三道椭圆的高考题及解答
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题 第二关 椭圆相关的综合问题 【名师综述】 纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系． 【考点方向标】 方向一 中点问题 典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12 x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点， PF x ⊥轴，2 PF = . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ?面积的最大值. 【举一反三】 （2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦 点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．
方向二 垂直问题 典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2 e =，且过点(22． （1）求椭圆C 的方程； （2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足 12AM AB =u u u u v u u u v ，12 DN DE =u u u v u u u v ，求MNF ?面积的最大值． 【举一反三】 （2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一 点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP P ，且POB ?的面积是1 2 ，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值. 方向三 面积问题 典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()22 22:10x y E a b a b +=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直 线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线 OP 的斜率为1 2 -. （1）求椭圆C 的标准方程；
考点42 椭圆——2021年高考数学专题复习真题附解析
考点42 椭圆 【题组一 椭圆的定义及运用】 1．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()129 0PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【答案】D 【解析】当0a >时，由均值不等式的结论有：96a a + ≥=，当且仅当3a =时等号成立.当9 6a a + =时，点P 的轨迹表示线段12F F , 当129 6a F F a + >=时，点P 的轨迹表示以12F F 为焦点的椭圆,本题选择D 选项. 2．如图把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成8等分,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1， P2，…，P7七个点，F 是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=" " . 【答案】35 【解析】由已知得5a =，如图，E 是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知17FP EP =，26FP EP =， 35FP EP =，又45FP =，∴1234567FP FP FP FP FP FP FP ++++++7655675EP EP EP FP FP FP =++++++222535a a a =+++=．故答案为35．
3．椭圆 22 1 92 x y +=的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若14 PF=， 2 PF=_______； 12 F PF ∠的小大为 __________． 【答案】2 ；2 3π； 【解析】因为由椭圆的定义，我们可知 1221 222 1212 1212 12 22 |||| cos 2 164281 2422 PF PF a PF a PF PF PF F F PF F F PF PF PF +=∴=- +- ?∠= ? +- ==- ?? 中， 4．过椭圆 22 1 2516 x y +=的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则PFQ △的周长的最 小值为（） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【解析】如图所示,记椭圆的另一个焦点为1F ,
2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆(30题含答案)
2020高考数学(理数)题海集训31 椭圆 一、选择题 1.与椭圆9x 2＋4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24=1 B ．x 2＋y 26=1 C.x 26＋y 2 =1 D.x 28＋y 25 =1 2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F.以原点O 为圆心的圆 与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( ) A.35 B ．12 C.23 D ．34 3.设椭圆C ： =1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°， 则C 的离心率为( ) A. B. C. D. 4.设椭圆13 422=+y x 的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若△PF 1F 2是直角三角形,则△PF 1F 2的面积为( ) A.3 B.3或1.5 C.1.5 D.6或3 5.椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点， 则椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 22 =1 B.x 22＋y 2 =1 C.x 24＋y 22=1 D.y 24＋x 22=1 6.已知椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若AP ―→=2PB ―→ ，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 7.已知P 为椭圆x 225＋y 216 =1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2=1和圆(x －3)2＋y 2 =4上的点， 则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A ．5 B ．7 C ．13 D ．15 8.曲线x 225＋y 29=1与曲线x 225－k ＋y 29－k =1(k ＜9)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆(4)【含答案】
