2021高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册教案：3.1.1 椭圆及其标准方程
3.1.1 椭圆及其标准方程(教学课件)——高中数学人教A版(2019)选择性必修一
4m 1,
m 1 ,
∵ 椭圆过（2，0）和（0，1）两点，∴ n 1,
解得 4
n 1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为 x2 +y2＝1. 4
【答案】 x2 +y2＝1 4
解题方法： 1.定义法 （1）首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹 方程. （2）首先分析几何图形所表示的几何关系，然后对比椭圆的定义，设出对应椭 圆的方程，求出a，b的值，得到标准方程. 2.待定系数法
变式训练4-1 ［2020·安徽枞阳浮山中学高二期中］已知P（-4，-4），Q是椭圆x2+2y2
＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足 PM ＝ 1 MQ ，则动点M的轨迹
3
方程是
（）
A.（x-3）2+2（y-3）2＝1 C.（x+1）2+2（y+1）2＝9
B.（x+3）2+2（y+3）2＝1 D.（x-1）2+2（y-1）2＝9
|PQ|+|PF|＝|PQ|+ 2 2 -|PF′|，利用Q，F′，P共线，可得|PQ|+|PF|的最大值.
x2
【解析】 由题意，点F为椭圆C： 2 +y2＝1的左焦点，∴ F（-1，0）. ∵ 点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），设椭圆C的右焦点为F′（1，0）， ∴ |PQ|+|PF|＝|PQ|+ 2 2 -|PF′|＝2 2 +|PQ|-|PF′|，
【解析】：设动点M（x，y），Q（m，n），因为 PM ＝ 1 MQ ， 3
椭圆及其标准方程教案 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
+ = >>
创设情境，引入新课
思考1当两定点慢慢靠近到重合，绳长保持不变，此时画出的图形
是什么？
思考2若绳长等于两定点间距离，得到什么图形？绳长能小于两图
钉间距离吗？
总结归纳，给出定义
1. 椭圆的定义
平面内与两定点1 、 2 的距离的和等于常数的点的轨迹叫做
椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的
➢ 由椭圆的标准方程，如何判断交点在哪个轴上？
哪个未知数对应的分母较大，焦点在哪个轴上.
应用反馈，内化新知
1.
当已知椭圆的标准方程为
焦点坐标分别为
,
+
= ，则 = 5 ， = 4 ， =
3 ，
−, ，焦距为 6 ，若CD为过左焦点的弦，
则∆ 的周长为 20 .
2. 已知椭圆的两个焦点坐标为 −, , , ，并且经过点 , ，
+=来自 .则椭圆的标准方程为
归纳总结
1. 本节课我们主要学习了什么内容？
2. 本节课体现了哪些重要思想方法？
作业布置
必做题：P109
练习1、 2、3、4
思考题：方程 2 + 2 = 1什么时候表示椭圆？什么时候表示
焦距，焦距的一半称为半焦距.
由形及数，建系推导
➢ 这两种坐标系下的圆的标准方程是什么？
y
y
(a,b)
R
O
R
x2 y 2 R2
x
O
( x a ) 2 ( y b) 2 R 2
x
当堂训练，巩固提升
以两定点 F1 、 F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴，
【教案】3.1.1椭圆及其标准方程 教学设计高中数学人教版(2019)选择性必修一
3.1.1椭圆及其标准方程一、内容和内容解析1.内容在学习直线和圆的方程的基础上，抽象椭圆的几何特征，然后建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用它们解决简单的实际问题.2.内容解析教材关于圆锥曲线部分安排了三节内容.这三节分别对应着相应的三种圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线.这三种曲线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性.在椭圆的概念部分，在问题“椭圆具有怎样的几何特性？”的引领下进行画图操作，从中发现椭圆的几何特征，进而获得椭圆的概念.椭圆的标准方程部分，先根据椭圆的几何特性建立坐标系，然后通过代数运算得到椭圆的标准方程.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般思路和方法，包括如何发现曲线的几何特征、如何建立适当的坐标系、如何简化与优化方程、如何运用方程进行研究等.二、目标和目标解析1.目标（1）了解圆锥曲线的实际背景，及圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的应用. （2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.（3）掌握椭圆定义以及椭圆标准方程.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能通过观察平面截圆锥认识到如何得到不同的圆锥曲线.（2）能通过实例知道圆锥曲线在生产生活中有广泛的应用.（3）能通过椭圆的绘制过程，认识椭圆的几何特征，给出椭圆定义.（4）通过能通过求曲线方程的方法，得到椭圆的标准方程．