测度空间与测度论进阶
测度论基础知识总结
测度论基础知识总结1.集合论1.1 集合与基本运算·概念:具有一定性质的对象构成的全体（不严格定义).中间含有的对象叫元素。
全集：要研究的问题涉及到的最大集合.空集：没有任何元素的集合。
表达方法：｛x(集合元素x）｜x应该有的性质}·元素与集合的关系:x A，x∉A·集合之间的关系只有包含或者不包含若对于任意元素x A，x B则A包含于B（证明就用这个方法)，A是B的子集（A B则为B的真子集）包含的特殊情况相等：A=B就是A包含于B同时B包含于A真子集：A包含于B但A B·集合的运算①单个元素的幂集对于一个集合X，它的幂集表示所有其子集为元素构成的集合。
这种以集合为元素的集合,也叫集合族。
②两个集合的运算交：A B=｛x｜ x A且x B｝并:A B={x｜ x A或x B｝差：A\B(或写成A—B）=｛x｜ x A且x∉B｝补：=U\A（U是问题要研究的全集)于是有等式A\B=A积：（直积）A×B={（x,y）| x A且y B ｝（把A、B中元素构成有序对）③多个元素的运算多个交表示所有以λ为角标的集合的并，要求λ，称为指标集。
类似有多个并注：可以是无穷个【例】x｜ x>,A={x| x>0｝，则A=·集合的分析相关性质①上限集：一列集合｛｝,定义上限集为。
类似于数列的上极限。
②下限集：一列集合{}，定义下限集为。
类似于数列的下极限。
③集合列的极限：当上限集等于下限集时极限存在，就是上限集（或下限集)。
④单调集合列:若始终有包含于,也就是集合越来越大，则为递增集合列；反之，若始终有，则为递减列。
若为递增列，则有极限=;若为递减列，则有=.1.2映射·定义：X、Y是两个集合，对任意x X，存在唯一的y=f（x)Y与之对应，则对应法则f为X到Y的一个映射，记为f:X→Y.像集：对于X的一个子集A,像集{f(x）｜ x A｝记为f(A），显然包含于Y原像集：对于Y的一个子集B，原像集{x｜ x记为·满射：f(X)=Y，即Y中所有元素都是像单射：X中不同元素一定对应Y中不同的像双射：既是单射又是满射。
第三章 测度论
第三章 测度论教学目的：1.掌握外测度定义及其性质.2.掌握可测集及其性质. 重点难点：要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.引 入Lebesgue 测度是长度、体积、重量的推广，对于区间],[b a ，a b -是区间长度，对于矩形 ，ab S =是面积.问题:对任意一个集合R E ⊂,能否定义一个“长度”的概念?不妨记其为E ,这就是本章的内容.上一章我们由个数推广到基数,由开区间推广到开集,此处如何推广?对两个区间 ,其“长度”为每个区间长度之和,三个区间类似,那么可数个区间呢?如开集),(1n n n b a G ∞== ,则长度∑∞=-=1)(n n n a b G (长度允许无穷大)可见开集可以定义长度.到此为止并不满意,因开集、闭集都行,但一般集合怎么办?如何定义 “长度”? 即:要考虑对任意集E ,?=E 希望nn E E ∞==1 ,n E E ∑=,而且定义的长度需满足一定的条件,如空集φ的长度为0等等.为此先介绍广义实数. 称λ为一个广义实数,如果R ∈λ或+∞=λ或-∞=λ.即广义实数全体就是在R 中加入了两个新“数”∞+和∞-.(i)广义实数的加法和减法: 若R a ∈,规定±∞=+±∞=±∞+a a )()(; ∞=±∞- )(a ;±∞=-±∞a )(; ±∞=±∞+±∞)()(;±∞=±∞+±∞)()(没有意义. (ii) 广义实数的乘法和除法: 若R a ∈,规定[]][2a 1b 1a 2b⎪⎩⎪⎨⎧∞∞±=⋅±∞=±∞⋅0)()( a a 000=<>a a a(注意此处不要与数分中不定式∞⋅0混同,0lim =n x , ±∞=n y lim ,那么?lim =n n y x 不确定,但此处的∞±指广义实数而不是变量) ;±∞=±∞⋅±∞)()(;-∞=∞⋅±∞)()( ;01=∞±;)(1±∞⋅=∞±a a )0(≠a (iii)广义实数的大小关系:规定+∞<∞-,此外对任何实数R a ∈,+∞<<∞-a .§3.1 引言若I 是一个有界区间,则I 的长度定义为它的两个端点的距离,记为)(I l ;若I 是一个无界区间,则定义I 的长度为∞,也记成)(I l .这样()()1)1,0(]1,0[==l l ,()∞=-∞]0,[l ,()∞=+∞],1[l .我们的目的是希望把上述仅对区间有定义的长度概念推广到更一般的实数集上去.不妨设上述的长度概念推广到R 上的一个集族Ω上.对任何Ω∈E (即E 是R 的一个子集),我们把它的长度记为)(E m .对Ω,我们希望满足下面三个条件:)(1Ω所有区间都是Ω中的元；)(2Ω若Ω∈E ,则Ω∈-=E R E c ；)(3ΩΩ中任意至多可数个元的并是Ω中的元.