2021届高三高考数学复习压轴题专练32—椭圆（4）【含答 案】 1．直线10x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F ，交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若2FC AC =，则该椭圆的离心率是( ) A ． 102 2 - B ． 31 2 - C ．222- D ．21- 解：如图所示： 对直线10x y -+=，令0x =，解得1y =，令0y =，解得1x =-， 故(1,0)F -，(0,1)C ，则(1,1)FC =， 设0(A x ，0)y ，则00(,1)AC x y =--， 而2FC AC =，则0021 2(1)1 x y -=⎧⎨ -=⎩，解得0012 12 x y ⎧=-⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩， 点A 又在椭圆上， 所以22 2 211 ()()221a b -+=，222(1,)c a b c ==+， 整理得4224421a a a -=-， 所以235 a += 所以241245(102)102 354435c e a ---=-+． 故选：A ．
2．已知椭圆2 214 x y +=的上顶点为A ，B 、C 为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直 线BC 过定点( ) A ．(1,0) B ．(3，0) C ．1 (0,)2 D ．3 (0,)5 - 解：因为AB AC ⊥，所以10AB AC k k =-<，所以直线BC 斜率存在， 设直线:(1)BC l y kx m m =+≠，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，联立方程22 44y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ ， 消y 得222(41)8440k x kmx m +++-=，122 814km x x k -+= +， 2122 44 14m x x k -= +，(*) 又1212 11 1AB AC y y k k x x --=⋅=-， 整理得1212(1)(1)0y y x x --+=， 即1212(1)(1)0kx m kx m x x +-+-+=， 所以221212(1)(1)()(1)0(*)k x x k m x x m ++-++-=， 代入得：222222 4(1)(1)8(1) (1)01414k m k m m m k k +---+-=++， 整理得530m +=得35m =-，所以直线BC 过定点3 (0,)5 -． 故选：D ． 3．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若OAB ∠， OAF ∠的平分线分别交x 轴于点D ，E ，且222||||||2||||AD AE DE AD AE +-=⋅，则椭 圆C 的离心率为( ) A ． 22 B ． 31 2 - C ． 51 2 - D ． 32 解：如下图所示： 因 为 222||||||2|||AD AE DE AD AE +-⋅，所以由余弦定理得 222||||||2||||2 2||||AD AE DE AD AE AD AE +-⋅=⋅， 又(0,)2 DAE π ∠∈，所以45DAE ∠=︒．
椭圆高考题赏析带解析
椭圆高考题赏析
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 45352515 答案:B 解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c.又222b a c =-,所以 222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35 c e a ==. 2.已知椭圆22221(y x a b a b +=>>0的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =,则椭圆的离心率是 A.32 B.22 C.13 D.12 答案:D 解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =,∴a=2c.∴12 e =. 3.已知椭圆22221(y x a b a b +=>>0的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使1221 sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为. 答案:(211)-, 解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221 sin PFF sin PF F PF PF |||| =,∠∠ 则由已知,得 1211a c PF PF =,|||| 即a|1PF |=c|2 PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |2 2a c a =,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |
高考数学专题《椭圆》习题含答案解析
专题9.3 椭圆 1.（浙江高考真题）椭圆的离心率是（ ） A B C ． D ． 【答案】B 【解析】，选B ． 2.（2019·北京高考真题）已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则( ) A ．a 2=2b 2 B ．3a 2=4b 2 C ．a =2b D ．3a =4b 【答案】B 【解析】 椭圆的离心率2 221,2 c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B. 3．（上海高考真题）设p 是椭圆22 12516 x y + =上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 【答案】D 【解析】 因为椭圆的方程为22 5 1162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=， 故选D ． 4．（2020·四川资阳�高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2 ， 且C 的离心率为 1 2 ，则C 的方程是（ ） A ．22143x y += B ．22 186 x y + C ．22 142 x y += D ．22 184 x y += 22 194 x y +=23 59 33 e = =练基础