（5）在求解椭圆标准方程的过程中，体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.三、教学问题诊断分析学生对坐标法已有初步的认识，通过直线和圆的方程的学习，对用坐标法研究曲线的基本思路与方法已有了解，但还不善于自觉运用坐标法，在学习中会遇到如下难点.第一，如何抽象出椭圆的几何特征.在绘制过程中，笔尖将细绳分为两段，它们都不是定长，但是总长度一定.第二，如何建立适当的坐标系.建立坐标系的标准是所得方程简单.第三，推导过程中，遇到根式的化简，如何进行两次平方得到最后结果，需要学生有较强的运算能力以及对运算结果的预测能力.四、教学过程设计（一）背景讲解师生活动：教师讲解圆锥曲线的产生以及应用领域.设计意图：让学生了解圆锥曲线的由来以及在实际生活中的应用，激发学生们的学习欲望. （二）新课导入问题1：与一定点的距离等于定长的点的集合是什么？师生活动：教师进行讲解.设计意图：回顾圆的定义引出椭圆定义.问题2:那么与两定点的距离之和为一定长的点的集合又是什么图形呢？师生活动：教师进行讲解，引出小实验.设计意图：利用类比的方法，让学生体会椭圆与圆在定义上的区别与联系.小实验：1.在一张白纸上用两个钉子固定两个点F1，F2取一条定长为l的细绳，使它的两端固定.2.在F1，F2上，用笔绷住细绳使它慢慢移动.师生活动：教师进行讲解并进行动画演示.设计意图：让学生从直观的动画演示，理解椭圆的形成过程.（三）新课讲解师生活动：教师讲解椭圆定义，并给出焦点、焦距、半焦距的定义.问题：PF1与PF2的距离之和与定点F1与F2之间的距离之间不同的大小关系，对应的动点轨迹是什么？设计意图：让学生对椭圆有准确的理解，体会分类讨论的数学思想.问题：求曲线方程的基本步骤是什么？追问：建立平面直角坐标系遵循的原则是什么？师生活动：教师讲解.设计意图：为推导椭圆标准方程做前期准备.师生活动：利用椭圆定义以及求曲线方程的方法推导椭圆标准方程.设计意图：让学生巩固求曲线方程的操作步骤，感受椭圆标准方程的推导过程.师生活动：方程的曲线和曲线的方程的检验.设计意图：经过检验的过程，让学生体会曲线的方程和方程的曲线.问题：焦点在y轴上的椭圆标准方程是什么呢？师生活动：教师讲解.设计意图：让学生体会，不同的坐标系下椭圆的不同的标准方程.问题：你能小结出椭圆标准方程的特点吗？师生活动：教师讲解.设计意图：加深学生对椭圆标准方程的记忆.（四）应用巩固例1.已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，， 求它的标准方程.师生活动：教师讲解.设计意图：体会求椭圆标准方程的一般解法.例2 如图，在圆x 2+y 2=4上取任意一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？师生活动：教师讲解.设计意图：让学生体会椭圆与圆的联系与区别.例3 如图设A ，B 两点的坐标分别为（-5，0），直线AM ，BM 相交于点M ，且他们的斜率之积是94-，求点M 的轨迹方程. 师生活动：教师讲解.设计意图：让学生巩固曲线方程的一般步骤.（五）回顾反思本节课从思想方法以及知识点两方面进行小结.1.本节课需要掌握一种方法（待定系数法）和 两种思想（数形结合、分类讨论）2.椭圆的定义以及椭圆的标准方程.3.教师带领学生完成知识体系表.五、布置作业1.教材P109 练习 2(3)． 3 ．4．2.教材P115 习题3.1 1．2．4．六、目标检测设计1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 与焦点F 1的距离为6，那么点P 与另一个焦点F 2的距离为多少？师生活动：教师讲解.设计意图：巩固椭圆定义.2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）a =4，b =1，焦点在x 轴上；（2）a =4，c =15，焦点在y 轴上. 师生活动：教师讲解.设计意图：让学生体会椭圆标准方程的一般求法.。
人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程
人A数学选择性必修1
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[例 3] (1)方程k－x24＋10y－2 k＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的
取值范围是( C )
A．(4，＋∞) B．(4,7)
C．(7,10)
D．(4,10)
分析：(1)根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数范围时，考虑两个分 式对应的分母都大于0，然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大 小．
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[解析] (1)由 a＝4，c＝ 15，得 b2＝a2－c2＝1， ∵焦点在 y 轴上，∴其标准方程为1y62 ＋x2＝1. (2)法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a ＞b＞0)． 由椭圆的定义知 c＝2，
2a＝ 52＋22＋－322＋ 52－22＋－322＝2 10，
C．94
D．14
解析：依题意a＝10，且|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝20⇒|PF2|＝14.
