【配套K12】[学习](全国通用版)2019年中考数学复习 单元测试(五)四边形
2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质(包含答案)(K12教育文档)
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2019年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1。
（2019年山东省滨州市）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°,则∠ABD的大小为( ）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°,∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选:B．2。
（2019年山东省德州市)如图，点O为线段BC的中点，点A,C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是（）A。
B。
C。
D.【考点】圆内接四边形的性质【解答】解:由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选:B．3. （2019年山东省菏泽市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点,且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD,∴∠ADB＝90°,∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立;∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．4. (2019年四川省资阳市）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为( )A．5πB．6πC．20πD．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π,故选：A．5. （2019年广西贵港市)如图，AD是⊙O的直径，=，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A. B. C。
【配套K12】[学习]江苏省徐州市2019年中考数学总复习 第五单元 四边形 课时训练26 矩形、菱
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课时训练(二十六)矩形、菱形、正方形(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2017·广安]下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2.[2018·湘潭]如图K26-1,已知点E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()图K26-1A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形3.[2016·无锡]下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是()A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.邻边互相垂直4.如图K26-2,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为()图K26-2A.1B.C.4-2D.3-45.[2018·新疆维吾尔生产建设兵团]如图K26-3,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边的中点,则MP+PN的最小值是()图K26-3A. B.1 C. D.26.如图K26-4,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为()图K26-4A.6B.12C.2D.47.[2016·扬州]如图K26-5,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为.图K26-58.[2017·黄冈]已知:如图K26-6,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED= 度.图K26-69.[2017·菏泽]菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为cm2.10.如图K26-7,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为.图K26-711.如图K26-8,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE 的最小值为.12.在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE为菱形,若线段EF的中点为M,则线段AM的长为.图K26-813.[2018·内江]如图K26-9,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求证:(1)△AED≌△CFD;(2)四边形ABCD是菱形.图K26-914.如图K26-10,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F使CF=BE,连接AF,DE,DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.图K26-1015.[2016·盐城]如图K26-11,已知△ABC中,∠ABC=90°.(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母).①作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O;②连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB;③连接DA,DC.(2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.图K26-1116.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图K26-12所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图K26-1217.[2017·扬州]如图K26-13,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在∠ACB'的平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC=,求CB'的长.图K26-13|拓展提升|18.[2017·南通]如图K26-14,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()图K26-14A.5B.10C.10D.1519.[2018·重庆B卷]如图K26-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.若DE∥AC,则AE的长度等于.图K26-1520.[2018·绍兴]小敏思考解决如下问题:原题:如图K26-16①,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图②,此时她证明了AE=AF.请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:AB=4,∠B=60°,如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.图K26-16参考答案1.C[解析] 根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四边都相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.2.B[解析] 连接AC和BD,∵E,F,G,H分别是菱形ABCD各边的中点,∴EH∥BD∥FG,EF∥AC∥HG,EH=FG=BD,EF=HG=AC,∴四边形EFGH为平行四边形,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴EF⊥FG,∴▱EFGH是矩形.3.C[解析] 对角线互相垂直是菱形具有的性质,矩形不一定具有.故选C.4.C[解析] 由∠BAE=22.5°,∠ADB=45°,∠BAD=90°,EF⊥AB,易知△ADE是等腰三角形,△BEF是等腰直角三角形,∴DE=AD=4,BE=4-4.设EF=x,则2x2=(4-4)2,解得x=4-2(x=2-4为负值,舍去).故选C.5.B[解析] 如图,取AD的中点M',连接M'N交AC于点P,则由菱形的轴对称性可知M,M'关于直线AC对称,从而M'P=PM,此时MP+PN的值最小,而易知四边形CDM'N是平行四边形,故M'N=CD=1,于是,MP+PN的最小值是1,因此选B.6.D[解析] 设BE=x,则CE=BC-BE=16-x.∵沿EF折叠后点C与点A重合,∴AE=CE=16-x.在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,即82+x2=(16-x)2,解得x=6,∴AE=16-6=10.由翻折的性质,得∠AEF=∠CEF.∵矩形ABCD的对边AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF,∴∠AEF=∠AFE,∴AF=AE=10.如图,过点E作EH⊥AD于点H,则四边形ABEH是矩形,∴EH=AB=8,AH=BE=6,∴FH=AF-AH=10-6=4.在Rt△EFH中,EF===4.7.24[解析] ∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AB=BC=CD=DA,∴△AOD为直角三角形.∵OE=3,且点E为线段AD的中点,∴AD=2OE=6.∴C菱形ABCD=4AD=4×6=24.8.45[解析] 由题意得,AB=AE,∠BAD=90°,∠DAE=∠AED=60°.所以∠BAE=150°,∠AEB=15°.所以∠BED=∠AED-∠AEB=60°-15°=45°.9.18[解析] 如图,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,又∵菱形ABCD周长为24 cm,即BD=AB=6 cm,在Rt△AOD中,OD=3 cm,∴AO===3(cm),∴AC=2AO=6 cm,菱形的面积=AC·BD=×6×6=18(cm2).10.16[解析] 在矩形ABCD中,CD=AB=x,BC=AD=y.在Rt△BDE中,∠BDE=90°,F为BE的中点,所以BF=EF=DF=4,所以CD2+CF2=DF2,即x2+(4-y)2=x2+(y-4)2=16.11.[解析] 如图,作E关于直线AC的对称点E',连接E'F,则E'F的长即为PE+PF的最小值.过点F作FG⊥CD于点G.由正方形的对称性,易知DE'=BE=1.易证四边形BCGF是矩形,所以CG=BF=AB-AF=2,FG=BC=4.在Rt△E'FG中,GE'=CD-DE'-CG=4-1-2=1,GF=4,所以E'F===.12.5.5或0.5[解析] ∵四边形BCFE是菱形, ∴BE=BC=AD=5.如图①,在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=3,∵EF=BC=5,M是EF的中点,∴EM=2.5,∴AM=3+2.5=5.5.如图②,在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=3,∵EF=5,M是EF的中点,∴EM=2.5,∴AM=3-2.5=0.5.13.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,在△AED和△CFD中,∴△AED≌△CFD(ASA).(2)由(1)得△AED≌△CFD,∴AD=DC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.14.解:(1)证明:∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC.即EF=BC.∵在▱ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴AD∥EF且AD=EF.∴四边形AEFD是平行四边形.∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°.∴▱AEFD是矩形.(2)∵▱AEFD是矩形,DE=8,∴AF=DE=8.∵AB=6,BF=10,∴AB2+AF2=62+82=102=BF2.