【答案】A 【解析】 依题意，可得213141 2a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22 143x y +=. 故选：A 5.（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()22 2210x y a b a b +=>>，焦 距为2c ，直线:4 l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） A B ． 34 C ． 12 D ． 14 【答案】A 【解析】 设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A ，则4 y x = 由2AB c = ，可知OA c = = c = ，解得3x =， 所以1,33A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 把点A 代入椭圆方程得到2 2 22 131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=， 整理得4281890e e -+=，即( )( ) 2 2 43230e e --=， 因01e << ，所以可得e =故选A 项. 6．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆22 11615 y x +=的上、下焦点，在椭圆上 是否存在点P ，使 11PF ，12 1F F ，21PF 成等差数列？若存在求出1PF 和2PF 的值；若不存
第4讲 第三定义(解析版)-2021年新高考数学椭圆小题全归纳
第4讲 第三定义 一、单选题 1．椭圆C ：22 143 x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那 么直线1PA 斜率的取值范围是 A ．13[,]24 B ．33[,]84 C ．1[,1]2 D ．3[,1]4 【答案】B 【详解】 设P 点坐标为00(,)x y ，则22 00143x y +=，2002PA y k x =-，1 00 2PA y k x =+， 于是1 2 2 2 222003334•244 PA PA x y k k x x - ===---，故1 2 314PA PA k k =-. ∵2[2,1]PA k ∈-- ∴133[,]84 PA k ∈.故选B. 【考点定位】直线与椭圆的位置关系 2．双曲线C ：22 153 x y -=的左、 右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线1PA 斜率的取值范围是 A ．3[1,]10 -- B ．33[,]84 C ．33[,]1020 - - D ．33[ ,]2010 【答案】C 【详解】 试题分析：根据双曲线的方程可知1A ，2A 的坐标分别为 ， ，设点 的坐标为 ，则 ，．不难发现，且因为点在双 曲线上，所以22 00153 x y -=，再结合 ，解得，故选C ． 考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】本题中我们可以看到给出的两条直线具有相关性，即具有公共点，且它们各自所经过的定 点1A ，2A 是关于原点对称的，此时不难想到两条直线的斜率之间必然会有某种关系．那么解题的关键是找出两条直线斜率之间的等式关系，再根据已知直线的斜率的取值范围，求解未知直线的斜率． 3．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()22 22:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ，AD 斜率之积的范围为 32,43⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，则椭圆Ω离心率的取值范围是 A ．1 2⎛ ⎝⎭ B ．⎝⎭ C ．41⎛ ⎝⎭ D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【分析】 由题意，,D B 关于原点对称，设()()()0000,,,,,D x y B x y A x y --，AD AB k k ∴⋅= 222 202222 2 0002 222 000011x x b b a a y y y y y y b x x x x x x x x a ⎛⎫ ⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⨯===--+--，2222 321,,43b c a a ⎛⎫∴-=-∈-- ⎪⎝⎭ 22111,,,4323c e a ⎛⎫⎛⎫ ∴∈∴∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选A. 【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质与离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.本题是利用AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ ，得到2223,34b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，进而构造出关于e 的不等式，最后解出e 的范围. 4．设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左,右顶点为,,A B P 是椭圆上不同于,A B 的一点,设直线,AP BP 的 斜率分别为,m n ,则当 ln ln a m n b ++取得最小值时,椭圆C 的离心率为 A ． 15 B ． 2 C ． 45 D
高三数学椭圆试题答案及解析
高三数学椭圆试题答案及解析 1.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭 圆于两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）直线方程为：或. 【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、 三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于椭圆过点A，将A点坐标代入得到a和b的关系式，再利用椭圆的离心率得到a与c的关系式，从而求出a和b，得到椭圆的标准方程；第二问，过的直线有特殊情况，即当直线的倾斜 角为时，先讨论，再讨论斜率不不为的情况，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得 到和，代入到三角形面积公式中，解出k的值，从而得到直线方程. 试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为 ，所以，所以②，解①②得. 所以椭圆的方程为：（4分） （2）①当直线的倾斜角为时，, ，不适合题意。（6分） ②当直线的倾斜角不为时，设直线方程， 代入得：（7分） 设，则,, ， 所以直线方程为：或（12分） 【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆相交问题、三角形面积公式. 2.已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点. （1）当时，求直线AB的方程; （2）设点，求证:当实数变化时，恒为定值. 【答案】（1）；（2）见解析。 【解析】（1）利用A、F、B共线及其所在位置，找出λ满足的关系式，求出范围；（2）假设这样的M点存在，利用为定值寻求相应点的坐标. 试题解析：（1）由已知条件知，直线过椭圆右焦点.又直线不与轴重合时，可设，代入椭圆方程，并整理得.