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3．适合条件a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ___1x_62_＋__y_2_＝__1______． 解析：由已知，所求方程为：4x22＋1y22＝1，即1x62 ＋y2＝1.
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[例1] (1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是
(B)
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．线段
(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是( D )
A．圆
B．椭圆
人教A版高中数学选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程课件
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
人教版高中数学选择性必修第一册3-1-1(2课时)椭圆及其标准方程
【解析】 ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－4＝6－4＝2.∵|F1F2|＝2c ＝2 7，∴在△F1PF2 中，利用余弦定理可得，
cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|－PF|2F| 1F2|2＝－12， ∴∠F1PF2 的大小为 120°.
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新教材同步学案 数学 选择性必修第一册
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探究 1 此类题的条件恰好满足椭圆的定义，故先确定动点 的轨迹为椭圆，再由待定系数法求解．
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思考题 1 设圆 Q：(x－1)2＋y2＝81，A 是圆内一点，坐 标为(－1，0)，P 是圆 Q 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线和 半径 QP 相交于点 M，求 M 的轨迹方程．
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例 4 如图，设点 A，B 的坐标分别为(－5， 0)，(5，0)．直线 AM，BM 相交于点 M，且它们 的斜率之积是－49，求点 M 的轨迹方程．
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【解析】 设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(－5， 0)，
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探究 5 椭圆中的焦点三角形问题经常是用定义结合正余弦 定理、勾股定理等来解决，在解题时，出现|PF1|＋|PF2|形式，经 常用到配方、解方程，把|PF1|·|PF2|看作一个整体．
人教版高中数学选择性必修第一册3-1-1(1课时)椭圆及其标准方程
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例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆过点(5， 0)； (2)焦距为 8，经过点 P(0，2 6)； (3)与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点，且过点 M(3，－2)．
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第三章 圆锥曲线的方程
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3．1 椭圆 3．1.1 椭圆及其标准方程(第1课时)
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要点 1 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点 F1，F2 的__距_离__的_和____等于常数 (___大__于_|F_1_F_2|___)的点的轨迹叫作椭圆． 这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦 距，焦距的一半称为半焦距．
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思考题 1 (1)若椭圆2x52＋y92＝1 上一点 P 到一个焦点的距
离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为( A )
A．5
B．6
C．4
D．10
【解析】 ∵a2＝25，∴a＝5，2a＝10. 设 P 到另一个焦点的距离为 d， 则 5＋d＝2a＝10，∴d＝5.故选 A.
【解析】 ∵a2＝3，∴a＝ 3. 如图所示，△ABC 的周长为 |AC|＋|AB|＋|BC| ＝|AC|＋|CF2|＋|AB|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a＝4 3.
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(2)下列说法正确的是( C ) A．已知点 F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到 F1，F2 两点的距 离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 B．已知点 F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到 F1，F2 两点的距 离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点 F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于点 M(5， 3)到点 F1，F2 的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点 F1(－4，0)，F2(4，0)的距离相等的点的轨迹 是椭圆
