密度泛函理论的进展与问题
DFT理论
一种计算 xc [n( r )]的近似公式为（在Hartree单位下）：
xc
0.458 rs 4 3
0.0333G ( ra
3 3 s 0 3 1 n
rs 11.4
)
1 2 2
(4.20)
rs是自由电子气的电子”半径”。
1 x
G ( x ) [(1 x ) ln(1 ) x x 1 3]
E[n' ] 0，可得： 求 n'
v ( r )n' ( r )dr
1 2
n ( r ) n ( r) r r
drdr E xc [n' ] (4.27)
17
Kohn-Sham方程（续1）
由此得到：
或
v '( r ) n'
n '(r )dr v '(r )
5 局域密度近似(LDA)
HK定理已经建立了密度泛函 理论（DFT）的框架，但在实 际执行上遇到了严重困难。主 要是相互作用电子体系的交换 关联能Exc[n]无法精确得到。为 了使DFT理论能够付诸实施， Kohn-Sham提出了局域密度近 似(Local Density Approximation, LDA)。 我们将在第五章详细介绍 LDA，本章只直接引用以便建 立Kohn-Sham方程。
Ts [n' ] v ' ( r )n' ( r )dr Ts [n' ] i' v ' ( r )n' ( r )dr
于是能量泛函为
i 1 N
(4.25) (4.26)
E[n' ] i' v ' ( r )n' ( r )dr
能源存储材料中的界面反应理论分析
能源存储材料中的界面反应理论分析能源存储技术是当代社会发展的重要领域之一，有效地推动了清洁能源的大规模应用和智能能源管理的实现。
在能源存储的过程中，界面反应是一个至关重要的过程。
因此，理论分析能源存储材料中的界面反应机制，提高能源存储材料的储能性能和稳定性，是能源存储技术发展的重要方向之一。
本文将从能源存储材料的界面反应机制、理论分析方法和研究进展等方面，对该领域的研究进行探讨。
一、能源存储材料的界面反应机制能源存储材料广泛应用于诸如电池、超级电容器等设备中，其性能好坏与材料的储能和输出能力密切相关。
在储能过程中，电极和电解质之间存在纳米级别的界面，界面反应会影响能源存储的稳定性和效率。
界面反应的机制和特性是影响电极材料储能性能和稳定性的重要因素。
当电池或超级电容器进行充放电时，正极或负极的材料与电解质发生反应，电荷在电极之间转移。
这种电子和离子之间的交换过程存在接触界面上。
而界面反应主要涉及以下几个方面：1. 电解液的界面反应电解液中的各种离子和溶质与电极表面上的化学键结合而形成界面反应。
这些界面反应可能导致电极表面结构的变化和氧化还原过程的发生，从而影响储能和输出性能。
2. 电极表面的界面反应在电极表面形成保护膜或氧化物膜是一种重要的界面反应过程，它可以防止电极的进一步氧化或脱落，从而提高储能和输出性能。
此外，电极表面的界面反应还可以导致电极表面的结构变化，从而影响储能机制和稳定性。
3. 电化学储能材料的界面反应与传统储能材料相比，电化学储能材料可能涉及更复杂的界面反应过程，例如金属氧化物和碳基材料之间的界面反应、离子在纳米孔道中的输运等。
因此，研究材料表面和电解质之间的界面反应，对于发展更高性能的电化学储能材料具有重要的意义。
二、理论分析方法在研究能源存储材料中的界面反应机制方面，理论计算方法在材料设计和储能机制研究中扮演着重要的角色。
其中，密度泛函理论（DFT）、分子动力学模拟（MD）和蒙特卡罗模拟（MC）是常用的理论计算方法。
密度泛函理论的基本计算方法研究进展
中图分 类号 ： ０ ６ ４ １ 文献标 志码 ： Ａ
０ 引 言
量子 力 学 是 现 代 物 理 学 的基 石 。 Ｈ ｅ ｉ ｓ ｅ ｎ ｂ ｅ ｒ ｇ
在１ ９ ２ ５年 首先 提 出了矩 阵力学 ， 即是量子 力 学 的
供 一定 的理论 参考 。
于氢 分 子 以外 的 大 量 体 系 ， 都 很 难 精 确 求 得 解 析