2023年新高考数学一轮复习9-3 椭圆(真题测试)含详解
专题9.3 椭圆（真题测试） 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22 214 x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．12 C ．2 D ．3 2．（2017·浙江·高考真题）椭圆22 194x y +=的离心率是（ ） A B C ．23 D ．59 3．（全国·高考真题（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直 线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ） A ．22 132x y += B ．2 213x y += C ．22 1128x y += D ．22 1124 x y += 4．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．12 5．（2019·北京·高考真题（理））已知椭圆2222 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ） A ．a 2=2b 2 B ．3a 2=4b 2 C ．a =2b D ．3a =4b 6.（2018·全国·高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．1 B ．2 C D 1 7．（2018·全国·高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点， 点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．2 3 B ．1 2 C ．1 3 D ．14 8．（2021·全国·高考真题（理））设B 是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足 ||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．⎫ ⎪⎪⎣⎭ B ．1,12⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦ D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满
高考数学二轮复习专项分层特训命题点23 椭圆含答案
命题点23 椭圆 小题突破 一、单项选择题 1．[2022·山东日照二模]已知曲线C ：x 2a ＋y 2a －1 ＝1，则“a >0”是“曲线C 是椭圆”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 2．[2022·全国甲卷(文) ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→ ·BA 2→ ＝－1，则C 的方程为( ) A ．x 218 ＋y 216 ＝1 B ．x 29 ＋y 28 ＝1 C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝1 3．[2022·广东肇庆二模]已知点F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点，点A 是椭圆上一点，点О为坐标原点，若|OA |＝|OF 1|，直线F 2A 的斜率为－3，则椭圆C 的离心率为( ) A ．58 B ．54 C ．13 D ．104 4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ·||MF 2 的最大值为( ) A ．13 B. 12 C ．9 D. 6 5．[2022·河北邯郸一模]已知椭圆C ：x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，则满足△PF 1F 2为直角三角形的点P 有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 6．[2022·湖南岳阳一模]已知椭圆长轴AB 的长为4，N 为椭圆上一点，满足||NA ＝1，∠NAB ＝60°，则椭圆的离心率为( ) A ．55 B ．255 C ．277 D ．377 7．[2022·全国甲卷(理)]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题17 解析几何中的椭圆问题(含详解)
专题17 解析几何中的椭圆问题 【高考真题】 1．(2022·全国甲文) 已知椭圆22 2 2: 1(0)x y C a b a b + =>>的离心率为1 3，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为 C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为( ) A ．2211816x y += B ．22198x y += C ．22132x y += D ．2 212 x y += 1．答案 B 解析 因为离心率1 3c e a = =， 解得2289b a =，2289b a =，12,A A 分别为C 的左右顶点， 则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b ，所以12(,),(,)BA a b BA a b =--=-，因为121BA BA ⋅=-，所以2 2 1a b -+=-，将2 289b a =代入，解得22 9,8a b ==，故椭圆的方程为22198 x y +=．故选B ． 2．(2022·全国甲理) 椭圆222 2 : 1(0)x y C a b a b + =>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若 直线,AP AQ 的斜率之积为 1 4 ，则C 的离心率为( ) A B ．2 C ．12 D ．13 2．答案 A 解析 (),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则11 11,AP AQ y y k k x a x a = =+-+， 故21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则() 2221 212b a x y a -=， 所以 () 222 12 2 2 114 b a x a x a -=-+，即2 214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a === A ． 3．(2022·新高考Ⅰ) 已知椭圆222 2 :1(0)x y C a b a b +=>>， C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为1 2 ．过 1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 3．答案 13 解析 ∵椭圆的离心率为1 2 c e a = =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为 222222 2 13412043x y x y c c c + =+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵ 222AF a OF c a c ===，，，∴23 AF O π∠= ，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交 于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE ， 直线DE 的 方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-= ，整理化简得到：221390y c --=，判别式
2023届高考数学二轮复习专题5第2讲椭圆、双曲线、抛物线作业含答案
第二篇 专题五 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 一、选择题 1．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( C ) A ．13 B ．12 C ．9 D ．6 【解析】由题，a 2＝9，b 2＝4， 则|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6， 所以|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝9(当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立). 故选C. 2．抛物线y ＝ax 2(a >0)上点M ⎝ ⎛⎭⎫m ，12到其准线l 的距离为1，则a 的值为( B ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 【解析】抛物线y ＝ax 2(a >0)即x 2＝1a y (a >0)， 可得准线方程y ＝－14a ， 抛物线y ＝ax 2(a >0)上点M ⎝ ⎛⎭⎫m ，12到其准线l 的距离为1， 可得：12＋14a ＝1，解得a ＝12 . 故选B. 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M ，N )，△AF 1B 的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为－23 ，则C 的方程为( C ) A ．x 212＋y 28 ＝1 B ．x 212＋y 24＝1 C ．x 23＋y 22 ＝1 D ．x 23 ＋y 2＝1 【解析】由△AF 1B 的周长为43， 可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43， 解得a ＝3，则M (－3，0)，N (3，0).
