的定义． f 在点 x0 连续 Û "e > 0, $d > 0 ，当| x - x0 |< d 时，有| f (x) - f (x0 ) |< e ．
2． 叙述 f 在 I 上一致连续的定义．
f 在 I 上一致连续 Û "e > 0, $d (e ) > 0 ， "x¢, x¢¢Î I ，只要 x¢ - x¢¢ < d ，就有
x0 = 0 点不连续．
2）设在点 x0 处， f ( x) 不连续， g ( x) 不连续 ， f ( x) + g ( x) ， f ( x).g ( x ) 在 x0 点
函数的连续性练习题及解答
函数的连续性练习题及解答函数的连续性练习题1.证明方程 x ?cosx =0 在区间(0.π2)内有实根。
2.函数 y =x 2?1x 2?3x+2 的间断点是。
3.函数 f (x )=?x ?1,当x ≤1时3?x,当x >1时的间断点是。
4.函数 f (x )=?3x, 当?1<="" 当1 x=1处连续，则a= 。
5.设 f (x )=?sin ?(x+1)x+1, 当x ≠?1时；2k, 当x =?1时在x=-1处连续，则k= 。
6.函数 f (x )=x 2?x sin πx 的可取间断点的个数为。
7.函数f (x )=|x|sin ?(x ?1)x (x ?1)(x ?2)在下列区间有界的是。
A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2)D.(2,3)8.设f (x )=arctanx,g (x )=sin2x+π3, 求g{f (?1)]。
9.设f (x )=lim u →+∞1u ln (ee uu +xx uu ) (xx >0) （1）求f(x)；（2）讨论f(x)的连续性。
10.求下列函数的间断点，并确定所属类型：y =e 1x ?x+1x ?1 。
11.确定常数k，使下面函数f(x)在x=0处连续。
f(x)=?sinx x+xsin1x,x≠0k, x=0。
12.求函数 y=sinx x的间断点，并指出其类型。
13.求函数 y=x2?1x2?5x+4 的间断点，并指出其类型。
14.讨论函数f(x)=lim n→∞1?x2n1+x2n的连续性，若f(x)有间断点，判别其类型。
15.设函数f(x)=?x, x≤16x?5,x>1 ，试讨论f(x)在x=1处的连续性，并写出f(x)的连续区间。
16.设函数 f(x)=?1+e x,x<0x+2a,x≥0 ，问常数a为何值时，函数f(x)在（-∞，+∞）内连续。
17.问a为何值时，函数f(x)=?x2+1,|x|≤a,2|x|, |x|>a连续？18.证明：若函数y=f(x)对于一切正实数x1,x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=1处连续，则f(x)在任一点x0(x0>0)处连续。
《高等数学教学课件》d1-9连续函数的运算
除法运算
总结词
理解连续函数除法运算的性质和规则
VS
详细描述
连续函数除法运算的基本性质包括倒数性 质和除法的可交换性。倒数性质指的是对 于任意两个连续函数f和g，且g不等于0， 有f/g=f*g'/g*g'。除法的可交换性指的是 连续函数的除法满足可交换的规则，即 f/g=g/f。在进行连续函数的除法运算时， 需要注意这些性质和规则，以便正确地进 行计算。
总结词
掌握复合函数的连续性质对于理解函数的极限、可导 性和积分等概念至关重要。
详细描述
连续性是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一 点附近的变化情况。对于复合函数，其连续性取决于 内函数和外函数的连续性以及它们的组合方式。具体 来说，如果内函数和外函数都在某一点连续，并且内 函数在对应的外函数值处也连续，则复合函数在该点 也是连续的。此外，复合函数的连续性还与其导数、 极限和积分等性质密切相关，是高等数学中重要的基 础知识。
对数函数
对数函数$f(x)=log_a x$在 $x>0$的范围内是连续的，但 在$x=0$处不连续。
三角函数、反三角函数的连续性
要点一
三角函数
要点二Βιβλιοθήκη 反三角函数基本的三角函数（如正弦、余弦、正切）在其定义域内都 是连续的。
反三角函数（如反正弦、反余弦、反正切）在其定义域内 也是连续的。
绝对值函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数具有最大值、最小值，且一定 存在最大值和最小值。
连续函数的运算性质
线性运算性质
若函数f(x)在区间I上连续，常数a、b存在，则af(x)+bf(x)也在区 间I上连续。
连续函数基本性质相关练习(老黄学高数第127讲)
第127讲 连续函数 基本性质相关练习
1、求极限： (1) (π-x) tan x；(2) 解：(1)原极限= (π-x)· tan x= .
(2)原极限=
=.
