匀速圆周运动实例分析

一、水平面内匀速圆周运动
1、火车转弯：
2、汽车转弯： 3、飞机在空中盘旋： 4、转盘问题：
5、圆锥摆：
例题1、质量为4000 kg的汽车,通过半径为 40 m的 凸形桥顶端时 , 对桥顶的压力正好为零 , 则汽车的 速度大小为多少。(ｇ取10 m/s2)
【例题2】一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的
O T
mg
【例题2】用细绳栓着质量为m的物体,在竖直平面内做圆周运动， 圆周半径为R。则下列说法正确的是 A.小球过最高点时,绳子的张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零
C.小球刚好过最高点是的速度是
gR
D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方 向相反
T mg O
杂技演员表演“水流星”节目，我们发现不 管演员怎样抡，水都不会从杯里洒出，甚至杯子 在竖直面内运动到最高点时，已经杯口朝下，水 也不会从杯子里洒出。这是为什么？
四、离心运动
1．离心运动定义： 做匀速圆周运动的 物体，在所受合力突然 消失，或者不足以提供 圆周运动所需的向心力 的情况下，就做逐渐远 离圆心的运动。这种运 动叫做离心运动。
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2．离心的条件：做匀速 圆周运动的物体合外力 消失或不足以提供所需 的向心力．
对离心运动的进一步理解 当F=mω2r时，物体做匀速圆周运动 当F= 0时， 物体沿切线方向飞出 当F＜mω2r时，物体逐渐远离圆心 当F＞mω2r时，物体逐渐靠近圆心
tanα≈sinα=h/d
②代入①得：
②
mgh/d=mv2/r v2d h= gr
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【例题1】如图所示，公路转弯处路面跟水平面之间的倾角
α=150，弯道半径R=40m，求：
汽车转弯时规定速度应是多大？
α
N
Fn
mg
例三、火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力
作用，下面分析正确 的是 （B ） A.若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行 轨道平面向内 B.若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行 轨道平面向外 C.当火车质量改变时，安全速率也将改变 D.以上三种说法都是错误的
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【例题1】一架滑翔机以180km/h的速率，沿着半径为
1200m的水平圆弧飞行，计算机翼和水平面间夹角的正切
值．（取g=10m/s2）
【解析】滑翔机在空中做圆弧飞行时，由重力和
升力的合力提供向心力，如图所示，由图可知：
v2 F向 m r
tan F向 mg
v2 5 tan gr 24
③
A
A
(1)当N 0, v Rg (临界速度)
v2 ( 2)当N 0, v Rg , N m mg R
v 在A点 : mg N m R
2 A
N mg
D
N
N
B
C
mg
( 3)当v gR时, 物体离开圆轨道做曲线 运动
v 在C点：N mg m R 2 vB 在B点：N m R
g 或 cosα= Lω2
由此可知：α角度与角速度ω和绳长L有关，在绳长L确定的情 况下，角速度ω越大，α角越大
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【例题1】如图所示，已知水平杆长L1=0.1m，绳长
L2=0.2m，小球m的质量m=0.3kg，整个装置可绕竖直轴
转动，当该装置以某一角速度转动时，绳子与竖直方向成
30°角．g取10m/s2，求：
ν
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小结：圆周运动问题实质是牛 顿定律的在曲线运动中的应 用。解决圆周运动问题的关 键是对作圆周运动的物体进 行受力分析，找到指向圆心 的合力（可以是一个力或几 个力的合力）即向心力。
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· O
· O
质点在细绳作用下在竖 直面内做圆周运动
质点沿竖直光滑轨道 内侧做圆周运动
v2 最高点：mg T m L
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离心运动本质：
（１）离心现象的本质是物体惯性的表现
（２）离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象源自17离心运动的应用
1、洗衣机脱水桶
原理：利用离心运动把附 着在衣物上的水分甩掉。
当脱水桶快速转动时， 解释： 衣物对水的附着力 F 不足以 提供水随衣服转动所需的向 F<mrω 2 心力 F，于是水滴做离心运 F o 动，穿过网孔，飞到脱水桶 外面。
① 当 v gr 时，Ｎ＝０，水在杯中刚 好不流出，此时水作圆周运动所需向心力 刚好完全由重力提供，此为临界条件。
② 当 v gr 时，Ｎ>０，杯底对水有一向下的 力的作用，此时水作圆周运动所需向心力由Ｎ和重 力Ｇ的合力提供。
当 v gr 时，Ｎ< ０，实际情况杯底不可能给水向上的力 ，所以，此时水将会流出杯子。
过最高点的最小速度是多大? v 0 gL
v2 当v v 0时，T m mg L
T
mg
O
T
当v v 0时，物体离开圆面做曲 线运动
mg
v 最低点：T mg m R
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【例题1】如图所示,一质量为m的小球用长为L的细绳悬于
O点,使之在竖直平面内做圆周运动,小球通过最低点时速
率为v,则小球在最低点时细绳的张力大小为多少?
