含参讨论单调性
(完整版)导数讨论含参单调性习题(含详解答案).doc
1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。
导数讨论含参函数的单调性
导数讨论含参函数的单调性【思想方法】上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
【典例讲解】例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞;II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('，a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
导数应用-含参函数的单调性讨论
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。
二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。
变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。
即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。
一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。
变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。
对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。
用导数研究含参函数的单调性
用导数研究含参函数的单调性导数是研究函数在各个点上的斜率或变化率的工具，可以用来研究含参函数的单调性。
含参函数是指函数中包含一个或多个参数的函数。
研究含参函数的单调性，既可以固定参数的值，将其视为常数，研究含参函数的单调性；也可以将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性。
一、固定参数的值，研究含参函数的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，固定参数$\theta$的值，将其视为常数。
此时，可将含参函数简化为仅含有变量$x$的函数$f(x)$。
然后利用导数的概念和性质来研究这个简化后的函数$f(x)$的单调性。
具体步骤如下：1.求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$，即计算$f(x)$关于$x$的导数。
这一步可以直接用导数的定义来计算，或者应用常见函数的导数公式，例如幂函数、指数函数、对数函数等的导数公式。
2.求出函数$f'(x)$的零点，即求出方程$f'(x)=0$的解。
这些零点对应于函数$f(x)$的驻点，它们是函数在一些点上的斜率为0的点。
3.利用导数的符号来研究函数$f(x)$的单调性。
若$f'(x)>0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为正，则函数$f(x)$单调递增；若$f'(x)<0$，表示函数$f(x)$在该点处的斜率为负，则函数$f(x)$单调递减。
4.将求出的零点和函数的特殊点（如端点、奇点等）放在数轴上，根据导数的符号，划分函数$f(x)$的单调区间。
通过以上步骤，可以得到函数$f(x,\theta)$在固定参数$\theta$的取值下，函数$f(x)$的单调性。
二、将参数值作为变量，研究函数在不同参数取值下的单调性：对于含参函数$f(x,\theta)$，其中$\theta$为参数，可以将参数值$\theta$看作是一个变量，通过改变参数值来研究函数的单调性。
这种情况下，可以使用偏导数来研究含参函数的单调性。
对含参函数单调性的讨论精品教案
对含参函数单调性的讨论精品教案班级：高中数学年级：高二教案主题：对含参函数单调性的讨论教案时长：1课时（45分钟）教学目标：1.了解含参函数的定义和性质；2.掌握讨论含参函数单调性的方法；3.通过练习题巩固所学知识。
教学重点：1.含参函数单调性的定义；2.含参函数单调性的判定方法。
教学难点：1.能独立讨论含参函数的单调性；2.运用所学知识解决实际问题。
教学准备：1.PPT和多媒体设备；2.练习题。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1.老师先展示一道含参函数的问题：“已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$都是实数。
请问：对于不同的$a,b,c$取值，该函数的单调性有没有特殊的性质？”2.学生思考并回答问题。
步骤二：观察示例（10分钟）1.老师设计一组示例，如$f(x)=ax^2+bx+c$（取$a=1$，$b=-2$，$c=3$）。
展示图像并引导学生观察。
2.学生观察图像后，讨论函数在不同取值下的单调性。
3.老师总结学生讨论的结果，并引入含参函数的单调性定义。
步骤三：定义含参函数单调性（10分钟）1.老师在PPT上呈现含参函数的单调性定义：“如果对于函数$y=f(x,a,b,c,\cdots)$，对于任意两个自变量$x_1<x_2$，均有$f(x_1,a,b,c,\cdots)<f(x_2,a,b,c,\cdots)$或$f(x_1,a,b,c,\cdots)>f(x_2,a,b,c,\cdots)$成立，则称函数$f$在定义域上是单调递增或单调递减的。
”2.老师解释定义中的关键词，并与学生交流、讨论。
步骤四：讨论含参函数单调性的方法（15分钟）讲解下列判定方法并给予示例：1.求导数法：求函数的导函数，分析导函数的正负来确定函数的单调性。
2.二次判别法：对于一个二次函数，通过判别式$b^2-4ac$的正负来确定函数的单调性。
3.通项法：对于一个通过通项公式表示的含参函数，通过分析通项公式的表达式来确定函数的单调性。
导数应用之含参函数单调性的讨论(含答案)
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导数应用之含参函数单调性的讨论
一．预备知识：
（一）二次方程根的分布：
1．已知方程4x 2+2(m-1)x+(2m+3)=0（m ∈R ）有两个正根，求实数m 的取值范围。
2．已知方程2x 2-(m+1)x+m=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
（二）穿根法拓展：
1．
02
2
2>--+x x x 2．(e x -1)(x-1)＞0 3．(e x -1)(x-1)2＞0
4．(e -x -1)(x-1)＞0 5．(1-lnx)(x-1)＞0
二．导后“一次”型：
1．已知函数f(x)=ax-(a+1)·ln(x+1)，a ≥-1，求函数f(x)的单调区间。
2．已知函数f(x)=e x -ax ，讨论函数f(x)的单调性。
三．导后“二次型”：
3．已知函数f(x)=lnx+x 2-ax(a ∈R)，求函数f(x)的单调区间。
2
4．已知函数f(x)=m ·ln(x+2)+2
1x 2
+1，讨论函数f(x)的单调性。
5．求函数f(x)=(1-a)lnx-x+2
2
ax 的单调区间。
6．已知函数f(x)=(ax 2-x)·lnx-2
1ax 2
+x ，讨论f(x)的单调性。
四．导后求导型
7．已知函数f(x)=e x -x 2，求函数f(x)的单调区间。
8．已知函数f(x)=
x
e
x 1
ln ，求函数f(x)的单调区间。
9．已知函数f(x)=e mx +x 2-mx ，讨论函数f(x)的单调性。
3
4。
含参函数的单调性讨论
单调递减区间: (,
1 3a
)
和
(
1 ,). 3a
例2： 若函数f ( x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减,
求实数a的取值范围.
