工程数学考试B卷
吉林大学2020级工程数学B(0002)
工程数学试卷 B适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时刻：120分钟 试卷总分：100分一． 填空题（每题3分，共计3⨯8＝24分）一、设二次型()f x =222123232334x x x x x +++ ,那么二次型f 矩阵A = 二、设,9,3,A B A B ==三阶方阵有则T AB =3、设向量,101,121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα 那么T αβ⋅=4、设向量111,0,11αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么内积[]2,αβ=五、已知2BA B E =+,2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 那么1B - =6、设矩阵A =220210⎛⎫⎪⎝⎭ ,则矩阵A 的标准形为7. 设A 为n 阶方阵，假设行列式50E A -=，那么2A 必有一特点值为8、设123012111D =，那么111213A A A ++=二.选择题（3分⨯4＝12分）1、 设α是矩阵A 对应于λ的特点向量，那么1P AP -对应的特点向量为（ ）（A ）1P α- （B ）P α （C ） T P α （D ） α2、 设n 阶矩阵A 可逆，以下说法错误的选项是（ ）（A ）存在B 使AB E = （B ）0A ≠ （C ）A 能相似于对角阵 (D) ()r A n =3、设1201,3410A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2128B AB =（ ）。
（A ） 1234⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）3412⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）2143⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）4231⎛⎫ ⎪⎝⎭4、设A 为m n ⨯的矩阵，()R A n =，那么非齐次线性方程组Ax b =的解为 （ ） （A ）必然有唯一解（B ）必然无解 （C ）必然有无穷多解 （D ）可能有解三. 设矩阵2546,,21321A B A X AB -⎡⎤⎡⎤==+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵X （10分）四、设四元非齐次线性方程组AX b=的系数矩阵A的秩()3R A=，且已知解123,,ηηη，其中1232132,4354ηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 求方程组AX b =的所有解 （10分）五、已知向量组123423240,1,1,22100αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组；（3）将其余向量用最大无关组线性表示。
2018-2019(1)《工程数学1B》答案
贵州大学2018—2019学年第一学期期末考试卷B参考答案（工程数学1）一、填空填（每空3分，共18分）1、 -2；2、 0或1；3、 0，2，4；4、 8/27；5、 0.7；6、 (5.8684, 6.1316) . 二、选择题（每小题3分，共12分）C, D, B, A三．解： 001101D =01111xx xx+---222143200101101=1(1)111011011011x x x xx x x +x +x +x x x x++++-=-⨯--=+--+- ( 3分) ( 5分) ( 6分) 四、（8分）解： 由T AB A B =-得()T A E B A += …2分T 432321(A E,A )221311111210--⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪----⎝⎭101311023931012521---⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦ 1131110020011410010301001111001111----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦ …6分 即()1T 200B A E A 301111--⎡⎤⎢⎥=+=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦…8分五、（10分） 解：435111*********(A b)11111011530115313101310042442 a b a a b a a a b a-5a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4 分当2,3a b =≠-，时，R(A)2R(A,b)3=≠=，方程组无解 当2,3a b ==-时，R(A)R(A,b)24==<，方程组有无穷多解6分 此时，原方程组等价于13423424253x x x x x x +-=⎧⎨-+=-⎩7分令3142c ,c x x ==，则方程组的通解为1122121231422c 4c 2242c 5c 3153c c c 