2、若对任何充分小的ε>0，f在[a+ε,b-ε]上连续， 能否推出f在(a,b)内连续. 解：能. 若f在(a,b)内不连续，则必存在间断点x0∈(a,b). 记x0=a+m=b-n，∵ε>0充分小，∴a+m>a+ε, b-n<b-ε， 即x0∈(a+ε,b-ε)，∴f在[a+ε,b-ε]上不连续，与题设矛盾. ∴f在(a,b)内连续. 为什么不能有ε=m或ε=n?
5、设f在[a,b]上连续，且对任何x∈[a,b]，
|f(y)|< |f(x)|. 证明：存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=0. 证：∵f在[a,b]上连续，若对任何ξ∈[a,b]，有f(ξ)≠0， 则f(x)恒正或恒负. 若恒有f(x)>0，x∈[a,b]， ∵f在[a,b]上连续，∴f在[a,b]上有最小值f(xm)>0. 又有ym∈[a,b]，使f(ym)=|f(ym)|< |f(xm)|<f(xm)，矛盾！ 若恒有f(x)<0，x∈[a,b]，又f在[a,b]上有最大值f(xM)<0. 又有yM∈[a,b]，使-f(yM)=|f(yM)|< |f(xM)|<-f(xM)，矛盾！ ∴f在[a,b]上必有零点，即存在ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=0.
证：令f(x)=
+
+
，则
当x→λ1+时，f(x)→+∞；当x→λ2-时，f(x)→-∞； ∴存在x1,x2∈(λ1,λ2)，且x1<x2，使f(x1)f(x2)<0， ∴存在x0∈(x1,x2)⊂(λ1,λ2)，使f(x0)=0， 即方程在(λ1,λ2)有实根x0. 同理，方程在(λ2,λ3)内也有一个实根.
D1-10闭区间上连续函数的性质
一般情形, 与 , x0 都有关.
了一致连续的概念 . 定义:
都有
在 I 上一致连续 . 显然:
就引出 对任意的
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例如, 因为
但不一致连续 . 取点
则
可以任意小
但
这说明
在( 0 , 1 ] 上不一致连续 .
定理4. 思考: P74 题证明
正根 . 证： 令 显然
至少有一个不超过 4 的 且
根据零点定理 , 在开区间
内至少存在一点
原命题得证 .
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存在, 作辅助函数
显然
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内容小结
在 在 在 4. 当
上有界; 上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
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思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
y
提示: 建立坐标系如图.
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性
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一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
则面积函数 S( ) C[ , ] 因 S() 0, S( ) A
S( )
O
x
故由介值定理可知:
0
(
,
),
数学分析4.2连续函数的性质(习题)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质(练习)1、讨论复合函数f(g(x))与g(f(x))的连续性，设(1)f(x)=sgn x，g(x)=1+x2；(2) f(x)=sgn x，g(x)=(1-x2)x.解：(1)∵f(g(x))=sgn (1+x2)≡1，∴f(g(x))是连续函数.又g(f(x))=1+(sgn x)2=，∴x=0是g(f(x))的可去间断点，其余点处处连续.(2)∵f(g(x))=sgn [(1-x2)x]=或或或，∴x=0和x=±1是f(g(x))的跳跃间断点.又g(f(x))=[1-(sgn x)2]x≡0，∴g(f(x))是连续函数.2、设f,g在点x0连续，证明：(1)若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x)；(2)若在某U⁰(x0)内有f(x)>g(x)，则f(x0)≥g(x0).证：(1)∵f(x0)>g(x0)，设ε0=>0，∵f在点x0连续，∴=f(x0)，即对ε0，有δ1>0，使当|x-x0|<δ1时，就有|f(x)-f(x0)|<ε0=，同理对ε0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，就有|g(x)-g(x0)|<ε0=，取δ=min(δ1,δ2)，则当|x-x0|<δ时，就有|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|< f(x0)-g(x0)，又f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)≤|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|，∴f(x0)-f(x)+g(x)-g(x0)< f(x0)-g(x0)，化简得f(x)>g(x)，x∈U(x0,δ).(2)若f(x0)<g(x0)，由(1)可知存在某U(x0,δ)，使f(x)<g(x)，这与题设f(x)>g(x)矛盾；∴f(x0)≥g(x0).3、设 f,g在区间I上连续，记F(x)=max{f(x),g(x)}，G(x)=min{f(x),g(x)}.证明F和G也都在I上连续.