∴∠BAF=90°.∵AE⊥BF,∴S△ABF=AB·AF=BF·AE.∴AE==.15.解:(1)完成的作图如图所示.作出AC的垂直平分线l,得到点O;作出点D.(2)四边形ABCD为矩形.理由:∵线段AC的垂直平分线l交AC于点O, ∴OA=OC,又∵OD=OB,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形.16.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.17.解:(1)四边形ACC'A'为菱形.理由如下:∵△A'B'C'是由△ABC平移得到的,∴AA'∥CC'且AA'=CC',∴四边形ACC'A'是平行四边形,∠AA'C=∠A'CC'.∵CD平分∠ACC',∴∠ACA'=∠A'CC',∴∠AA'C=∠ACA',∴AC=AA',∴四边形ACC'A'为菱形.(2)∵∠B=90°,cos∠BAC=,∴=.∵AB=24,∴AC=26,∴BC===10,∴CB'=CC'-B'C'=AC-BC=16.18.B[解析] 作点F关于CD的对称点F',易证四边形EFGH为平行四边形,△AEH≌△CGF,∴AH=CF=CF'.当H,G,F'三点共线时,GH+GF'最小,即GH+GF最小.过点F'作点F'M⊥AD,交AD延长线于点M.则HM=5,F'M=10,根据勾股定理可求得HF'=5,所以GH+GF为5,即四边形EFGH周长的最小值为10.19.2[解析] ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,∴CD=AB=DA=DB.令∠B=x°,则∠DCB=∠B=x°,由翻折知,DE=DB,∠ECD=∠DCB=x°=∠CED.∵DE∥AC,∴∠ACE=∠CED=x°.由∠ACB=90°,得3x=90,x=30,从而∠B=30°,于是AC=AB.在Rt△ABC中,tan B=,得AC=BC·tan B=6tan30°=2.∴AB=2AC=4,ED=BD=AB=2,∴AC=DE,又AC∥DE,从而四边形ACDE是平行四边形.又∵CD=DE,∴四边形ACDE是菱形.∴AE=AC=2.20.[解析] (1)可先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明△AEB≌△AFD即可;(2)先求出∠EAP=∠FAQ,再证明△AEP≌△AFQ即可;(3)可以分三个不同的层次,①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长.②可求PC+CQ,BP+QD,∠APC+∠AQC的值.③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.解:(1)证明:如图①,在菱形ABCD中,∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠C+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°,∴∠AFC=90°,∠AFD=90°,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)证明:如图②,∵∠PAQ=∠EAF=∠B,∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEP=∠AFQ=90°.∵AE=AF,∴△AEP≌△AFQ,∴AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次1:①求∠D的度数.答案:∠D=60°.②分别求∠BAD,∠BCD的度数.答案:∠BAD=∠BCD=120°.③求菱形ABCD的周长.答案:16.④分别求BC,CD,AD的长.答案:4,4,4.层次2:①求PC+CQ的值.答案:4.②求BP+QD的值.答案:4.③求∠APC+∠AQC的值.答案:180°.层次3:①求四边形APCQ的面积.答案:4.②求△ABP与△AQD的面积和.答案:4.③求四边形APCQ周长的最小值.答案:4+4.。
【配套K12】[学习]安徽省2019年中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第五章 四边形单元综合检
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单元综合检测五四边形(80分钟120分)一、选择题(每小题4分,满分36分)1.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于(B)A.60°B.72°C.90°D.108°【解析】设这个正多边形的边数为n,则(n-2)·180°=540°,解得n=5,所以这个正多边形的每一个外角等于=72°.2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直【解析】平行四边形的性质:对边相等,对角相等,对角线互相平分.菱形的性质:对边相等,邻边相等,对角相等,对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.比较得出D选项符合题意.3.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是(D)A.OA=OCB.OE=DCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,OA=OC,故A正确;又∵点E是BC的中点,∴OE是△BCD的中位线,∴OE=DC,故B正确;∵OE∥AB,∴∠BOE=∠OBA,故C正确;∵OB≠OC,∴∠OBE≠∠OCE,故D错误.4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O 到边AB的距离OH等于(D)A.2B.C. D.【解析】在菱形ABCD中,AC⊥BD,OA=4,OB=3,∴AB==5,∴OH=.5.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为(B)A. B.2C.+1D.2+1【解析】∵正方形ABCD的面积为1,∴BC=CD=1,又E,F是BC,CD的中点,∴CE=CF=,∴EF=,∴正方形EFGH的周长为4EF=4×=2.6.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,恰好得到菱形AECF.若AB=3,则菱形AECF的面积为(C)A.1B.2C.2D.4【解析】∵四边形AECF是菱形,AB=3,∴设BE=x,则AE=3-x,CE=3-x,∵四边形AECF是菱形,∴∠FCO=∠ECO,∵∠ECO=∠ECB,∴∠E CO=∠ECB=∠FCO=30°,2BE=CE,∴CE=2x,∴2x=3-x,解得x=1,∴CE=2,利用勾股定理得BC=,又∵AE=AB-BE=3-1=2,则菱形的面积是AE·BC=2.7.如图,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF,BF,则下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF.其中正确的有 (D)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】如图,延长EF交BC的延长线于点G,取AB的中点H,连接FH.∵CD=2AD,DF=FC,∴CF=CB,∴∠CFB=∠CBF,∵CD∥AB,∴∠CFB=∠FBH,∴∠CBF=∠FBH,∴∠ABC=2∠ABF,故①正确;∵DE∥CG,∴∠D=∠FCG,∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,∴△DFE≌△CFG,∴FE=FG,∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBG=90°,∴BF=EF=FG,故②正确;∵S△DFE=S△CFG,∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF,故③正确;∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,∴CF=BH,∵CF∥BH,∴四边形BCFH是平行四边形,∵CF=BC,∴四边形BCFH是菱形,∴∠BFC=∠BFH,∵FE=FB,FH∥AD,BE⊥AD,∴FH⊥BE,∴∠BFH=∠EFH=∠DEF,∴∠EFC=3∠DEF,故④正确.8.如图,点E,F分别在菱形ABCD的边AB,AD上,且AE=DF,BF交DE于点G,延长BF交CD的延长线于点H,若=2,则的值为(A)A. B. C. D.【解析】设菱形ABCD的边长为3a.因为四边形ABCD是菱形,=2,AE=DF,所以AE=DF=a,AF=BE=2a,因为AB∥CD,所以,所以HD=AB=a,HF=HB.因为AB∥CD,所以,所以BG=HB,所以.9.如图,在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,连接BE交AC于点F,交AD于点H,连接DF并延长交AB于点G,则下列结论:①∠CFD=60°;②S△BGF=S△DHF;③△AHE≌△FGB;④△EDH∽△EFD.其中正确的个数是(C)A.1B.2C.3D.4【解析】∵在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,∴∠BAE=90°+60°=150°,AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=15°,在正方形ABCD中,AC为对角线,∴∠BAF=∠DAF=45°.在△ABF和△ADF中,AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF(SAS),∴∠ABF=∠ADF=15°,∴∠CFD=∠FAD+∠ADF=45°+15°=60°,故①正确;∵点F为正方形ABCD对角线AC上的点,∴BF=DF,∴△BGF≌△DHF,∴S△BGF=S△DHF,故②正确;∵∠AHE=∠HAB+∠ABH=90°+15°=105°,同理∠FGB=105°,∴∠AHE=∠FGB,∵∠AEH=∠FBG,而BF=DF≠AD=AE,∴△AHE与△FGB不全等,故③错误;∵∠DHE=60°+15°=75°,∠EDF=60°+15°=75°,∴∠DHE=∠EDF.又∵∠DEH=∠FED,∴△EDH∽△EFD,故④正确.二、填空题(每小题5分,满分20分)10.若一个多边形的内角和是外角和的5倍,则这个多边形是十二边形.【解析】设这个多边形的边数为n,则(n-2)·180°=5×360°,解得n=12.11.在▱ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB 的长为3或5.【解析】本题分两种情况讨论:①如图1,∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD,∴BA=BE,CD=CF,又∵AB=CD,∴BE=CF=AB,∵BE+CF-EF=BC,即2AB-EF=BC,又∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB-2=8,∴AB=5;②如图2,∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,同理可得BA=BE,CD=CF,又∵AB=CD,∴BE=CF=AB,∵BE+CF+EF=BC,∴2AB+EF=BC,∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB+2=8,∴AB=3.综上,AB的长为3或5.12.如图,四边形OABC为矩形,点A,C分别在x轴和y轴上,连接AC,点B的坐标为(4,3),∠CAO的平分线与y轴相交于点D,则点D的坐标为.【解析】过点D作DE⊥AC于点E,∵B(4,3),∴OA=4,OC=3,在Rt△ABC中,AC==5,∵AD平分∠CAO且DE⊥AC,DO⊥OA,∴△AOD≌△AED,∴AO=AE=4,DO=DE,∴CE=AC-AE=5-4=1,设OD=x,则DE=x,CD=3-x,在Rt△CDE中,∵CD2=DE2+CE2,∴(3-x)2=x2+12,解得x=,∴点D的坐标为.13.如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线,将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG,则下列结论:①四边形AEGF是菱形;②△AED≌△GED;③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5.其中正确的结论是①②③.(填写所有正确结论的序号)【解析】∵四边形ABCD是边长为1的正方形,∴AC⊥BD,CD=AD=1,∠DCB=90°,∠CBD=45°,BD=.∵△DGH是由△DCB绕点D顺时针旋转45°得到,∴DH=BD=AC=,DG=DC=1,∠H=∠CBD=45°,∠DGH=90°,∴△AEH与△GBE都是等腰直角三角形,GH∥AC,∴AE=AH=DH-AD=-1,EG=BG=BD-DG=-1,∴AE=EG,∴DE平分∠ADG,∠ADE=∠GDE=22.5°,于是可得∠CDF=∠CFD=67.5°,∴CF=CD=1,AF=AC-CF=-1,∴AF=EG=AE.