100c 010x x x x -++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12c ,c 为任意常数）10分六、（7分）解：1234232312011025100134711011301130107A (α,α,α,α)1201012100140014011k 011k 000k 3000k 3--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4分 当k 3=时，R(A)34=<向量组A 线性相关5分1234123R(α,α,α,α)R(α,α,α)3==， 321 , , ααα是其一最大无关组，且 4123α13α7α4α=-++ 7分七、（10分） 解： 由⎰+∞∞-=1)(dx x f 得 ---------1分 2π/3k sin xdx k 1==⎰， 即 k 1= ---------2分x πx 30x π03π0,x 3πsin xdx cos x 0.5,x 03F(x)f (t)dt πsin xdx sin xdx 1.5cos x,0x 3π1,x 3--∞-⎧<-⎪⎪⎪-=--≤≤⎪⎪==⎨⎪-+=-<≤⎪⎪⎪>⎪⎩⎰⎰⎰⎰ ----5分ππππP{}F()F()24444X -≤≤=--=分π4π4E(X)x k sin dx 0x +-=⋅=⎰222D(X)E(X )[E(X)]E(X )=-=ππ22244π04x sin dx 2x sin dx 4x x ++-===++⎰⎰-----10分 八、(8分)解： 设A 表示“小王迟到”，B 1，B 2，B 3分别表示交通状况正常，轻微堵车和严重堵车，则P(B 1)=3/10, P(B 2)=5/10, P(B 3)=2/10, P(A|B 1)=2%, P(A|B 2)=10%,P(A|B 3)=80%，于是 ---------2分 (1) P(A)= P(A|B 1) P(B 1)+ P(A|B 2) P(B 2)+ P(A|B 3) P(B 3)=0.3×2%+0.5×10%+0.2×80%=0.216 ---------5分(2) 2222P(AB )P(B )P(A |B )0.590%225P(B |A)0.5740.784392P(A)P(A)⨯====≈ ------8分九、（9分）y 0y ,0y 4.8x(2)1xf(x,y)=0-≤≤≤≤⎧⎨⎩其他解：（1）()()1x y dy 2.4)x 1dy 2X 4.8x(2)x(34x+x , 0f x f x,y 0 , +∞-∞⎧-=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 …2分()()y2y d 2.4y (2y)y 1dx Y 04.8x(2)x 0f y f x,y 0 +∞-∞⎧-=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它 …4分由于()()()y x f y f x f Y X ,≠ 所以Y X ，不相互独立； …6分 （2）{}()yy x0.51y0.5P X Y 1dxdy dy y d 2.4(2y)(2y 1)dx 0.711f x,y 4.8x(2)x ≥-+≥==-=--=⎰⎰⎰⎰⎰…9分十、（6分）解： 32θ3θ0()00x x e ,x>f x x ⎧⎪=⎨≤⎪⎩- …1分当i x >0 (i=1~n)时n3i i 1θn n21θθ)enx i 2n i=1L()=f(x )=3x x x =-∑∏（…2分n 3i i i 1θθ2θni=1lnL()=nln3+nln lnx x =+-∑∑令3i θλθn i=1dlnL()n =x =0d -∑ …5分 解得θ的极大似然估计量为 3iˆθni=1nX=∑ …6分十一、（6分）向量组A ：ααα1 2 m ，，，, 向量组B ：βββ1 2 n ，，，，P 是m n ⨯型矩阵，满足βββ=αααP 1 2 n 1 2 m （，，，）（，，，），已知向量组A 线性无关，证明：向量组B 线性无关的充分必要条件是R P =n （）.[证明] “必要性”由βββ=αααP 1 2 n 1 2 m （，，，）（，，，）可得： βββP 1 2 n R R ≤（，，，）（） 由向量组B 线性无关得：βββP 1 2 n n=R R n ≤≤（，，，）（），即得 R P =n （）…2分“充分性”反证法 假设向量组B 线性相关，即有不全为零的数 1 2 n k k k ，，，使12n k βk βk β01 2 n ++=+，即 12n k k βββ=0k 1 2 n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（，，，） （1） 由R P =n （）得 m 维向量12n k kP 0k ⎛⎫ ⎪ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭，又向量组ααα1 2 m ，，，线性无关，即有：12n k kαααP 0k 1 2 m ⎛⎫ ⎪ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭（，，，)。
大学本科《工程数学1B》
贵州大学2018—2019学年第一学期期末考试卷B工程数学1注意事项：1. 请考生在下面横线内填写姓名、学号和年级专业。
2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4. 满分100分，考试时间为120分钟。