证：F(x)=max{f(x),g(x)}=[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]；G(x)=min{f(x),g(x)} =[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|].∵f,g在区间I上连续，∴|f(x)-g(x)|在区间I上连续，∴F和G也都在I上连续.4、设f为R上的连续函数，常数c>0，记F(x)=当当当.证明：F在R上连续.证1：函数F等价于F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}，∵f(x)和y=c在R上连续，∴min{c,f(x)}在R上连续；又y=-c在R上连续，∴F(x)=max{-c,min{c,f(x)}}在R上连续.证2：函数F等价于F(x)=[|c+f(x)|-|c-f(x)|]，∵f(x)在R上连续，∴|f(x)±c|在R上连续；∴F(x)在R上连续.5、设f(x)=sinx, g(x)=证明：复合函数f(g(x))在x=0连续，但g在x=0不连续.证：f(g(x))=. ∴f(g(x))=-sinx在x=0连续.又= -π，=π，∴g在x=0不连续.6、设f在[a,+∞)上连续，且存在. 证明：f在[a,+∞)上有界，又问f在[a,+∞)必有最大值或最小值吗？证：设=A，对任给的正数ε，有正数b，使x>b时，有|f(x)-A|<ε，即A-ε<f(x)<A+ε. ∴f在[b,+∞)上有界.若b≤a，则[a,+∞)⊆[b,+∞)，∴f在[a,+∞)上有界.若b>a,则[a,b]⊂[a,+∞)，∵f在[a,+∞)上连续,∴f在[a,b]上连续,∴f在[a,b]上有界. ∴f在[a,b]∪[b,+∞)=[a,+∞)上有界.f在[a,+∞)一定有最大值或最小值。
D1_8、9、10连续性间断点等、习题课-hPPT课件
(3) 函数 f ( x)在 x 0 虽有定义 , 且 lim f (x) 存在 , 但
xx0
limf(x)f(x0)
xx0
这样的点 x 0 称为间断点 .
6
间断点分类:
第一类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 均存在 ,
若 f(x0)f(x0), 称 x 0 为可去间断点 . 若 f(x0)f(x0),称 x 0 为跳跃间断点 .
Ox
(3) y x2 1
y
x 1
x1为可去间断点 . O 1 x
8
x, x1 (4) y f(x)12 , x1
y
1
1
显然 lim f(x)1f(1)
2
x 1
O
x 1为其可去间断点 .
(5) y f (x) x01,,
x0 x0
x1, x0
f (0) 1,
f (0) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
f(x)f(x0)y
4
例. 证明函数ysinx在( ,)内连续 .
证: x (, )
y six n x )( sx i n 2si 2 x n co x s 2 x) (
y2si 2 x nco x s 2 x()
2
x
2
1
x
x0 0
即 limy0
x0
这说明 ysinx在 ( ,)内连续 .
arcsxin sinx
1 O1π x
2
递增.
12
定理3. 连续函数的复合函数是连续的.
分析: 设函数 u(x)在点 x0连续 , 且 (x0)u0.
函y数 f(u)在u点 0连,续 即ul iu0 m f(u)f(u0).
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
函数的连续性的例题和习题[一]
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
高等数学课件D110连续函数性质
连续函数图像是单调的， 没有上下波动
连续函数图像是封闭的， 没有缺口和缺口
连续函数图像的凹凸性
凹凸性：连续函数 的图像可以具有凹 凸性，即图像的曲 率可以发生变化
凹凸性的判断：可 以通过二阶导数的 符号来判断函数的 凹凸性
凹凸性的应用：在 解决实际问题时， 凹凸性可以帮助我 们更好地理解和分 析函数的性质
介值定理的推广：如果函数f(x)在区间 [a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么存在一 个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c，其中c是任意 常数。
感谢观看
汇报人：
添加 标题
介值定理的推论包括：介值定理的逆定 理、介值定理的推广、介值定理的等价 形式等。
添加 标题
添加 标题
介值定理的逆定理：如果函数f(x)在区间 [a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么存在一 个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
添加 标题
介值定理的等价形式：如果函数f(x)在区 间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么存在 一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=c，其中c是任 意常数。
03
连续函数的图像
连续函数的图像是连续曲线
连续函数的图像 是连续的，没有 间断点
连续函数的图像 是光滑的，没有 尖角和棱角
连续函数的图像 是连续的，可以 无限细分
连续函数的图像 是连续的，可以 无限延伸
连续函数图像的几何特征
连续函数图像是连续的， 没有间断点
连续函数图像是光滑的， 没有尖角和拐点
求函数值：利用 零点存在性定理 求函数在某点的 值
零点存在性定理的推论
连续函数在闭区 间上的零点存在 性
连续函数在开区 间上的零点存在 性
连续函数在半开 半闭区间上的零 点存在性
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0
1 x
3 4
3 , ) 则 (1 2 4 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根.
