高一数学集合之间的关系复习
高一数学知识点归纳总结
高一数学知识点归纳总结高中数学的学习是一个逐步深入和积累的过程，高一是打基础的重要阶段。
以下将对高一数学的主要知识点进行归纳总结，希望能帮助同学们更好地掌握和复习。
一、集合集合是数学中一个基本的概念。
集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合的表示方法有列举法，如{1, 2, 3}；描述法，如{x ｜ x ＞ 0}。
集合间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集；如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么 A 和 B 相等。
集合的运算有交集、并集和补集。
交集是两个集合中共有的元素组成的集合；并集是两个集合中所有元素组成的集合；补集是在全集 U 中，不属于集合 A 的元素组成的集合。
二、函数函数是高一数学的重点内容。
函数是两个非空数集之间的一种对应关系。
函数的三要素是定义域、值域和对应法则。
定义域是自变量 x 的取值范围；值域是函数值 y 的取值范围；对应法则是确定自变量 x 与函数值 y 之间关系的规则。
函数的表示方法有解析式法、图像法和列表法。
常见的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数等。
一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0），其图像是一条直线。
二次函数的表达式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），其图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
函数的单调性是指函数在某个区间上是递增还是递减。
通过求导或者定义法可以判断函数的单调性。
函数的奇偶性是指函数图像关于原点对称（奇函数）或者关于 y 轴对称（偶函数）。
三、指数函数和对数函数指数函数的形式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。
当 a ＞ 1 时，函数在定义域内单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数在定义域内单调递减。
高中一年级数学系列总复习之《集合》
高一数学复习——第一节 集合一、内容提示：1. 集合中元素的表示和性质： （1）元素与集合：“∈”或“∉”.（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系. 2. 集合间的运算关系：（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记为A ∩B ，即A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}.（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记为A ∪B ，即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}.（3）补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A ⊆S ），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为SA ，即SA={x|x ∈S 且x ∉A}.二、例题分析：【例1】 设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 （ ）A.P QB.Q PC.P=QD.P ∩Q=Q【例2】 已知A={x|x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B={x|x 2＋ax ＋b ≤0}，且A ∩B={x|0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.三、典题精练：1.集合A={（x ，y ）|x+y=0}，B={（x ，y ）|x －y=2}，则A ∩B 是 （ ） A.（1，－1）B.⎩⎨⎧-==11y x C.{（1，－1）} D.{1，－1}2.设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ） A.（IA ）∪B=I B.（IA ）∪（IB ）=I C.A ∩（IB ）=∅ D.（IA ）∩（IB ）=I B3.已知集合M={x|x 2＜4}，N={x|x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于 （ ）A. {x|x ＜－2}B. {x|x ＞3}C. {x|－1＜x ＜2}D.{x|2＜x ＜3}4.已知集合A={x ∈R|x ＜5－2}，B={1，2，3，4}，则（RA ）∩B 等于A. {1，2，3，4}B. {2，3，4}C. {3，4}D. {4} 5.设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N={x|x ∈M 且x ∉N}，则M －（M －N ）等于 （ ）A. NB. M ∩NC. M ∪ND. M6.设集合A={5，log 2（a+3）}，集合B={a ，b}.若A ∩B={2}，则A ∪B=______________.7.已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛x ｜x ∈A ，x ∈Ｎ*｝，C ＝｛x ｜x ⊆A ｝，则A 、B 、C 之间的关系是___________________.8.设A={x|1＜x ＜2}，B={x|x ＞a}，若A B ，则a 的取值范围是___________________.9.已知集合A={x ∈R|ax 2+2x+1=0，a ∈R}只有一个元素，则a 的值为__________________.10.记函数f （x ）=log 2（2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）= )1)(3(--x x 的定义域为集合N.求： （1）集合M 、N ；（2）集合M ∩N 、M ∪N.11.已知A={x ∈R|x 2+2x+p=0}且A ∩{x ∈R|x ＞0}=∅，求实数p 的取值范围.12.若B={x|x 2－3x+2＜0}，是否存在实数a ，使A={x|x 2－（a+a 2）x+a 3＜0}且A ∩B=A ？请说明你的理由.四、方法反馈：1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算.3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.5.强化数形结合、分类讨论的数学思想.标准答案例题分析【例1】剖析：Q={m ∈R|mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①m=0时，－4＜0恒成立；②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得-1＜m ＜0. 综合①②知-1＜m ≤0，∴Q={m ∈R|-1＜m ≤0}.∴P=Q 答案：C评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视. 【例2】 解：A={x|－2＜x ＜－1或x ＞0}，设B=［x 1，x 2］，由A ∩B=（0，2］知x 2＝2，且－1≤x 1≤0，①由A ∪B=（－2，+∞）知－2≤x 1≤－1.②由①②知x 1＝－1，x 2＝2，∴a ＝－（x 1＋x 2）＝－1，b ＝x 1x 2＝－2.评述：集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.典题精练1.解析：⎩⎨⎧=-=+2y x y x ⇒⎩⎨⎧-==.1,1y x 答案：C 2.解析一：∵A 、B 、I 满足A ⊆B ⊆I ，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A 、C 、D 都是正确的.B AI解析二：设非空集合A 、B 、I 分别为A={1}，B={1，2}，I={1，2，3}且满足A ⊆B ⊆I.根据设出的三个特殊的集合A 、B 、I 可判断出A 、C 、D 都是正确的. 答案：B3.解析：M={x|x 2＜4}={x|－2＜x ＜2}，N={x|x 2－2x －3＜0}={x|－1＜x ＜3}，结合数轴，∴M ∩N={x|－1＜x ＜2}. 答案：C4.解析：RA={x ∈R|x ≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（RA ）∩B={4}.答案：D5.解析：M －N={x|x ∈M 且x ∉N}是指图（1）中的阴影部分.(1) (2)同样M －（M －N ）是指图（2）中的阴影部分. 答案：B6.解析：∵A ∩B={2}，∴log 2（a+3）=2.∴a=1.∴b=2.∴A={5，2}，B={1，2}. ∴A ∪B={1，2，5}.答案：{1，2，5}7.解析：用列举法表示出B ＝｛1｝，C ＝｛∅，｛1｝，｛0｝，A ｝，易见其关系.这里A 、B 、C 是不同层次的集合，C 以A 的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系. 答案：B A ，A ∈C ，B ∈C8.解析：A B 说明A 是B 的真子集，利用数轴（如下图）可知a ≤1.答案：a ≤19.解析：若a=0，则x=－21.若a ≠0，Δ=4－4a=0，得a=1. 答案：a=0或a=1 10.解：（1）M={x|2x －3＞0}={x|x ＞23}；N={x|（x －3）（x －1）≥0}={x|x ≥3或x ≤1}.（2）M ∩N={x|x ≥3}； M ∪N={x|x ≤1或x ＞23}.11.解：∵A ∩{x ∈R|x ＞0}=∅，∴（1）若A=∅，则Δ=4－4p ＜0，得p ＞1； （2）若A ≠∅，则A={x|x ≤0}， 即方程x 2+2x+p=0的根都小于或等于0. 设两根为x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤-=+≥-=.0,02,0442121p x x x x p Δ ∴0≤p ≤1. 综上所述，p ≥0.12.解：∵B={x|1＜x ＜2}，若存在实数a ，使A ∩B=A ，则A={x|（x －a ）（x －a 2）＜0}.（1）若a=a 2，即a=0或a=1时，此时A={x|（x －a ）2＜0}=∅，满足A ∩B=A ，∴a=0或a=1.（2）若a 2＞a ，即a ＞1或a ＜0时，A={x|0＜x ＜a 2}，要使A ∩B=A ，则⎩⎨⎧≤≥212a a ⇒1≤a ≤2，∴1＜a ≤2.（3）若a 2＜a ，即0＜a ＜1时，A={x|a ＜x ＜a 2}，要使A ∩B=A ，则⎩⎨⎧≥≤122a a ⇒1≤a ≤2，∴a ∈∅.综上所述，当1≤a ≤2或a=0时满足A ∩B=A ，即存在实数a ，使A={x|x 2－（a+a 2）x+a3＜0}且A∩B=A成立.。
高一数学集合知识点总结5篇
