力学竞赛辅导讲义4.8
力学竞赛培训课4章共48页
va
limMM2 limMM1 limM1M2 t0 t t0 t t0 t
va ve vr
05.01.2020
理论力学培训4章
4
4-2 牵连运动为平移运动时点的加速度合成定理
速度合成定理：绝对速度等于牵连速度与相对 速度的矢量和。
va ve vr
刚体作平移运动时，刚体上各点的速度相同， 都等于动坐标的坐标原点的速度。
05.01.2020
理论力学培训4章
15
4-4 求平面图形各点速度的基点法
平面图形的运动可分解为两个运动：1. 牵连 运动（随基点的平移）；2. 相对运动（绕基 点的转动）。
vMvevrvO 'vM' O
选择A为基点，则有：
vBvAvBA
05.01.2020
理论力学培训4章
dk'
k' lim
sinτ
k'sinτ ωk'
dt t0
t
同理，
di'ωi',dj' ωj'
dt
dt
式中，ω是动坐标系绕
某轴转动的角速度。
05.01.2020
理论力学培训4章
9
设刚体一方面对固定坐标系x,y,z作平动，另一 方面又绕自身的一个轴转动。
断变化。现求动坐标矢量i’、 j’ 、k’对时间的变化率。
设动坐标系绕某轴转动。则 动坐标矢k2020
理论力学培训4章
6
05.01.2020
理论力学培训4章
7
设坐标矢k’在t和t+△t时刻的位置为k’(t)和 k’(t+△t)，则有
d k ’ lik m '(t t) k '(t)li m k '
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题共150页文档
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
Thank you
Байду номын сангаас
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
全国周培源大学生力学竞赛 辅导力学竞赛-静力学专题
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
周培源大学生力学竞赛辅导材料
t 2H / g
e=1时，根据落下与反弹的轨迹对称性，设小球与地面碰撞N次，于是有
S=2NvBt，
S 2N 2gR(1 cos ) 2H / g
（3）假设小球击中CD杆上的E点，为了使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确 定小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？ 根据碰撞的理论，当冲量IE与杆垂直，且
解：1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，圆环一跳 一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。
2.（1）圆环能自己滚回的条件：圆环初瞬时环心速度为v0，角速度大小为ω0，以后 为v 和ω。圆环与地面接触点的速度大小为 u=v+rω (1) 第一阶段，u>0，圆环与地面有相对滑动，摩擦力F=fsFN，式中FN=mg 。 由质心运动定理 解得 由 解得 由于摩擦力存在，v 和ω都随时间而减小。 第二阶段，由（1），（3），（5）式解得 u = (v 0 + r ω 0) −2 f s gt v=v0－fsgt
S 2 gR(1 cos )t 1 1 2 H H gt 2 2
把参数带入小球的位移表达式，有
S的限制为
S 2HR
（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为了使E点尽可能远离D点，试确 定小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？ 直观上看，当e=1（小球的号码为9）时反弹得最高，有可能击中C点。 此时E点离D点最远，距离为CE=0。 根据运动方程，在竖直方向，小球离开B点后与地面碰撞的时间为
不失一般性，设乘员的前脚向左蹬板，蹬板时前脚掌必自然倾斜使左侧略高于右 侧，并带动前板绕x轴逆时针偏转φ1角，前轮平面随同前板相对垂直平面偏转φ1角.此 时地面在P1点处作用的法向约束力N1必偏离前轮平面，其沿前轮平面法线方向的投影 为N1 sinφ1，仅保留φ1的一次项时，简化为N1φ1.此分量以a cosβ为力臂，产生绕前轮架 转轴z1;负方向的力矩M1，力矩的模为
高中物理 静力学 力和运动竞赛讲座讲稿 新人教版
高中物理静力学力和运动竞赛讲座讲稿新人教版力和运动共点力的平衡n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为共点力，如图1所示。
作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。
当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是：合力为零。
（1）用分量式表示：（2）[例1]半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为，绳圈的弹性系数为k。
将圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，最后停留在平衡位置。
考虑重力，不计摩擦。
①设平衡时绳圈长，求k值。
②若，求绳圈的平衡位置。
分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。
