第14章 模糊数学分析方法

念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一， 且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种 努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专 家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学 在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、 交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋 势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
Y= X
~
~
×
R
~
= （0.167，0.333，0.417，0.083）
二、模糊综合评判的原理 （1）确定评价指标集合论域U： （2）确定评语集合论域V：
（二）各种不确定因素可分为两类：
1、随机性。特征：关于对象在类属和性态方面的定义是完全确定的，但对象出 现的条件方面是概率的、不确定的。和必然性相对。 2、模糊性。特征：表征对象在认识中的分辨界限是不确定的，即对象在类属、 性态方面的定义是不精确的、不明晰的。和精确性相对。
客观事物 以事物出现的 条件为依据 数理统计
第三节 模糊关系与模糊矩阵
一、模糊关系 1、关系，描写事物之间联系的数学模型之一就是关系，常用符号“X”来表 示。 2、模糊关系，是普遍关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无， 而模糊关系则描述元素之间关系的多少。 例14-6 在医学上常用公式：体重B（公斤）=身高A（厘米）－100来表示 标准体重，这就给出了身高（A）与体重（B）的普通关系。 若A={140，150，160，170，180} B={40，50，60，70，80} 身高与体重的普通关系如表14.8所示：
例14-7 设有一组同学（徐X，张X，王X），他们选修英，日，俄，法四种外语中 的任几门，他们选修和结业成绩如下： 徐X 英语 85 徐X 日语 70 徐X 俄语 75 张X 英语 90 王X 英语 70 王X 法语 80
用A表示学生集合：A={徐X，张X，王X}， 用B表示语种集合：B={英，日，俄，法}。 若用成绩除以100折合成隶属度来描述掌握外语的程度，则由如表14.10可以构 造出一个在A×B直积空间中存在的模糊关系 R ，用它来表示小组成员“掌握外 ~ 语程度”的模糊关系。 表14.10 掌握外语的程度 英语 徐X 张X 王X 0.85 0.90 0.70 俄语 0.75 0 0 日语 0.70 0 0 法语 0 0 0.8
确 定 性
必 然 性
随 机 性
精 确 性
模糊数学
不 确 定 性
以事物性态、类 属边界为判据
模 糊 性
随机性与模糊性的关系
二、普通集合及其特征函数 1、集合的基本概念
论域，被讨论对象的全体叫做论域，对称全域，通常用大写字母U、E、X、Y等 来表示。 元素，组成某一集合的单个对象就称为该集合的一个元素，通常用小写字母表 示。 子集，由同一集合中的部分元素组成一个新集合，称为原集合的一个子集，通 常用大写字母表示。 集合的表示方法，把集合中的全部元素列出，并用括事情把它们括起来表示集 合的全域。
一、教育技术研究中的不确定性 （一） 教育技术研究中具有许多不确定性因素，这些不确定性因素来源主要有如下
几个方面： 1、研究对象活动出现条件的不确定性，具有概率的特征。 2、研究对象类属的边界具有不清晰和性态不确定的特征。 3、研究对象信息显示的不充分及其无序性所导致的不清晰特征。 4、研究中使用的某些概念、命题在语言语义上的多义与歧义导致的不确定性。 5、某些数学运算、逻辑推理误差所导致的不确定性。 6、描述对象的内涵和外延与对象称谓之间的不贴切，词不达意所导致的不确定。
模糊数学分 析的基概念 教育技术研究中的不确定性 普通集合及其特征函数 模糊集合及其隶属函数 隶属函数的分布统计求法 对比平均法求隶属函数 模糊统计法求隶属函灵敏 模糊关系与 模糊矩阵 模糊关系 模糊矩阵 模糊关系矩阵的运算 模糊关系的合成 模糊关系合成图解法 模糊变换 模糊综合评判的原理 模糊综合评判应用实例-网络课程评价 模糊聚类分析基本原理 模糊等价矩阵聚类法 最大树法
隶属函数 的确定
模糊综合 评判方法
模糊聚类 分析方法
第一节 模糊数学分析的基本概念
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里 所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、 某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候 对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概