高一数学集合知识点总结5篇第1篇示例：高一数学集合知识点总结数学中的集合理论是一门基础重要的数学分支，它在高中数学教学中占有重要位置。
在我们高一的数学学习中，集合知识点也是必须掌握的内容之一。
下面就让我们来总结一下高一数学中的集合知识点吧。
一、集合的概念集合是由若干个元素构成的整体。
一般用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素。
集合中的元素是无序排列的，并且一个集合中的元素都是不同的。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的所有元素列出来，用大括号{}括起来。
例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法：通过一个条件来描述集合中的元素的特点。
例如：B={x|x是正整数，且x<6}三、集合之间的关系1. 交集：集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示A和B共同拥有的元素组成的集合。
2. 并集：集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示A和B所有的元素组成的集合。
3. 差集：集合A减去集合B，记作A-B，表示只属于A而不属于B的元素组成的集合。
4. 补集：集合A对于全集U的补集，记作A’或者A^c，表示不属于A的元素组成的集合。
四、集合运算规律1. 交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A2. 结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3. 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)4. 吸收律：A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A5. 其他运算规律：A∪(A’∩B)=A∪B，A∩(A’∪B)=A∩B五、集合的应用1. 数学中的集合是研究对象的统一表达形式，常用于描述集合之间的关系。
2. 集合论在概率论、代数学、数论等多个数学分支中都有广泛的应用。
3. 集合的知识也经常会在真实生活中的问题中得到应用，比如排列组合问题、概率统计问题等。
通过对高一数学集合知识点的总结，我们对集合的概念、表示方法、集合之间的关系、集合运算规律以及集合的应用有了更清晰的认识。
高一数学集合及函数基本性质归纳总结
高一数学知识点归纳总结一——集合及函数基本性质集合及集合的应用1. 掌握集合的有关基本定义概念运用集合的概念解决问题2. 掌握集合的包含关系子集、真子集3. 掌握集合的运算(交、并、补)4. 在解决有关集合问题时要注意各种思想方法数形结合、补集思想、分类讨论的运用. 【知识梳理】一、集合的有关概念(一) 集合的含义(二) 集合中元素的三个特性1.元素的确定性2.元素的互异性3.元素的无序性如{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.(三) 集合的表示集合的表示方法列举法与描述法.常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作：N；正整数集：N*或N+整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R.1列举法{a,b,c,…}2描述法将集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号内表示集合的方法.如{x属于R| x-3>2},{x|x-3>2}.3语言描述法如{不是直角三角形的三角形}.4.Venn图.(四) 集合的分类1.有限集: 含有有限个元素的集合;2.无限集: 含有无限个元素的集合;3.空集: 不含任何元素的集合;如{x|x2=-5.二、集合间的基本关系1. “包含”关系——子集注意A∈B有两种可能1A是B的一部分2A与B是同一集合.2. “相等”关系A=B (5≥5且5≤5则5=5).实例设A={x|x2-1=0}B={-1,1}. 则A=B.元素相同则两集合相等,即①任何一个集合是它本身的子集②真子集:如果A∈B,且A≠B,那就说集合A是集合B的真子集③如果A∈B, B∈C ,那么A∈C④如果A∈B, 同时B∈A ,那么A=B.3. 不含任何元素的集合叫做空集规定: 空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集. 含有n个元素的集合有2n个子集,2n-1个真子集.三、集合的运算运算类型交集、并集、补集【方法归纳】一、对于集合的问题要确定属于哪一类集合（数集点集或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.二、关于集合中的运算一般应把各参与运算的集合化到最简形式然后再进行运算.三、含参数的集合问题多根据集合的互异性处理有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.四、处理集合问题要多从已知出发多从特殊点出发来寻找突破口. 课堂精讲练习题考点一集合的概念与表示{3x x22x}中x应满足的条件是___________.【解题思路】x≠1且x≠0且x≠3.难度分级A类函数的图象及基本性质1理解函数概念2了解构成函数的三个要素3会求一些简单函数的定义域与值域4理解函数图象的意义5能正确画出一些常见函数的图象6会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势7理解函数单调性概念8掌握判断函数单调性的方法会证明一些简单函数在某个区间上的单调性9会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性10能利用函数的单调性解决一些简单的问题11了解函数奇偶性的含义12熟练掌握判断函数奇偶性的方法13熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质14能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题.【知识梳理】1函数的定义设,AB是两个非空数集如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x在集合B 中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数记为y=f(x),其中输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域所有输出值y的取值集合叫做函数y=f(x)的值域.2函数的图象y=f(x)自变量的一个值x0作为横坐标相应的函数值作为纵坐标就得到坐标平面上的一个点(x0,f(x0))，当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象3函数y=f(x)的图象与其定义域、值域的对应关系y=f(x)的图象在x轴上的射影构成的集合对应着函数的定义域在y轴上的射影构成的集合对应着函数的值域4用列表来表示两个变量之间的函数关系的方法叫列表法，其优点是函数的输入值与输出值一目了然用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫解析法(这个等式通常叫函数的解析表达式简称解析式),其优点是函数关系清楚容易从自变量求出其对应的函数值便于用解析式研究函数的性质用图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫图象法其优点是能直观地反映函数值随自变量变化的趋势8偶函数的定义：如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数9奇函数的定义如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数10函数图象与单调性奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称一、求函数的定义域的常用求法(一）给出函数解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合常见类型有1. 分式的分母不为零.2. 偶次根式的被开方数大于或等于零.3. 对数的真数大于零,底数大于零且不等于1.4. 零次幂的底数不为零.5. 正切函数的定义域是x≠kπ+π/2（k属于Z）（二）已知fx的定义域求f(g(x))的定义域或已知f(g(x))的定义域求f(x)的定义域抓住两点1. 复合函数f(g(x))定义域都是指最内层函数即g(x)的x的取值范围.2. 内层函数的值域都应是外层函数定义域的子集.（三）实际问题中函数的定义域除了使式子本身有意义之外还应使实际问题有意义.二、函数的值域（一）弄清函数的类型几种常见函数类型1. 基本初等函数2. 有几个基本初等函数复合的函数(三)对于由几个初等函数复合而成的函数可以采用换元法求解.(四)处理复杂函数的值域问题可借助函数的单调性来处理.(五)处理分段函数的值域问题时分别求出每一段的值域然后取并集.四、函数的单调性（一）函数单调性的证明定义法是证明函数单调性的常用方法主要有以下步骤1. 根据题意在区间上设x1<x22. 比较f(x1)与f(x2)的大小3. 下结论“函数在某个区间上是单调增（或减）函数对于第二步常见的思路是作差，变形，定号其中变形主要指的是分解因式、通分、有理化等.（二）复合函数的单调性处理复合函数单调性问题的基本原则是同增异减.一般步骤：1. 写出符合函数的内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)2. 求出内外层函数的单调区间注意求外层函数的单调区间时要将t的范围转化成x的范围.3. 根据同增异减的原则利用取交集的方式求出复合函数的单调区间.三函数单调性的应用1. 比较大小若要比较大小的两个数结构、形式相同、可构造函数利用函数的单调性比较.2. 求函数的值域若函数的单调性可以求出则值域可求.3. 解不等式或方程若不等式方程的两边分别可以看出同一个函数的函数值可以利用单调性得出其自变量的大小关系从而得到简化的不等式方程.五、函数的奇偶性（一）函数奇偶性的判断:判断函数的奇偶性主要是定义法.一般步骤1.判断函数的定义域是否关于原点对称这是函数具有奇偶性的前提.2.判断f(x)和f(-x)是否相等或相反.（二）利用函数的奇偶性求函数的解析式已知函数在某区间解析式，要求其对称区间的解析式。
高一上册数学必修《集合的基本关系》知识点梳理
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理1.1.2集合的基本关系学习目标1. 理解集合之间包含与相等的含义；2. 能识别给定集合的子集；3. 能判断给定集合间的关系. 重难点 重点：理解集合间包含与相等的含义．难点：包含关系的判断与证明．（空集与任意集合的关系）.学习新知1.子集一般地，如果集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合称为集合的子集.（1）记作(或);（2）读作“包含于”（或“包含”）；（3）不是的子集，记作(或).尝试与发现尝试(1)根据子集的定义判断，如果，那么吗？根据子集的定义，；发现(1)：非空集合都是它自身的子集，即成立.尝试（2）：是的子集吗？根据子集的定义，是的子集.发现(2)：成立尝试（3）:你认为可以规定空集是任意一个集合的子集吗？为什么？因为空集不包含任何元素，不会出现“内有元素不在集合”的可能，因此，这里的也可以是空集.发现(3)：空集是任意一个集合的子集.2.真子集一般地，如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合称为集合的真子集，（1）记作（或）；（2）读作“真包含于”（或“真包含”） .尝试与发现尝试(1)：分析集合,之间的关系。
