双曲线的几何性质39
(完整)双曲线的方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。
1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。
（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。
双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。
考点39 双曲线-之21年高考数学(理)考点一遍过
（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. （3）了解双曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想.一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支； 当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0． 3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b .（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y a b a bλλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为ny x m =±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m n λλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k -=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<．二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e=．考向一 双曲线的定义和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． @#网2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混.典例1 已知F 1,F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2= A ．14 B ．35 C ．34D ．45【答案】C∴cos ∠F 1PF 2=222121212||||2PF PF F F PF PF +-34=.典例2 已知F 为双曲线的左焦点，为上的点．若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．【答案】44【解析】易知双曲线的左焦点为，点是双曲线的右焦点，虚轴长为，双曲线的图象如图：1．若双曲线22412x y =1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则|PF|+|PA|的最小值是________.考向二 求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的22,a b 的值，最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为221(0)Ax By AB +=<.典例3 已知双曲线与双曲线的焦点重合，的方程为，若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍，则的方程为__________________.【答案】2213y x -=典例4 如图,已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.2．已知12,F F 分别是双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，P 是双曲线上一点，2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍. （1）求双曲线的渐近线方程；（2）当1260F PF ∠=时，12PF F △的面积为.考向三 双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a ,b 的关系，结合已知条件可解.典例 5 已知12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，1F 的坐标为()，若双曲线的右支上有一点P ，且满足124PF PF -=，则该双曲线的渐近线方程为A ．2y x =± B ．2y x =± C ．34y x =±D ．43y x =±【答案】A典例6 如图,已知F 1、F 2分别为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为第一象限内一点,且满足|F 2P|=a ,(+)·=0,线段F 2P 与双曲线C 交于点Q ,若|F 2P|=5|F 2Q|,则双曲线C 的渐近线方程为A ．y =±5x B ．y =±12xC ．y =±2x D ．y =±3x 【答案】B3．已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点的直线切圆于点，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．12y x =±D ．2y x =±考向四 双曲线的离心率1.求双曲线的离心率一般有两种方法：（1）由条件寻找,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中a b c ，，的关系222c a b =+将双曲线的离心率公式变形，即c e a ===，注意区分双曲线中a b c ，，的关系与椭圆中a b c ，，的关系，在椭圆中222a b c =+，而在双曲线中222c a b =+.（2）根据条件列含,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式c e a=转化为含e 或2e 的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，.另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.典例7 设F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率等于 ABCD【答案】B【解析】由121223AF AF aAF AF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩⇒,由∠F 1AF 2=90°,得2221212AF AF F F +=,即(3a )2+a 2=(2c )2,得e=2,选B.典例8 已知F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P ，使得221||PF PF =8a ,则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】(1,3]4．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，点I 是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(]1,2 B ．()1,2 C ．(]0,3D ．(]1,35．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，12PF F △的面积为9，且7a b +=，则该双曲线的离心率为______________.1．在平面直角坐标系中,F 1(-2,0),F 2(2,0),动点P 满足||PF 1|-|PF 2||=3,则动点P 的集合是 A ．两条射线B ．以F 1,F 2为焦点的双曲线C ．以F 1,F 2为焦点的双曲线的一支D ．不存在2．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 A ． B ． C ．D ．3．双曲线2213y x -=的渐近线方程为A ．B ．C ．13y x =±D ．y x = 4．已知双曲线的右焦点在直线上，则实数的值为A ．B ．C ．D ．5．若双曲线()2221016x y a a -=>的离心率为53，则该双曲线的焦距为 A ．10 B ．6 C ．8D ．56．已知点12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=︒，则双曲线的离心率为A BC D 7．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．8．设、分别是双曲线C ：的左、右焦点，点在双曲线C 的右支上，且，则A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A ．221x y -=B ．22122x y -= C ．22144x y -= D ．22188x y -= 10．已知方程221x y a b+=和1x y a b +=(其中ab ≠0且a ≠b ),则它们所表示的曲线可能是11．设，是离心率为5的双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于A ．B ．C ．24D ．4812．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．13．已知O 是坐标原点，双曲线221(1)x y a a-=>与椭圆221(1)2x y a a +=>+的一个交点为P ，点，则的面积为A ．B ．C ．D ．14．过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．15．设分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，，，，为坐标原点，则__________．16．