专业__________________学号__________________ 姓名_________________一、填空题（每空3分，共18分）1. 已知A 、B 皆为三阶方阵，AB=2E+B ，A 的特征值为-1，2，3，则B =2. 211A 02111k -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，T α(k ,1,1) =-，已知A α与α正交，则k 的值是 3. 二次型22212312312f (x ,x ,x )x x4x2x x =+++的矩阵的特征值是 4.将四个小球随机放入3个杯子中，每个杯子可以装下全部小球，一杯中恰好有3个小球的概率是5. 已知341P(A),P(A |B),P(A B)555=== ，则P(A B)⋃=6.一批螺栓的长度X ~N(μ,0.16)，现从中随机抽取25个螺栓测其长度得一组样本值，已知样本均值的观测值=x 6，则μ的置信度为90%的置信区间是{已知，0.025t (35) 2.04=, Φ(1.645)0.950=, Φ(1.96)0.975=}二、选择题（每小题3分，共12分）1、对于n 维列向量组A: 1α,2α，…, m α，下列正确的选项是（ ） （A ）1α,2α，…, r α是一最大无关组当且仅当12m R(α,α,...,α)r =; (B) 若向量A 组向量线性相关，则1α可由2α,3α，…, r α线性表示； （C ）若向量组A 线性无关，则m n ≤;（D ）记12m A (α,α,...,α)=，当R(A)n <时, A 0x =有非零解。
2、 A 、B 是矩阵，下列正确的选项是（ ）（A ） 若AB=O ，则A=O 或B=O ； （B ）若AB=E ，则1B =A -，1A =B -； （C ） 22B A (B A)(B A)=-+-； （D ）若A 、B 是n 阶方阵，则AB BA = 3、 已知X ~N(3,4)，Y ~b(5,0.2)，X 与Y 相互独立，则下列错误的选项是（ ） （A ） 22E(X Y )14.8+=； （B ） D(X Y) 3.2-=； （C ） XY ρ0=； （D ） E(XY)3= 4、随机变量(,)X Y 的分布律如右，则D(2X)-=( )（A ） 36； （B ） -18； （C ） 44； （D ） 18 三、（6分）计算001101D =01111xx xx+---四、（8分） 设矩阵332A 211110-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，满足等式 T AB A B =-，求矩阵B .五、（10分）求a, b 为 何值时，方程组1111234123412344x +3x +5x x =x +x +x +x =ax x +3x +bx =--⎧⎪-⎨⎪+⎩（1）无解；（2）有无穷多组解，并求出通解.六、（7分）向量组A ：T 1α=(2,4, 1,0)，T 2α=(3,7, 2,1)，T 3α=(2,1, 0,1)-，T 4α=(3,1, 1,k)，确定k 的值，使向量组A 线性相关，并求出向量组A 的秩及一个最大无组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。
工程数学试卷及答案
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。
B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x f C. 00021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c.C. D(X-c)=D(X)-cD. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。
高等工程数学B班试题
高等工程数学B班试题(A)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--西南科技大学研究生试题单（A 卷）年级 2014 专业 20 14 - 2015 学年第 2 学期考试科目 高等工程数学B 班 命题人 赵松泉，童蓓蕾，姚宗静 共2页 第 1 页第一部分 矩阵理论（共33分）1、（5分）写出二次型12341223(,,,)68f x x x x x x x x =+的矩阵。
2、(9分) 在4R 中，求由基（1）：1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),T T T T αααα=-=-=-=-- 到基（2）：1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),T T T T ββββ===-= 的过渡矩阵。
3、(9分) 求矩阵311020111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式()m λ。
4、（10分）求矩阵131616576687A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭的Jordan 标准形。
第二部分 数值分析（共34分）5、（4分）已知101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求x ∞及1x 。
6、（101112,===（1）试用写出二次拉格朗日插值多项式，2（2）用该二次插值多项式计算4位）。