发现(1)：.尝试(2):是任意任意一个集合的真子集吗？发现(2)：是任意任意一个非空集合的真子集 .尝试(3): 能否借助图形来形象地表示两个集合的真子集关系？，，发现（3）如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.尝试（4）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？发现（4）：对于集合，，,如果，，则.尝试（5）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？如何用维恩图来描述它们之间的关系？发现（5）：对于集合，，,如果，，则.尝试（6）：对于集合，，,如果，，那么， 之间有什么关系？发现（6）：对于集合，，,如果，，则.例题讲解：例1 写出集合的所有子集和真子集.分析：该集合有3个元素，可以考虑从元素个数的不同选取入手，形成不同的集合。
高一数学必修一：2.两个集合的基本关系
{x R x 1 0}
2
不含任何元素，我们称这样的集合 是空集记作：
注 意
规定：空集是任何集合的子集．
即对任何集合A,都有： A
空集是任何非空集合的真子 集，即∅ ⊊A
子集的性质
（1）对任何集合A，都有：A A （2）对于集合A,B,C,若A B,且B
C,则有 A C
A⊊B， B⊊C ⇒ A⊊C。
（3）空集是任何非空集合的真子 集．
例题讲解
例1 写出{a,b}的所有子集,并指 出其中哪些是它的真子集．
课堂练习 1．教材P7 1 ， 2， 3 2．以下六个关系式：① { }
② ∈{ } ③ {0} φ ④0 φ⑤ φ≠{0} ⑥φ={φ},其中正确的序 号是： ①②③④⑤
2 x －1=0}
定 义（三）(P6)
一般地,对于两个集合A与B, 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素,同时集合B中的任何 一个元素都是集合A的元素,则称集 合A等于集合B,记作
A=B 若A B且 B A, 则A=B;
反之,亦然.
图中A是否为B的子集?
B (1)
A
B
A (2)
注意集合
3.一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合
二、新课讲解
1.引例
观察以下几组集合，并指出它们元 素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};
② A={x x＞1}, B={x x2＞1};
③ A={平行四边形}, B={四边形};
④ A={x x-7=0}, B={x x ＞ 2} ．
例题讲解
例2 设A={x,x2,xy}, B={1,x,y},且 A=B，求实数x,y的值．
高一数学集合间的基本关系的知识点
高一数学集合间的基本关系的知识点介绍1.1.2 集合间的基本关系1.Venn图在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示.【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}.解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn图表示如图所示.对Venn图的理解Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制.2.子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记法与读法记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”). 图示或示例具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的人组成集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口，所以有MP. 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC. 对子集的理解(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB.(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B 不包含A.此时记作AB或BA.(4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N.【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，则实数m=__________.解析：由题意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故m=0.答案：0【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，试判断集合M，N的关系.解：∵xZ，且-1≤x<3，∴x的可能取值为-1,0,1,2.∴M={-1,0,1,2}.又∵yM，∴|y|分别是0,1,2.∴N={0,1,2}.∴NM.3.集合相等如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A=B.用Venn图表示如图所示.对集合相等的理解(1)A=BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据;(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等;(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在;(4)集合中的关系与实数中的结论类比实数集合a≤b包含两层含义：a=b，或aA.P={1,4,7}，Q={1,4,6}B.P={x|2x+2=0}，Q={-1}C.3P,3QD.PQ解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q;对于B项，P={x|2x+2=0}={-1}=Q;对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否同时成立;对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等.答案：B【例3-2】设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y的值.解：由集合相等的定义，得或(1)由得x=0，y=0，不满足集合中元素的互异性，故舍去;(2)由得x=0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0应舍去，x=1，y=0符合集合中元素的互异性.综上，可得x=1，y=0.4.真子集定义如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集. 记法记作AB(或BA). 图示结论 (1)AB且BC，则AC;(2)AB且A≠B，则AB. 对真子集的理解(1)若集合A是集合B的子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A;(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集;(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集.【例4】已知集合P={2 012,2 013}，Q={2 011,2 012，2 013，2 014}，则有( )A.P=QB.QPC.PQD.QP解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ.答案：C5.空集定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集. 记法规定空集是任何集合的子集，即A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A {0}与的区别{0}与的区别 {0}是含有一个元素的集合是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成={0}，{0} 【例5-1】下列集合为空集的是( )A.{0}B.{1}C.{x|x<0}D.{x|1+x2=0}解析：很明显{0}和{1}都不是空集;因为{x|x<0}是全体负数组成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以{x|1+x2=0}=.答案：D【例5-2】有下列命题：①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，则A≠.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个解析：对于①，空集是任何集合的子集，故，①错;对于②，只有一个子集，是其自身，②错;对于③，空集不是空集的真子集，③错;空集是任何非空集合的真子集，④正确.答案：B6.集合间的关系判断(1)集合A，B间的关系(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合.(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：①一一列举观察;②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，若p(x)推出q(x)，则AB;若q(x)推出p(x)，则BA;若p(x)，q(x)互相推出，则A=B;若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.③数形结合法：利用数轴或Venn图.(4)当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系.当MN和M=N均成立时，M=N比MN更准确地反映了集合M和N的关系.例如，集合M={1}，集合N={1,2}，这时MN和MN均成立，MN比MN更准确地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的关系.又例如，集合M={3}，集合N={3}，这时MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更准确地反映了集合M={3}和集合N={3}的关系.