已知离心率e =2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点.若AOF △的面积为1，则实数的值为___________.17．已知点12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF △是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________________．18．已知是双曲线22:14y C x -=的右焦点,的右支上一点到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点满足,则___________.19．若双曲线22221x y a b -=的离心率为，双曲线22221x y b a-=的离心率为，则的最小值为___________.20．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|=10，求|PF2|．21．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．22．已知双曲线22:4xC y=,P是C上的任意一点.(1)求证:点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数;(2)设点A的坐标为,求的最小值.23．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率e =，且过点(4,).(1)求双曲线的方程.(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证:.24．已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆224936x y +=有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程.(2)若点M 在双曲线上, 12,F F ，试判断12MF F △的形状.1．（2018浙江）双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)2．（2017天津理科）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=3．（2018新课标全国Ⅱ理科）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±4．（2017新课标全国II 理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BCD ．35．（2017新课标全国III 理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=6．（2016新课标全国I 理科）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–C ．(0,3)D ．7．（2018新课标全国Ⅲ理科）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为A B ．2C D 8．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______________．9．（2017北京理科）若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．10．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐，则其离心率的值是________________． 11．（2018北京理科）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．12．（2017山东理科）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF B F O F +=，则该双曲线的渐近线方程为_____________．13．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．14．（2017新课标全国I 理科）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为_______________．1．【答案】92．【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，所以点2Fb =（其中c 是双曲线的半焦距）， ！@网 由题意知2c a b +=， 又因为222a b c +=，解得43b a =， 故所求双曲线的渐近线方程是430x y ±=.（2）由余弦定理得222121212||2cos60||PF PF PF PF F F +-⋅=，即2221212||4PF PF PF PF c +-⋅=①.又由双曲线的定义得122PF PF a -=，两边平方得2221212||24PF PF PF PF a +-⋅=②， ①-②得22212444PF PF c a b ⋅=-=.根据三角形的面积公式得221213sin6042S PF PF b =⋅===248b =. 又43b a =， 则2292716a b ==，故所求双曲线的方程是2212748x y -=. 3．【答案】B4．【答案】D【解析】设12PF F △的内切圆半径为r ，如图，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==， 则121211,22IPF IPF S PF r S PF r =⋅=⋅△△，12122IF F S c r cr =⋅⋅=△， 由题意得12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥， 故()12332c PF PF a ≤-=， 则3ce a=≤，又1e>，所以双曲线离心率的取值范围是(]1,3，故选D．5．【答案】54学#%1．【答案】B【解析】|F1F2|=4,||PF1|-|PF2||=3<4,根据双曲线的定义可知,动点P的集合是以F1,F2为焦点的双曲线. 2．【答案】A【解析】方程22123x ym m+=-+表示双曲线的充要条件是，解得，根据四个选项可知，充分不必要条件是．选A．3．【答案】A【解析】由双曲线的方程2213y x -=可得1,a b ==.4．【答案】D【解析】因为直线与轴的交点为，所以在双曲线中有，故，即，故选D ．7．【答案】A【解析】由双曲线的定义可知，，所以， 由已知可得到直线的距离，构成直角三角形，所以，化简得，解得，所以43b a =，所以渐近线方程为 8．【答案】B【解析】由双曲线方程得，，则，即，则焦点为，，如图，∵点P 在双曲线C 的右支上，且，∴12F PF △为直角三角形，则1212+=226PF PF PO F F c ===， 故选B ．9．【答案】D∴双曲线的标准方程为22188x y -=.故选D ． 学！@ 10．【答案】A【解析】A 中,1x y a b +=满足a <0,b >0,221x y a b +=满足a <0,b >0；B 中,1x y a b +=满足a >0,b >0,221x y a b +=满足a >0,b <0,矛盾;C 中,1x y a b +=满足a <0,b >0,221x y a b+=满足a >0,b >0,矛盾;D 中,1x y a b +=满足a <0,b >0,221x y a b+=满足a >0,b >0,矛盾.故选A.11．【答案】C12．【答案】D【解析】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以， 又，所以，解得，从而离心率.故选D ．13．【答案】D【解析】由题意知两曲线有相同的焦点，设左、右两个焦点分别为，，设P 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得到，根据椭圆的定义得到， 联立两个式子得到，=， 由椭圆与双曲线的标准方程得=，所以与重合，由余弦定理得()()1222241cos 04a a F PF +-+∠==，故12π2F PF ∠=， 则的面积为，故答案为D ．14．【答案】 ￥%网15．【答案】【解析】由题得22225163a b b a+==⎧⎪⎨⎪⎩则双曲线的方程为，从而点P 的坐标为（5，）或（5，），故或.16．【答案】【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，所以，则，，由AOF △的面积为1，可得112ab =， 又双曲线C 的离心率，则2222254c a b a a +==，即，解得，.17．【答案】(1,1+18．【答案】4【解析】由题意得,渐近线方程为,因为点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线上，联立方程(22214y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩,解得,联立方程(22y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩,解得,所以,而,解得19．【答案】【解析】由双曲线的方程可知，12,c ce e a b==，所以()12c a b c c e e a b ab ++=+=， 又由222c a b =+，且22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()()()12244c a b c a b c e e ab a b a b +++=≥=++， 因为()()()22222222216164822a b a b c a b a b ab a b ++⎛⎫=≥= ⎪++++⎝⎭， 所以的最小值为.20．【解析】（1）由题易知，，，解得，，综上，|PF2|＝16或4.21．【解析】（1）∵双曲线的离心率为，∴双曲线是等轴双曲线，∴设双曲线的方程为，将点代入方程得：，则，故双曲线方程为．（2）∵等轴双曲线的渐近线方程为，点在第一象限且是渐近线上的点，∴设点的坐标为，∵等轴双曲线中，∴，不妨设，，∴，，又∵，所以，∴，解得（舍去负值），∴点的坐标为．22．