在绳圈上任取一小元段，长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。
元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R指向球外；两端张力，张力的合力为位于绳圈平面内，指向绳圈中心。
这三个力都在经线所在平面内，如图示（c）所示。
将它们沿经线的切向和法向分解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。
解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为：重力沿径线切向分力为：（2-2）当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。
（2-3）由以上三式得（2-4）式中由题设：。
把这些数据代入（2-4）式得。
于是。
（2）若时，C=2，而。
此时（2-4）式变成tgθ=2sinθ-1,即sinθ+cosθ=sin2θ,平方后得。
在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。
这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。
[例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。
若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。
试求k值。
分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。
重点高中物理竞赛《力学综合(二)》名师专题辅导讲义导学案
力学综合（二）1、在一次火灾事故中，因情况特殊别无选择，某人只能利用一根绳子从高处逃生，他估计这根绳子所能承受的最大拉力小于他的重量，于是，他将绳子的一端固定，然后沿着这根绳子从高处竖直下滑。
为了使他更加安全落地，避免绳断人伤，此人应该（ ）A ．尽量以最大的速度匀速下滑B ．尽量以最大的加速度加速下滑C ．小心翼翼地、慢慢地下滑D ．最好是能够减速下滑2、如图（a ）所示，木块A 、B 用轻弹簧相连，放在悬挂的木箱C 内，处于静止状态，它们的质量之比是1：2：3。
当剪断细绳的瞬间，各物体的加速度大小及其方向？3、如图所示，水平传送带A 、B 两端相距S ＝3.5m ，工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.1。
工件滑上A 端瞬时速度V A ＝4 m/s,达到B 端的瞬时速度设为v B 。
(1)若传送带不动，v B 多大？(2)若传送带以速度v(匀速）逆时针转动，v B 多大？(3)若传送带以速度v(匀速）顺时针转动，v B 多大？4、一个同学身高h l ＝1．8m,质量65 kg,站立举手摸高h 2=2.2 m （指手能摸到的最大高度）。
（1)该同学用力蹬地，经0.4s 时间竖直离地跳起，摸高为h 3=2．4m ，假定他蹬地的力F 1为恒力，求力F 1的大小。
(2)另一次该同学从所站h 4=0.8 m 的高处自由下落，脚接触地面后经过时间t ＝0.25s 身体速度降为零，紧接着他用力凡蹬地跳起，摸高为h 5=2.7m 。
假定前后两个阶段中同学与地面的作用力分别都是恒力，求同学蹬地的作用力F 2。
（取g ＝10m/s 2）5、将金属块m 用压缩的轻弹簧卡在一个矩形的箱中，如图所示，在箱的上顶板和下顶板装有压力传感器，箱可以沿竖直轨道运动，当箱以a=2.0m/s 2的加速度竖直向上作匀减速运动时，上顶板的压力传感器显示的压力为6.0 N,下底板的压力传感器显示的压力为10.0 N 。
(g取10m/s 2）（1)若上顶板的压力传感器的示数是下底板的压力传感器的示数的一半，试判断箱的运动情况；(2）要使上顶板的压力传感器的示数为零，箱沿竖直方向运动的情况可能是怎样的？6、如图所示滑轮的质量不计，已知三个物体的质量关系是：m 1＝m 2十m 3，这时弹簧秤的读数为T ，若把物体m 2从右边移到左边的物体m 1上，弹簧秤的读数T 将（ ）A.增大；B.减小；C.不变；D.无法判断7、如图所示，有一个装有水的容器放在弹簧台秤上，容器内有一只木球被容器底部的细线拉住浸没在水中处于静止，当细线突然断开，小球上升的过程中，弹簧秤的示数与小球静止时相比较将（）A.增大；B.不变；C.减小；D.无法确定8、如图，一杯中装满水，水面浮一木块，水面正好与杯口相平。
竞赛讲义-力学
肥东圣泉中学物理竞赛讲义力学主讲人：周多成第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法 表达：+ = 。
名词：为“和矢量”。
法则：平行四边形法则。
如图1所示。
和矢量大小：c = ，其中α为和的夹角。
和矢量方向：在、之间，和夹角β= arcsin2、减法 表达：= －。
名词：为“被减数矢量”，为“减数矢量”，为“差矢量”。
法则：三角形法则。
如图2所示。
将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。
差矢量大小：a =，其中θ为和的夹角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。
3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。
⑴ 叉乘 表达：×= 名词：称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。