解 。这 主要 是 由于 量子 化学 虽然 在理 论上严 格 的
１ Ｄ Ｆ Ｔ计 算 方 法 发 展 历 程 和 现 广 泛 地应用 于 物
描 述 了微 观世 界 的 运 动 规律 ， 但是 在 实 际 求 解 多
粒 子体 系 时会 遇 到 许 多 困难 ， 有些 求 解 在 当 时 看 来甚 至 是不 可 能完 成 的工作 。 基于此 ． 科 研人 员 开始 研究 如何 简化计 算 ， 通 过 对模 型 和方 程 的近 似处理 来得 到 可靠精 度 范 围 内的数 值解 。主要 的研究 思 路是 如何将 一 个 多粒
性 原理计 算 。本 文 阐述 了 Ｄ Ｆ Ｔ理 论 的发 展 历 程
量 子化 学 的发展 给 物理 学和化 学提 供 了崭新 的理 论 ， 对 于勰 释 微 观 世 界 的物 质 规 律 和 反 应本
质起 到 了决 定 性 的作 用 。但 是 人 们 很快 发 现 ， 对
和理论核 心 ， 并 对 其 基本 计 算 原 理 和发 展趋 势做 出重点分 析 ， 希望 能对 Ｄ Ｆ Ｔ理 论 的 进一 步 完 善 提
摘要 密度 泛 函理论 （ Ｄ Ｆ Ｔ） 作 为处理 多粒 子体 系的 近似 方 法 已经在 凝 聚 态物 理 、 材 料科 学和 量 子
密度泛函理论在材料科学中的应用与发展
密度泛函理论在材料科学中的应用与发展密度泛函理论（Density Functional Theory，DFT）作为一种计算材料性质的方法，在材料科学领域已经发展了几十年。
它的核心思想是以电子密度为基本变量，通过求解电子的运动方程来描述材料的性质。
近年来，密度泛函理论在材料科学中的应用和发展取得了重要突破，本文将介绍其中的一些重要进展。
首先，密度泛函理论在材料的结构优化和物性预测方面具有广泛的应用。
通过优化求解材料的原子结构和晶格参数，可以得到材料的几何结构和稳定性。
同时，密度泛函理论还可以计算材料的光学性质、磁学性质和力学性质等。
例如，通过计算材料的能带结构和密度态密度，可以预测材料的电子导电性和带隙等。
这对于设计新型材料和优化材料性能具有重要意义。
其次，密度泛函理论在材料的相变和相图研究中有着重要作用。
通过采用自洽场方法，可以精确地计算材料的自由能，在相变研究中起到关键的作用。
例如，在合金的相图计算中，可以通过计算纯金属的自由能和杂质元素的自由能来预测合金的稳定相和相图。
这对于合金材料的设计和合金相变的理解具有重要意义。
此外，密度泛函理论还可以用于研究材料的界面和表面性质。
材料的界面和表面对于其性能具有重要影响，通过密度泛函理论可以计算出界面和表面的电子结构和空间分布，从而揭示材料的表面反应和界面弛豫机制。
这对于材料的腐蚀、催化和电子器件等方面具有重要意义。
近年来，基于密度泛函理论的计算方法也得到了快速的发展。
例如，材料的高通量计算方法可以通过高效的计算算法和大规模的并行计算来预测新型材料性质，从而加速新材料的发现和设计。
此外，包括自旋轨道耦合效应和电子关联效应在内的修正方法也被引入到密度泛函理论中，以更加准确地描述材料的性质。
在材料科学中，密度泛函理论的应用和发展还面临一些挑战。
首先，密度泛函理论的精确性受到交换-相关近似的限制。
目前大多数密度泛函采用局域密度近似或广义梯度近似来近似交换-相关能，这限制了密度泛函理论在描述材料性质时的准确性。
密度泛函理论
ˆ ˆ (r) ˆ n(r ) (r ) 电子密度算符 (4.5) ˆ ( r ) 的期待值： 电子密度分布n(r)是n ˆ(r ) ） (4.6) ˆ(r )) （即 n n(r ) (, n
9
Hohenberg-Kohn定理的证明
