7第四章 数组,集合和矩阵

（或空） 或空） 当i<j j 此时一维数组sa的数据元素个数为(n(n+1)/2)+1 sa的数据元素个数为(n(n+1)/2)+1个 注：此时一维数组sa的数据元素个数为(n(n+1)/2)+1个，其中数组 sa的最后一个位置存储 中数值不为0的那个常数。 的最后一个位置存储A sa的最后一个位置存储A中数值不为0的那个常数。
a０0的内存单元地址
每个元素所需的字节个数
a0,0 a0,1 … a0,n-1 a1,0 a1,1 … a1,n-1 Amn= … … … … am-1,0 am-1,1 … am-1,n-1
一个m× 的二维数组可以 一个 ×n的二维数组可以 看成是m行的一维数组 行的一维数组， 看成是 行的一维数组，或 列的一维数组。 者n列的一维数组。 列的一维数组
特殊矩阵压缩存储方式有两种: 特殊矩阵压缩存储方式有两种 1.只存储相同矩阵元素的一个副本； 只存储相同矩阵元素的一个副本； 只存储相同矩阵元素的一个副本 2.采用不等长的二维数组。 采用不等长的二维数组。 采用不等长的二维数组
（1）n阶对称矩阵 在一个n阶方阵A 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： 若元素满足下述性质： aij=aji 1 5 1 3 7 5 0 8 0 0 1 8 9 2 6 3 0 2 5 1 7 0 6 1 3 （1≦i,j≦n） 1≦i,j≦n） 则称A 则称A为n阶对称矩阵。下图是一个5阶对称矩阵。 阶对称矩阵。下图是一个5阶对称矩阵。 a11 a21 a 22 a31 a32 a33 ……………….. an1 an2 an3 …a nn
第4章 数组、集合和矩阵 章 数组、
4.1 数组 4.2 特殊矩阵 4.3 稀疏矩阵 4.4 集合
4.1 数组
4.1.1 数组的定义 数组是 （ 数组是n（n≥1）个相同数据类型的数据元素 ） a0,a1,a2,...,an-1构成的占用一块地址连续的内存单元的 构成的占用一块地址连续的内存单元 构成的占用一块地址连续的内存单元的 有限集合。 有限集合。
问题： 问题：数组与线性表的区别与联系
相同之处： 相同之处： 它们都是若干个相同数据类型的数据元素a 它们都是若干个相同数据类型的数据元素a0,a1,a2,…，an-1 相同数据类型的数据元素 ， 构成的有限序列。 构成的有限序列。 不同之处： 不同之处： (1)数组要求其元素占用一块地址连续的内存单元空间，而 (1)数组要求其元素占用一块地址连续的内存单元空间， 数组要求其元素占用一块地址连续的内存单元空间 线性表无此要求； 线性表无此要求； (2)线性表的元素是逻辑意义上不可再分的元素， (2)线性表的元素是逻辑意义上不可再分的元素，而数组中 线性表的元素是逻辑意义上不可再分的元素 元素还可以是一个数组； 的每个元素还可以是一个数组 的每个元素还可以是一个数组； (3)数组的操作主要是向某个下标的数组元素中存放数据和 (3)数组的操作主要是向某个下标的数组元素中存放数据和 数组的操作 取某个下标的数组元素，这与线性表的插入和删除操作不同。 取某个下标的数组元素，这与线性表的插入和删除操作不同。 不同
k=
i(i-1)/2+j-1 i(i-1)/2+jn(n+1)/2
当 i ≧j
2 采用不等长的二维数组 C#语言支持不等长的二维数组，对于n阶对称矩阵， 语言支持不等长的二维数组，对于 阶对称矩阵 阶对称矩阵， 语言支持不等长的二维数组 也可以通过只申请存储下三角（或上三角） 也可以通过只申请存储下三角（或上三角）矩阵元素 所需的二维数组，来达到压缩存储的目的。 所需的二维数组，来达到压缩存储的目的。 不等长的二维数组结构 int[][] a=new int[4][]; a[0]=new int[1]; a[1]=new int[2]; a[2]=new int[3]; a[3]=new int[4];
下标 0 1 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第3行 第2行 第1行
下标 0 1 1 4 7 2 5 8 3 6 9 第3列 第2列 第1列
2
3 4 5 6 7 8
2
3 4 5 6 7 8
(a) 二维数组的逻辑结构
(b) 行优先顺序存储结构
(c) 列优先顺序存储结构
4.2 特殊矩阵
特殊矩阵是指这样一类矩阵， 特殊矩阵是指这样一类矩阵，其中有许多值相同 是指这样一类矩阵 的元素或有许多零元素， 的元素或有许多零元素，且值相同的元素或零元素的 分布有一定规律。 分布有一定规律。 一般采用二维数组来存储矩阵元素。但是，对于 一般采用二维数组来存储矩阵元素。但是， 特殊矩阵， 特殊矩阵，可以通过找出矩阵中所有值相同元素的数 学映射公式，只存储相同元素的一个副本， 学映射公式，只存储相同元素的一个副本，从而达到 压缩存储数据量的目的。 压缩存储数据量的目的。
二维数组的顺序存储结构
注：只要知道以下三要素便可随时求出任一元素的地址（意义： 只要知道以下三要素便可随时求出任一元素的地址（意义： 数组中的任一元素可随机存取） 数组中的任一元素可随机存取） 开始结点的存放地址（即基地址）； ①开始结点的存放地址（即基地址）； 维数和每维的上、下界； ②维数和每维的上、下界； ③每个数组元素所占用的单元数