叉积的大小：c = absin α，其中α为和的夹角。
意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。
叉积的方向：垂直和确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示。
显然，×≠×，但有：×= －×⑵ 点乘 表达：·= c名词：c 称“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。
点积的大小：c = abcos α，其中α为和的夹角。
二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成Rt Δ）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要——正交分解a b c c α++cos ab 2b a 22a b c a b a α++αcos ab 2b a sin b 22a c b c b a θ-+cos bc 2c b 22c b a b c c a b c a ba b a b b a a b b a a b a b第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。
2、条件：Σ= 0 ，或 = 0 ，= 0例题：如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。
高中物理力学竞赛辅导资料专题08力学实验含解析
专题08 力学实验1、甲同学准备做“验证机械能守恒定律”实验,乙同学准备做“探究加速度与力、质量的关系”实验．图1(1)图1中A 、B 、C 、D 、E 表示部分实验器材,甲同学需在图中选用的器材________；乙同学需在图中选用的器材________．(用字母表示)图2(2)某同学在实验室选齐所需器材后,经正确操作获得如图2所示的两条纸带①和②.纸带________的加速度大(填“①”或“②”),其加速度大小为 ________．【解析】(1)“验证机械能守恒定律”一般采用重锤自由落体运动,使用纸带法测速度,所以要用到重锤和电火花打点计时器,即A 、B ；“探究加速度与力、质量的关系”实验一般以小车为研究对象,需改变小车质量,要用到纸带法测加速度,所以需要电火花计时器、小车、钩码,即B 、D 、E. (2)纸带①相邻相等时间位移之差Δx 1＝0.1 cm,而②纸带的Δx 2＝0.05 cm,由a ＝ΔxT2可知①纸带加速度大,且可算得a ＝Δx T 2＝0.1×10－20.022m/s 2＝2.5 m/s 2. 【答案】(1)AB BDE (2)① (2.5±0.2) m/s 22、某同学用如图所示的装置验证机械能守恒定律。
一根细线系住钢球,悬挂在铁架台上,钢球静止于A 点,光电门固定在A 的正下方,在钢球底部竖直地粘住一片宽度为d 的遮光条。
将钢球拉至不同位置由静止释放,遮光条经过光电门的挡光时间t 可由计时器测出,取v ＝d t作为钢球经过A 点时的速度。
记录钢球每次下落的高度h 和计时器示数t ,计算并比较钢球在释放点和A 点之间的势能变化大小ΔE p 与动能变化大小ΔE k ,就能验证机械能是否守恒。
(1)ΔE p ＝mgh 计算钢球重力势能变化的大小,式中钢球下落高度h 应测量释放时的钢球球心到 之间的竖直距离。
A ．钢球在A 点时的顶端B ．钢球在A 点时的球心C ．钢球在A 点时的底端(2)用ΔE k ＝12mv 2计算钢球动能变化的大小,用刻度尺测量遮光条宽度,示数如图所示,其读数为 cm 。
结构动力学-13 4.8 直接积分法 动力学课程(哈工大)
若用某种算法计算结构的反应，无论时间步长与结构的 最短周期的比值如何均可得到有界的结果，则称这种算法是 无条件稳定的。反之，有界的结果只有在该比值满足一定条 件才能得到，这样的算法是条件稳定的。
中心差分法是条件稳定的算法 t Tmin /
)
的取值：
当 1.37 时，该算法是无条件稳定的算法。
通常取 1.4
优化值为 1.420815 “超越现象”
整理，得
k y tt R tt
其中
k
k
6
(t ) 2
m
3
t
c
解出 y tt
R
Pt
( P tt
Pt
)
m(
6
(t
)2
yt
6
t
yt
2yt
)
c( 3
t
yt
2yt
t
2
yt
)
§4.3 威尔逊 - 法
y解 题 1y.(初t 始) 值计算
推导由t时刻的状态求 t t 时刻的状态的递推公式： 步骤y(t t)（1）求 k 、m、c
§4.8 直接积分法
一.中心差分法
y(t )
yt
1 2t
( y t t
yt t )
t
yt
1 (t ) 2
( y t t
2yt
yt t )
t t t t t
my cy ky P(t)
m
1 (t )
2
( y tt
2yt
ytt )
c 1
2t
( y tt
周培源力学竞赛辅导
BUAA
四、虚位移原理
•元功: W F vdt F dr , W M ωdt M dθ 等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效 即: {F1 , F2 ,, Fn } {P1 ,, Pm } {FR , M o } 则
W ( F ) W ( P ) W ( F ) W ( M
2013-7-13 20
BUAA
平衡位置的稳定性
竞赛题14: 不倒翁如图所示,其下半部为一半径为R的半圆球, 不倒翁的重心位于C点,且AC=h,若不倒翁在图示位置是稳 定的,其稳定性与下面哪些量有关.