而对m ,我们希望它满足下面三个条件:)(1m 对每一个Ω∈E ,)(E m 是一个非负广义实数,即)(E m 或者是一个非负实数,或者是∞；)(2m 对每一个区间I ,)()(I l I m =；)(3m 若{}1≥n n E 是Ω中任何一列两两不相交的元,则)()(n n E m E m ∑= .注:),(m Ω是一起出来的,是一个关系.显然Ω可以构造,如Ω是R 的子集全体,但无m 满足的三条)(1m ～)(3m .现在R 上随便拿一个集合E ,有开集包含它(如取R G =),则)()(G m E m ≤,而对于开集G ,我们知道∑∞=-=1)(n n n a b G ,所以≤)(E m ∑∞=-1)(n n na b,于是)(E m 可以定义为∑∞=-1)(n n na b的下确界,即包含E 的所有开集G 的长度的下确界.这是一种办法.还有另一种办法:对任意集合R E ⊂,可否拿来闭集F ,使F E ⊃?可以(如取E 中一点作为F ),则)()(E m F m ≤.这样,所有包含在E 里的闭集F 的长度取上确界得)(E m .但G E F ⊂⊂所定义的长度是否满足三条)(1m ～)(3m ?若)(F m 的上确界与)(G m 的下确界相等,则由两边夹就可能定义)(E m .§3.2 Lebesgue 外测度外测度即)(G m 的下确界. 对R E ⊂)(*E m {}nn n n n n I E I I l ⊂∑=≥是一列开区间并且1}{:)(inf称为E 的Lebesgue 外测度,其中)(n I l 是开区间n I 的长度 (由于开集G是至多可数个两两不相交的开区间的并,所以以上直接用开区间.(我们希望)(*E m 就是前面的m ,满足三条,但不行) .例:设{}1≥n n r 是有理数全体(即{}1≥=n n r Q ),求)(*Q m .解:任取0>ε,)2,2(11+++-=n n n n n r r I εε,则nn I Q ∞=⊂1 ,εε=∑=∑∞=∞=nn n n I l 2)(11所以)(*Q m ε=∑≤∞=)(1n n I l由ε的任意性, 0)(*=Q m .可见,从测度(长度)的观点来说,虽然Q 密密麻麻,但其外测度却是0.由上例可知，R 中任何至多可数子集的外测度为0。
第二章测度论
第二章测度论引言实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。
在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积. 所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进. Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积. 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数.本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合E}为一列互不相交的为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{i有测度的集合时， ∞=1i i E 的测度恰好为每个集的测度之和）.§1 外测度一、外测度的定义记 n R 中的开区间{}n i b x a x x x x I i i i n ,,2,1,),,,(21 =<<==其中i i b a ≤为有限数.若上述记号中等号可能出现，则称I 为区间，显然1R R n =时，I 即为1R 上的区间.另外还规定∏=-=ni i i a b I 1)(为区间I 的体积.定义1 设E ⊂nR ，{}i I 是nR 中覆盖E 的任一列开区间，即 ∞=⊂1i i I E ，记∑∞==1i i I μ（μ可以取+∞），显然所有这样的μ构成一个有下界的数集，则它的下确界称为E 的Lebesgue 外测度，记为.,inf **11∞=∞=⊂=∑i i i i I E I E m E m 即注 定义中覆盖E 的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意n R E ⊂，E m *均存在，且可以取+∞.二、外测度的基本性质定理 外测度具有如下性质：（1）对任意n R E ⊂都有0*0*=≥φm E m 且 （非负性）,（2）设n R A B ⊂⊂，则A m B m **≤（单调性）,（3）设ni R A ⊂，则∑∞=∞=≤11*)(*i i i i A m A m （次可加性）,（4）设n R B A ⊂,，若0),(>B A ρ，则B m A m B A m **)(*+= （隔离性）.证明 （1）显然成立。
§2.1 测度与测度的性质
{ p n , p ≥ 1} 是一列非负实数. 在 P ( X ) 上定义
µ (∅) = 0, µ ( A) =
ai ∈ A
∑p ,
i
A∈ P (X ) .