第2页7、（10分）求近似求积公式101113()2()()2()3424f x dx f f f ⎡⎤≈-+⎢⎥⎣⎦⎰ 的代数精度。
8、（10分）试用直接三角（LU ）分解法求解线性方程组：123127701451x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。
第三部分 数理统计（共33分）9、（10分）：设某木材的横纹压力),(~2σμN X ，现观察10个横纹压力数据，计算得= 475=35.22x s *，，试求：σ的置信水平为的置信区间。
10、（10分）某卷烟厂生产两种香烟，要化验尼古丁含量，各抽取重量相同的6例化验，得尼古丁的含量( 单位: mg)：甲：25, 28, 23, 26, 29, 22.乙：28, 23, 30, 35， 21, 27.3 设两种香烟中尼古丁含量服从正态分布, 且方差都为3, 试问两种香烟的尼古丁含量有无显著差异（取0.05α=）11、（13分）某机器的使用时间与维修费用的统计数据如下表：试求Y 对x附查表值：220.0250.0250.950.05(9) 2.2622, 1.96,(9) 3.325,,(9)16.919====t u χχ。
工程数学试题及参考答案(B卷) (2)
第 1页 /共 1页工程数学(考试形式： 闭卷 考试时间: 2小时)考试作弊不授予学士学位方向： 姓名： ______ 学号： ______1. Find values of:(a) );3(Ln − (b) )i +(12.(10 points)2. Function is harmonic, find an analytic functionsuch that satisfying (0)0f = .(10 points)3. Evaluate each of the following integrals: (20 points) 22;(9)()z zz z z i −+∫(b) d23131(2)z z z z −=−∫ (d)d .4. Find the series representation for the function at .(10 points)5. Evaluate integral of , where . (10 points)6. Find a representation for the function in powers of .(10 points)7. Find the residue of function 6sin ()z z f z z−=at 0z =.(10 points)8. Find the inverse Laplace transform of function 225()(2)9s F s s +=++. (10 points)9. Evaluate integral along positively oriented circle . (10 points) 2(1)z z e z z z =−∫2(a)d ; 10||2()(1)(3)z z z i z z =+−−∫d (c); (,)(cos sin ),()x v x y e y y x y x y f z u iv =+++=+ arctan 0z z = 2sin 14112Cz z C z z π+=−∫d : 11ze z − 1:|-2|2z iCdz C z eiππ=−∫第 1页 /共 3页《工程数学》期末试题答案(B)1.(a) (5 points)1.(b) (5 points)2.(10 points) 3.(a) z=0为一级极点, z=1二级极点(5 points)(b) (5 points))2sin(ln )2[cos(ln 2 0 .,2,1,0 )],2sin(ln )2[cos(ln 2)]22sin(ln )22[cos(ln 2222ln )22(ln )22(ln ) 2ln2)(1(2Ln )1(1i k k i e k i k e e e e k k k i k i k i i i +=±±=+=+++====−−++−++++时，得其主值为其中L πππππππ),2,1,0(,)12(3ln )3(Arg 3ln )3(Ln L ±±=++=−+−=−k i k i 其中π,1)sin sin cos (+++=∂∂y y x y y e xv x ,1)cos sin (cos ++−=∂∂y x y y y e y v x,1)cos sin (cos ++−=∂∂=∂∂y x y y y e y v x u x 由),()sin cos (d ]1)cos sin (cos [ y g x y y y x e x y x y y y e u x x ++−=++−=∫得 , 得由y u xv ∂∂−=∂∂),()sin cos sin (1)sin sin cos (y g y y y y x e y y x y y e x x ′−++=+++,)( C y y g +−=故,)sin cos ( C y x y y y x e u x+−+−=于是,)1()1()1()(C z i ze C i iy i x e iye e xe iv u z f z iy x iy x +++=++++++=+= ,0)0( =f 由,0 =C 得.)1()( z i ze z f z ++=所求解析函数为z z z e z z f z z d )1(lim ]0),([Res 20−⋅=→,1)1(lim 20=−=→z e zz ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=→221)1()1(d d lim )!12(1]1),(Res[z z e z z z f z z ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=→z e z z z d d lim 10)1(lim 21=−=→z z e z z z z z e C z d )1(2∫−{}]1),(Res[]0),(Res[2z f z f i +=π.2i π=∫=+−22d ))(9(z z i z z z .592d )(9222ππ=−⋅=−−−=−==∫i z z z z i z i z z z第 2页 /共 3页(c)由于－i 与1在C 内部，(5 points) (d)2233131132|(2)8z z d idz i z z dz z ππ=−=−==−∫(5 points) 4.(10 points)5.(10 points)6.(10 points)2, 23 ,0 2 )2(132==−===−z z C z z z z 仅包含奇点和有两个奇点函数;2214sin 2d 114sin d 14sin 12112112i z zi z z z zz z z z z z πππππ=−⋅=+−=−−==+=+∫∫,1d arctan 02∫+=z z z z 因为1,)()1(11 022<⋅−=+∑∞=z z z n nn 且∫+=z z z z 021d arctan 所以∫∑∞=⋅−=z n n n z z 002d )()1(.1,12)1(012<+−=∑∞=+z n z n n ni,1,3)3)(1()(1)(10−∞−−+=点外，其他奇点为除被积函数z z i z z f 0]),(Res[]3),(Res[]1),(Res[]),(Res[ =∞+++−z f z f z f i z f 则∫−−+Cz z i z z )3)(1()(d 10]}1),(Res[]),(Res[{2z f i z f i +−=π]}),(Res[]3),(Res[{2∞+−=z f z f i π.)3(0)3(2121010i i i i +−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++−=ππ211)1(1)(z e z f z −=′−,)1(1)(2z z f −=,0)()()1( 2=−′−z f z f z 所以0)()32()()1(2=′−+′′−z f z z f z 0)(2)()54()()1(2=′+′′−+′′′−z f z f z z f z L L L ,13)0(,3)0(,)0()0(e f e f e f f =′′′=′′=′=).1(,!313!2313211<⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++=−z z z z e e z L第 3页 /共 3页7.利用洛朗展开式(10 points) 8.(10 points)9．由)22(ππk iLnii e e i +−==可知被积函数11)(−=z e z f 以,...)2,1,0(),22(±±=+−=k k z k ππ为一阶极点，其中)42(),22(21ππππ+−=+−=−−z z 包含在ππ2||=−z 内部，由公式,...)2,1,0(|)'(1]),([Re 22++==−=+−k e i e z z f s k z z i z k k ππ，由留数定理，)(2]}),([Re ]),([Re {2)(12723212|2|ππππππ−−−−=−+=+=−∫ee i z zf s z z f s i i e z i z(10 points)223)2(1)2(2)(++++=s s s F )3sin 313cos 2(]}31[]3[2{]312[]3)2(1)2(2[)]([2221221222122211t t e s L s s L e s s L e s s L s F L tt t +=+++=++=++++=−−−−−−−−(0)(0)(0)0,P P P ′′′===(0)0.P ′′′≠3566sin 13!5!z z z z z z z z ⎡⎤⎛⎞−=−−+−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦L 16sin 1,0.5!z z c z −−⎡⎤∴==−⎢⎥⎣⎦Res。
北邮工程数学期末试卷B卷答案
分离变量得：
， 可知只有
则 ，代入初始条件：
，所以：
代入原方程，解得 所以 由初始条件，则：
综上：
五、（10分）将方程 的标准形式。
，
化为Sturm-Liouville方程
则：
即： 六、（10分）在第一类齐次边界条件下，把定义在
按零阶Bessel函数展开成级数。
上的函数
设：
则：
所以：
七、（10分）在
1、试将复数
，
化为指数形式。
综上，指数形式为
2、 果是，求其导函数。
令
是否在z平面上解析？如
，则： ，
满足柯西-黎曼条件，所以是解析的。
3、将函数 级数。
在圆环
内展开为罗朗
4、求积分：
令
，则
，
。
，所以：
而 ，所以 所以：
三、（10分）求
在孤立奇点处的留数。
四、（10 分）利用分离变量法解下列定解问题：
北京邮电大学 2015——2016 学年第二学期
《工程数学》期末考试试题（B 卷）
可能用到的公式
，各递推公式中
一、 填空题（每空 4 分，共 20 分）
1、
0.
