三力平衡的四种解法

三力平衡的四种解法

处理三个力的平衡时，有四种解法。

（一）分解法：

（二）合成法：

（三）三角形法：

（四）正交分解法：

三个共点力作用于物体使之平衡时，这三个力首尾相连，围成一个封闭的三角形.如有直角直接解直角三角形;如已知角用正余弦定理;如已知边,用力组成的三角形与边组成的三角形进行相似比。

例如图所示，一粗细不均匀的棒长L=6m，用轻绳悬挂于两壁之间，保持水平，已知α=450，β=300，求棒的重心位置。

解：三力平衡必共点，受力分析如图所示。

由正弦定理得：

由直角三角形得：

（三）有的多个力的平衡转化成三力的平衡求解：

先把同一直线上的力先求和，后只剩下三个力的平衡，再求解。

例一重量为G的小环套在竖直放置的、半径为R的光滑大圆环上，一个倔强系数为k、自然长度为L（L<2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点。在不计摩擦时，静止的弹簧与竖直方向的夹角θ是多大？

解：由三角形相似有

由正弦定理有

小结：（1）由分析得出弹簧是伸长的。

（2）同时用相似与正弦定理。

如图所示,一粗细不均匀的棒,棒长AB=6m,用轻绳悬挂于两壁之间,保持水平,已知α=45°, β=30°.求棒的重心位

2010-11-16 12:24

提问者：丶埘绱丿|悬赏分：20 |浏览次数：441次

绳与壁的夹角为a b

2010-11-16 17:07

最佳答案

设A、B端绳子的拉力分别为F1、F2。重心距A为L,由水平方向受力平衡得：F1sin45°=F2sin30°

以A端为支点，由杠杆平衡条件得：F2cos30°*AB=G*L

再以B为支点，由杠杆平衡条件得：F1cos45°*AB=G*（AB-L)

联立可求出L=3(3-√3)=3.8米

在很多教学参考书和学习指导书中都能看到这样一个题目：

一个质量为m的小环套在位于竖直平面内半径为R的光滑大圆环上．有一个劲度系数为k、自然长度为L（L＜2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点，如图1所示．当小环静止时，弹簧处于伸长还是压缩状态？弹簧与竖直方向的夹角θ是多少？

一般书中都有答案：弹簧伸长．

（kＬ）／（2（kＲ－ｍｇ））．

图1 图2

以上答案的求解过程如下：如图2所示，用“穷举法”可以证明，弹簧对小环的弹力只可能是向里的，即弹簧必定伸长．根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，即图中弹簧拉力T在重力mg和大环弹力N所夹角的角平分线上．所以计算可得

N=mg，①

T=2mgcosθ．②

另外，根据胡克定律有

T=k（2Rcosθ-L），③

根据以上各式可得

cosθ=（kL／2（kR-mg））．

二、发现的问题

到此似乎题目已经解决了，但是再仔细一想却发现了新的问题．因为cosθ的取值范围是－1≤cosθ≤1．而上面cosθ的表达式中，由于各个参数k、L、R、m等可以独立变化取不同的值（只要满足L＜2R），因此表达式右边的值完全可能超出cosθ的值域，例如当m较大时（或L较大，或R、k较小，它们的效果是一样的），完全可能大于1，此时上式cosθ无解．（当m更大时甚至还可能是负的，θ也许有解，但这意味着θ是个钝角，显然也不符合实际．）

但是，我们知道，无论m多大，小环必定会有一个平衡位置，θ必定会有一个确定的解，因此上面的解答必定是一个不完整的解．那么完整的解是怎样的呢？

令cosθ=1，即θ=0得

kL=2（kR－mg），

即mg=（1／2）k（2R－L），

这是一个重要的临界值．

由cosθ的表达式可知，m越大，cosθ也越大，θ角就越小．当mg＜（1／2）k（2R－L）时，θ＞0，小环不在大环的最低点；随着m的逐步变大，θ逐步变小，当mg=（1／2）k（2R －L）时，θ=0，小环恰好降低到大环的最低点；以后随着m的再进一步变大，小环的位置不会再变化了（哪怕m增大到使cosθ的表达式变为负的）．

由此可见，θ（或者cosθ）的表达式应该是“分段函数”，

cosθ＝（kL）／（2（kR-mg）），mg≤（1／2）k（2R-L）

1，mg≥（1／2）k（2R-L）

这个问题还可以进一步研究下去．当mg≥（1／2）k（2R－L）以后，随着m的继续增大，θ≡0是不会再有变化了，但并不意味着就什么都不变．其实，当mg＜（1／2）k（2R －L）时，随着m的增大，弹簧拉力T和大环弹力N的大小始终满足T=2mgcosθ和N=mg，而且方向也相应改变．但一旦当mg≥（1／2）k（2R－L）后，m再增大时，T和N两个力的方向就都保持在竖直方向（与mg在同一直线）而不再改变，改变的仅仅是力的大小了．也就是说，T和N也是“分段函数”．

T= k（2Rcosθ-L），（1／2）k（2R-L）

k（2R-L），（1／2）k（2R-L）

N= mg，（1／2）k（2R-L）

k（2R-L）-mg，（1／2）k（2R-L）

我们看其中N的第二段表达式“N=k（2R-L）-mg”，N＞0，表示N的方向向下，此时（1／2）k（2R－L）≤mg＜k（2R－L）；当N＜0，表示N的方向向上，此时mg＞k（2R－L）；而当mg=k（2R－L）时，N=0．也就是说，当m逐渐增大到mg=（1／2）k（2R－L）时，小环恰好降到最低点（θ=0），此时大环对小环的弹力N方向仍然是向下，大小仍等于mg（跟θ≠0时的情况相同）．不过随着m的进一步增大，N先是大小渐渐减小到0，然后再方向改变为向上并逐渐增大（弹簧弹力在这期间内则始终等于k（2R－L））．并不是小环一落到最低点大环对它的支持力马上变为向上的．

有兴趣的读者可以自己画出T、N（的大小）还有θ随m的变化图线，都是一些“分段函数曲线”，其中都有一段水平段．

度系数为

弹簧与竖直方向的夹角