A
1. 不倒翁的质量m 2. 半圆球的半径R
O R C
3. 重力加速度g
mg
4. 重心的位置h
2013-7-13
{F1 , F2 ,, Fn } {P , P2 ,, Pm } 1
F1
Pm
F2
{F , F2 ,, Fn } {FR } 1
•合力(resultant force) ：与某力系等效的力
P2 P1 FR 称为该力系的合力，Fi（i=1,2,…n)称为合力的分力
2013-7-13 4
BUAA
B A
地面光滑
18
BUAA
虚位移原理
虚位移原理：具有双面、理想约束的静止的质点系， 在给 定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系 统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。 思考题13：判断在图示位置系统是否 有可能平衡．（F，M 均不为零） C C F
F r
i 1 i
n
i
0
问题23：空间汇交力系的平衡方程独立的充分必要条件：
A：三个轴正交； B：三轴不共面；
物理竞赛辅导讲座(力学部分)片段
3g cos （4）
2L
也可用转动定律得到
2
1 mL2 2
23
mL2 2
6
机械能守恒定律： Ep Ek 0
即： mL22 mg L sin 0
6
2
解出：
2 3g sin （2）
L
（1）
3g sin （3）
L
将（2）对 t 求导：注意 d ，d 有：
dt
dt
2 3g cos
J
d
k＝M
dt
dt
（4）
因只有一个分量，可写成投影式： d (J) ＝M
dt
（5）
（5）称为刚体定轴转动的角动量定理，
又称刚体的转动定律。
当（5）中外力矩M=0时，刚体角动量L=J=常
值。此即刚体定轴转动下的角动量守恒定律。它类似 于平动问题中的动量守恒定律。
外力矩M=0时，定轴转动刚体的角动量L=J=
z
k
L
r
o
m•
p
v r
对于定轴转动刚体上的质点， 恒有
r
p，因而
L mvrk mr2k
角动量在转轴上的投影是：
L= mvr = mr2
L A r dm
刚体作定轴转动时，其上所有质点绕转 轴的角速度为一共同量。
按照质点动量定义p=mv，质点对转轴的
此称定轴转动刚体的动能定理的微分形式。
动能定理的积分形式是：
W
2
Md
1
2 d
1
J 2
2
J 2
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1
力学竞赛辅导讲义——碰撞
一、内容要点精讲
1、碰撞的定义
两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力
学现象称为碰撞。
2、碰撞现象的基本特征
碰撞过程时间极短．碰撞物体在这一过程中的位移可略去不计，但速
度可产生有限变化。碰撞时产生的碰撞力可能极大并发生急剧变化，难以
测量。通常用碰撞力在碰撞过程中的冲量来度量碰撞的强弱，碰撞冲量为
式中，v和u分别是物体作为质点在碰撞开始瞬时和碰撞结束瞬时的速度。
3、研究碰撞问题的两点基本假设
(1)在碰撞过程中，普通力（非碰撞力）的冲量忽略不计；
(2)在碰撞过程中，物体的位移忽略不计。
4、碰撞过程的两个阶段
(1)变形阶段。从两个物体开始接触到两者接触点处沿公法线方向无相
对速度为止，这时变形获得最大值。
(2)恢复阶段。从两个物体接触点处在公法线方向获得分离速度到两个
物体脱离接触为止。在这阶段中物体的变形得到部分或全部恢复。
5、碰撞的分类
碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力。
2
（1）按物体的相处位置分类
对心碰撞与偏心碰撞：若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称为对
心碰撞，否则称为偏心碰撞。见下图(a),图(b)
正碰撞、斜碰撞：若两物体碰撞时各自质心的速度均沿着接触处的公