椭圆及其标准方程教学设计- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.1.1 椭圆及其标准方程教学设计一、教学目标1.通过实验发现椭圆的几何特征，理解椭圆的定义；推导椭圆的标准方程，总结建立曲线方程的一般步骤；理解椭圆标准方程中a、b、c具体的几何含义.2.通过引导学生动手尝试画图、发现椭圆的形成过程，进而归纳出椭圆的定义，培养学生观察、抽象、归纳、概括问题的能力，重点提升学生直观想象和数学抽象等核心素养.3.通过经历椭圆标准方程的推导,对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识，同时增强学生战胜困难的意志品质，并体会数学的简洁美、对称美.二、教学内容本节课的教学内容是椭圆的定义及其标准方程，在此之前，学生学习了直线的方程、圆的方程及曲线与方程等知识，初步学会了建立直角坐标系求动点的轨迹方程等知识。
但学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，并未真正有所感受。
椭圆及其标准方程是整个解析几何部分的重要内容，从知识层面讲，它是运用坐标法求动点轨迹方程并研究曲线性质的首次演练，从方法上讲，它为后续研究其他圆锥曲线提供示范，由此可见，本部分内容和过程中体现的方法都起着承上启下的重要作用，是学习好解析几何的重要基础和关键章节。
通过本节学习，学生一方面认识到椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为学生利用方程研究椭圆的几何性质、类比椭圆的研究过程和方法学习双曲线、抛物线奠定基础。
三、学情分析椭圆虽然是生产生活中常见的曲线，但对椭圆几何特征的探究与发现是个难点，因为很难由椭圆的形状想到椭圆的定义.在推导椭圆标准方程时，如何建系、如何选用适当的参数、如何化简含两个根号的式子、如何理解曲线与方程的辩证关系、如何理解引进字母b 的合理性与必要性以及b 的几何意义，这些都对学生有挑战性.四、教学方法引导探究式教学方法，以问题串的形式引导学生主动体验、积极合作、自主建构，形成师生互动的教学氛围.通过有结构、有逻辑的系统学习，逐步形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能，促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟．本节课应先充分调动学生的想象，挖掘积极因素，激发学生兴趣，结合圆的定义，发明创造新的曲线，然后动手操作，教师动画演示，直观认识新发明的曲线，通过对定义的获得、建系方式的选取和方程的推导化简，使学生经历猜测、观察、实验、推理、交流、反思等理性思维，加强运算能力，提高他们提出问题、分析问题和解决问题的能力，通过对定义的概括总结，提高学生数学抽象、逻辑推理等数学素养。
数学人教A版选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程说课课件
– 两边平方
+
2
+ 2 = 42 − 4
–
–
–
–
−
2
+ 2
−
2
+ 2 + −
整理得
2 − = − 2 + 2
两边再平方 4 − 22 + 2 2 = 2 2 − 22 + 2 2 + 2 2
整理得
2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2
两边同除2 2 − 2 得
2
2
+
2
2 − 2
=1
由椭圆的定义可知，2 > 2,即 > ,所以2 − 2 > 0
(1)
2
+ 2
第三章 圆锥曲线的方程
探究椭圆的标准方程
• 4.化简
– 视察右图可知
• 1 = 2 = ,
• = 2 − 2
• 那么(1)就是
• 上述方程表示焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中 2 = 2 − 2
• 如果椭圆的焦点在轴上，并且焦点1 ，2 的坐标分别为 0, − , 0, 则
2
椭圆的方程为 2
+
2
2
Байду номын сангаас
= 1 ( > > 0)这也是椭圆的方程。
它可以看成是(2)中的, 对换。
• 对椭圆的两种标准方程，都有（a>b>0），焦点都在长轴上，且a,b,c始终满
第三章 圆锥曲线的方程
知识点1
椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点
人教A版数学高中选择性必修一《3.1.1椭圆及其标准方程》教学设计
课题：椭圆及其标准方程【教学内容分析】本节课是人教版选择性必修一第三章的第一课时，属于新授概念课。
本课作为圆锥曲线的第一课时，也是利用坐标法研究轨迹问题的起始课。
从圆锥曲线的发展史入手，让学生了解什么是圆锥曲线，再通过大量的圆锥曲线在科技、生产生活中的应用，解释学习圆锥曲线的必要性。
椭圆是圆锥曲线，通过类比学习圆的经历过程，继而对椭圆定义的探究和标准方程的推导，无不体现代数特征与几何特征互化的思想,而这种思想也是圆锥曲线整章内容的核心思想，为后续学习抛物线、双曲线提供了基本模式和理论基础。
通过本节内容的学习，可以为培养学生的动手操作、自主探究、归纳推理能力提供良好的素材。
学生已经在生活中掌握了一些椭圆图形，只是停留在感性没有上升到理性层面。
如何从数学的角度给椭圆以“定量”的描述正是本节课要解决的问题。
【学生情况分析】从基础能力看：物化生组合的学生基础相对较好，通过对圆的知识学习，已初步了解曲线轨迹的思想。
从认知的现状看：学生对双根式的处理比较陌生，如何化简问题通过教师的引导值得期待。
【教学目标分析】椭圆的定义及标准方程的推导。
“直观感知、操作确认”的过程，从而让学生亲身经历知识的形成，由感性认知升华到理性认知。
4.通过学生的自主探究、课堂的讨论、归纳总结、品味寻找表象世界背后规律的乐趣，特别是标准方程的推导，让学生感受数学中的对称美。
【教学重点、难点】教学重点：（1）椭圆的定义（2）椭圆标准方程（3）会根据条件求椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的推导【教学方法分析】用生活中学生感兴趣的实例引入，遵循：“直观感知—操作确认“的认识过程，用问题引领学生自主探究，形成感性认识与理性认知。
【教具准备】图钉、画板、纸张、多媒体课件【教学过程】（一）创设情境，导入新课情景一：介绍圆锥曲线发展史情景二：展示生活中的有关圆锥曲线应用的图片设计意图：通过对圆锥曲线史介绍，可以让学生了解圆锥曲线由来，再通过科技、生产、建筑等有关圆锥曲线的应用图片加以介绍，让学生理解研究圆锥曲线的必要性，为引入本节课课题做好铺垫。