2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-椭圆的标准方程及性质(含答案)
椭圆的标准方程及性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.设P为椭圆C:+=1上一点,,分别是C的左,右焦点，若|-|=1,则 |=（） A. B. C. D. 2.已知椭圆x2+my2＝1(m＞0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝（） A. 2 B. C. D. 4 3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（） A. B. C. D. 4.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（） A. 2 B. 8 C. D. 5.设定点F1(0，-2)，F2(0，2)，动点P满足条件，则P的轨迹（） A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在 6.已知椭圆+=1的焦点为,,P为椭圆上的一点,若=,则的 面积为（） A. 3 B. 9 C. 3 D. 9 7.已知两定点F1（5，0），F2（-5，0），动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则M点的轨迹是（） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 一条射线 8.已知a,b R,则“a>0>b”是“-=1表示椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.方程表示椭圆的必要不充分条件是( ) A. m∈(-1，2) B. m∈(-4，2) C. m∈(-4，-1)∪(-1，2) D. m∈(-1，+∞)
10.已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段为直径 的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求） 11.已知椭圆的焦距为，则（） A. 椭圆的焦点在x轴上 B. C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的短轴长为 12.已知P是左右焦点分别为,的椭圆+=1上的动点,M(0,3),下列说法正确的有（） A. |MP|的最大值为5 B. |+|=4 C. 存在点P,使= D. |-|的最大值为4 三、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 13.已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且， ，则椭圆的离心率为． 14.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且 满足=0，则椭圆C的离心率为． 15.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截得的截面图形 为椭圆，截得的几何体的最短母线长和最长母线长分别为2和3， 则该几何体的体积为，截面椭圆的离心率为． 16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点， 是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 17.已知椭圆E:+=1的一个顶点为H(2, 0),对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使 得MP MH,则实数t的取值范围是 .
2023届高考数学一轮复习讲义--椭圆解答题斜率(和)为定值模型总结(解析版)
椭圆解答题专题一 斜率（和）为定值 【典例展示】 1. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点M （﹣2，﹣1） M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （1）求椭圆C 的方程； （2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 【答案】（1）22 163 x y +=（2）见解析 【详解】 (1)由题设，得2241a b +＝1，① ，① 由①、①解得a 2 ＝6，b 2 ＝3，故椭圆C 的方程为22 63 x y ＋＝1. (2)设直线MP 的斜率为k ，则直线MQ 的斜率为－k ， 记P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)． 设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得(1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k)x ＋8k 2－8k －4＝0， 则－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝2288412k k k --＋，即x 1＝ 22442 12k k k -+＋＋. 设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x 2＝ 22 44212k k k --＋＋. 因y 1＋1＝k(x 1＋2)，y 2＋1＝－k(x 2＋2)， 故k PQ ＝2 121212121212 282)2412812k y y k x k x k x x k k x x x x x x k +－（＋（＋）（＋＋）＋＝＝＝－－－＋＝1， 因此直线PQ 的斜率为定值． 【探究总结】 过椭圆22 221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆 于B,C 两点，则直线BC 有定向且20 20 BC b x k a y =（常数）. 【变式练习】
高中数学高考总复习椭圆习题及详解
高中数学高考总复习椭圆习题及详解 一、选择题 1．设0≤α<2π，假设方程x 2 sin α－y 2 cos α＝1表示焦点在y 轴上椭圆，那么α取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π4，2π B.⎣⎢⎢⎡⎭ ⎪⎪ ⎫ π2，3π4 C.⎝ ⎛⎭ ⎪⎪ ⎫ π2，3π4 D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎪ ⎫ 3π4，3π2 [答案] C [解析] 化为x21sin α＋y2 － 1 cos α＝1， ∴－1cos α>1 sin α >0，应选C. 2．(文)(2021·瑞安中学)双曲线C 焦点、顶点分别恰好是椭圆x225＋y2 16＝1长轴端点、焦点，那么双曲线C 渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0 B ．3x ±4y ＝0 C ．4x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝0 [答案] A [解析] 由题意知双曲线C 焦点(±5,0)，顶点(±3，0)，∴ a ＝3，c ＝5，∴ b ＝c2－a2＝4， ∴渐近线方程为y ＝±4 3 x ，即4x ±3y ＝0.