【例6-1】指出下列各对集合之间的关系：(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)};(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形};(3)A={x|-1(4)M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}.分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系.解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A 与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.(4)由列举法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM.怎样用数轴表示集合对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示;若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.【例6-2】已知集合，，则集合M，N的关系是( )A.MNB.MNC.NMD.NM解析：设n=2m或2m+1，mZ，则有.又∵，∴MN.答案：B7.求已知集合的子集(或真子集)(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏.一定要考虑这一特殊的集合，因为是任何集合的子集;若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集.例如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3};所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}.(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1，非空子集的个数为2n-1，非空真子集的个数为2n-2.【例7-1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5}，请写出集合M.分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必须含有元素1,2，故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2};(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5};(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5};(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}.因此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.有限集合子集的确定技巧(1)确定所求的集合;(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出;(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到.【例7-2】设集合A={a，b，c}，B={T|TA}，求集合B.解：∵A={a，b，c}，又TA，∴T可能为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.∴B={，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}.【例7-3】已知集合A={1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和.解：集合A的子集分别是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次.故所求之和为(1+3+5)×4=36.集合所有子集的元素之和的计算公式若集合A={a1，a2，a3，…，an}，则A的所有子集的元素之和为(a1+a2+…+an)·2n-1.8.集合间的基本关系与方程的综合问题集合间的基本关系与方程的综合问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围.解决此类问题应注意：(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数.集合{x|f(x)=0}表示关于x的方程的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如集合{x|mx2-x+23=0}表示关于x的方程mx2-x+23=0的解集，其中x是未知数，m是常数.此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中的参数m的取值.当m=0时，该方程为-x+23=0，是一元一次方程;当m≠0时，该方程为mx2-x+23=0，此时才是关于x的一元二次方程.(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是AB的含义.当B≠时，对于AB，通常要分A=和A≠两种情况进行讨论，此时，容易忽视A=的情况.(3)对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论.【例8-1】若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}且BA，求m 的值.分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B 的元素x满足mx+1=0，又字母m的范围不明确，m是否为0题目没有明示，因此要进行分类讨论.本题应弄清楚两个问题：一是集合B有没有元素;二是集合B有元素时，元素是什么.解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.因为BA，所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或无解.当mx+1=0的解为-3时，由-3m+1=0得;当mx+1=0的解为2时，由2m+1=0得;当mx+1=0无解时，m=0.综上可知，m的值为或或0.【例8-2】设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若BA，求实数a的值或取值范围.解：由题意得A={0，-4}，BA.(1)当A=B时，即B={0，-4}.由此知，0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，由韦达定理知解得a=1.(2)当B=时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.(3)当B为单元素集时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1.当a=-1时，B={x|x2=0}={0}A，满足条件.综上所述，所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.9.集合间的基本关系与不等式的综合问题用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广泛应用.数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观.在数轴上表示集合时，要注意端点用实心点还是空心点，若包含端点，则用实心点表示，若不包含端点，则用空心点表示.集合间的基本关系与不等式的综合问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解决此类问题应注意：(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数.集合{x|f(x)>0}，{x|f(x)<0}，{x|f(x)≥0}，{x|f(x)≤0}均表示关于x的不等式的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如，集合{x|-nx+3<0}表示关于x的不等式-nx+3<0的解集，x是未知数，n是常数.这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中的参数n的取值.当n=0时，该不等式为3<0，不是一元一次不等式;当n≠0时，该不等式才是关于x的一元一次不等式.(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如2<3和3<2都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m+1分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是一个用字母m表示的不等式，集合A给出的不等式在数轴上表示为-2到5的线段(去掉两个端点)，集合B给出的不等式，m+1与2m-1的大小关系有两种情形：当m+1≥2m-1时x，所以BA一定成立;当m+1<2m-1时，可借助于数轴来分析解决.解：∵BA，A≠，∴B=或B≠.当B=时，m+1≥2m-1，解得m≤2.B≠时，如数轴所示.则有解得因此2综上所述，m的取值范围为m≤2或2【例9-2】已知集合A={x|x<-1，或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，求实数a的取值范围.分析：对集合B是否为空集进行分类讨论求解.解：当B=时，只需2a>a+3，即a>3;当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得a<-4或2综上可得，实数a的取值范围为a<-4或a>2.利用子集关系求参数时易疏忽端点的验证利用子集关系求参数的问题，在借助数轴分析时，要注意验证参数能否取到端点值.例如本题中在B≠时，解得a<-4或2点击下页查看更多高一数学集合关系运算期中考试分析高一数学集合关系运算期中考试分析1.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于( )A.{x|x≥3}B.{x|x≥2}C.{x|2≤x<3}D.{x|x≥4}【解析】B={x|x≥3}.画数轴(如下图所示)可知选B.【答案】 B2.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}【解析】A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B={3,9}.故选D.【答案】 D3.50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________.【解析】设两项都参加的有x人，则只参加甲项的有(30-x)人，只参加乙项的有(25-x)人.(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25人，只参加乙项的有20人，∴仅参加一项的有45人.【答案】454.已知集合A={-4,2a-1，a2}，B={a-5,1-a,9}，若A∩B={9}，求a的值.