由AF=EG,AF∥EG,可得四边形AEGF是平行四边形,又AF=AE,可得四边形AEGF是菱形,故①正确;∵AE=EG,ED=ED,∴△AED≌△GED(HL),故②正确;由四边形AEGF是菱形,得FG∥AB,∴∠GFC=∠BAC=45°,∴∠DFG=45°+67.5°=112.5°,故③正确;BC+FG=1+-1=,故④错误.三、解答题(满分64分)14.(10分)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.(1)给出以下条件:①OB=OD;②∠1=∠2;③OE=OF.请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;(2)在(1)中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.解:(1)若选①和②,在△BEO和△DFO中,∵∠1=∠2,OB=OD,∠BOE=∠DOF,∴△BEO≌△DFO(AS A).若选①和③,在△BEO和△DFO中,∵OB=OD,∠BOE=∠DOF,OE=OF,∴△BEO≌△DFO(SAS).若选②和③,在△BEO和△DFO中,∵∠1=∠2,∠BOE=∠DOF,OE=OF,∴△BEO≌△DFO(AAS). (2)由(1)知△BEO≌△DFO,∴OB=OD,OE=OF,∵AE=CF,∴OA=OC.∴四边形ABCD是平行四边形.15.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,O是BC的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°,则当∠BOD=°时,四边形BECD是矩形,并说明理由.解:(1)在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴∠CBE=∠BCD,∵点O是边BC的中点,∴OB=OC,∵∠BOE=∠COD,∴△BOE≌△COD,∴OE=OD,∴四边形BECD是平行四边形.(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形BECD是矩形.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=50°,∵∠BOD=∠BCD+∠ODC,∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD,∴OC=OD,∵OB=OC,OD=OE,∴DE=BC,∵四边形BECD是平行四边形,∴四边形BECD是矩形.16.(14分)如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD 于点E.(1)求证:AG=GC;(2)求证:AG2=GE·GF.证明:(1)在菱形ABCD中,AD=CD,∠ADG=∠CDG,又DG=DG,∴△AGD≌△CGD,∴AG=GC.(2)在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠F=∠DCG,由(1)得△AGD≌△CGD,∴∠DAG=∠DCG,∴∠F=∠DAG,又∵∠AGF=∠EGA,∴△AGE∽△FGA,∴,即AG2=GE·GF.17.(14分)如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分∠DEB,F为CE的中点,连接AF,BF,过点E作EH∥BC分别交AF,CD于G,H两点.(1)求证:DE=DC;(2)求证:AF⊥BF;(3)当AF·GF=28时,请直接写出CE的长.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠DCE=∠CEB,∵EC平分∠DEB,∴∠DEC=∠CEB,∴∠DCE=∠DEC,∴DE=DC.(2)连接DF,∵DE=DC,F为CE的中点,∴DF⊥EC,∴∠DFC=90°,在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=90°,∴BF=CF=EF=EC,∴∠ABF=∠CEB,∵∠DCE=∠CEB,∴∠ABF=∠DCF,∴△ABF≌△DCF,∴∠AFB=∠DFC=90°,∴AF⊥BF.(3)CE=4.提示:∵AF⊥BF,∴∠BAF+∠ABF=90°,∵EH∥BC,∠ABC=90°,∴∠BEH=90°,∴∠FEH+∠CEB=90°,∵∠ABF=∠CEB,∴∠BAF=∠FEH,∵∠EFG=∠AFE,∴△EFG∽△AFE,∴,即EF2=AF·GF,∵AF·GF=28,∴EF=2,∴CE=2EF=4.18.(14分)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.(1)如图1,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC.(2)若点P在线段AB上.①如图2,连接AC,当P为AB的中点时,判断△ACE的形状,并说明理由;②如图3,设AB=a,BP=b,当EP平分∠AEC时,求a∶b的值及∠AEC的度数.解:(1)在正方形ABCD和正方形BPEF中,AB=BC,BP=BF=PE=EF,∠BFE=∠BPE=90°,∴AP=CF,∴△APE≌△CFE(SAS),∴EA=EC.(2)①△ACE为直角三角形.理由:在正方形BPEF中,∠BPE=90°,∴∠APE=90°,∵P为AB的中点,∴AP=BP.∵BP=PE,∴AP=PE,∴∠PAE=∠PEA=45°,在正方形ABCD中,∠CAB=45°,∴∠CAE=90°,∴△ACE为直角三角形.②连接BE,∵EP平分∠AEC,∴∠AEP=∠CEP,在正方形BPEF中,PE∥BF,∴∠CEP=∠ECF,∴∠AEP=∠ECF.∵∠APE=∠EFC=90°,∴△APE∽△EFC,∴,∴,∴a2=2b2,∴a=b(舍负),∴a∶b=∶1,∴BE=BP=b,∠EBF=45°,∴BE=BC,∴∠BEC=∠EC F,∴∠EBF=∠BEC+∠ECF=2∠ECF.∵∠AEC=2∠CEP,∠CEP=∠ECF,∴∠AEC=∠EBF=45°.。
推荐学习K12河南省2019年中考数学总复习 第四章 三角形真题帮
第一节角、相交线与平行线1.[2014河南,3]涉及考点:角平分线、直角如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM.若∠AOM=35°,则∠CON的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.65°(第1题) (第2题)2.[2018河南,12]涉及考点:直角、补角如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为.3.[2010河南,10]涉及考点:三角形内角和定理的推论将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为.4.[2015河南,4]涉及考点:平行线的性质、补角如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为( )A.55°B.60°C.70°D.75°5.[2011河南,2]涉及考点:平行线的性质、补角如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,若∠1=35°,则∠2的大小为( )A.35°B.145°C.55°D.125°(第5题) (第6题)6.[2013河南,10]涉及考点:平行线的性质将一副直角三角板ABC和EDF如图放置(其中∠A=60°,∠F=45°),使点E落在AC边上,且ED∥BC,则∠CEF的度数为.第二节三角形及其性质1.[2016河南,6]涉及考点:垂直平分线、勾股定理、中位线如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3(第1题) (第2题)2.[2011河南,8]涉及考点:等腰三角形的性质、角平分线如图,在△ABC中,AB=AC,CD平分∠ACB,∠A=36°,则∠BDC的度数为.3.[2017河南,15]涉及考点:折叠、勾股定理如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'始终．．落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM的长为.4.[2012河南,15]涉及考点:折叠、三角函数如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上一动点 (不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC交AB边于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF 为直角三角形时,BD的长为.5.[2010河南,15]涉及考点:切线、三角函数如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AB=6,点D在AB边上,点E是BC边上一点(不与点B,C重合),且DA=DE,则AD的取值范围是.第三节全等三角形1.[2009河南,17]涉及考点:全等三角形的判定与性质、垂直平分线如图所示,∠BAC=∠ABD,A C=BD,点O是AD,BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.2.[2010河南,17]涉及考点:等腰三角形、轴对称、全等三角形的判定如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB'C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B'C相交于点O,连接BB'.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);(2)求证:△AB'O≌△CDO.3.[2017河南,22]涉及考点:等腰直角三角形、旋转、全等三角形的判定与性质如图(1),在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N 分别为DE,DC,BC的中点.(1)观察猜想图(1)中,线段PM与PN的数量关系是,位置关系是.(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针旋转到图(2)的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由.(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.图(1) 图(2)4.[2016河南,22]涉及考点:线段和差、等边三角形、全等三角形的判定与性质(1)发现图(1)如图(1),点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示).(2)应用点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图(2)所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD 和图(2)等边三角形ACE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展如图(3),在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.图(3) 备用图5.[2014河南,22]涉及考点:等边三角形、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、圆(1)问题发现如图(1),△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.填空:①∠AEB的度数为;②线段AD,BE之间的数量关系为.(2)拓展探究如图(2),△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM 为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.(3)解决问题如图(3),在正方形ABCD中,CD=.若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出．．．．点A到BP的距离.图(1) 图(2)图(3)第四节相似三角形1.[2010河南,4]涉及考点:中位线、平行线分线段成比例如图,△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则下列结论:①BC=2DE;②△ADE∽△ABC;③=.其中正确的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个(第1题) (第2题)2.[2015河南,10]涉及考点:平行线分线段成比例、解方程如图,△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,BE=3,则EC= . 