容易验证 µ 是 P ( X ) 上的测度. 特别地, 当 p n = 1( n ≥ 1) 时,
µ ( A) = .
A中元素的个数 + ∞
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的测度. 在§2.3 将给出测度最重要的例子, 即 R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环 R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ ( A) ≤
n
µ ( B).
(2) 可减性. 若 A, B ∈ R , A ⊂ B 并且 µ ( A) < +∞, 则
小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的测 度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在§2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题—第 8 题.
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)
= µ ( A1 ) + = ∑ µ ( Ai ).
i =1 n
+ µ ( An ) + µ (∅) +
这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环 R 上的广义实值函数, 则 µ 是 R 上的测度. 例 1 设 R = { X , ∅}. 令 µ (∅) = 0,
广义实数集 测度论中讨论的函数和测度将允许取正、负无穷为值.为此引进“ + ∞ ”和 “ − ∞ ”两个符号, 称之为广义实数.规定它们与实数 a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) (2) 序关系: − ∞ < a < +∞ . 加法:
sigma有限测度空间
sigma有限测度空间摘要：一、引言- 介绍sigma 有限测度空间的概念- 简述sigma 有限测度空间在数学领域的重要性二、sigma 有限测度空间的定义- 解释测度空间- 详述sigma 有限测度空间的性质1.可数可加性2.有限可加性3.sigma 有限性三、sigma 有限测度空间的例子- 给出常见sigma 有限测度空间的例子1.离散空间2.连续空间3.半连续空间四、sigma 有限测度空间的应用- 阐述sigma 有限测度空间在概率论、统计学等领域的应用- 介绍与sigma 有限测度空间相关的著名定理和公式五、结论- 总结sigma 有限测度空间的主要特点和应用- 展望sigma 有限测度空间在未来的研究前景正文：一、引言sigma 有限测度空间是数学领域中的一个重要概念，涉及到测度论、概率论、统计学等多个分支。
本文将详细介绍sigma 有限测度空间的定义、性质及其在各个领域的应用。
二、sigma 有限测度空间的定义测度空间是一个用来度量集合大小的数学结构，其中包含了三个基本要素：一个非空集合、一个测度函数和一些性质。
sigma 有限测度空间是测度空间的一种，具有以下性质：1.可数可加性：对于任意可数个互不相交的集合，它们的并集的测度等于各个集合测度之和。
2.有限可加性：对于任意有限个互不相交的集合，它们的并集的测度等于各个集合测度之和。
3.sigma 有限性：测度空间中所有集合的测度之和是有限的。
三、sigma 有限测度空间的例子sigma 有限测度空间在数学领域有广泛应用，以下是一些常见的例子：1.离散空间：离散空间是一种简单的sigma 有限测度空间，其测度函数可以表示为：测度(A) = |A|，其中|A|表示集合A 中元素的个数。
2.连续空间：连续空间是更一般化的sigma 有限测度空间，其测度函数满足可数可加性和有限可加性。
例如，欧氏空间中的Lebesgue 测度。
3.半连续空间：半连续空间是连续空间的一种，其测度函数满足可数可加性和半有限可加性。
测度论前置课程
测度论前置课程1. 引言测度论是数学的一个分支，主要研究如何对集合进行测度的定义和性质。
在实际应用中，测度论被广泛运用于各个领域，如概率论、积分理论、几何学等。
为了更好地理解和应用测度论，掌握一些前置课程是必要的。
本文将介绍一些重要的前置课程，并讨论其与测度论的关系。
2. 集合论基础在学习测度论之前，我们需要对集合论有一定的了解。