2、已知
，则可求出z的主值为
.
3、复数
，当
时，其幅角的主值
.
4、
=
.
5、Legendre方程
在自然条
件
的情况下，本征值为l.
二、 计算题（每题 5 分，共 20 分）
上，将函数
Байду номын сангаас
广义Fourier级数。
设：
而
按Legendre多项式展开为
工程数学复习试题及答案
工程数学复习试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个选项是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 所有选项答案：D2. 微分方程的一般形式是：A. \( \frac{dy}{dx} = f(x) \)B. \( \frac{dy}{dx} = f(x, y) \)C. \( \frac{d^2y}{dx^2} = f(x) \)D. \( \frac{d^2y}{dx^2} = f(x, y) \)答案：B3. 在概率论中，随机变量的期望值表示的是：A. 变量的均值B. 变量的方差C. 变量的中位数D. 变量的众数答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = e^x \)B. \( y = \sin(x) \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = \log(x) \)答案：B5. 泰勒级数展开是用于：A. 计算函数的近似值B. 计算函数的积分C. 计算函数的导数D. 计算函数的极值答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果 \( A \) 是一个 \( 3 \times 3 \) 的矩阵，那么 \( A \)的行列式可以表示为 \( \det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} -a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) +a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \)。
2. 函数 \( y = \cos(x) \) 的导数是 \( \frac{dy}{dx} = -\sin(x) \)。
3. 标准正态分布的概率密度函数是 \( f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \)。
4. 拉普拉斯变换是用于求解线性微分方程的一种方法，其定义为\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t)dt \)。
工程数学单元测试参考答案
工程数学单元测试参考答案工程数学单元测试参考答案一、选择题1.答案：B。
根据题意，两个向量相加的结果是另一个向量，所以选项B正确。
2.答案：C。
根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。
3.答案：A。
根据题意，两个向量的叉积是一个向量，所以选项A正确。
4.答案：D。
根据题意，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘积与它们夹角的正弦值，所以选项D正确。
5.答案：C。
根据题意，两个向量的数量积等于它们的模长乘积与它们夹角的余弦值，所以选项C正确。
二、填空题1.答案：2。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式不等于0可知，方程组有唯一解，所以填2。
2.答案：(1, 2)。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组有无穷多解，所以填(1, 2)。
3.答案：-1/2。
根据题意，由方程组的系数矩阵的行列式等于0可知，方程组无解，所以填-1/2。
三、计算题1.答案：(2, -1)。
根据题意，对于二维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(2+0, -1+(-1))=(2, -1)。
2.答案：(3, 0, -4)。
根据题意，对于三维向量的加法，将两个向量的对应分量相加即可，所以计算结果为(1+2, 0+0, (-1)+(-3))=(3, 0, -4)。
3.答案：(1, -1, -1)。
根据题意，对于两个向量的数量积，将两个向量的对应分量相乘再相加即可，所以计算结果为(1×1+(-1)×(-1)+(-1)×(-1))=(1, -1, -1)。
四、证明题1.答案：证明：设向量a=(a1, a2, a3)，向量b=(b1, b2, b3)，向量c=(c1, c2, c3)。
根据向量的数量积的性质，有：a·(b+c) = a1(b1+c1) + a2(b2+c2) + a3(b3+c3)= a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 + a3b3 + a3c3= (a1b1 + a2b2 + a3b3) + (a1c1 + a2c2 + a3c3)= a·b + a·c所以，向量的数量积满足分配律。
工程数学09-10-2B