法线，称为正碰撞；否则称为斜碰撞。下图中，AA表示两物体在接触处的
公切面，BB为其在接触处的公法线
(2) 按其接触处有无摩擦，分为光滑碰撞与非光滑碰撞。
(3) 按物体碰撞后变形的恢复程度(或能量有无损失)，可分为完全弹
性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。（1k，完全弹性碰撞；0k，非弹性碰撞
或塑性碰撞；01k,弹性碰撞）
6、恢复因数K
恢复因数K表示物体在碰撞后速度的恢复程度，也表示物体变形恢复
的程度，并反映出碰撞过程中机械能损失的程度。
（1）正碰撞k
式中和分别表示碰撞开始和碰撞结束时质心的速度。
（2）斜碰撞k
3
式中和分别是入射角和反射角
（3）两物体相互碰撞
式中分别为两物体的碰撞点在碰撞结束和碰撞开始时沿接触面
法线方向的相对速度。
7、解决碰撞问题的基本定理
一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式，来确定力的作用与运动
变化的关系。
（1）用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
上式用于碰撞过程的质点系动量定理，又称为冲量定理: 质点系在碰
撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢（公
式中不计普通力的冲量）
或
式中和分别是碰撞开始和结束时质心的速度。上式称为碰撞时
的质心冲量定理。
（2）用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
或
4
上式用于碰撞过程的动量矩定理，又称为冲量矩定理:质点系在碰撞开
始和结束时对任一点O（或轴z）的动量矩的变化，等于作用于质点系的外
碰撞冲量对同一点（或轴z）的矢量和（或代数和）。
对于刚体统定轴z转动的情形，上式可写为
式中o和分别表示刚体在碰撞结束瞬时和开始瞬时的角速度，zJ是刚体对
轴z的转动惯量。
当外碰撞冲量对某点或某轴)的矩的矢量和(或代数和)等于零时，则质
点系对该点(或该轴)的动量短守恒。
（3）刚体平面运动的碰撞方程(用于刚体平面运动碰撞过程中的
基本定理)
式中12和分别为平面运动刚体碰撞前后的角速度。
8、撞击中心
如图所示，若刚体具有与转轴垂直的对称面，
欲使其在外碰撞冲量作用下，转轴处不产生碰撞冲
量，则外碰撞冲量I必须作用在物体的对称平面
内，且垂直于质心C与转轴的连线，I的作用线到
转轴的距离为
5
则称点K称为撞击中心。
即：当外碰撞冲量作用于物体质量对称平面内的撞击中心，且垂直于轴
承中心与质心的连线时，在轴承处不引起碰撞冲量。
二、知识结构图解
6
三、习题分类．解题步骤
1、习题分类
(1)含有对心碰撞或正碰撞的动力学问题。
(2)含有平面偏心碰撞或平面斜碰撞的动力学问题。
2、解题步骤和要点
(1)首先应明确运动过程可能出现的3个阶段．即碰撞前阶段、碰撞阶
段和碰撞后阶段。根据题意，恰当选取各阶段的研究对象。对于碰撞前阶
段和撞后阶段，应按照动力学的常规方法处理；而对于碰撞阶段，应根据
碰撞的特征、假设和基本定理、恢复因数公式等进行特殊的分析和计算。
(2)撞前阶段。分析撞前阶段有关物体的受力情况和运动精况，按动力
学常规方法计算物体碰撞开始瞬时的力学要素(如：物体的角速度，质心的
速度，碰撞接触点的速度等)。
(3)碰撞阶段的力学分析。
(a)首先应明确是研究碰撞的哪一个阶段：变形阶段，恢复阶段，还是
碰撞的全过程。
(b)对碰撞物体进行受力分析和运动分析。首先要分清平常力和碰撞
力，并忽赂碰撞过程中物体的位移和平常力的冲量，还要分清内碰撞冲量
和外碰撞冲量，只考虑外碰碰撞冲量。
(c)把有关力学要索(如：碰撞冲量，物体的角速度及其质心速度和碰
撞接触处的的速度等)画在研究对象上，最好能分别画出碰撞开始和结束两
瞬时的力学要素图。
(4)建立碰撞阶段的力学方程。
7
四、重点与难点
1．重点
(1)碰撞现象的特点。