集合是数学中最基本的概念之一，在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
我们需要掌握集合的基本运算、集合之间的关系以及集合上的代数结构等内容。
3. 实数与实数空间实数是测度论中一个重要的概念，因为它是定义测度的基础。
我们需要熟悉实数集及其性质，掌握实数序列和实数列极限等概念。
此外，还需要了解实数空间及其性质，如完备性、紧致性等。
4. 测度的基本概念测度是测度论的核心内容，它用来衡量集合的大小。
我们需要了解测度的基本概念，如可测集、测度空间等。
此外，还需要研究测度的一些性质，如非负性、有限可加性等。
5. 测度空间上的积分积分是测度论中另一个重要的概念，它与测度有密切的关系。
我们需要了解积分的定义和性质，包括可积函数、积分域上的积分等内容。
此外，还需要掌握一些重要的积分定理，如Fubini定理、Lebesgue控制收敛定理等。
6. 流形与微分几何流形和微分几何是测度论在几何学领域中的应用。
我们需要了解流形的定义和性质，熟悉流形上的切空间、切向量场等概念。
此外，还需要学习微分形式、黎曼曲率张量等内容，并了解它们与测度论之间的联系。
7. 概率论基础概率论是应用最广泛的数学分支之一，在统计学、金融学、工程学等领域都有重要的应用。
我们需要学习概率论的基本概念，如随机变量、概率分布、期望等。
此外，还需要了解一些重要的概率分布，如正态分布、泊松分布等。
8. 应用领域测度论在实际应用中有广泛的应用。
我们可以将测度论应用于概率论中的积分理论，从而得到更强大的工具。
此外，测度论还可以应用于几何学中的曲线长度和曲面积分等问题。
测度论核心思想
测度论核心思想一个物体或者空间的一个区域A,其体积记作V(A),应该是一个非负的实数。
首先，体积具有如下重要性质，若两个区域A,B互不相交，则V(A+B)=V(A)+V(B).这里我用A+B表示两个区域A,B的并集。
这个性质称为体积的可加性。
测度作为体积的推广也应该具有可加性。
我们将要看到这是体积以及测度最本质的性质。
其次，点、线、面的体积都等于0.所以应该允许一些子集的体积等于0.第三，3维空间自身的体积是无穷大，因而一般的测度也应该允许某些子集的测度为无穷大。
所以我们可以如下建立测度理论。
给定一个大的集合，比如3维空间，或者一个微分流形等等，对这个集合的每一个子集A都指定一个数，即它的测度，也可称作体积，为方便起见，我们记之为V(A).当然这一指定方式需要满足一些条件，比如至少应该使得可加性成立，其次测度不可能是一个负数。
因而集合的测度取值为0到正无穷大，即扩充的正实数集。
分析一下我们前面的讨论。
注意到我们对每一个子集都指定了一个实数作为这个子集的测度。
但是，这通常是做不到的，亦即，一般而言，不可能对一个集合的每一个子集都指定这样一个数并使得这一指定方式能够满足我们前面列出来的几个性质。
事实上对3维空间或一般的欧几里得空间，如果我们要求单位立方体的体积等于1,那么不可能对每一个子集都赋予一个测度。
因而测度只能定义在某些子集上，而不是全部的子集。
这是建立测度理论总是要从集合运算开始的原因。
所以测度论的第一步就是讨论在哪些子集上赋予测度。
我们从某些子集出发，通过集合运算-取并集、交集、余集-得到一些新的集合，这里的集合运算都是对有限多个集合来做的。
比如对于3维空间，长方体肯定是有体积的，一些长方体的并集、交集以及余集都应该是有体积的。
把所有这样得到的集合放到一起，我们很容易看出其中必定包括空集，因为集合A和A 自身的余集的交集就是空集。
所以我们认为空集也有体积，显然唯一合理的方式是对空集赋予体积0.这样我们通过集合的有限并、交、补得到一些子集，并对其中的每一个赋予一个实数，即其测度并满足可加性，而且空集的测度为0.我们继续考虑测度需要满足的性质。
测度论中的核心理论与公式
测度论中的核心理论与公式在数学领域中，测度论是一个重要的研究领域。
它主要关注的是如何对一般的集合进行度量，即测度。
测度理论不仅在数学领域中有广泛的应用，而且在实际问题中也有着重要的意义。
一、测度及其基本性质在测度理论中，测度是一个基本概念，表示用来度量集合大小的一种数学工具。
在一些实用领域中，测度通常指的是长度、面积、体积等。
关于测度，有几个基本性质需要了解。
首先，测度应该是非负的，即对于任何一个集合，它的测度都应该是大于等于0的。
其次，对于空集合，它的测度应该为0。
最后，对于一个可列的集合序列，它们的并集的测度应该等于它们各自的测度之和。