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例2. 设 f ( x) 在 对任意的
使 证: 令
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
,则
f ( x1 ) f ( x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )]2 0
x = –1 为第一类可去间断点
x 1
lim f ( x)
x = 1 为第二类无穷间断点
x 0
x 0
lim f ( x) 1,
lim f ( x) 1,
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x = 0 为第一类跳跃间断点
2. 求 解:
(2000考研)
3 1 4 x x x sin x sin x 2e e 2e lim lim 1 4 4 x x x 0 x x 0 1 e x e 1 1 1 x x 2e sin x sin x 2e lim lim 1 4 4 x x x0 1 e x x 0 1 e x
X
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又 f ( x) C [ X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
取 则
M max A , A , M1 f ( x) M , x ( , )
X o
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x
例4. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 lim x ( 3 13 1 a b )0 x
3 2 x 0 3 2
的几阶无穷小?
lim
x x xk
C 0
lim 3 x 0 x x x
3k
1 3k 2 3 2
因
x 0
lim
x x x
k
2
故
1 k 6
lim
3
x 0
x
(1 x )
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阅读与练习
1. 求 的间断点, 并判别其类型.
(1 x) sin x 1 sin 1 解: lim 2 x 1 x ( x 1)( x 1)
例1. 设函数
在 x = 0 连续 , 则 a =
2
, b=
e
.
a 提示: f (0 ) lim 2 x0 2 x 1 2 f (0 ) lim ln (b x 2 ) ln b 1 cos x ~ x x0 2 a 1 ln b 2
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原式 = 1
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3. 求 lim (1 2
x
x
3x ) x .
x x x 3 )
1
1
解: 令 f ( x) (1 2 则
3
1 x
x (1 ) 3
x (2 ) 3
1
1 x
3 f ( x) 3 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) 3 .
x
作业
P73 题 2 ; 3; 4；
P74 3 (2) , (3) ; 8 (1) , (4) , (5) ; 9; 10 ; 11 ; 12
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备用题 证明
正根 . 证： 令 显然
至少有一个不超过 4 的
且
根据零点定理 , 在开区间
内至少存在一点
原命题得证 .
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定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
机动
o
a
b x
目录
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下页
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结束
定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
a xb
y y f ( x)
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
(证明略)
o a 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
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例如, 无最大值和最小值
y 1
又如,
o
1
x
y
2
1
也无最大值和最小值
第一类间断点
x0
lim y 0
0 , 0 , 当 x x0 时, 有
可去间断点 跳跃间断点
无穷间断点 振荡间断点
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2. 函数间断点
第二类间断点
3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
x x
x
lim ( 3
1 x3
1 a b )0 x
故 1 a 0 , 于是 a 1 , 而
lim
1 (1 x ) x 1 x 3 x 2
3 2 3
x 3
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例5. 当 x 0时, 3 x 2 x 是 解: 设其为 的 阶无穷小, 则
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三、 连续与间断小结
1. 函数连续的等价形式
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
x x x0 , y f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x) f ( x0 )
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例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
在区间 又 使
内至少有
即
1) 1 0 , x1 , f ( 2 2 8
二分法
则(1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
取
1 2
3 , 的中点 x 3 f ( ) 0, 4 4
ex b 为可去间断点 , lim 极限存在 x 1 x ( x 1)
lim(e x b) 0
x 1
b lim e x e
x 1
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例3. 设 f (x) 定义在区间
上 , 且对任意实数
, 若 f (x) 在 连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
x0
lim f ( x x) lim [ f ( x) f (x)]
x0
f ( x) f (0) f ( x 0) f ( x)
阅读与练习 P73 题5
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P73 题5. 证明: 若 f ( x) 在 ( , ) 内连续, lim f ( x)
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
小结
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内容小结
在 在 在 4. 当
上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
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思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图.
y
Hale Waihona Puke 证: 作辅助函数y f ( x)
( x) f ( x) C
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
B C A
(a) (b) ( A C )( B C )
o a
b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 必取得介于最小值与最 推论: 在闭区间上的连续函数 大值之间的任何值 .
存在, 则 f ( x) 必在 ( , ) 内有界.
x x
证: 令 lim f ( x) A , 则给定 0 , X 0 ,当 x X 时, 有
A f ( x) A
f ( x) M1 , x [ X , X ]
y M 1 f ( x) A
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理
二、介值定理
第一章
三、连续与间断小结
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一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [ a , b ] , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使
f (1 ) min f ( x)
o
1
2
x
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推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x) y
M
y f ( x)
上有界 .
m o a 1 2
y
y f ( x)
b
x
二、介值定理