i(i-1)/2+ji(i-1)/2+j-1 k=
（2）n阶三角矩阵
当 i ≧j 当i<j j
j(j-1)/2+ij(j-1)/2+i-1
以主对角线划分， 阶三角矩阵有n阶上三角矩阵和n 以主对角线划分， n阶三角矩阵有n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵 两种。 两种。 n阶上三角矩阵图(a)所示，它的下三角（不包括主对角线）中的元 阶上三角矩阵图(a)所示，它的下三角（不包括主对角线） (a)所示 素均为0 或常数）。 阶下三角矩阵正好相反， ）。n 素均为0（或常数）。n阶下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均为 或常数），如图(b)所示。 ），如图(b)所示 0（或常数），如图(b)所示。 注：在大多数情况下， n阶三角矩阵常数为零。 在大多数情况下， 阶三角矩阵常数为零。
n阶对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三 阶对称矩阵中的元素关于主对角线对称， 角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间，这样， 角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间，这样， 能节约近一半的存储空间。不失一般性，我们按“行优先顺序 顺序” 能节约近一半的存储空间。不失一般性，我们按“行优先顺序”存储主 对角线（包括对角线）以下的元素。 对角线（包括对角线）以下的元素。
数组的数据集合可以表示为a0, a1, a2, ..., an-1， 数据集合 数组的数据集合可以表示为 ， 且限定数组元素必须存储在地址连续的内存单元中。 限定数组元素必须存储在地址连续的内存单元中。 操作集合： 操作集合： （1）分配内存空间 ）分配内存空间acclocate()：为数组分配用户所需的内存 ： 空间。 空间。 （2）取数组长度 ）取数组长度getLength()：取数组的长度。 ：取数组的长度。 存入下标为i的数组中 （3）存数组元素 ）存数组元素set(i, x)：把数据元素 存入下标为 的数组中。 ：把数据元素x存入下标为 的数组中。 其约束条件为： 其约束条件为：0≤i≤getLength()-1。 。 的数据元素。 （4）取数组元素 ）取数组元素get(i)：取出数组中下标为 的数据元素。其 ：取出数组中下标为i的数据元素 约束条件为： 约束条件为：0≤i≤getLength()-1。 。
4.1.2 数组的实现机制
１、一维数组（n个元素）中任一元素ai的内存单元地址 一维数组（ 个元素）中任一元素a 一维数组 LOC(ai)=LOC(a０)+i*k (0≤i <n)
a０的内存单元地址
每个元素所需的字节个数
２、一个m行n列的二维数组 一个 行 列的二维数组 LOC(aij)=LOC(a00)+(i*n+j)*k (0≤i<m， 0≤j<n) ，
a11 a12 … a 1n c a22 … a 2n
a11 a21………………. c c … a nn
(a)上三角矩阵 (a)上三角矩阵
……………… an1 an2 … an n
(b)下三角矩阵 (b)下三角矩阵
假设以一维数组sa作为n阶下三角矩阵A的压缩存储单元， 假设以一维数组sa作为n阶下三角矩阵A的压缩存储单元，k为一维数 sa作为 va的下标序号 的下标序号， 阶下三角矩阵A 列的数据元素( 组va的下标序号，aij为n阶下三角矩阵A中i行j列的数据元素(其中 ），其数学映射关系为 其数学映射关系为： 1≦i,j≦n ），其数学映射关系为：
4.3 稀疏矩阵
对一个m× 的矩阵 的矩阵， 为矩阵元素个数的总和 为矩阵元素个数的总和， 对一个 ×n的矩阵，设s为矩阵元素个数的总和， 为矩阵中非零元素个数的总和， 有s=m*n，设t为矩阵中非零元素个数的总和，满足 ＜ ， 为矩阵中非零元素个数的总和 满足t＜ 的矩阵称作稀疏矩阵 ＜s的矩阵称作稀疏矩阵。符号“＜＜”读作小于小于。 的矩阵称作稀疏矩阵。符号“＜＜”读作小于小于。 简单说， 简单说，稀疏矩阵就是非零元素个数远远小于元素个 数的矩阵。相对于稀疏矩阵来说， 数的矩阵。相对于稀疏矩阵来说，一个不稀疏的矩阵 也称作稠密矩阵 稠密矩阵。 也称作稠密矩阵。
4.3.1 稀疏矩阵的压缩存储
稀疏矩阵的压缩存储方法， 稀疏矩阵的压缩存储方法，是只存储矩阵中的 方法 非零元素。 非零元素。 稀疏矩阵中每个非零元素及其对应的行下标和 列下标构成一个三元组，稀疏矩阵中所有这样的三 列下标构成一个三元组， 三元组 元组构成一个以三元组为数据元素的线性表。 元组构成一个以三元组为数据元素的线性表。
例１：一个二维数组A，行下标的范围是1到6，列下标的范围是0到7，每个数 一个二维数组A 行下标的范围是1 列下标的范围是0 组元素用相邻的6个字节存储，存储器按字节编址。那么， 组元素用相邻的6个字节存储，存储器按字节编址。那么，这个数组的体积 是