【解析】∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a-1=9或a2=9，∴a=5或a=±3.当a=5时，A={-4,9,25}，B={0，-4,9}.此时A∩B={-4,9}≠{9}.故a=5舍去.当a=3时，B={-2，-2,9}，不符合要求，舍去.经检验可知a=-3符合题意.一、选择题(每小题5分，共20分)1.集合A={0,2，a}，B={1，a2}.若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为( )A.0B.1C.2D.4【解析】∵A∪B={0,1,2，a，a2}，又A∪B={0,1,2,4,16}，∴{a，a2}={4,16}，∴a=4，故选D.【答案】 D2.设S={x|2x+1>0}，T={x|3x-5<0}，则S∩T=()A.ØB.{x|x<-12}C.{x|x>53}D.{x|-12【解析】S={x|2x+1>0}={x|x>-12}，T={x|3x-5<0}={x|x<53}，则S∩T={x|-12【答案】 D3.已知集合A={x|x>0}，B={x|-1≤x≤2}，则A∪B=()A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2}C.{x|0【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B={x|x≥-1}.故选A.【答案】 A4.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}.故选B.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是________.【解析】A=(-∞，1]，B=[a，+∞)，要使A∪B=R，只需a≤1.【答案】a≤16.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是________.【解析】由于{1,3}∪A={1,3,5}，则A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素，而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.【答案】 4三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知集合A={1,3,5}，B={1,2，x2-1}，若A∪B={1,2,3,5}，求x及A∩B.【解析】由A∪B={1,2,3,5}，B={1,2，x2-1}得x2-1=3或x2-1=5.若x2-1=3则x=±2;若x2-1=5，则x=±6;综上，x=±2或±6.当x=±2时，B={1,2,3}，此时A∩B={1,3};当x=±6时，B={1,2,5}，此时A∩B={1,5}.8.已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}，若A∩B=Ø，求a的取值范围.【解析】由A∩B=Ø，(1)若A=Ø，有2a>a+3，∴a>3.(2)若A≠Ø，如图：∴ ，解得- ≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|- ≤a≤2或a>3}.9.(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人?【解析】设单独参加数学的同学为x人，参加数学化学的为y人，单独参加化学的为z人.依题意x+y+6=26，y+4+z=13，x+y+z=21，解得x=12，y=8，z=1.∴同时参加数学化学的同学有8人，答：同时参加数学和化学小组的有8人.。
高一数学集合知识点总结
高一数学集合知识点总结数学作为一门基础学科，集合论是其重要的组成部分之一。
高中数学中，集合论作为数学的基础知识承担着重要的作用。
下面将对高一数学集合知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分知识。
一、集合的概念与表示方法集合是由确定的对象所组成的整体，集合中的对象称为元素。
集合的表示可以用描述法、列举法和图形法等多种方法，常用的表示符号为大写字母，集合中的元素用小写字母表示。
二、集合之间的关系1. 子集与包含关系若集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B；若集合A是集合B的子集且集合B不是A的子集，则称A是B的真子集，记作A⊂B；若一个集合中的元素全都是另一个集合的元素，则这个集合是另一个集合的子集。
2. 相等与不相等关系若集合A和集合B具有相同的元素，则称集合A和集合B相等，记作A=B；若集合A和集合B不具有相同的元素，则称集合A和集合B不相等，记作A≠B。
三、集合的运算1. 交集若元素x同时属于两个集合A和B，则称x属于A与B的交集，记作x∈A∩B。
2. 并集若元素x属于集合A或集合B，则称x属于A与B的并集，记作x∈A∪B。
3. 差集若元素x属于集合A但不属于集合B，则称x属于A与B的差集，记作x∈A-B。
4. 补集若U为给定的全集，A为集合，A的补集定义为全集U中所有不属于A的元素的集合，记作A'。
四、集合的基本性质1. 幂集给定一个集合A，由A的所有子集组成的集合称为集合A的幂集。
2. 空集不含任何元素的集合称为空集，记作Φ。
3. 全集指给定问题环境下某一类对象所组成的集合，全集一般用大写字母U来表示。
4. 互斥集合若两个集合没有共同的元素，则称这两个集合互斥。
五、集合的常用定理1. 单调性定理对于集合A、B、C，如果A⊆B，则A∪C⊆B∪C；如果A⊆B，则A∩C⊆B∩C；如果A⊆B，则B'⊆A'。
2. 德摩根定理对于集合A、B，有(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'。
高一数学集合基本关系知识点
高一数学集合基本关系知识点在高一数学学习中，集合是一个非常重要的概念。
集合是由若干个元素组成的，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号、人或物体等等。
集合中的元素之间有一些特定的关系，这些关系在数学中被归纳为集合的基本关系。
本文将介绍一些高一数学集合的基本关系知识点。
1. 相等关系：相等关系是指两个集合的元素完全相同。
如果两个集合的元素一一对应且相等，则这两个集合是相等的。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,2,1}是相等的，因为它们的元素相同。
2. 包含关系：包含关系是指一个集合包含了另一个集合的所有元素。
如果集合A 的所有元素都是集合B的元素，那么集合A包含于集合B。
例如，集合A={1,2,3}是集合B={1,2,3,4,5}的子集。
3. 相交关系：相交关系是指两个集合有至少一个共同的元素。
如果集合A和集合B存在共同的元素，则集合A与集合B相交。
例如，集合A={1,2,3}与集合B={3,4,5}相交，因为它们有一个共同的元素3。
4. 互斥关系：互斥关系是指两个集合没有共同的元素。
如果集合A和集合B没有任何共同的元素，则集合A与集合B互斥。
例如，集合A={1,2,3}与集合B={4,5,6}互斥，因为它们没有任何共同的元素。
5. 包含并交关系：包含并交关系是指两个集合既存在相交的部分，也存在不相交的部分。
如果集合A和集合B不仅存在共同的元素，而且存在各自独立的元素，则集合A与集合B包含并交。
例如，集合A={1,2,3}与集合B={3,4,5}包含并交，因为它们有一个共同的元素3，同时也有各自独立的元素1、2和4、5。
6. 真包含关系：真包含关系是指一个集合是另一个集合的子集，且两个集合不相等。
如果集合A是集合B的子集，且集合A与集合B不相等，则集合A真包含于集合B。
例如，集合A={1,2}是集合B={1,2,3}的真子集。
7. 无交关系：无交关系是指两个集合没有任何共同的元素。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解2--- 集合间的基本关系
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.2集合间的基本关系【考点梳理】考点一子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B考点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集．【题型归纳】题型一：子集、真子集的个数问题1．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅ÜA ，则A ≠∅.其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知集合20,x A x x N x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭，{}2,B x x x Z =≤∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知集合{}{}2|320,R ,|04,N A x x x x B x x x =-+=∈=<≤∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：根据集合包含关系求参数4．已知集合{}12M x a x a =-<<，(1,4)N =，且M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．1(,]3-∞D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a ≤B ．01a ≤≤C ．12a ≤≤D ．2a ≥6．已知集合{}12A x x =≤≤，{}2,B y y x a x A ==+∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2B ．[]2,1--C ．[]22-,D ．[]1,1-题型三：根据集合相等关系求参数7．设a ，R b ∈，集合 {}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则 b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．已知集合0a A a b b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，{}011B b =-，，，若A =B ，则a +2b =（ ） A ．-2B ．2C ．-1D ．19．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20212021a b +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2题型四：与空集有的集合问题10．已知全集{}19U x x =-<<，{}1A x x a =<< ，A 是U 的子集．若A ≠∅,则a 的取值范围是（ ） A ．9a < B ．9a ≤ C ．9a ≥ D ．19a <≤11．有下列命题：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集.