3.[2012河南,14]涉及考点:旋转、相似三角形的判定与性质、三角形面积如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°后得到△A'B'C',A'C'交AB于点E.若AD=BE,则△A'DE的面积是.4.[2018河南,22]涉及考点:全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理(1)问题发现如图(1),在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①的值为;②∠AMB的度数为.(2)类比探究如图(2),在△O AB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC,交BD的延长线于点M.请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由.(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.图(1) 图(2)备用图5.[2015河南,22]涉及考点:相似三角形的判定与性质、旋转、勾股定理如图(1),在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△EDC 绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现①当α=0°时,= ;②当α=180°时,= .(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,的大小有无变化.请仅就图(2)的情形给出证明.(3)问题解决当△EDC旋转到A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.图(1) 图(2)备用图6.[2012河南,22]涉及考点:相似三角形的判定与性质、平行四边形类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题:如图(1),在▱ABCD中,点E是BC边的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若=3,求的值.(1)尝试探究在图(1)中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是,CG和EH的数量关系是,的值是.(2)类比延伸如图(2),在原题的条件下,若=m(m>0),则的值是(用含m的代数式表示),试写出解答过程.(3)拓展迁移如图(3),梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上一点,AE和BD相交于点 F.若=a,=b(a>0,b>0),则的值是(用含a,b的代数式表示).图(1)图(2)图(3)第五节锐角三角函数及其应用类型一背对背型1.[2016河南,19]如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处.若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)类型二母子型2.[2017河南,19]如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5 n mile处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向.已知A船的航速为30 n mile/h,B船的航速为25 n mile/h,问C船至少要等待多长时间才能得到救援.(参考数据:sin53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈,≈1.41)3.[2015河南,20]如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin48°≈0.74,cos 48°≈0.67,tan 48°≈1.11,≈1.73)4.[2014河南,19]如图,在中俄“海上联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°,位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数.参考数据:sin 68°≈0.9,cos 68°≈0.4,tan 68°≈2.5,≈1.7)5.[2013河南,19]我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米.参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.48,≈1.73).6.[2012河南,20]某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了许多宣传条幅.如图所示,一条幅从楼顶A处放下,在楼前点C处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度,他先在楼前D处测得楼顶A 点的仰角为31°,再沿DB方向前进16米到达E处,测得点A的仰角为45°.已知点C到大厦的距离BC=7米,∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数.参考数据:tan 31°≈0.60,sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86).7.[2011河南,19]如图所示,中原福塔(河南广播电视塔)是世界第一高钢塔.小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处,测得地面上点B的俯角α为45°,点D到AO的距离DG为10米;从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处,测得塔尖A的仰角β为60°.请你根据以上数据计算塔高AO,并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差.(参考数据:≈1.732,≈1.414,结果精确到0.1米)8.[2009河南,20]如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板七等分,使用时梯脚的固定跨度为1 m,矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为1.78 m,当他攀升到头顶距天花板0.05~0.20 m时,安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据:sin 78°≈0.98,cos 78°≈0.21,tan 78°≈4.70)类型三其他类型9.[2018河南,20]“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,如图(1),运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图(2)所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm,低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE 为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到 1 cm.参考数据:sin 82.4°≈0.991,cos 82.4°≈0.132,tan 82.4°≈7.495,sin 80.3°≈0.986,cos 80.3°≈0.168,tan 80.3°≈5.850)图(1) 图(2)参考答案第一节角、相交线与平行线1.C∵射线OM平分∠AOC,∴∠MOC=∠AOM=35°.∵ON⊥OM,∴∠MON=90°,∴∠CON=90°-35°=55°.2.140°∵EO⊥AB,∴∠EOD+∠BOD=90°,∴∠BOD=90°-∠EOD=40°,∴∠BOC=180°-∠BOD=140°.3.75°∠1=45°+30°=75°.4.A 如图,∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠4=∠5=180°-∠3=180°-125°=55°.5.B 根据两直线平行,同位角相等,得∠2的补角为35°,所以∠2=180°-35°=145°.6.15°在Rt△ABC中,∠A=60°,∴∠ACB=30°.在Rt△DEF 中,∠F=45°,∴∠DEF=45°.∵DE∥BC,∴∠DEC=∠ACB=30°,∴∠CEF=∠DEF-∠DEC=45°-3 0°=15°.第二节三角形及其性质1.D 根据题意可知,DE是AC的垂直平分线,∵∠ACB=90°,∴DE∥BC,∴DE是△ABC的中位线.∵BC==6,∴DE=BC=3.故选D.2.72°因为AB=AC,所以∠B=∠ACB=(180°-∠A)=72°.因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=36°,所以∠BDC=∠A+∠ACD=72°.3.或1∵∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.由折叠的性质可得,∠BMN=∠B'MN,∠BNM=∠B'NM,BM=B'M.分两种情况:(1)当∠B'MC=90°时,∠BMN+∠B'MN=90°,∴∠BMN=45°.∵∠B=45°,∴∠BNM=90°,∴∠B'NM=90°,∴B,N,B '三点共线.∵点B'在边AC上,∴点B'与点A重合,此时点N是AB的中点.∵∠BAC=90°,∴∠BNM=∠BAC,∴NM∥AC,∴NM是△ABC的中位线,∴BM=BC=.(2)当∠CB'M=90°时,∵∠C=45°,∴∠B'MC=45°,∴B'M=B'C.设BM=x,则B'M=B'C=x,CM=+1-x.在等腰直角三角形MB'C中,CM=B'M,即+1-x=x,解得x=1,∴BM=1.综上所述,BM的长为或1.4.1或2AC=BC·tan 30°=.分三种情况.①当∠AFE=90°时,∠AFC=180°-∠AFE-∠EFD=180°-∠AFE-∠B=60°,∴∠FAC=30°,∴FC=AC·tan30°=1,∴BD=DF=BF=(BC-FC)=1.②当∠EAF=90°时,点F在点C的右侧,∠AFC=90°-∠B=60°,∴CF==1,∴BD=DF=BF=(BC+FC)= 2.③∵∠AEF=180°-∠DEF-∠BED=180°-2∠BED=60°,∴∠AEF不可能为直角.故答案为1或2.5.2≤AD<3以点D为圆心,AD的长为半径画圆.①如图(1),当☉D与BC相切,即D E⊥BC时,AD取得最小值.∵∠ABC=30°,∴DE=BD.∵AB=6,AD=DE,∴AD=2;②如图(2),当☉D与BC相交,且交点为B,C时,AD取得最大值,为AB=3.故AD的取值范围为2≤AD<3.图(1) 图(2)第三节全等三角形1.OE⊥AB.证明:∵在△BAC和△ABD 中,∴△BAC≌△ABD,∴∠OBA=∠OAB,∴OB=OA.又∵AE=BE,∴OE⊥AB.2.(1)△ABB',△AOC和△BB'C.(2)证明:在▱ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D,由轴对称知,AB'=AB,∠ABC=∠AB'C,∴AB'=CD,∠AB'O=∠D.在△AB'O和△CDO中,∴△AB'O≌△CDO.3.(1)PM=PN PM⊥PN(2)等腰直角三角形.理由如下:由旋转可得,∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.∵点P,M分别是DC,DE的中点,∴PM是△DCE的中位线,∴PM=CE且PM∥CE.同理可证PN=BD且PN∥BD,∴PM=PN,∠MPD=∠ECD,∠PNC=∠DBC,∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD,∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN,∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°,即△PMN为等腰直角三角形.(3).4.(1)CB的延长线上a+b(2)①DC=BE.理由如下:∵△ABD和△ACE都为等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,∴△CAD≌△EAB,∴DC=BE.②BE长的最大值是4.(3)线段AM的最大值为3+2,此时点P的坐标为(2-,).5.(1)①60°②AD=BE(2)∠AEB=90°,AE=2CM+BE.理由:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠BEC=∠ADC.∵∠ADC=∠DCE+∠CED,∴∠AEB=∠BE C-∠CED=∠ADC -∠CED=∠DCE=90°. 在等腰直角三角形DCE 中,CM 为斜边DE 上的高, ∴CM=DM=ME, ∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE. (3)或.