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三、火车转弯
2、实际弯道处的情况:外轨略高于 内轨道
（1）、对火车进行受力分析： 火车受铁轨支持力N的方向不再是 竖直向上，而是斜向弯道的内侧， 同时还有重力G
（2）、支持力与重力的合力水平指 向内侧圆心，成为使火车转弯所需 的向心力。
（3）、转弯处要选择内外轨适当的高度差， 使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持 力N来提供，这样外轨就不受轮缘的挤压了。
（1）试求该装置转动的角速度； （2）此时绳的张力是多大？
L1 30 ω
0
L2
三、火车转弯
1、水平路基上转弯：
（1）此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对 轮缘的弹力。 （2）外轨对轮缘的弹力提供向心力。 （3）由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且 由于火车质量很 大， 故轮缘和外轨间的相互作用力 很大，易损害铁轨。
2 C
【例题1】质量为1kg的小球沿半径为20cm的圆环在竖直平 面内做圆周运动，如图所示，求： （1）小球在圆环的最高点A不掉下来的最小速度是多少？ 此时小球的向心加速度是多少？
（2）若小球仍用以上的速度经过圆环的最低点B，它对圆 环的压力是多少？此时小球的向心加速度是多少？
A
mg N
B
mg
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例二、某铁路转弯处的圆弧半径是r，两铁轨之间的距离是d，若规
定火车通过这个弯道的速度为v,则内外铁轨的高度差应该是多大才 能使火车转弯时内外轨均不受轮缘的挤压？
分析：火车转弯时需要的向心力由火车重力和 轨道对它的支持力的合力提供
F合=mgtanα=mv2/r
d h α
①
由于轨道平面和水平面的夹角很小，可以近似的 认为
擦力作用，则汽车通过桥顶时速度应为 A、25m/s B、20m/s C、15m/s (B ) D、30m/s
分析：1、车通过桥顶时重力mg和桥的支持力N的合力提供了汽车
做圆周运动的向心力F
即： F=mg－N=mv12/R 代入 N= 3 mg /4 v1 = 10m/s 得： R =40m
2、要使汽车通桥顶时刚好不受摩擦力，则汽车通过桥顶时车与桥面间 的压力刚好为零。此时由重力提供车过桥顶需要的向心力。
一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低
点时，对桥面压力是多大？
比较三种桥面受力的情况
N
G N
v N Gm r
2
v N Gm r
G
N
2
N=G
G
当汽车通过桥面粗糙的拱形桥顶时拱形桥顶的速度为10m/s时，
车对桥顶的压力为车重的3/4，如果汽车行驶至该桥顶时刚好不受摩
即：mg=mv2/R 代入R得：v= 20m/s
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二、“旋转秋千”
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二、“旋转秋千”
“旋转秋千”运动可以简化为圆锥摆模型， 如图： 1、向心力来源： 物体做匀速圆周运动的向心力是有物体 所受重力mg和悬线拉力T对它的合力提供。 2、动力学关系：
mgtanα=mω2r ① r=Lsinα ②
由① 和②得：