其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．若集合{}2|210A x mx x =++≤≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m £B ．01m ≤≤C ．01m <≤D ．1m <【双基达标】一、单选题13．设A ={（x ，y ）||x +1|+（y -2）2=0}，B ={-1，2}，则必有（ ） A ．B A ÜB ．A B ÜC ．A =B D ．A ∩B =∅14．若集合1|(21),9A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，41|,99B x x k k Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，则集合,A B 之间的关系为（ ） A ．A B ÜB ．B A ÜC ．A B =D ．A B ≠15．已知2{|1}A x x ==，集合{|1}B x mx ==，若B A ⊆，则m 的取值个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．316．下列所给的关系式正确的个数是（ ） ①0N ⊆；②Q π∈；③{}{},,,a a b c d ⊆；④R ∅∈． A ．1B ．2C ．3D ．417．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20202021a b +的值为（ ）A ．2-B ．1C ．1-D ．218．若集合|24M x x k k Z ππ⎧⎫==⋅-∈⎨⎬⎩⎭，，|42N x x k k Z ππ⎧⎫==⋅+∈⎨⎬⎩⎭，，则（ ）A ．M =NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．没有包含关系 19．已知111A x x ⎧⎫=<-⎨⎬-⎩⎭，{}240B x x x m =--≥，若A B ⊆且A B ≠，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m ≥ B ．3m ≤- C ．30m -≤≤D ．3m ≤-或0m ≥20．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ） A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{3，2}，N ＝{2，3}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{3，2}，N ＝{(3，2)}21．集合M =}|1,2nx x n Z ⎧=+∈⎨⎩，N =}1|,2x x m m Z ⎧=+∈⎨⎩，则两集合M ，N 的关系为（ ）A ．M ∩N =∅B ．M =NC ．M ⊆ND ．N ⊆M22．已知集合{}2,3,1A =-，集合{}23,B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,1-D ．{}3,3-【高分突破】一：单选题 23．集合6{|}6x N N x∈∈-的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1624．下列与集合{}1,2A =-相等的是（ ） A ．(){}1,2-B ．()1,2-C ．(){},1,2x y x y =-=D ．{}220x x x --=25．定义集合A ★B ={,,}xx ab a A b B =∈∈∣，设{2,3},{1,2}A B ==，则集合A ★B 的非空真子集的个数为（ ） A ．12B ．14C ．15D ．1626．已知集合1{|}6A x x k k Z ==+∈，，1{|}23m B x x m Z ==-∈，，1{|}26n C x x n Z ==+∈，，则集合A B C ，，的关系是（ ） A ．A CB 苘B ．C AB 苘C ．A C B =ÜD ．A B C ==27．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（ ） A ．{1}B ．{1，2} C ．{2，5}D ．{1，5}28．已知集合13{|}A x x =-≤≤，301x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．29．设集合{|10}P m m =-<≤，2{|440}Q m R mx mx =∈+-< 对任意实数x 恒成立，则下列关系中成立的是（ ） A ．P 是Q 的真子集 B ．Q 是P 的真子集 C ．P Q = D ．P 与Q 无关30．已知S 1，S 2，S 3为非空集合，且S 1，S 2，S 3⊆Z ，对于1，2，3的任意一个排列i ，j ，k ，若x ∈S i ，y ∈S j ，则x －y ∈S k ，则下列说法正确的是（ ） A ．三个集合互不相等B ．三个集合中至少有两个相等 C ．三个集合全都相等D ．以上说法均不对二、多选题31．已知集合{}12A x x =<<，{}232B x a x a =-<<-，下列说法正确的是（ ） A ．不存在实数a 使得A B = B ．当4a =时，A B ⊆ C ．当04a ≤≤时，B A ⊆ D ．存在实数a 使得B A ⊆32．若集合P ={x |x 2+x ﹣6=0}，S ={x |ax ﹣1=0}，且S ⊆P ，则实数a 的可能取值为（ ）A ．0B ．13-C ．4D ．12 33．下列说法正确的有（ ）A ．设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N =，则实数0m =；B ．若∅是{}2,x x a a R ≤∈的真子集，则实数0a ≥；C ．集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数11,2m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；D ．设集合}{2320A x ax x =-+=至多有一个元素，则{}908a a a ⎧⎫∈⋃≥⎨⎬⎩⎭；34．已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，{}22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若AB =，则3a =-B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若B A Ü时，则63a -<≤-或6a ≥ 35．下列四个命题中，假命题的是（ ） A ．{}0是空集 B ．若a N ∈，则a N -∉C ．集合{}2210x x x -+=中只有1个元素D ．对所有实数a 、b ，方程0ax b +=恰有一个解36．已知集合{}220,A x ax x a a R =++=∈，若集合A 有且仅有两个子集，则a 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．237．定义集合运算：{}()(),,A B zz x y x y x A y B ⊗==+⨯-∈∈∣，设{}2,3A =，{}1,2B =，则（ ） A ．当2x =，2y =时，1z =B ．x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+⨯-有4个式子C ．A B ⊗中有4个元素D ．A B ⊗的真子集有7个三、填空题38．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.39．已知集合{34},{211}A xx B x m x m =-≤≤=-<<+∣∣，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是___________.40．已知{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则方程()202120202202020-+-=a x a b x a 的解为____.41．已知集合{}1A x ax a R ==∈，，{}240B x x =-=，若A B ⊆，则所有a 的取值构成的集合为________． 42．已知集合212|,,{|1,}33n n A x x n Z B x x n Z +⎧⎫==∈==+∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 、B 的关系为A ____(B 从“,,⊆⊇=”选择合适的符号填空)．43．下列各组中的两个集合相等的有____________ （1）P ={x |x =2n ，n ∈Z }，Q ={x |x =2(n +1)，n ∈Z } （2）P ={x |x =2n -1，n ∈N +}，Q ={x |x =2n +1，n ∈N +}；（3）P ={x |x 2-x =0}，Q ={x |x =1(1)2n+-，n ∈Z }.（4）P ={x |y =x +1}，Q ={(x ，y )|y =x +1}四、解答题44．已知集合 {|05}A x x a =<-…，{|6}2a B x x =-<…． （1）若A B ⊆，求 a的取值范围；（2）若 B A ⊆，求 a 的取值范围； （3）集合A与 B能够相等？若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由．45．含有三个实数的集合可表示为{a ，b a，1}，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}．求a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2011＋a 2012的值．46．已知集合{|4}A x x a =-=，集合{}1,2,B b =（1）是否存在实数a ，使得对任意实数b 都有A B ⊆成立？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.（2）若A B ⊆成立，写出所有实数对(),a b 构成的集合.47．已知集合1{|24}2x A x =<< ，{}B x x a =<，{}121C x m x m =-<<+． （1）若A B ⊆时，求实数a 的取值范围； （2）若C 是A 的子集，求实数m 的取值范围．48．设集合{}21,1,33A a a a =--+-，{}2210B x x x =-+=，(){}210C x x a x a =-++=.（1）讨论集合B 与C 的关系； （2）若0a <，且C A ⊆，求实数a 的值.【答案详解】1．B①错，空集是任何集合的子集，有∅⊆∅；②错，如∅只有一个子集；③错，空集不是空集的真子集；④正确，因为空集是任何非空集合的真子集． 故选：B ． 2．D 解：2{|0,}{|02,}{1x A x x N x x x Nx-=≤∈=<≤∈=，2} {|2,}{|04,}{0B x x x Z x x x Z =≤∈=≤≤∈=，1，2，3，4}，因为A C B ⊆⊆，所以C 中元素至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4； 所以集合C 的个数即为集合{0，3，4}子集的个数：328=． 