解析：
f '( x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '( x) 0在（0,2）上恒成立
即2ax 3x 2
a 3 x, x (0,2) 令g(x) 3 x
f (x)
+
0
-
f (x)
极大值
1 0 极小值
(1, )
+
综上，当 a 0时， f (x) 在 (,1) 上单调递减， f (x) 在 (1,) 上单调递增。
当 e a 0 时， f (x) 在(,ln(2a))上单调递增，在(ln(2a),1)上单调递减，在(1,)上单调递增；
2
当 a e 时， f (x) 在 (, ) 上单调递增。
练习 1．
练习2： 求f (x) x ax x2 (a 0)的单调区间
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
f ( x)
ax x2 x(a 2x) x(3a 4x) . 2 ax x2 2 ax x2
由f (x) 0 及x (0,a), 解得0<x<3a/4,故f(x)的递增区间是(0,3a/4).
由f (x) 0 及 x (0,a), 解得3a/4<x<a,故f(x)的递减区间是(3a/4,a).
说明: 事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得导数为零,不影响包 含该点的某个区间上的单调性,只有在某个区间内恒有导数为零,才 能判定 f(x)在这一区间内是常数函数.
含参型函数单调性求解技巧
含参型函数单调性求解技巧单调性是函数在某个定义域上的递增或递减性质。
当一个函数在某个区间上单调递增时，函数的值随着自变量的增大而增大；当一个函数在某个区间上单调递减时，函数的值随着自变量的增大而减小。
要判断一个含参型函数的单调性，可以运用微积分和函数性质的知识。
下面介绍一些常见的求解技巧。
一、求导法1. 单调递增区间如果一个函数在某个区间上的导数大于零，则函数在该区间上单调递增。
即 f'(x) > 0。
2. 单调递减区间如果一个函数在某个区间上的导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
即 f'(x) < 0。
判断函数的单调性时，可以求出函数的导数，并根据导数的正负来判断单调性的性质。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以求出它的导数 f'(x) = 2x + 3。
根据导数 f'(x) 的正负，可以判断函数 f(x) 的单调性。
二、函数性质法有些函数具有特殊的数学性质，可以利用这些性质来判断函数的单调性。
1. 二次函数二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是常数，并且 a ≠ 0。
当 a > 0 时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递增；当a < 0 时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递减。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，它是一个开口向上的抛物线，函数在整个定义域上单调递增。
2. 反函数如果一个函数在整个定义域上单调递增或单调递减，则它的反函数在整个值域上也单调递增或单调递减。
例如，对于函数f(x) = e^x，它是一个在整个定义域上单调递增的指数函数。
其反函数为f^{-1}(x) = \\ln x，它在整个值域上也单调递增。
三、初等函数的单调性规律对于一些常见的初等函数，也存在一些单调性的规律，可以用来判断函数的单调性。
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学科教师辅导讲义
第16炼 含参数函数的单调区间
在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。
本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。
一、基础知识：
1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。
即确定定义域→求出导函数→令()'0
f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x
的限制有时会简化含参不等式的求解
3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
4、关于分类讨论的时机与分界点的确定
（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +∞，中间并没有进行分类讨论。
思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果。
所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->，第一步移项得：2x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a
的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a
是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。
体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。
所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。
（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。
要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。
例如上面的不等式
2x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。
（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解
（4）当参数a
扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。
例如：解不等式：()()110ax x -->，可得：()1210,1x a x a
=
≠=此时a 扮演两个角色，一个是x
的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定1x 的大小，进而要和2x 来角逐大小根。
那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以x
系数的正负，进行分类。
①当0a <时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于0a <，以此为前提
1201x x <<=，故小大根不存在问题，解集为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
②当0a =时，不等式变为()()10,1x x -->⇒∈-∞
③当0a >时，不等式解集为小大根之外，而1210,1x x a
=>=，12,x x 的大小由a 的取值决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。
（重视①③的对比）
1201x x a >⇒<<时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
121x x a =⇒=时，不等式化为()2101x x ->⇒≠
121x x a <⇒>时，不等式解集为()1,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。
二、典型例题：
例1：已知函数()1ln x f x x ax
-=
+，求()f x 的单调区间
例2：已知函数()32331f x ax x a
=-+- （1）若()f x 的图像在1x =-处的切线与直线113
y x =-+垂直，求实数a 的值 （2）求函数()f x 的单调区间
例3：已知函数()22ln f x x ax =-，求()f x 的单调区间
例4：讨论函数()()21ln 1f x a x ax =+++的单调区间
例5：已知函数()()22ln f x x a x x
=-
+-，讨论()f x 的单调性
例6：已知函数()1ax a f x e a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中1a ≥-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）求()f x 的单调区间．
例7：已知函数()()()21ln 12
f x x ax a x a R =
+-+∈.求函数()f x 的单调区间.
例8：已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-，求()f x 的单调区间
例9：设函数()()321212,03
f x ax ax a x a =++-≠，求()f x 的单调区间；。