【解析】(1)设P(x0,y0),P到双曲线的两条渐近线的距离记为d1、d2.23．【解析】(1)∵,∴,∵,∴,∴可设双曲线方程为.∵双曲线过点(4,−),∴16−10=λ,即λ=6,∴双曲线方程为.(2)由(1)可知,在双曲线中a =b =,∴c =,∴(−,0),,0).∴12MF MF k k ==又∵点M (3,m )在双曲线上，∴=3，∴12213MF MF m k k ⋅==-=-，∴. 学@#24．【解析】(1)椭圆方程可化为22194x y +=,焦点在x 轴上,且c ==2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠． 3．【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a -==-=-=，所以b a =by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 4．【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线的距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===2224()3c a c -=， 整理可得224c a =，则双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 5．【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为by x a=±，在椭圆中：2212,3a b ==，2229,3c a b c ∴=-==，故双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，据此可得双曲线中的方程组：222,3,2b c c a b a ===+，解得224,5a b ==， 则双曲线C 的方程为2145x y 2-=．故选B ． 【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可. @#网 6．【答案】A【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 而不是c ,这一点易出错. 7．【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=， 在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==， 在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．8．【答案】9．【答案】2【解析】221,a b m ==，所以1c a ==2m =． 【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a 、b 、c 的关系，即222c a b =+，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可. 10．【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以b =，因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =．11．1 2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m++===，所以2e =．12．【答案】2y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =±. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．13．【答案】14．【答案】3【解析】如图所示，作AP MN ⊥，【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 学@#。
圆锥曲线-双曲线
圆锥曲线-双曲线一、双曲线的定义，标准方程 1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y ba b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 23.双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()1x a x a <>≤-≥范围：，或<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。
<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。
<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。
<>±5渐近线：y b ax = <>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：)0(2222≠=-λλby a x1 22121x y m m m -=++若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2. 220ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 22sin sin cos x y αααα-=设是第二象限角，方程表示的曲线是（） A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线4.曲线3sin 2x 2+θ+2sin y 2-θ=1所表示的图形是（ ）。
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的性质
2.61双曲线的性质2.61双曲线的性质【学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题. 【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质 双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a a x a x a即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a =>。
3.2 双曲线方程及几何性质
3.2 双曲线【知识点】 1、双曲线的概念平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
集合12{|||||||2}P M MF MF a =−=，12||2F F c =，其中0,0a c >>，且,a c 为常数，当22a c <时，点M 的轨迹是双曲线。
2、双曲线的标准方程（1）标准方程222222221(0,0),1(0,0)x y y x a b a b a b a b−=>>−=>>。
（2）一般方程：221(0)Ax By AB +=<。
3、双曲线的简单几何性质4、三个问题①为什么不能把定义中的“绝对值”去掉？②怎样理解双曲线的渐近线的含义？怎么求渐近线方程？ ③当双曲线离心率变化时，双曲线的形状如何变化？【典型例题】例1、已知双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F −，双曲线上一点P 与12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
例2、已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2秒，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
例3、求双曲线22916144y x −=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例4、动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数43，求动点M 的轨迹。
例5、过双曲线22136x y −=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线于,A B 两点，求弦长||AB 。
【课堂练习】题型1双曲线定义的理解1、已知双曲线2213664x y −=的左右焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上一点。
若1||15PF =，则2||PF = 。
2、对于常数,a b ，"0"ab <是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3、（多选）已知方程221()169x y k R k k−=∈+−，则下列说法中正确的是（ ）.A 方程可表示圆.B 当9k >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 .C 当169k −<<时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 .D 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10题型2 双曲线方程的求解4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点分别是12(13,0),(13,0)F F −，点P 在双曲线上，且12||||10PF PF −=，则双曲线的方程是 。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
双曲线的几何性质39市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(2) x2/49-y2/25=-1
解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)
请思索：如若求半焦距长和离心率呢？
小结：关键在于求实半轴a旳长和虚半轴b旳长， 然后裔入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c旳长 及离心率.
