第四讲：一元函数不定积分

2 a1 − u 2
∫
1 − x2 dx 2 x
2
令
2
x = sin t ,
dx = cos tdt
1 x t
= ∫ cot tdt = ∫ (csc t − 1)dt = − cot t − t + C
1 − x2 =− − arcsin x + C x
1 − x2
15
例
∫x
x+1
2
x2 − 1
2
14
除了凑微分法外其它常用变量代换 (1) 被积函数中含有二次根式
a 2 − x 2 ，令 x
= a sin t ;
x = a sec t
a 2 + x 2 ，令 x = a tan t
x 2 − a 2 ，令
如是 例
ax 2 + bx + C 配方
2 → u 2 + a1 ,
2 u 2 − a1 ,
2
= x(arc sinx ) + 2 1 − x 2 arc sinx - 2x + C
2
例
ln x lnx 1 1 lnx 1 dx = − ∫ ln x d = − - +c + ∫ 2 dx = − ∫ x2 x x x x x
9
例
1 1 dx=∫ d(x + 1)c = 1 arctan x + 1 + c ∫ x 2 + 2x + 5 (x + 1) 2 + 4 2 2
例
∫
∫
e− x
3
+ 2 ln x
dx = ∫ e − x e x dx = −
3 2
3 1 − x3 1 3 e d (e − x ) = − e − x + c 3∫ 3
3
例、f ( x ) 的导函数是sin x 则 f ( x )的全体原函数为
(-sinx+c1x+c2 、 c1 ，c2为任意常数 为任意常数)
在下列等式中， 例 在下列等式中，正确的结果是 C
/ A、 f (x)dx = f (x) 、 ∫
d C、 ∫ f (x)dx = f(x) 、 dx
∫ df(x) = f(x) D、 d ∫ f (x)dx = f(x) 、
工程硕士复习
上海交通大学应用数学系 张忆
zhangyimt@
1
第五节 一元函数不定积分
一、原函数、不定积分 P181 原函数、
) 在区间Ⅰ 的导函数， 在区间Ⅰ上，如 F (x ) = f (x，称 f (x ) 为 F(x ) 的导函数，称 F(x ) 为 f (x ) 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。
令
c2 = 1 c1 = 0 选B
5
可导， 例（2007年试题）设函数 f ( x ) 可导，且 f (0) = 1, f ′( − ln x ) = x 2007年试题） 年试题 则
f (1) = A
A
2 − e −1
BHale Waihona Puke →1 − e −1C
1 + e −1
D
e −1
解 令 − ln x = t 由 f (0) = 1 →
17
例
∫
dx 1+ 3 x+ 2
3
解：令 原式
x+2 = t
x = t3 − 2
dx = 3t 2dt
3t 2 1 dt = 3 ∫ (t − 1 + )dt =∫ 1+ t 1+ t
3 = 2
3
(x + 2)
2
−3
3
x + 2 + 3 ln 1 + x + 2 + C
3
18
例 原式
∫
1 x + 3 x2
(arc sin x) 2 dx = x (arc sinx ) − ∫ x 2arc sin x ⋅ ∫
2
1 1- x
2
dx
= x(arc sinx ) + 2 ∫ arc sinxd 1 - x 2
2
1 2 2 dx = x(arc sinx ) + 2 1 − x arc sinx - ∫ 1 - x ⋅ 2 1− x
d(x + c) = dx 1 dx = d(lnx) x
d ( kx ) = kdx
e xdx = d(e x )
cos x = d (sin x )
1 2 x dx = d( x )
−
1 1 dx = d( ) x2 x
sec2 xdx = d (tan x )
nx n − 1dx = d ( x n )
7
1 1-x -x
2
dx = d( arc sin x)
x 1 + x2
dx = d( 1 + x 2 )
1-x
2
dx = d( 1 − x )
2
sin 2 x dx = d (sin 2 x )
− sin 2 x dx = − d (cos 2 x )
例
1 1 1 1 dx = − ∫ d(3 − 2x) = − ln 3 − 2x + c ∫ 3 − 2x 2 3 − 2x 2
6
19
例
∫
e x + 1dx
解：令
ex + 1 = t
2
ex = t 2 − 1
原式
2t x = ln(t − 1) dx = 2 dt t −1 t −1 2t 1 dt = 2 ∫ 1 + 2 dt = 2t + ln = ∫t⋅ 2 +C t −1 t −1 t +1
20 分部积分 <定理 如 u(x ) 定理>如 定理
12
−x 例 设 f ( x) = e 则
∫
f ′(ln x ) 1 dx = + c x x
解
∫
1 f ′(ln x ) dx = ∫ f ′(ln x )d (ln x ) = f (ln x ) + c = + c x x
13
例 解
F ( x ) 为 e x 的原函数，则 dF ( x ) = 的原函数， 1 e− x dF ( x ) = F ′( x ) dx = dx 2 x 2 x
11
(
)
1 ex 1 1 ex x e −1 de de = arctan − ∫ x − 2 x dx = ∫ 2 x − ∫ x 2x 例 ∫ 2x e e + 4 de 2 2 4 e +4 e +4 e (e + 4)
x x x
1 ex x 1 = arctan − + ln(e 2 x + 4) + C 2 2 4 8
F / (x)dx = F(x) + C ∫
∫ k f(x)dx = k ∫ f(x)dx
2
（4）
∫ ( f(x) ± g(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
∵原函数与导函数有互逆关系, 原函数与导函数有互逆关系 三 积分公式 P181 ln x F(x ) 是 的一个原函数， 例 已知 的一个原函数， x 求： dF(sin x ) lnx 解：F / (x) = x dF(sinx) lnsinx dF(sin x) = dsinx = cosxdx dsinx sinx
/
的一个原函数， 的全体原函数。 如 F(x ) 为 f (x ) 的一个原函数，则F (x ) + C 为f (x ) 的全体原函数。
记为 ∫ f(x)dx ，即 二 不定积分性质。 (1) (2) (3)
∫ f(x)dx = F(x) + C
f(x)dx) / = f(x) 或 d ∫ f(x)dx = f (x)dx ∫
∫ (1 + x )
arctan x x
dx = 2 ∫ arctan xd arctan x
= arctan 2 x + C
1 1 + ex − ex ex dx = ∫ dx = ∫ 1 − 例 ∫ dx x x x 1+ e 1+ e 1+ e
d 1 + ex = x−∫ 1 + ex
(
)
= x − ln 1 + e x + C
例
1 -x3 1 -x3 3 ∫ x e dx = − 3 ∫ e d(-x) = − 3 e + c
例
∫e
x
(
1 e − 4 dx = ∫ e − 4 d (e x − 4) = ( e x − 4)6 + c 6
x 5 x 5
)
(
)
例
1 1 1 1 2x ∫ 9 + 4x 2 d x = 2 ∫ 32 + (2x)2 d2x = 6 arctan a + c
v(x ) 均具有连续的导函数，则 、 均具有连续的导函数，
∫ u dv = uv − ∫ vdu = uv − ∫ vu′dx
20
例
∫ xcos x dx = ∫ xdsin x
= x sin x + cos x + c
= x sin x - ∫ sin x dx
例 例
xe− xdx = − ∫ xde− x = − xe− x + ∫ e − xdx = −xe− x − e − x + C ∫