3、归一化处理 由于
Y 中各元素之和，即 y =1，为了保证处理后 y ≠1，需
i i
m 1
m 1
~
要进行归一化处理，其方法是取Y’i=
yi
y
1
n
，故有：
i
Y’i=0.2/1.2=0.167 Y’i=0.4/1.2=0.333 Y’i=0.5/1.2=0.417 Y’i=0.1/1.2=0.083 经归一化后的模糊变换结果为：
R=
~
0.85 0.90 0.70
0.70 0 0
0.70 0 0
0 0 0.80Biblioteka 三、模糊关系矩阵的运算 设 和 S 是A×B中模糊关系。 ~ ~
R
（1）
R和 S
~
~
的并。
R∪ S ~
~
=(rij∨sij)
（2）
R和 S
~ ~
~ ~
的交。
（3）
R和 S
的补。
R∨ S ~
~
=(rij∩sij)
R=(1－Rij) S=(1－Sij)
~
0.2 = (0.2，0.5，0.3) × 0 0.2 =（0.2，0.4，0.5，0.1）
0.7 0.4 0.3
0.1 0.5 0.4
0 0.1 0.1
式中Y 各分量的计算如下： ~
Y1=(0.2∧0.2)∨(0.5∧0)∨(0.3∧0.2) =0.2∨0∨0.2 =0.2 y2=(0.2∧0.7)∨(0.5∧0.4)∨(0.3∧0.3) =0.2∨0.4∨0.3 =0.4 y3=(0.2∧0.1)∨(0.5∧0.5)∨(0.3∧0.4) =0.1∨0.5∨0.3 =0.5 y4=(0.2∧0)∨(0.5∧0.1)∨(0.3∧0.1) =0∨0.1∨0.1 =0.1
R=
~
r11 r21 rm1
r12 … r1n r22 … r2n rm2 … rmn
其中0≤rij≤1，1≤i≤m，1≤j≤n。 模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具，当它用来表示模糊关系时，其中 rij表示集合A中第i个元素和集合B中第个j元素之间的关联程度，例14-7中小组 成员外语成员与外语学科的关联程度可以用如下矩阵形式表示它们之间的模糊 关系。
2、集合的基本运算 并集、交集、差集、补集。 三、模糊集合及其隶属函数 1、模糊集合：无明确边界的集合。 2、模糊集合的特点：把原来普通集合对类属、性态的非此即彼的绝对属于 或不属于的判定，转化为对类属、性态做从0到1不同程度的相对判定。 3、隶属函数：为了将普通集合与模糊集合加以区别，把模糊集合的特征函 数称为隶属函数。
其中，“∧”表示rij与sij相比较后取较小者 “∨”表示rij与sij相比较后取较大者
五、模糊关系合成图解法 图解法计算模糊关系的合成的步骤： 1、画出关系合成图 2、在图中找出xi到zj的各种可能途径； 3、在同一路径中相比较取隶属度最小者作为该路径 的隶属度； 4、把路径所取得隶属度中最大者作为qij的元素值； 5、画出模糊关系合成矩阵。
二、模糊矩阵
1、矩阵 矩阵可以用来表现关系，如果集合A有m个元素，集合B有n个元素、我 们可以用矩阵R来表示由集合A到集合B的关系
r11 R= r21 rm1 r12 … r1n r22 … r2n rm2 …rmn
其中rij=0或1，1≤i≤m，1≤j≤n。
2、模糊矩阵 当论域A×B为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式 来表示，该矩阵元素rij 仅在闭区间[0，1]中取值，即0 ≤rij ≤1，此矩阵称为模糊矩阵。
例14-4 设论域U年龄={20，35，50，65}，因素A={年青人，老年人}，20
个人参与投票，结果如表14.7所示：
表14.7投票结果表
U∈A的次数
u
20 20 0
35 16 0
50 2 18
65 0 19
A 年表人 老年人
则有u20对“年青人”这一概念的隶属度： μ20=20/20=1 u20对“老年人”这一概念的隶属度： μ20=0/20=0 所以，μ20={1，0}。同理可求出年龄论域中各点对于因素集的隶属度 μ35={0.8，0} μ50={0.1，0.9} μ65={0，0.95}
第四节 模糊综合评判方法 一、模糊变换 1、模糊向量 对于一个有限模糊集合X可以表为： X = {x ，x ，x ，…，x } ~ 1 2 3 n xi是各元素相应的隶属度 R (xi)，其中0≤xi≤1 ~ （i=1，2，…，n）对于只有一行的模糊矩阵又可以 看成模糊向量，如： X = {x1，x2，x3，…. ，xn}是一个模糊向量 ~ 2、模糊变换 现有一个模糊矩阵： R ={ rij}，其中0≤rij≤1, ~ X × R =Y称为模糊变换。
第二节 隶属函数的确定
一、隶属函数的分布统计求法 利用统计试验计算隶属函数或隶属度的步骤： 1、确定集合的因素 2、选择部分学生进行试验 3、找出各因素数据中的最大值和最小值算出分组组距、计算数据落在各 组中的数，根据次数分布情况确定较为适合的隶属度。 二、对比平均法求隶属函数