故选：D ． 3．D【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|04,1,2,3,4B x x x =<≤∈=N ．因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选：D ．4．C【详解】因M N ⊆，而N φ⊆，所以M φ=时，即21a a ≤-，则13a ≤，此时M φ≠时，M N ⊆，则1123110242a a a a a a a ⎧>⎪-<⎧⎪⎪-≥⇒≤⎨⎨⎪⎪≤≤⎩⎪⎩，无解， 综上得13a ≤，即实数a 的取值范围是1(,]3-∞.故选：C5．D【详解】因为集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，B A ⊆，所以2a ≥.故选：D6．B【详解】由题意，集合[]1,2A =，可得{}[]2,2,4B y y x a x A a a ==+∈=++，因为A B ⊆，所以2142a a +≤⎧⎨+≥⎩，解得[]2,1a ∈--． 故选：B.7．C【详解】解：{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，注意到后面集合中有元素 0， 由于集合相等的意义得 0a b += 或 0a =．0b a≠，0a ∴≠， 0a b ∴+=，即 =-a b ，1b a=-， 1b ∴=，1a =-，2b a ∴-=．故选：C8．D【详解】由于A B =，所以 （1）11a b a b b+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，结合集合A 元素的互异性可知此方程组无解.（2）11a b b a b+=-⎧⎪⎨=⎪⎩解得1213a b a b ==⇒+=. 故选：D9．B【详解】 因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，即()2021202120212021101a b +=-+=-.故选：B.10．D【详解】由题意知，集合A ≠∅，所以1a >，又因为A 是U 的子集，故需9a ≤，所以a 的取值范围是19a <≤．故选：D11．A【详解】①错，当m ＝0时，不是一元二次方程；②错，Δ＝4＋4a ，并不一定大于或等于0；③正确；④错，空集是任何非空集合的真子集.故选：A.12．A【详解】若集合{}2|210A x mx x =++≤=∅，则不等式2210mx x ++>恒成立，当0m =时，不等式2210mx x ++>可化为210x +>，则12x >-，不满足题意；当0m ≠时，为使不等式2210mx x ++>恒成立，只需0440m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得1m >， 综上集合{}2|210A x mx x =++≤=∅时，1m >；又集合{}2|210A x mx x =++≤≠∅，所以1m £.故选：A.13．D【详解】由于集合A 是点集而B 是数集，所以是两类集合，所以交集为空集，故选：D.14．C【详解】解析：设任意1x A ∈，则111(21),9x k k Z =+∈，当12,k n n Z =∈时1141(41)999x n n =+=+，所以1x B ∈；当121,k n n Z =-∈时，1141(41)999x n n =-=-，所以1x B ∈． 所以A B ⊆又设任意2x B ∈，则2222414(41),999x k k k Z =±=±∈因为22412(2)1k k +=+，22412(21)1k k -=-+，且22k 表示所有的偶数，221k -表示所有的奇数．所以2241k k Z ±∈()与21()n n Z +∈都表示所有的奇数． 所以2x A ∈．所以B A ⊆故A B =．故选：C ．15．D【详解】解：由题意知，集合{}11A =-，， 由于1mx =，∴当0m =时，B =∅，满足B A ⊆；当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，由于B A ⊆，所以11m=或11m =-， 1m ∴=或1m =-， 0m ∴=或1或1-．即m 的取值个数为3，故选：D ．16．A【详解】解：①0N ⊆，0为集合N 的一个元素，0N ∈，故①错误，②Q π∈，因为π为无理数，Q π∉，故②错误，③{}{}a a b c d ⊆，，，，因为集合{}a 是集合{}a b c d ，，，的子集，故③正确，④R ∅∈，因为∅为R 的子集，故④错误．17．B【详解】 b a，0a ∴≠ {}2,,1,,0b a a a ba ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭0b a ∴=，即0b =， {}{}2,0,1,,0a a a ∴=∴当21a a a ⎧=⎨=⎩时，1a =-或1a =， 当1a =时，即得集合{}1,0,1，不符合元素的互异性，故舍去，当21a a a =⎧⎨=⎩时，1a =，即得集合{}1,0,1，不符合元素的互异性，故舍去， 综上，1a =-，0b =()2020202020212021101∴+=-+=a b ，故选：B18．B 【详解】 ()()|21,,|2,44M x x k k Z N x x k k Z ππ⎧⎫⎧⎫==⋅-∈==⋅+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 21k -为奇数，2k +为整数，所以M N ⊆.故选：B19．B【详解】集合A 中，由111x <--得，当1x >时，11x <-+，0x <（舍）；当1x <时，11x >-+，0x >，所以集合{}01A x x =<<；集合B 中，若1640m ∆=+≤，4m ≤-，则B R =，符合要求；若4m >-，根据二次函数对称轴为2x =，若A B ⊆，则140m --≥，3m ≤-，综上可得：3m ≤-20．B【详解】对于A ：M ，N 都是点集，(2,3)与(3,2)是不同的点则M ，N 是不同的集合，故不符合； 对于B ：M ，N 都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；对于C ：M 是点集，表示直线1x y +=上所有的点，而N 是数集，表示函数1x y +=的值域，则M ，N 是不同的集合，故不符合；对于D ：M 是数集，表示1，2两个数，N 是点集，则M ，N 是不同的集合，故不符合；故选：B ．21．D由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n =2k （k ∈Z ），则x =k +1（k ∈Z ），当n 为奇数时，设n =2k +1（k ∈Z ），则x =k +1+12（k ∈Z ），∴N ⊆M ，故选：D.22．C【详解】因为B A ⊆，所以21m =或22m =-因为22m =-无解，所以22m =-不成立，由21m =得1m =±，所以实数m 的取值集合为{}1,1-.故选：C.23．D6{|}{0,3,4,5}6x N N x∈∈=-， ∴6{|}6x N N x∈∈-的子集的个数为4216=. 故选：D.24．D解：∵{}{}2201,2x x x --==-，∴与集合{}1,2A =-相等的是{}220x x x --=.故选：D25．B【详解】{2,3,4,6}A B =å，所以集合A B å的非空真子集的个数为42214-=， 故选：B .26．C【详解】 解：集合1{|}26n C x x n Z ==+∈，，∴当()2n a a Z =∈时，211266a x a =+=+， 当()21n a a Z =+∈时，2112263a x a +=+=+， 又集合1{|}6A x x k k Z ==+∈，，A C ∴Ü， 集合1{|}23m B x x m Z ==-∈，，集合1{|}26n C x n Z ==+∈，，1112326m m --=+， 可得C B =，综上可得A C B =．Ü 故选：C ．27．D由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,∴22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3； 即(x －1)2－4(x －1)＝0；则x －1＝0或x －1＝4，计算得出x ＝1或x ＝5.所以集合B ＝{1，5}．故选：D .28．C【详解】 解：因为集合301x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭， 所以{|13}B x x =-<≤，又集合13{|}A x x =-≤≤，所以B A Ü，根据韦恩图可得选项C 正确，故选：C.29．A【详解】由题意，由2{|440Q m R mx mx =∈+-<对任意的x 恒成立}，对m 分类：①当0m =时，40-<恒成立，②当0m <时，则2(4)4(4)0m m ∆=-⨯⨯-<，解得0m <，综上可得0m ≤，即{|0}Q m R m =∈≤，所以P 是Q 的真子集.故选：A .30．B解：若x ∈S i ，y ∈S j ，则y －x ∈S k ，从而(y －x )－y ＝－x ∈S i ，所以S i 中有非负元素，由i ，j ，k 的任意性可知三个集合中都有非负元素，若三个集合都没有0，则取S 1∪S 2∪S 3中最小的正整数a (由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a 存在)，不妨设a ∈S 1，取S 2∪S 3中的最小正整数b ，并不妨设b ∈S 2，这时b ＞a (否则b 不可能大于a ，只能等于a ，所以b －a ＝0∈S 3，矛盾)，但是，这样就导致了0＜b －a ＜b ，且b －a ∈S 3，这时与b 为S 2∪S 3中的最小正整数矛盾，∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0∈S 1，则对任意x ∈S 2，有x －0＝x ∈S 3，∴S 2包含于S 3，对于任意y ∈S 3，有y －0＝y ∈S 2，∴S 3包含于S 2，则S 2＝S 3，综上所述，这三个集合中必有两个集合相等， 故选：B ．31．AD【详解】选项A ：若集合A B =，则有231,22,a a -=⎧⎨-=⎩，因为此方程组无解，所以不存在实数a 使得集合A B =，故选项A 正确. 选项B ：当4a =时，{}52B x x =<<=∅，不满足A B ⊆，故选项B 错误. 若B A ⊆，则①当B =∅时，有232a a -≥-，1a ≥；②当B ≠∅时，有1,231,22a a a <⎧⎪->⎨⎪-<⎩此方程组无实数解； 所以若B A ⊆，则有1a ≥，故选项C 错误，选项D 正确.故选：AD .32．ABD解：P ={x |x 2+x ﹣6=0}={﹣3，2}，①S =∅，a =0；②S ≠∅，S ={x |x 1a =}，1a =-3，a 13=-， 1a =2，a 12=； 综上可知：实数a 的可能取值组成的集合为{12，0，13-}.故选：ABD .33．ABD【详解】对于A ，因为M N =，故222m m m =+⎧⎨=⎩（无解舍去）或222m m m =⎧⎨=+⎩，故0m =，故A 正确. 对于B ，因为∅是{}2,x x a a R ≤∈的真子集，故{}2,x x a a R ≤∈为非空集合，故0a ≥，故B 正确.