中国矿业大学09-10学年第二学期《工程数学A 》试卷（B ）卷考试时间：100分钟 考试方式：闭卷1. (1)i i += ,它的主值为 .2. 2t 与cos t 卷积为 .3. sin(21)t +的傅氏变换为 。
4. 2()t r t t i e j t k =++ 的矢端曲线在1t =处的切线方程为法平面方程为 .5. 函数()22sin (1)z e z f z z z =+的奇点有 ，它们的类型分别为 。
6. 若11ln )(-+=s s s F ，则)(s F 的拉氏逆变换)(t f =___ _____。
二、计算题.(本题满分76分；)1（8分）设sin ,x v e y =，求出函数u ，使得()f z u iv =+解析。
2（8分）求矢量场2()A z y i z j yk =-++ 的矢量线方程。
3（10分）（1）求广义积分220sin t te tdt +∞-⎰的值。
（2）求函数30()sin 2tt f t e tdt -=⎰的拉氏变换 。
4 （12分）(1)计算积分 22zc e dz z z -⎰ 其中 C: 2z =,取正向。
(2)计算 11zc z e dz z -⎰，其中 C: 2z =,取正向。
5 （8分）证明矢量场(cos )(cos )sin A y xy i x xy j zk =++ 为保守场，并求其势函数。
6 （8分）计算下列函数在孤立奇点处的留数（1）5sin ()z f z z=（2）14()zz e e f z z -=。
7 （12分）将21()(1)(2)f z z z =--分别在以下圆环域内展开成洛朗级数。
（1） 12z <<； （2）；011z <-<。
8 （10分）求微分方程t e y y y -=-'+''32满足初始条件1)0(,0)0(='=y y 的解。
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1 B (1, ) ，求 Z = X + Y ，U = 2 X 4
的分布率。 (8 分)
7、设随机变量 X
姓名：
R (1, 6) ，求 t 2 + Xt + 1 = 0 有实根的概率。 8 分） （
1 −x 2 e , x > 0 8、已知随机变量 X 的分布密度为： f ( x ) = ，求 X 的分布 1 ex , x < 0 2 函数及 P { X = −2} 。 四、证明题（共 2 小题，12 分） 证明题
）。
( B ) f ( x) = f (− x), x ∈ R ( D) F ( x) = 1 − F (− x), x ∈ R
8、10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买一张，则前 3 个购买者中恰好
第 1 页 （共 3 页）
班
有一人中奖的概率为（
3 ( A) C10 × 0.7 2 × 0.3
级（学生填写） ：
姓名：
学号： -----------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------
E ( X − EX )
( DX )
4 2
4
之值。 分） （7
7 、 设 随 机 变量 X 服 从区 间 [ − 1 ， 1] 上 的 均 匀 分布 ， 试 求
四、证明题（共三小题，18 分） 证明题 1、设事件 AB 的发生必引起事件 C 的发生，试证 P(A)+P(B) − P(C)≤1.
第
5
页 （共
3
页）
E ( X − EX )
（本大题共 8 小题，总计 56 分） 三、根据题目要求回答下列问题。 根据题目要求回答下列问题。
1、设电阻的阻值 R 是一随机变量，均匀分布在 800 欧∼1000 欧，求 R 的密度函数及 R 落在 850 欧~ 950 欧的概率。 (6 分) 2、设随机变量 X , Y） （ 的联合概率密度
1 (6 − x − y) f ( x, y ) = 8 0
密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ）
学号：
ke− (3 x + 4 y ) , x > 0, y > 0 f ( x, y ) = ， 其他 0
求(1)系数 k ； 2） P (0 ≤ X ≤ 1, 0 ≤ Y ≤ 2) ； 3）证明 X 与 Y 相互独立。 8 分） （ （ （
)。 (D) 4
)。
3、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ， Y = 1 − 2 X ，则 Y 的分布密度为 (
(A)
(C)
1 1− y f( ) 2 2 y −1 −f( ) 2
(B) (D)
1− y 1− f ( ) 2 2 f (1 − 2 y )
学号：
4 、 设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量， D( X ) = 4, D(Y ) = 2 ，随机变量
B (2, p ), Y
5 B (3, p ), 若P ( X ≥ 1) = , 则P (Y ≥ 1) = ____ . 9
6、 用随机变量X 的分布函数F ( x)表示下述概率：
P ( X ≤ a ) = ___________, P ( x1 ≤ X ≤ x2 ) = __________ 。
7、设二维随机变量变 ( X , Y ) 的联合概率密度函数是 f ( x, y ) ，则关于Y 的
( DX )
3 2
3
（5 分）
及
第
6
页 （共
3
页）
审批：
阅卷人