第四节 相似三角形1.A 由题意得,DE 是△ABC 的中位线,∴DE=BC,DE∥BC,∴BC=2DE,△ADE∽△ABC,∴=,即=.故正确的结论有3个,选A.2. ∵DE∥AC,∴=,即=,∴EC=.3.6由旋转可知∠A'DA=90°,∴∠A'DE=90°,∴∠A'DE=∠A'C'B ',又∵∠DA'E=∠C'A'B',∴△A'DE∽△A'C'B',∴=,设AD=A'D=x,∵A'C'=AC=6,B'C'=BC=8,∴DE=x,又∵AB===10,∴x+x+x=10,解得x=3, ∴DE=x=4,∴S △A'DE =A'D·DE=×3×4=6. 4.(1)①1 ②40° (2)=,∠AMB=90°.理由如下:∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°, ∴==,∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD, ∴==,∠CAO=∠DBO.设AO,BM 交于点N, ∵∠ANM=∠BNO,∴∠AMB=∠AOB=90°. (3)AC 的长为2或3. 5.(1)① ②(2)无变化.证明:在题图(1)中, ∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥AB,∴=,∠EDC=∠B=90°.如题图(2),∵△EDC在旋转过程中形状、大小不变,∴=仍然成立,即=,又∵∠ACE=∠BCD=α,∴△ACE∽△BCD,∴=.在Rt△ABC中,AC===4,∴==,∴=,∴的大小无变化.(3)4或.6.(1)AB=3EH CG=2EH(2)作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB,∴==m,∴AB=mEH.∵AB=CD,∴CD=mEH.∵EH∥AB∥CD,∴△BEH∽△BCG,∴==2,∴CG=2EH,∴==.(3)ab(提示:过E作EH∥AB交BD的延长线于点H)第五节锐角三角函数及其应用1.过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则DB=9米.在Rt△CBD中,∠BCD=45°,∴CD==9(米).在Rt△ACD中,∠ACD=37°,∴AD=CD·tan 37°≈9×0.75=6.75(米),∴AB=AD+BD=6.75+9=15.75(米).(15.75-2.25)÷45=0.3(米/秒),故国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升.2.过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CDA=90°.已知∠CAD=45°,设CD=x n mile,则AD=CD=x n mile,∴BD=AD-AB=(x-5)n mile.在Rt△BDC中,CD=BD·tan 53°,即x=(x-5)·tan 53°,∴x=≈=20,∴BC==≈=25(n mile),∴B船到达C船处约需25÷25=1(h).在Rt△ADC中,AC=x≈1.41×20=28.2(n mile),∴A船到达C船处约需28.2÷30=0.94(h).∵0.94<1,∴C船至少要等待约0.94 h才能得到救援.3.延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于点H.由题意知∠BGA=∠DAE=30°,DA=6,∴GD=DA=6,∴GH=AH=DA·cos 30°=6×=3,∴GA=6.设BC的长为x米.在Rt△GBC中,GC===x.在Rt△ABC中,AC==.∵GC-AC=GA,∴x-=6,∴x≈13,即大树的高度约为13米.4.过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度. 根据题意得∠ACD=30°,∠BCD=68°.设AD=x,则BD=BA+AD=1 000+x.在Rt△ACD中,CD===x,在Rt△BCD中,BD=CD·tan 68°,∴1 000+x=x·tan 68°,∴x=≈≈308,∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米.5.在Rt△BAE中,∠BAE=68°,BE=162米,∴AE=≈≈65.32(米).在Rt△DCE中,∠DCE=60°,DE=176.6米,∴CE=≈≈102.08(米),∴AC=CE-AE=102.08-65.32=36.76≈36.8(米).即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为36.8米.6.设AB=x米.∵∠AEB=45°,∠ABE=90°,∴BE=AB=x米.在Rt△ABD中,tan∠D=,即tan 31°=,∴x=≈=24,即AB≈24米.在Rt△ABC中,AC===25(米),即条幅的长度约为25米.7.∵DE∥BO,α=45°,∴∠DBF=α=45°,∴在Rt△DBF中,BF=DF=268.∵BC=50,∴CF=BF-BC=268-50=218.由题意知,四边形DFOG是矩形,∴FO=DG=10,∴CO=CF+FO=218+10=228.在Rt△ACO中,β=60°,∴AO=CO·tan 60°≈228×1.732≈394.9.394.9-388=6.9,即塔高AO约为394.9米,计算结果与实际塔高388米之间的误差为6.9米.8.如图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.∵AB=AC,∴CE=BC=0.5.在Rt△AEC中,∵tan 78°=,∴AE=EC·tan 78°≈0.5×4.70=2.35.又∵sin α==,∴DF=·AE=·AE≈1.007,∴李师傅站在第三级踏板上时,头顶距地面的距离约为1.007+1.78=2.787, ∴头顶与天花板的距离约为2.90-2.787≈0.11.∵0.05<0.11<0.20,∴此时他安装比较方便.9.在Rt△CAE中,AE==≈≈20.7(cm).在Rt△DBF中,BF==≈=40(cm).故EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151(cm).易知四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151 cm,即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm.。
配套K12上海市崇明区2019届中考数学第一轮复习基础卷5(无答案)
九年级第一轮复习数学基础卷5一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 一件衬衫原价是90元，现在打八折出售，那么这件衬衫现在的售价是（A ）82元 （B ）80元 （C ）72元 （D ）18元2. 下列二次根式中，2的同类根式是（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ） 10 3. 方程0322=+-x x 实数根的个数是（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）04. 如图，一次函数y kx b =+的图像经过点()2,0与()0,3，则关于x 的不等式0kx b +>的解集是（A ）2x < （B ）2x > （C ）3x < （D ）3x >（第4题） （第6题） 5. 我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（A ）有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形 （B ）有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形 （C ）有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形（D ）有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形6. 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 边BC 、CD 的中点，AE 、AF 交BD 于点G 、H ，若△AGH 的面积为1，则五边形CEGHF 的面积是 （A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：36a a ÷= .8. 分解因式：123+++x x x = .9. 下列数据是七年级（3）班第2小队10位同学上学期参加志愿者活动的次数：7,6,7,8,5,4,10,7,8,6，那么这组数据的众数是 . 10. =的解是 .11. 如果反比例函数2k y x-=的图像位于第二、四象限，那么k 的取值范围是 . 12. 一次函数26y x =-的图像与x 轴的交点坐标是 .13. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10x ，使所得二次根式有意义的概率是 .14. 下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%.”小林核对了语文成绩：77%3070%4080%3080=⨯+⨯+⨯，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林的数学平时成绩是 分.15. 八边形的内角和为 度.16. 如图，已知等边△ABC 的边长为1，设n AB BC =+，那么向量n = . 17. 如图，平面直角坐标系中正方形ABCD ，已知A （1,0），B （0,3），则sin COA ∠= .（第16题） （第17题） （第18题）18. 如图，圆心O 恰好为正方形ABCD 的中心，已知4AB =，⊙O 的直径为1.现将⊙O 沿某一方向平移，当它与正方形ABCD 的某条边相切时停止平移，记此时平移的距离为d ，则d 的取值范围是 .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：))210212013tan 601-+-︒-.20. （本题满分10分）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+065202222y xy x y x .21. （本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）如图，MN是⊙O的直径，点A是弧MN的中点，⊙O的弦AB交直径MN于点C，且∠ACO=2∠CAO.（1）求∠CAO的度数；（2）若⊙O的半径长为3，求弦AB的长.N22. （本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）如图，线段AB 、CD 分别是一辆轿车的油箱中剩余油量1y （升）与另一辆客车的油箱中剩余油量2y （升）关于行驶时间x （小时）的函数图像.（1）分别求1y 、2y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）如果两车同时从相距300千米的甲、乙两地出发，相向而行，匀速行驶，已知轿车的行驶速度比客车的行驶速度快30千米/小时，且当两车在途中相遇时，它们油箱中所剩余的油量恰好相等，求两车的行驶速度.。
【配套K12】东营专版2019年中考数学复习第四章几何初步与三角形第五节直角三角形练习