0
A2 x
怎样得到旳？
图形
B1
|x |≤a 、|y |≤ b
x2/ a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x
范围
中心对称，轴对称
-x代x、-y代y
对称性 顶点
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
分别令x=0，y=0
a、b 、c旳 含义
a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2
十一、课后请你思索题
1、离心率e旳变化对双曲线图形有何影响？
怎样解释？
y
F1
0
b a
C
F2
2、 如图，双曲线和椭圆旳离心率分别为e1、 e2、e3、e4, 试比较e1、e2、e3、e4 旳大小.
y
e1
e2
0
e4 e3 x
七、让我们继续研究
请观察双曲线旳图象和矩形对角线,有何特征？
双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)旳各支向外延伸 时，与矩形旳两条对角线所在旳直线逐渐接近.
y
B2
F1 A1 0
请思索：结论正确吗?
B1
A2 F2
x
八、我们一起来证明
（一）、我们共同来设计一种方案：
1、由双曲线旳对称性我们只需研究第一象限旳情形；
高三数学 双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学双曲线的定义、性质及标准方程知识精讲【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程xayba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
双曲线的几何性质
2
离心率 e =
2的双曲线是等轴双曲线
c (5) e = a
c = a +b
2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
根据几何性质能够 较准确地画出椭圆的图形
根据几何性质能否 较准确地画出双曲线的图形呢？ 较准确地画出双曲线的图形呢？
y
B2
y
C3 C
F2 A2
2
C1
A1 F1 O B1
x
O
x
利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草 图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第 一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象 限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分， 最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
B2
. .பைடு நூலகம்
A2 B2
2 2 2 2
图形
. .
F1 A1 A2
y
y
F2 B1
F2(0,c) x F1(0,-c)
O
F2
x
F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
2 2
B1 F2(c,0)
A1 O F1
x y − = 1 ( a > b > 0) a b
2 2
y x − = 1 (a > 0 ,b > 0 ) a b
4
|x|≥ 4 2
顶 点 焦 点
离 心 率 渐 进 线
(± 4
e=
2 ,0
)
(± 6,0)
3 2 2
(± 3
10 ,0
)
(0,±2 2 )
e= 2
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y
Q
N(x,Y) M(x,y)
L
b
0 a x
（二）、我们来证明 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部 分的方程可写为 y b N(x,Y) 2 2
y a x a ( x a)
Q
b Y x a b 2 y x a2 a
b a x 1 a x
2
M(x,y)
双曲线的几何性质
高二选修
x2 y2 1 a 2 b2
一、知识再现
前面我们学习了椭圆 的简单的几何性质： 范围、对称性、顶点、离心率. 我们来共同回顾一下椭圆 x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) 几何性质的具体内容及其研究方法.
椭
标准方程
圆
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) y
B2
六、练一练
求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长及顶点坐标.
(1)x2-4y2=16
(2) x2/49-y2/25=-1
解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)
请思考：如若求半焦距长和离心率呢？
小结：关键在于求实半轴a的长和虚半轴b的长， 然后代入关系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距c的长 及离心率.
（1）求矩形对角线所在的直线方程；
y
y=bx/a
b 0 a
x
（2）化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0.
解答：（1）y=±4x/3 ，
（2）y=±4x/3
2、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？
例：当渐近线方程为y=±bx/a时，双曲线的标准方 程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？
a（实半轴长） c（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2 焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
A1(- a, 0) , A2(a, 0)
a （实半轴长） c（半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b2
离心率e 焦距与实轴长的比 e=c/a
e>1
四、让我们来讨论
双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的 交点，你认为对吗？讨论并给出答案.
X=-a
y
B2
X=a
y
A2
F1
F1
A1
0
A2
F2
B1
x
B1
o A B2 1
F2
x
当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)，渐
近线方程为y =±bx /a ；
当焦点在y轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)，渐近 线方程为y =±ax /b .