• HK定理的证明：外部势v(r)是n(r)的唯一泛函。即由n(r)唯一决 定。换句话说，如果有另一个v’(r)，则不可能产生同样的n(r). 反证法：设有另一个v’(r) ，其基态Ψ ’也会产生相同的n(r). ∵ v(r)≠v’(r) ，∴ Ψ ≠Ψ ’（除非v’(r)-v (r)=const）. ∵ Ψ 与 Ψ ’满足不同的Schrödinger 方程： (4.7) ˆ ˆ ˆ ˆ H T V U H Ψ = E Ψ (4.8) ˆT ˆ V ˆ U ˆ H V V H H’Ψ ’ = E’Ψ ’ • 利用基态能量最小原理，有
H T V U T
1 2
1 r r
( r ) ( r )dr
V v(r ) ( r ) ( r )dr U
1 2
Hartree单位 外部势
( r ) ( r ) ( r ) ( r )drdr
(4.1) (4.2) (4.3） (4.4)
即 E E [v ( r ) v( r )]n( r )dr
同时，把带撇的与不带撇的交换得
E E [v( r ) v ( r )]n( r )dr
(4.10)
或者
E E [v ( r ) v( r )]n( r )dr
(4.11)
可见(4.10)与(4.11)相互矛盾。表明v’(r) 不可能产生同样的n(r) . 所以v(r) 是n(r) 的唯一泛函。由于v(r) 决定整个H, 即系统的基态 能量是n(r) 的唯一泛函。 同理，T和U也是n(r) 的唯一泛函。可定义： F [n(r )] (, (T U )) (4.12) 式(4.12)是一个普适函数，适于任何粒子系和任何外部势。于是 整个系统的基态能量泛函可写为：
DFT密泛函理论教程
或: 对于非简併基态，粒子密度分布n(r)是系统的基本变量。
2. 考虑一个多粒子系（电子体系、粒子数任意），在外部势和 相互作用Coulomb势作用下，Hamiltonian为
H T V U
T
1 2
(r) (r)dr
V v(r) (r) (r)dr
(4.1) Hartree单位 (4.2)
E [v(r) v(r)]n(r)dr
(4.9)
10
Hohenberg-Kohn定理的证明(续)
即 E E [v(r) v(r)]n(r)dr
同时，把带撇的与不带撇的交换得
(4.10)
E E [v(r) v(r)]n(r)dr
或者 E E [v(r) v(r)]n(r)dr
电子＝波 ψ(r) . 3）DFT: 电子是电子云
的密度分布。 n（r）.
6
W. Kohn-2
3）DFT: 电子是电子云 的密度分布。
2。DFT中的氢分子。 由密度分布表示。
7
W. Kohn-3
3。大分子（例如DNA）; N个原子。
Schrodinger: ψ(r1,r2,r3,…rN)， 3N维空间。
证明：设有另一个n’(r) ,粒子数与n(r) 相同为N. 则
E[n(r)] v(r)n(r)dr F[n(r)]
(,Vˆ) (, (Tˆ Uˆ )) (,Vˆ) (, (Tˆ Uˆ )) E[n(r)]
DFT: n(r) 3维空间。
也许，在有机化学、生物 技术（爱滋病）、合金物 理、表面科学、磁性等领 域DFT最为重要。
8
4.3 Hohenberg-Kohn定理－I
密度泛函
密度泛函理论密度泛函理论(DFT)是20世纪60年代建立的并在局域密度近似(LDA)下导出了著名的Koho-Sham(KS)方程。
DFT一直是凝聚态物理领域计算电子结构及其特性的有力工具它是一种最常见最成功的研究多电子体系电子结构的量子力学方法。
近几年来DFT与分子动力学相结合,在材料设计,合成,模拟计算和评价诸多方面有明显进展,成为计算材料科学的重要基础和核心技术. 特别在量子化学计算领域，1987年以前主要用Hartree-Fock（HF）方法。
但近年来,用DFT的工作以指数增加，以致于HF方法应用已相当减少。
W.Kohn因提出DFT获得1998年诺贝尔化学奖，已经表明了DFT在计算化学领域的核心作用与应用的广泛性。
密度泛函理论的主要目标就是用电子密度取代波函数作为研究的基本量。