第五节直角三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．(2018·宜宾中考)在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( )A．(32＋8)cm B．10 cmC．14 cm D．无法确定5．(2018·贺州中考)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为( )A．3 2 B．3 3 C．6 D．6 26．(2018·哈尔滨中考)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为____________________．7．(2018·福建中考)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．8．如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP＝________．9．(2018·深圳中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，EF＝2，则AC＝________．10．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，CE是△ABC的角平分线．(1)求∠DCE的度数．(2)若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC.11．(2018·南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若BC ＝2，则EF 的长度为( )A.12B ．1C.32D. 312．(2018·枣庄中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D ，AF 平分∠CAB，交CD 于点E ，交CB 于点F.若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( )A.32B.43C.53D.8513．(2018·泰州中考)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ACD ＝∠ABC＝90°，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，∠D＝α，则∠BEF 的度数为__________________(用含α的式子表示)．14．(2019·原创题)如图，四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB ＝3，CD ＝1，则边BC ＝__________．15．(2018·盐城中考)如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝________．16．(2019·易错题)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__________．17．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.(1)如图1，求证：CD⊥AB；(2)将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示)．18．(2019·改编题)如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段A B 的勾股分割点．若AM ＝3，MN ＝5，求BN 的长为________．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.A 4.B 5.D6．130°或90° 7.3－1 8.522 9.810510．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB 于D ， ∴∠DCB＝90°－∠B＝60°. ∵CE 平分∠ACB，∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠DCB－∠ECB＝60°－45°＝15°. (2)证明：∵∠CEF＝135°，∠ECB＝12∠ACB＝45°，∴∠CEF＋∠ECB＝180°， ∴EF∥BC. 【拔高训练】 11．B 12.A13．270°－3α 14.33－2 15.154或307 16.43或417．(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°. ∵∠ACD＝∠B， ∴∠B＋∠BCD＝90°， ∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝34°.由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°，∴∠BCD＝56°.由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°.②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°，∠BCD＝90°－n°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.【培优训练】18．4或34。
【配套K12】2019届中考数学 第4-5章 阶段检测卷
第四、五章 阶段检测卷(考试时间：120分钟 满分：120分)第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( ) A ．4B ．5C ．6D ．72．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°3．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长L 的取值范围是( ) A ．6＜L ＜15 B ．6＜L ＜16 C ．11＜L ＜13D ．10＜L ＜164．如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是( )A ．CB ＝CDB ．∠BAC＝∠DAC C ．∠BCA＝∠DCAD ．∠B＝∠D＝90°5．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B ，D ，AO ＝4 m ，AB ＝1.6 m ，CO ＝1 m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为( )A ．0.2 mB ．0.3 mC ．0.4 mD ．0.5 m 6．如图，▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是( )A ．6B ．8C ．10D ．127．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E ，F ，G ，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE ＝CG ，BF ＝DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．5 5B ．10 5C ．10 3D ．15 38．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan∠DBC 的值为( )A.13B.2－1C ．2－ 3D.149．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于( )A.35B.53C.73D.5410．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图，点E ，点F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H.若AF DF ＝2，则HFBG的值为( )A.23 B.712C.12D.51212.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连接AP 并延长AP 交CD 于F 点，连接CP 并延长CP 交AD 于Q 点．给出以下结论：①四边形AECF 为平行四边形； ②∠PBA＝∠APQ； ③△FPC 为等腰三角形； ④△APB≌△EPC.其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分) 13．下列命题是真命题的序号为______． ①对角线相等的四边形是矩形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形；③任意多边形的内角和为360°；④三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．如图，某景区的两个景点A ，B 处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿MN 方向水平飞行进行航拍作业，MN 与AB 在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时，测得景点A 的俯角为45°，景点B 的俯角为30°，此时C 到地面的距离CD 为100米，则两景点A ，B 间的距离为__________________米(结果保留根号)．15.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．16．矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE∽△DBC，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为________．17．如图，直线y ＝－x ＋1与两坐标轴分别交于A ，B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，P n －1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n －1，用S 1，S 2，S 3，…，S n －1分别表示Rt△T 1OP 1，Rt△T 2P 1P 2，…，Rt△T n －1P n －2P n －1的面积，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝________．三、解答题(本大题共7个小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本题满分7分)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．19．(本题满分7分)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．20．(本题满分8分)随着航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻．如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到1海里)．21．(本题满分9分)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．22．(本题满分10分)如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE＝30°，楼高AB＝60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度．23．(本题满分11分)如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE ＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.(1)如图1，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F.①求证：FA＝DE；②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图2，当∠ACB＝120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．24．(本题满分12分)如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为________；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图2所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝22，则BC＝________．参考答案1.C2.C3.D4.C5.C6.C7.B8.A9.B 10.D 11.B 12.B13．④14.100＋100 3 15.601716.65或317.14－14n18．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)． (2)解：由(1)可知∠F＝∠ACB. ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F ＝∠ACB＝37°.19．(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°. ∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB. ∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC.(2)解：由(1)可知△ADE∽△ABC，∴AD AB ＝AE AC ＝35.∵∠AFE＝∠AGC＝90°，∠EAF＝∠GAC， ∴△EAF∽△CAG，∴AF AG ＝AE AC ，∴AF AG ＝35.20．解：在△APC 中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC ＝PC. ∵AP＝400海里，∴由勾股定理知AP 2＝AC 2＋PC 2＝2PC 2，即4002＝2PC 2， ∴PC＝2002海里．又∵在直角△BPC 中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°， ∴PB＝PCcos 60°＝2PC ＝4002≈566(海里)．答：此时巡逻舰与观测点P 的距离PB 约为566海里． 21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°. ∵BE＝DF ，∴△AEB≌△AFD， ∴AB＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)解：如图，连接BD 交AC 于点O.∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝6， ∴AC⊥BD，AO ＝OC ＝12AC ＝12×6＝3.∵AB＝5，AO ＝3，∴BO＝AB 2－AO 2＝52－32＝4， ∴BD＝2BO ＝8，∴S 平行四边形ABCD ＝12AC·BD＝24.22．解：(1)在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠BCA ＝60°，AB ＝60米， 则AC ＝AB tan 60°＝603＝203(米)．答：坡底C 点到大楼距离AC 的值是203米． (2)如图，过点D 作DF⊥AB 于点F.设CD ＝2x ，则DE ＝x ，CE ＝3x. 在Rt△BDF 中， ∵∠BDF＝45°，∴BF＝DF，∴60－x＝203＋3x，∴x＝403－60，∴CD的长为(803－120)米．23．(1)①证明：∵CF⊥CD，∴∠FCD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE，∴∠FCA＝∠DCE.∵∠FAC＝90°＋∠B，∠CED＝90°＋∠B，∴∠FAC＝∠C ED.∵AC＝EC，∴△AFC≌△EDC，∴FA＝DE.②解：DE＋AD＝2CH.(2)解：AD＋DE＝23CH.理由如下：如图，连接CD，作∠FCD＝∠ACB，交BA延长线于点F. ∵∠FCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD.∵∠EDA＝60°，∴∠EDB＝120°.∵∠FAC＝120°＋∠B，∠DEC＝120°＋∠B，∴∠FAC＝∠DEC.∵AC＝EC，∴△FAC≌△DEC，∴AF＝DE，FC＝DC. ∵CH⊥FD，∴FH＝HD，∠FCH＝∠HCD＝60°.在Rt△CHD中，tan 60°＝DHCH，∴DH＝3CH.∵AD＋DE＝AD＋AF＝2DH＝23CH，即AD＋DE＝23CH.24．(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形．②解： 2提示：由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴CGCE＝2，GE∥AB，∴AGBE＝CGCE＝ 2.(2)解：AG＝2BE.理由如下：如图，连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α.在Rt△CEG 和Rt△CBA 中，CE CG ＝cos 45°＝22，CB CA ＝cos 45°＝22， ∴CG CE ＝CACB ＝2，∴△ACG∽△BCE， ∴AG BE ＝CACB＝2， ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG ＝2BE. (3)解：3 5提示：∵∠CEF＝45°，点B ，E ，F 三点共线， ∴∠BEC＝135°.∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°， ∴∠AGH＝∠CAH＝45°.∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA， ∴AG AC ＝GH AH ＝AH CH. 设BC ＝CD ＝AD ＝a ，则AC ＝2a ， 则由AG AC ＝GH AH 得62a ＝22AH ，∴AH＝23a ，则DH ＝AD －AH ＝13a ，CH ＝CD 2＋DH 2＝103a ，∴AG AC ＝AH CH 得62a ＝23a 103a ， 解得a ＝35，即BC ＝3 5.。
教育最新K122019年中考数学复习单元测试二方程与不等式
单元测试(二) 方程与不等式(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．方程3x ＋2(1－x)＝4的解是(C )A ．x ＝25B ．x ＝65C ．x ＝2D ．x ＝1 2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y ＝15的解是(D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝8 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6 3．一元一次不等式2(x ＋2)≥6的解在数轴上表示为(A )4．如果2是方程x 2－3x ＋k ＝0的一个根，那么常数k 的值为(B )A ．1B ．2C ．－1D ．－25．一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0的根的情况是(B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断6．若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为(C ) A ．m ＞－23 B ．m ≤23 C ．m ＞23 D ．m ≤－237．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x 只，兔y 只，可列方程组为(D )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝352x ＋2y ＝94B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝354x ＋2y ＝94C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝354x ＋4y ＝94D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝352x ＋4y ＝948．(2018·淄博)“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是(C )A.60x －60（1＋25%）x ＝30 B.60（1＋25%）x －60x ＝30 C.60×（1＋25%）x －60x ＝30 D.60x －60×（1＋25%）x＝30二、填空题(每小题3分，共18分)9．方程2x －1＝1的解是x ＝3． 10．一元二次方程x 2－2x ＝0的解是x 1＝0，x 2＝2．11．若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋k ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是k<－34． 12．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝214． 13．若关于x 的分式方程x x －3＋3a 3－x ＝2a 无解，则a 的值为1或12． 14．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm ，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为78cm.三、解答题(共50分)15．(6分)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，①3x －5y ＝11.② 解：由①，得y ＝3－2x.③把③代入②，得3x －5(3－2x )＝11.解得x ＝2.将x ＝2代入③，得y ＝－1.∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.16．(6分)解方程：1x －3＝1－x 3－x－2. 解：方程两边同乘(x －3)，得1＝x －1－2(x －3)．解得x ＝4.检验：当x ＝4时，x －3≠0，∴x ＝4是原分式方程的解．17．(8分)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞－2，2x －13≤1，并把解集在数轴上表示出来． 解：由1＋x ＞－2，得x ＞－3. 由2x －13≤1，得x≤2. ∴不等式组的解集为－3＜x≤2.解集在数轴上表示如下：18．(8分)王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？解：设原计划每小时检修管道x 米．由题意，得600x －6001.2x＝2.解得x ＝50. 经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：原计划每小时检修管道50米．19．(10分)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在中秋节期间的对话．请问：(1)2016年到2018年甜甜和她妹妹在中秋节收到红包的年增长率是多少？(2)2018年中秋节甜甜和她妹妹各收到了多少元的微信红包？解：(1)设2016年到2018年甜甜和她妹妹在中秋节收到红包的年增长率是x ，依题意，得400(1＋x )2＝484，解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(舍去)．答：2016年到2018年甜甜和她妹妹在中秋节收到红包的年增长率是10%.(2)设甜甜在2018年六一收到微信红包为y 元，依题意，得2y ＋34＋y ＝484，解得y ＝150.所以484－150＝334(元)．答：甜甜在2018年中秋节收到微信红包为150元，她妹妹收到微信红包为334元．20．(12分)郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A ，B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元．(1)A ，B 两种奖品每件各多少元？(2)现要购买A ，B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？解：(1)设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋15y ＝380，15x ＋10y ＝280，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝4. 答：A 种奖品每件16元，B 种奖品每件4元．(2)设A 种奖品购买a 件，则B 种奖品购买(100－a )件，根据题意，得16a ＋4(100－a )≤900，解得a≤1253. ∵a 为整数，∴a≤41.答：A 种奖品最多购买41件．。
【配套K12】[学习]浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第三节
第三节 分式方程及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列属于分式方程的是( )A.x 2＋y 2＝1 B ．x ＋2＝0 C.1x ＋3 D.1x ＋2＝5 2．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的解，则a 的值是( ) A ．5B ．－5C ．3D ．－33．分式方程2x －1x －2＝1的解为( ) A ．x ＝－1B ．x ＝12C ．x ＝1D ．x ＝24．若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m 3－x＝2有增根，则m 的值是( ) A ．m ＝－1B ．m ＝0C ．m ＝3D ．m ＝0或m ＝35．(2018·贵州黔南州中考)施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是( )A.1 000x －1 000x ＋30＝2 B.1 000x ＋30－1 000x ＝2 C.1 000x －1 000x －30＝2 D.1 000x －30－1 000x＝2 6．分式方程2x ＝5x ＋3的解是__________. 7．若分式方程x －m x －2＝1x －2有增根，则这个增根是x ＝______. 8．制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x 个零件，则可列方程为_____________.9．(2018·浙江衢州模拟)解方程：1x －2＋2＝1－x 2－x.10．某火车站北广场将投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6 600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)种植A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？11．(2018·山东德州中考)分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解为( ) A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．无解12．(2019·创新题)对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程 x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝6D ．