(理)(2021·广东中山)假设椭圆x2a2＋y2b2＝1过抛物线y 2 ＝8x 焦点，且与双曲线x 2 －y 2 ＝1，有一样焦点，那么该椭圆方程是( ) A.x24＋y22＝1 B.x23＋y 2 ＝1 C.x22＋y24＝1 D ．x 2 ＋y23＝1 [答案] A [解析] 抛物线y 2＝8x 焦点坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆右顶点坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2 －y 2 ＝1有一样焦点，∴a ＝2，c ＝2， ∵c 2 ＝a 2 －b 2 ，∴b 2 ＝2，∴椭圆方程为x24＋y2 2 ＝1. 3．分别过椭圆x2a2＋y2 b2＝1(a >b >0)左、右焦点F 1、F 2作两条互 相垂直直线l 1、l 2，它们交点在椭圆内部，那么椭圆离心率取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭ ⎪⎪⎫0，22 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，1 D.⎝ ⎛⎦ ⎥⎥⎤0，22 [答案] B [解析] 依题意，结合图形可知以F 1F 2为直径圆在椭圆内部，∴c 2c 2 ，即e 2 ＝c2a2<1 2 ，又∵
高二数学椭圆专项练习题及参考问题详解
高二数学椭圆专项练习题与参考答案 训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,离心率为0.6,长、短轴之和为36,如此椭圆方程为 A.16410022=+y x B.1100 6422=+y x C.1100641641002222=+=+y x y x 或 D.110 818102222=+=+y x y x 或 x 2＋ky 2＝2,表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值X 围是 A.<0,＋∞>B.<0,2> C.<1,＋∞>D.<0,1> x 2＋y 2＝4,又Q <3,0>,P 为圆上任一点,如此PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为
最新椭圆高考题目汇总教师版含答案
椭圆高考题目汇总教 师版含答案 ------------------------------------------作者xxxx ------------------------------------------日期xxxx
考点１1 椭圆 1。(2010·广东高考文科·T7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A ． 45 B ．35 C.25 D ．15 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系,从而求出e . 【规范解答】选B . 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+， ∴ 224()b a c =+，即: 22242b a ac c =++，又 222a b c =+, ∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴ 0a c +=(舍去)或 350a c -=,∴ 3 5 c e a = =,故选B 。 ２。(２0１0·福建高考文科·T １1）若点O 和点F 分别为椭圆 22 143 x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A 。2 Ｂ。3 C ．６ D 。８ 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值。 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设Ｐ为动点，依题意写出 OP FP ⋅的表达式，进而转化为求解条件最值的问题,利用二次函数的 方法求解.
【规范解答】选C,设()00P x ,y ,则2222 0000x y 3x 1y 3434 +==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴⋅=⋅++2001x x 34 = ++()2 01x 224=++，又[]0x 2,2∈-, () []OP FP 2,6∴⋅∈，所以 () max 6OP FP ⋅=。 ３。(20１0·海南高考理科·T2０)设12,F F 分别是椭圆Ｅ： 22 221x y a b +=（ａ>ｂ〉0）的左、右焦点,过1F 斜率为1的直线l 与Ｅ 相交于,A B 两点,且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. (Ⅰ)求Ｅ的离心率; (Ⅱ）设点P(0,-１)满足PA PB =,求Ｅ的方程。 【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等。解决本题时,一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识. 【思路点拨】利用等差数列的定义,得出2AF ，AB ,2BF 满足的一个关系,然后再利用椭圆的定义进行计算。 【规范解答】(Ⅰ）由椭圆的定义知,224AF BF AB a ++=,又 222AB AF BF =+ 得 4 3AB a =， l 的方程为y x c =+, 其中c =设()()1122,,,A x y B x y ，则,A B 两点坐标满足方程组 22221y x c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得，2222222()2()0a b x a cx a c b +++-=
重难点25 椭圆-2023年高考数学(热点 重点 难点)专练(全国通用)(解析版)
重难点25 椭圆 1.用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①b 2＝a 2－c 2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a ； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a . 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 3.椭圆的常用性质 (1)若点P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则 ①b ≤|OP |≤a ； ②a －c ≤|PF |≤a ＋c . (2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2 a . (3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2 b 2＋λ＝1(λ>－ b 2)． (4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭
圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)中： ①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大； ②S ＝1 2|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ； ③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )． (5)若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2 a 2. 椭圆仍然是2023年的必考点。椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问. （建议用时：40分钟） 一、单选题 1．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则 C 的离心率为 A ．31 B ．23 C 31 -D 31 【答案】D 【解析】在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒ 设2||PF m =，则1212||2,||3c F F m PF m ===， 又由椭圆定义可知122||||(31)a PF PF m =+=+ 则离心率22312(31)c c m e a a m ====-+， 故选D. 2．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）