十一、课后请你思考题
七、让我们继续研究
请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？
双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)的各支向外延伸 时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近. y
B2
F1 A1 0
A2
F2
请思考：结论正确吗?
x
B1
八、我们一起来证明
（一）、我们共同来设计一个方案：
1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形； 2、如何说明双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所 在的直线逐渐接近且不相交呢？
近线方程为y =±bx /a ；
当焦点在y轴上时，方程为y2/a2- x2/b2=1(a>0,b>0)，渐近 线方程为y =±ax /b .
九、动脑筋
y=-bx/a
1、如何求双曲线的渐近线？ 例：求下列双曲线 的渐近线 （1） 9y2-16x2=144； （2） 9y2-16x2= -144 . 规律总结：
中心对称，轴对称 A1(-a,0 ) 、A2(a,0)
a （实半轴长）c （半焦距长） b （虚半轴长） a2=c2-b2
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
三、请思考？
我们已经研究了焦点在x轴上的双曲线的几 何性质，那么当焦点在y轴上的双曲线的几何性 质又如何呢？
标准方程 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)
于0.即双曲线 x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩 形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在
其它象限内，我们可类似证明.
（三）、请注意：
1、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质； 2、我们把两条直线 y =±bx /a 叫做双曲线的渐近线.
3、当焦点在x轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)，渐
y
B2
F1
A1
0
A2
F2
x
B1
五、让我们共同分析
例1、求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和 虚半轴长、焦点坐标、离心率.
分析： ①化为标准方程： y2/16-x2/9=1 ②确定焦点位置：在y轴上 ③找出a、b的值：a=4,b=3 ④代入关系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 ⑤写出结果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4.
0
x
b xY a
b ( x x2 a2 ) MN Y y a
b ( x x a ) ( x x a ) a ( x x2 a2 )
2 2 2 2
y
Q
N(x,Y)
M(x,y)
ab ( x x2 a2 )
0
x
在该式子中x (x≥a)逐渐增大时， |MN|逐渐减小且不等于0. 又|MQ| ＜|MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等
a （实半轴长） c（半焦距） b （虚半轴长） a2=c2-b2
y ≥ a 或 y ≤ -a 中心对称，轴对称
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a（实半轴长） c（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
双曲线的渐近线
离心率e定义
双曲线
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0) y B2 y X=-a X=a
A1
F1 0
A2
F2
B1
x
F1
A
1
B2
0
A2 F 2
B1
x
|x |≤a 、|y |≤ b
中心对称，轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
3、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出
双曲线的图形？
例：画出下列双曲线的图形 （1） 9y2-16x2=144； （2） x2 -y2= 4 .
-3
y
4 3 M
0
x
-4
注:实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线.
十、让我们来共同回顾
本节课我们共同学习了那些内容：
椭圆
标准方程
几何 图形 范围 对称性 顶点 a,b,c的含义
F2 0
几何 图形
A1 F1
A2
x
如何得到的？
x2/ a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1 -x代x、-y代y 分别令x=0，y=0
范围
x
B1 |x |≤a 、|y |≤ b 中心对称，轴对称 A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b) a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2 焦距与长轴长的比 e=c/a 0<e<1
对称性
顶点
a、b、c的 含义 离心率e定 义
二、想一想？
我们能否用研究椭圆的几何性质的 方法来研究双曲线的几何性质呢？
椭
标准方程 几何 图形 B2
圆
双曲线
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0) x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0) y y x=-a x=a
A1 F1Fຫໍສະໝຸດ 0A2xA F1 1 0
B2
A2 F 2
B1
x
B1
范围
对称性 顶点 a,b,c的含义 离心率e 的定义
x2 /a2 ≤1 、y 2/ b2 ≤1
x ≥a 或 x ≤ -a
-x代x、-y代y 分别令x=0，y=0
a (长半轴长) c（半焦距长） b（短半轴长) a2=b2+c2 焦距与长轴长的比 e=c/a 0<e<1
（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x, y ），过 M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说 明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.
（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？ 为此我们过点M作一条直线L与y轴平行，交 矩形对角线与N点，坐标记为N（ x ，Y）.我 们需证明N点在M点上方，即证y ＜ Y.又 |MQ| ＜ |MN| ，所只需证明|MN|逐渐减小且 不等于0即可. （3）如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢？ 我们可用方程的思想解决： |MN|=Y- y，求出M、N点坐标即可.
x2/a2-2/b2=1(a>0,b>0)
X=-a
y2/a2-x2/b2=1(a>0、b>0)
y
B2 B1
0
X=a
yF
A2
1
几何 图形
范围 对称性 顶 点 a、b、c的含 义
离心率e
F1
A
1
A2
F2