一、选 择 题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，总计 16 分 ） 1、设 A，B 为对立事件，下列等式中正确的是( )。 ( A ) P ( A + B） 1 =
( C ) P( A | B) = 0 ( B ) P ( B | A) = 1 ( D ) P ( AB ) = 0
审题： 命题： 伍思敏
0 < x < 2, 2 < y < 4 其它
第 2 页 （共 3
，试求 P{ X < 1, Y < 3} （6 分）
页）
-----------------------------------------------------------
3、某宾馆大楼有 4 部电梯，通过调查，知道在某时刻 T，各电梯正常 运行的概率均为 0.75，求： （1）在此时刻至少有一台电梯在运行的概率； （2） 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； （3）在此时刻所有电梯都在运行的 概率。 分） （8
） 。
( B ) 0.3
(C )
7 40
( D)
21 40
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，总计 16 分 ） 填空题 1、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数是 F ( x, y ) ，则关于 X 的边缘 分布函数 F1 ( x) = ______________。
2 、设 ( X , Y ) ~ N (a, b; σ 12 , σ 2 2 , ρ ) 则 X , Y 相互独立是 X , Y 不相关的
2e−2 x x > 0 4e −4 x x > 0 4、设 X,Y 的概率密度分别为 f1 ( x) = , f 2 ( x) = x≤0 x≤0 0 0
求 E (2 X − 3Y ), D (2 X − 3Y ) 。 8 分） （
5、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
-----------------------------------------------------------
2007 2008 2007～2008 学年第二学期 工程数学（二） 科目考查试题 B 卷
使用班级（老师填写） 装控 06-1，2 班 ： 题 得 号 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分
6、 设A, B, C是三个事件，与事件A互斥的事件是 （ ( A) AB + AC 7、 X (B ) A + B + C (C ) A( B + C ) (D) ABC
级（学生填写） ：
N (1,1), 密度函数记为f ( x), 则有（
( A) P ( X ≤ 0) = P ( X ≥ 0) = 0.5 (C ) P ( X ≤ 1) = P ( X ≥ 1) = 0.5
班
2、若随机变量 X 服从 N ( µ , σ 2 ) ，试证 Y =
σ
服从 N (0,1) 。 6 分） （
第
3
页 （共
3
页）
6、
第
4
页 （共
3
页）
班 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ）
边缘分布密度 fY ( y ) = __________________。 8、设 A 1 ,A 2 ,L ,A n 两两互斥，且A 1 U A 2 ULU A
n
⊃ B ，又 P ( Ai ) > 0 及
P ( B | Ai ) ,( i = 1 , 2 , 3 , L , n )均为已知，则 P ( B ) = _________________。
Z = 3 X + 2Y ， 则 D ( Z ) = ( (A) 8 (B) 16 )。 (C) 28 (D) 44 )。
5、 设 X 服从参数为 λ 的泊松分布，且 D ( X ) = 4 ，则 λ = ( (A)
姓名：
密
4
(B)
2
(C)
1 2
(D)
1 4
----------------------------------------------------------
__________条件。 3、袋中有 12 球，9 个红球，3 个白球，从中任抽一球无放回地连抽两
次，事件 A 表示第二次抽出的是红球，则 P ( A) = __________。
4、 设 X R (0, 2), 求Y = X 2在（0,4)内的概率分布密度fY ( y ) = _____ 。
5、 设随机变量X
1 、设随机变量 X 的数学期望为 E ( X ) ，方差为 D( X ) > 0 ，随机变量
--------------------------------------------------------------------
级（学生填写） ：
Y=
X − E( X ) D( X )
，验证 E (Y ) = 0, D(Y ) = 1 。 6 分） （ X −µ
---------------------------封 --------------------------线 （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ）
2、设 X 1 , X 2 都服从区间[ 0，2]上的均匀分布,则 E ( X 1 + X 2 ) = ( (A) 1 (B) 2 (C) 0.5