因为多电子波函数有3N个变量（N为电子数，每个电子包含三个空间变量），而电子密度仅是三个变量的函数，无论在概念上还是实际上都更方便处理。
虽然密度泛函理论的概念起源于Thomas-Fermi模型，但直到Hohenberg-Kohn定理提出之后才有了坚实的理论依据。
Hohenberg-Kohn第一定理指出体系的基态能量仅仅是电子密度的泛函。
Hohenberg-Kohn第二定理证明了以基态密度为变量，将体系能量最小化之后就得到了基态能量。
最初的HK理论只适用于没有磁场存在的基态，虽然现在已经被推广了。
最初的Hohenberg-Kohn定理仅仅指出了一一对应关系的存在，但是没有提供任何这种精确的对应关系。
正是在这些精确的对应关系中存在着近似（这个理论可以被推广到时间相关领域，从而用来计算激发态的性质。
密度泛函理论最普遍的应用是通过Kohn-Sham方法实现的。
在Kohn-Sham DFT的框架中，最难处理的多体问题（由于处在一个外部静电势中的电子相互作用而产生的）被简化成了一个没有相互作用的电子在有效势场中运动的问题。
这个有效势场包括了外部势场以及电子间库仑相互作用的影响，例如，交换和相关作用。
密度泛函理论及其数值方法新进展
Recent Progress in Density Functional Theory and Its Numerical Methods
计 。于是 Becke 提出一个简单的包括精确交换的交
换相关能形式
Exc
=
1 2
( Ex
+
ULSDA xc
)
(2)
Becke 的交换相关能形式[5 ,6] 并没有得到广泛的运
用 ,但他的这种杂化思想被用于构造著名的 B3L YP
泛函 。B3L YP 泛函虽然没有正式发表 ,但是因为包
含在著名的量子化学软件 Gaussian 中而在分子体系
收稿 : 2004 年 5 月 , 收修改稿 : 2004 年 9 月 3 国家重点基础研究发展计划项目 ( G1999075305) 、国家杰出青年基金 (No. 20025309) 、国家自然科学基金创新研究群体项目
(No. 50121202) 资助 3 3 通讯联系人 e2mail :jlyang @ustc. edu. cn
提高交换相关近似的质量 。扩展系统中的电子屏蔽
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
·194 ·
化 学 进 展
第 17 卷
密度泛函理论及其数值方法新进展 3
李震宇 贺 伟 杨金龙 3 3
(中国科学技术大学选键化学重点实验室 合肥 230026)
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密度泛函理论的进展与问题摘要：本文综述了密度泛函理论发展的基础及其最新进展，介绍了求解具体物理化学问题时用到的几种常用的数值计算方法，另外对密度泛函理论的发展进行了展望。
密度泛函理论的发展以寻找合适的交换相关近似为主线，从最初的局域密度近似、广义梯度近似到现在的非局域泛函、自相互作用修正，多种泛函形式的相继出现使得密度泛函理论可以提供越来越精确的计算结果。
另外，在密度泛函理论体系发展的同时，相应的数值计算方法的发展也非常迅速。
随着密度泛函理论本身及其数值方法的发展，它的应用也越来越广泛，一些新的应用领域和研究方向不断涌现。
关键词：密度泛函数值计算发展应用1 研究背景量子力学作为20世纪最伟大的发现之一，是整个现代物理学的基石。
量子力学最流行的表述形式是薛定谔的波动力学形式，核心是波函数及其运动方程薛定谔方程。
对一个外势场v(r)中的N电子体系，量子力学的波动力学范式可以表示成：即对给定的外势，将其代入薛定谔方程可以得到电子波函数，可以得到所有可观测量的值。
当用量子力学处理真实的物理化学体系时，传统的波动力学方法便显得有点力不从心。
因为在大多数情况下，人们只是关心与实验相关的一部分信息，如能量、密度等。