二、重要的核心理论在测度论中，有几个重要的核心理论：容度公理、可测度理论、标准可测度理论、测度扩张理论等。
其中，容度公理是测度论的基础，是其它测度理论的基础。
1.容度公理容度公理是指，任何一个集合的测度应该等于其所有完全覆盖该集合的区间（或者直方图）的测度之和。
这个公理有几个重要的应用。
首先，它可以用来证明一些简单的定理，例如对于任何一个区间或直方图，它们的测度都可以求出来。
其次，在更复杂的应用中，它可以用来计算出集合的某些属性，例如面积、体积等。
2.可测度理论可测度理论是测度论的第一个扩展理论。
在这个理论中，我们定义了一个可测集合的概念，并给出了可测集合的一些基本性质。
具体地，一个集合被称作可测集合，当且仅当它能够被一个区间或直方图所覆盖。
这个定义非常的宽泛，因此在可测度理论中，我们还需要给出一些更具体的条件，以便更好地限制可测集合的范围。
3.标准可测度理论标准可测度理论是在可测度理论的基础之上发展起来的一种理论。
在标准可测度理论中，我们对可测集合的概念作出了细化，使得可测集合更具有可操作性。
具体来说，一个集合被称为标准可测集合，当且仅当它满足一些严格的数学条件。
4.测度扩张理论测度扩张理论是测度论中的最后一个扩展理论。
它主要用于解决一些非常复杂的数学问题，例如导数和柯西黎曼方程等。
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测度空间与测度论进阶
测度空间与测度论是数学分析领域的重要研究内容，它们在数学理论和实际应用中都具有广泛的影响。
本文将进一步探讨测度空间与测度论的相关概念和性质，深入理解其在数学分析中的应用。
一、测度空间的定义与性质
测度空间是指在给定集合上定义了一个测度的空间。
测度是将集合映射到实数轴上的一种函数，用于度量集合的大小。
在测度空间中，我们可对集合的大小进行度量和比较。
在测度空间中，我们常用的测度包括：长度、面积、体积等。
测度满足以下性质：
1. 非负性：任何集合的测度不小于零；
2. 空集的测度为零：空集不包含元素，其测度应为零；
3. 可数可加性：对于可数个互不相交的集合，其测度等于各个集合测度的总和。
二、测度论的基本思想
测度论是研究测度空间中集合的性质和关系的数学理论。
其基本思想是构建一个测度空间，通过对集合进行度量和比较，研究集合之间的相互作用和特性。
测度论通过引入测度空间的概念，对集合进行分类和刻画，从而衍生出一系列有关集合运算和集合性质的定理。
测度论在数学分析中具有广泛的应用，例如在概率论、函数分析、力学和拓扑学等领域。
三、测度论的应用
1. 概率论：测度论为概率论提供了基本的理论工具。
利用测度的定义和性质，我们可以对随机事件的概率进行精确的度量和计算。
概率测度是概率论中的重要概念，通过测度论的方法可以构建不同类型的概率测度，如离散概率测度和连续概率测度等。
2. 函数分析：测度论在函数分析中起着重要的作用。
通过测度论的思想和方法，可以研究函数的收敛性、连续性和可积性等性质。
测度论在构建希尔伯特空间和巴拿赫空间时也起到了关键作用，为函数分析提供了坚实的理论基础。
3. 拓扑学：测度论与拓扑学有着密切的联系。
测度空间与拓扑空间的概念和方法相互依存，相互补充。
通过引入测度的概念，我们可以度量拓扑空间中的集合，研究其开闭性、连通性和紧致性等特性。
拓扑测度是测度论在拓扑学中的重要应用之一。
四、测度空间与测度论的进阶研究
除了上述基础内容之外，测度空间与测度论还有一些进一步的研究方向，例如：
1. 对于不同类型的测度空间，可以研究其性质和结构之间的关系；
2. 探索测度的可测函数、积分和微分等相关概念的性质和应用；
3. 研究测度空间和函数空间的关系，如Lp空间和逼近理论等；
4. 发展新的测度理论和方法，拓展测度论在更广泛领域的应用。
通过不断深入研究测度空间与测度论，我们可以更好地理解数学分析中的定理和方法，为诸多领域的应用提供理论基础和解决方案。
测度空间与测度论的进阶研究将推动数学理论的发展，并为实际问题的求解提供更准确、有效的数学工具和方法。
总结
测度空间与测度论是数学分析的重要组成部分，对于数学理论和实际应用都具有重要意义。
本文对测度空间与测度论的基本思想、定义与性质进行了探讨，并介绍了其在概率论、函数分析和拓扑学等领域的应用。
此外，还提及了测度空间与测度论的进阶研究方向，展望了其在未来的发展潜力。
通过深入学习测度空间与测度论，我们能够更好地理解数学分析的核心理论，为解决实际问题提供强有力的数学工具和方法。