x ＝713．(2018·山东淄博中考)“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是( )A.60x －60（1＋25%）x ＝30 B.60（1＋25%）x －60x＝30C.60×（1＋25%）x －60x＝30 D.60x －60×（1＋25%）x＝30 14．分式方程1x －5－1x 2－10x ＋25＝0的解是__________. 15. (2018·云南中考)某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？16．为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A ，B 两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A ，B 两型自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B 型车的成本单价比A 型车高10元，A ，B 两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a 辆“小黄车”，乙街区每1 000人投放8a ＋240a辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a 的值．17．(2019·易错题)若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，则a 的取值范围是( ) A ．a≥1B ．a>1C ．a≥1且a≠4D ．a>1且a≠4参考答案【基础训练】1．D 2.A 3.A 4.A 5.A6．x ＝2 7.2 8.220x ＋20＝180x9．解：方程两边都乘以x －2得1＋2(x －2)＝x －1，解得x ＝2，检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以x ＝2不是原方程的解，即原方程无解．10．解：(1)设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是(2x －600)棵．根据题意得x ＋(2x －600)＝6 600，解得x ＝2 400，∴2x－600＝4 200.答：A 种花木的数量是4 200棵，B 种花木的数量是2 400棵．(2)设安排y 人种植A 种花木，则安排(26－y)人种植B 种花木．根据题意得4 20060y ＝ 2 40040（26－y ）， 解得y ＝14.经检验，y ＝14是原方程的解，且符合题意．∴26－y ＝12.答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务．【拔高训练】11．D 12.B 13.C 14.x ＝615．解：设乙工程队每小时能完成x 平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x 平方米的绿化面积，根据题意得300x －3002x＝3， 解得x ＝50，经检验，x ＝50是分式方程的解，且符合题意．答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．16．解：问题1：设A 型车的成本单价为x 元，则B 型车的成本单价为(x ＋10)元，依题意得50x ＋50(x ＋10)＝7 500， 解得x ＝70，∴x＋10＝80，答：A ，B 两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：由题可得，1 500a ×1 000＋1 2008a ＋240a×1 000＝150 000，解得a ＝15， 经检验，a ＝15是所列方程的解，且符合题意，故a 的值为15.【培优训练】17．C。
2019年九年级数学中考模拟试卷(K12教育文档)
2019年九年级数学中考模拟试卷(word版可编辑修改) 2019年九年级数学中考模拟试卷(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年九年级数学中考模拟试卷(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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122019年九年级数学模拟试卷一、选择题（本大题10个小题,每小题3分，共30分） 1．与21互为倒数的是（ ）A.－2 B ．－21 C ．21D ．22．下列各式中，计算错误的是( )A ．235a a a += B.231x x -=- C 。
2(2)2x x x x --=-D ．326()x x -=3。
为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是（ )A.企业男员工B 。
企业年满50岁及以上的员工C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工D.企业新进员工 4. 如图，立体图形的左视图是( ）DCBA正面5。
计算+++++……+的值为( ）A ．B ．C ．D ．6．用科学记数法表示数5。
8×10－5,它应该等于 ( ) A 。
0.005 8 B ．0。
000 58 C 。
0.000 058D ．0。
O00 005 87.A 车站到B 车站之间还有3个车站,那么从A 车站到B 车站方向发出的车辆,一共有多少种不同的车票（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 8.某机械制造厂制造某种产品，原来每件产品的成本是100元,由于提高生产技术，所以连续两次降低成本，两次降低后的成本是81元。
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单元测试(五) 四边形
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分) 1．八边形的内角和为(C )
A ．180°
B ．360°
C ．1 080°
D ．1 440° 2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中不一定成立的是(B )
A ．A
B ∥D
C B ．AC ＝B
D C ．AC ⊥BD D ．OA ＝OC
3．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O.若∠AOD＝120°，AB ＝6，则AC 等于(C )
A ．8
B ．10
C ．12
D ．18
4．如图，四边形A BCD ，AEFG 都是正方形，点E ，G 分别在AB ，AD 上，连接FC ，过点E 作EH∥FC 交BC 于点H.若AB ＝4，AE ＝1，则BH 的长为(C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．3 2
5．关于▱ABCD 的叙述，正确的是(C )
A ．若A
B ⊥B
C ，则▱ABC
D 是菱形 B ．若AC ⊥BD ，则▱ABCD 是正方形 C ．若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D ．若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形
6．如图，▱ABCD 的周长为20 cm ，AE 平分∠BAD.若CE ＝2 cm ，则AB 的长度是(D )
A ．10 cm
B ．8 cm
C ．6 cm
D ．4 cm
7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，BE∥DF 且BE 与DF 之间的距离为3，则AE 的长是(C )
A.7
B.38
C.78
D.5
8
8．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝BF ＝1，CE ，DF 相交于点O.下列结论：①∠DOC＝90°；②OC＝OE ；③tan ∠OCD＝4
3
；④S △ODC ＝S 四边形BEOF .其中正确的有(C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，菱形ABCD 的周长是8 cm ，则AB 的长是2cm.
10．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：答案不唯一，如：∠DAB ＝90__°，使得该菱形为正方形．
11．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，M 是AD 的中点．若AB ＝5，AD ＝12，则四边形ABOM 的周长为20．
12．如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A ＝20°，∠C＝120°，则∠AED 的度数是80__°．
13．如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线．若∠D＝60°，BC ＝2，则点D
14．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，BE ＝1，F 为AB 上一点，AF ＝2，P 为AC 上一点，则PF ＋PE
三、解答题(共44分)
15．(10分)如图，B ，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE ＝CF ，连接AD.求证：四边形ABED 是平行四边形．
证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B ＝∠DEF，∠ACB ＝∠F. ∵BE ＝CF ，
∴BE ＋CE ＝CF ＋CE. ∴BC ＝EF.
在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠B ＝∠DEF，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F，
∴△ABC≌△DEF (A SA )．
∴AB ＝DE. 又∵AB∥DE，
∴四边形ABED 是平行四边形．
16．(10分)如图，点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.求证：
(1)四边形OCED 是矩形； (2)OE ＝BC.
证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED 是平行四边形．
又∵在菱形ABCD 中，AC⊥BD，即∠COD ＝90 °， ∴四边形OCED 是矩形． (2)∵四边形OC ED 是矩形， ∴OE ＝CD.
又∵在菱形ABCD 中，BC ＝CD ， ∴OE ＝BC.
17．(12分)如图，将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转α度到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F.
(1)求证：△BCF≌△BA 1D ；
(2)当∠C＝α度时，判定四边形A 1BCE 的形状并说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C. 由旋转性质，得
A 1
B ＝AB ＝B
C ，∠A ＝∠A 1＝∠C，∠A 1B
D ＝∠CBC 1. 在△BCF 和△BA 1D 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠C ＝∠A 1，BC ＝BA 1，
∠CBF ＝∠A 1BD ，
∴△BCF≌△BA 1D (ASA )．
(2)四边形A 1BCE 是菱形．理由如下： ∵∠ADE ＝∠A 1DB ，∠A ＝∠A 1， ∴∠AED ＝∠A 1BD ＝α. ∴∠D EC ＝180 °－α. ∵∠C ＝α， ∴∠A 1＝α.
∴∠A 1BC ＝360 °－∠A 1－∠C －∠DEC ＝180 °－α. ∴∠A 1＝∠C，∠A 1BC ＝∠A 1EC. ∴四边形A 1BCE 是平行四边形． ∵A 1B ＝BC ，
∴四边形A 1BCE 是菱形．
18．(12分)如图，Rt △ABM 和Rt △ADN 的斜边分别为正方形ABCD 的边AB 和AD ，其中AM ＝AN.
(1)求证：Rt △ABM≌Rt △ADN；
(2)线段MN 与线段AD 相交于T ，若AT ＝1
4
AD ，求tan ∠ABM 的值．
解：(1)证明：∵AB ＝AD ，AM ＝AN ，∠AMB ＝∠AND ＝90 °. ∴Rt△ABM≌Rt△ADN (HL )．
(2)由Rt△ABM≌Rt△ADN 易得，∠DAN ＝∠BAM，DN ＝BM. ∵∠BAM ＋∠DAM ＝90 °，∠DAN ＋∠ADN ＝90 °， ∴∠DAM ＝∠ADN. ∴ND∥AM.
∴△DNT∽△AMT. ∴AM DN ＝AT DT
. ∵AT ＝1
4AD ，∴AT ＝3DT.
∴AM DN ＝13
. ∴tan∠ABM ＝AM BM ＝AM DN ＝1
3
.。