(2)恢复因数的物理意义和计算。
(3)碰撞阶段的基本定理及其应用。
(4)撞击中心。
2．难点
(1)正确划分包含碰撞的动力学问题的不同阶段，一般可能出现撞前阶
段，碰撞阶段和撞后阶段。
(2)刚体平面运动的碰攫方程及其应用。
典型例题举例
例1：恢复系数测定法：质量分别为m和mz的小球用等长的绳子挂起来，
将其中一球拉过偏角 ，然后无初速度地释放，它撞击另一球，使它产生
的最大偏角为，设与已由实验测出，求恢复因数k。
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例2：匀质细杆AB的质量是m，对质心C的回转半径是c，由水平位置无
初速释放，下落高度h后扦上的D点碰在桌子边缘上，点D到质心C的距离
是d，如图(a)所示,假定是完全塑性碰撞, 0k，求碰撞结束瞬时质心c
的速度cu，杆的角速度及碰撞冲量DI。
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练习题
1、如图一所示，用打桩机打入质量为50kg的桩柱，打桩机的质量为
450kg，由高度h=2m处落下，其初始速度为零。如恢复因数k=0，经过一
次锤击后，桩柱深入1cm，试求桩柱进入土地时的平均阻力。
图一 图二 图三
2、如图二所示，带有几个齿轮的凸轮绕水平的轴O转动，并使桩锤运
动。设在凸轮与桩锤碰撞前桩锤是静止的，凸轮的角速度为。若凸轮对轮
O
的转动惯量为oJ，锤的质量为m，并且碰撞是非弹性的，碰撞点到轴的距
离为r，求碰撞后凸轮的角速度、锤的速度和碰撞时凸轮与锤间的碰撞冲量。
3、一均质杆的质量为1m，长为l，其上端固定在圆柱铰链O上，如图
三所示。杆由水平位置落下，其初始速度为零。杆在铅直位置处撞到一质
量为2m的重物，使后者沿着粗糙的水平面滑动，动摩擦因数为f，如碰撞
是非弹性的，求重物移动的路程。
4、球1速度v=6m/s，方向与静止球2相切，如图四所示，两球半径
相同、质量相等，不计摩擦。碰撞的恢复因数k=0.6，求碰撞后两球的速度。
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/
图四 提示
5、小球A的质量Am＝0.5kg，悬线长l＝1.2m，自图五(a)所示水平位
置无初速释放，当悬线转到图五(b)所示铅直位置时，小球A与质量
B
m
=1.5kg的静止物块B发生弹性碰撞。碰撞结束后悬线可摆回到与铅直线
成偏角15o的位置，而物块B沿水平面向前移动了距离s＝1.1m而停止。
试求小球与物块碰撞的恢复因数，以及物块与水平面间的摩擦因数。
图五（a） 图四（b） 提示
6、如图六所示，在测定碰撞恢复因数的仪器中，有一均质质杆可绕水
平轴O转动，杆长为l，质量为1m。杆上带有用试验材料所制的样块，质量
力m。杆受重力作用由水平位置落下，其初角速度为零．在铅直位置时与
障碍物相碰。如碰撞后杆回到与铅直线成角处，求恢复因数k。又问：在
碰撞时欲使轴承不受附加压力，样块到转动轴的距离应为多大？
7、如图七所示，质量为m、长为l的均质杆AB，水平地自由下落一段
距离h后与支座D碰撞(4lBD)。假定碰撞是塑性的，求碰撞后的角速度
和碰撞冲量I。
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图六 图七
8、图八所一均质圆柱体，质量为m，半径为r，沿水平面作无滑动的
滚动。原来质心以cv等速运动，突然圆柱与一高为h(h＜r)的凸台碰撞。设
碰撞是塑性的，求圆柱体碰撞后质心的速度cv、柱体的角速度和碰撞冲量。
图八 提示
9、均质细杆AB置于光滑的水平面上，围绕其重心C以角速度0转动，
如图九所示。如突然将点B固定(作为转轴)，问杆将以多大的角速度围绕
点B转动?
图九 图十 提示
10、如图十所示，质量为1m的物块A置于光滑水平面上，它与质量为2m、
长为l的均质杆AB相铰接。系统初始静止，AB铅垂，122mm。今有一冲量
为I的水平碰撞力作用于杆的B端，求碰撞结束时，物块A的速度。