对于C ，{}1,2P =，若0m =，则Q =∅，满足Q P ⊆；若0m ≠，则1Q m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又Q P ⊆，故11m =或12m=即1m =或12m =，综上，0m =或1m =或12m =，故C 错误.对于D ，因为A 至多有一个元素，故0a =或0980a a ≠⎧⎨∆=-≤⎩， 所以{}908a a a ⎧⎫∈⋃≥⎨⎬⎩⎭，故D 正确. 故选：ABD.34．ABC【详解】{}36A x x =∈-<<R ，若A B =，则3a =-，且22718a -=-，故A 正确.3a =-时，A B =，故D 不正确.若A B ⊆，则()()2233270a a -+⋅-+-≤且2266270a a ++-≤，解得3a =-，故B 正确.当B =∅时，()224270a a --≤，解得6a ≤-或6a ≥，故C 正确. 故选：ABC ．35．ABD【详解】对于A 选项，{}0不是空集，A 错；对于B 选项，当0a =时，则a N ∈且N a -∈，B 错；对于C 选项，{}{}22101x x x -+==，C 对；对于D 选项，取0a =，0b ≠，则方程0ax b +=无实解，D 错.故选：ABD.36．ABC【详解】由于集合A 有且仅有两个子集，则集合A 为单元素集合，即方程220ax x a ++=只有一根. ①当0a =时，方程为20x =，解得0x =，合乎题意；②当0a ≠时，对于方程220ax x a ++=，2440a ∆=-=，解得1a =±.综上所述，0a =或1a =±.故选：ABC.37．BD【详解】{}{}22,,=1,0,2A B z z x y x A y B ⊗==-∈∈∣，故A B ⊗中有3个元素，其真子集的个数为3217-=，故C 错误，D 正确. 当2x =，2y =时，0z =，故A 错误.x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+⨯-共有4个算式，分别为：()()()()2121,3131+-+-，()()()()3232,2222+-+-， 故B 正确．故选：BD ．38．12设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C =，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-=，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1239．[)1,-+∞解：分两种情况考虑：①若B 不为空集，可得：211m m -<+，解得：2m <，{},|34B A A x x ⊆=-≤≤，213m ∴-≥-且14m +≤，解得：13m -≤≤，②若B 为空集，符合题意，可得：211m m -≥+，解得：2m ≥.综上，实数m 的取值范围是1m ≥-.故答案为：[)1,-+∞.40．{}1,2-【详解】{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭若0a =，则b a 无意义，故有0,0b b a=∴=，此时有a a b =+，21a ∴=.1a ∴=-或1a =（舍去，因为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中不满足集合的互异性） 1,0a b ∴=-=代入()202120202202020a x a b x a -+-=得220x x +-=，方程的解集为{}1,2-.故答案为：{}1,2-41．102⎧⎫±⎨⎬⎩⎭， 【详解】{}2,2B =-.当0a =时，A =∅，满足A B ⊆.当0a ≠时，1|A x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭， 由于A B ⊆，所以1122a a =-⇒=-或1122a a =⇒=.综上所述，所有a 的取值构成的集合为102⎧⎫±⎨⎬⎩⎭，. 故答案为：102⎧⎫±⎨⎬⎩⎭， 42．=【详解】解：由集合A 得：1|(21),3A x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，由集合B 得：1|(23),3B x x n n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，{|21x x n =+，}{|23n Z x x n ∈==+，}n Z ∈， A B ∴=，故答案为：=．43．（1）（3）（1）中集合P ，Q 都表示所有偶数组成的集合，有P =Q ；（2）中P 是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q 是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q ，所以P ≠Q .（3）中P ={0，1}，当n 为奇数时，x =1(1)2n +-=0，当n 为偶数时，x =1(1)2n +-=1，所以Q ={0，1}，P =Q .（4）中集合,P Q 的研究对象不相同，所以P ≠Q . 故答案为：（1）（3）.44．【详解】（1） 集合 {|05}{|5}A x x a x a x a =<-=<≤+…，{|6}2a B x x =-<…． A B ⊆，562a a a +⎧⎪∴⎨-⎪⎩……，解得 01a 剟，a ∴ 的取值范围是 []01，．（2）B A ⊆，当 B =∅ 时，62a-…，12a -…；当 B ≠∅ 即12a >-时，562a a a +⎧⎪⎨-⎪⎩……，解得 a ∈∅，a ∴ 的取值范围是 (]12∞--，．（3）A B = 时，562a a a+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 无解，∴ 集合 A 与 B 不能相等．45．0【详解】由题可知a ≠0，b ＝0，即{a ，0，1}＝{a 2，a ，0}，所以a 2＝1⇒a ＝±1， 当a ＝1时，集合为{1，1，0}，不合题意，应舍去； 当a ＝－1时，集合为{－1，0，1}，符合题意． 故a ＝－1，∴a ＋a 2＋a 3＋…＋a 2011＋a 2012＝0．46【详解】解：（1）由题意，集合{|4}A x x a =-={}4,4a a =-+， 因为b 是任意实数，要使A B ⊆，必有4142a a -=⎧⎨+=⎩或4241a a -=⎧⎨+=⎩， 两个方程组都没有实数解，所以不存在满足条件的实数a . （2）由（1）知{}4,4A a a =-+，要使A B ⊆，则满足414a a b -=⎧⎨+=⎩或424a a b -=⎧⎨+=⎩或441a b a -=⎧⎨+=⎩或442a b a -=⎧⎨+=⎩， 解得59a b =⎧⎨=⎩或610a b =⎧⎨=⎩或37a b =-⎧⎨=-⎩或26a b =-⎧⎨=-⎩， 所以实数对(),a b 构成的集合为()()()(){}596103726----，,，,，,，. 47．（1）2a ≥；（2）2m ≤-或102m ≤≤．【详解】（1）依题意得12222x -<<，{}12A x x =-<<，因为A B ⊆，所以2a ≥； （2）因为C 是A 的子集，当C =∅时，有121m m -≥+，解得2m ≤-；当C ≠∅时，有12111212m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩，解得102m ≤≤； 综上所述得2m ≤-或102m ≤≤． 48．（1）{}1,{|(1)()0}B C x x x a ==--=， 当1a =时，{}1B C ==；当1a ≠时，{}1,,C a B =是C 的真子集. （2）当0a <时，因为C A ⊆，所以{}1,a A ⊆. 当233a a a +-=时，解得1a =(舍去)或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-，此时1171,,24A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭符合题意. 综上，3a =-或12a =-.。
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1.2.1集合之间的关系
教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。
2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。
教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。
教学过程：
一、复习提问
1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？
2、集合的表示方法有几种？分别是什么？
二、新课
5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}
或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。
称为：集合A是集合B的子集。
记作：A⊆B，或B⊇A。
例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。
特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。
定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。
记作：A⊆B，或B⊇A。
用Venn图表示(右上图)。
5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}
a≤b特点：集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合D中的任何一且b≥a个元素都是集合C中的元素，即C⊆D，或D⊇C。
则a=b 所以，C=D。
定义：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时集合A与集合B的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作：A=B 定义：若集合A⊆B，但在在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集
记作：A
B，或B A
例1中，集合A是集合B的真子集。
例2呢？
方程x2+1=0没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。
定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø，并规定：空集是任何集合的子集。
两个结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。
(2)对于集合A、B、C，如果A⊆B ，且B⊆C，那么A⊆C
类比：a<b，b<c，则a<c
例3、写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？
解：子集有：Ø，{a}，{b}，{a,b}; 真子集有：Ø，{a}，{b}
练习：P13 1、2
作业：P13 3、4
A．0 B．2 C．3 D．6
答案：（C）。