所以，人们希望使用一些较简单的物理量来构造新的理论[1]。
电子密度泛函理论是上个世纪60年代在Thomas-Fermi理论的基础上发展起来的量子理论的一种表述方式。
传统的量子理论将波函数作为体系的基本物理量，而密度泛函理论则通过粒子密度来描述体系基态的物理性质。
因为粒子密度只是空间坐标的函数，这使得密度泛函理论将3N 维波函数问题简化为3维粒子密度问题,十分简单直观。
另外，粒子密度通常是可以通过实验直接观测的物理量。
粒子密度的这些优良特性，使得密度泛函理论具有诱人的应用前景。
2 密度泛函理论的基础2.1 Thomas-Fermi模型1927 年Thomas和Fermi分别提出：体系的动能可以通过体系的电子密度表达出来。
他们提出了一种的均匀电子气模型，把空间分割成足够小的立方体，通过在这些立方体中求解无限势阱中粒子的Schrodinger 方程(假设电子之间无相互作用)，得到相应的能量和密度的表达式。
但是这个早期的理论有点粗糙，更严重的是用在化学方面，甚至出现分子不会形成键的计算结果，这个结论严重阻碍了Thomas-Fermi理论的发展。
2.2 Hohenberg-Kohn定理1964年Hohenberg与Kohn发表了后来极著名的Hohenberg-Kohn(HK)定理，标志着现代密度泛函理论的产生[2]。
Hohenberg-Kohn定理的表述如下：第一定理：对于一个共同的外部势v(r)，相互作用的多粒子系统的所有基态性质都由(非简并)基态的电子密度分布ρ唯一地决定。
第二定理：如果ρ是体系正确的密度分布，则E[ρ]是最低的能量，即体系的基态能量。
2.3 Kohn-Sham方程有了上述两个定理，剩下的问题就是能量泛函的具体表述形式。
Kohn和他的博士后沈吕九引进了一个与相互作用多电子体系有相同电子密度的假想的非相互作用多电子体系。
因为电子密度一般可以表示成轨道形式（N-表示问题），这个假想的非相互作用体系的动能算符期望值可以非常简单的写成各电子动能的和。
其中φ(r)是密度函数对应的Kohn-Sham（KS）轨道，将能量泛函对KS轨道进行变分可以得到著名的KS方程。
3 密度泛函理论的进展密度泛函理论体系及其数值实现方法经过几十年的发展已被广泛地应用在化学、物理、材料和生物等学科中，Kohn也因为他对密度泛函理论的贡献获得1998年的诺贝尔化学奖[3]。
在密度泛函理论中，所有的近似都被集中到称为交换相关能的一项上，所以密度泛函理论的精度直接由交换相关能量泛函的近似形式决定。
寻找更好的交换相关近似就成为密度泛函理论体系发展的一条主线。
另一方面，在现有基础上对密度泛函理论的扩展也是一个活跃的领域。
3.1 交换相关能量泛函交换相关能量泛函的一个最初的简单近似是局域密度近似(LDA)，即用具有相同密度的均匀电子气的交换相关泛函作为对应的非均匀系统的近似值。
如果进一步分别考虑不同自旋分量的电子密度，可以得到自旋极化的局域密度近似L(S)DA。
尽管L(S)DA获得了巨大的成功，但是也有许多不足之处,比如系统地高估结合能。
在L(S)DA基础上的改进有广义梯度近似(GGA)。
在GGA近似下，交换相关能是电子密度及其梯度的泛函。
构造GGA交换相关泛函的方法分为两个流派。
一个是以Becke为首的一派，认为“一切都是合法的”，人们可以任何理由选择任何可能的泛函形式，而这种形式的好坏由实际计算来决定。
通常这类泛函的参数由拟合大量的计算数据得到。
另外一个流派以Perdew为首，他们认为发展交换相关泛函必须以一定的物理规律为基础,这些规律包括标度关系、渐进行为等。
基于这种理念构造的一个著名的GGA 泛函是PBE泛函[4]，也是现在用得最广泛的GGA泛函之一。
LDA与GGA近似的密度泛函理论计算构成了当今最流行的电子结构计算方案，但是这种方案仍有待改进的地方。
下面将介绍几种重要的提高精度的交换相关泛函方向。
3.1.1 精确交换和屏蔽交换精确交换是杂化密度泛函理论中的一个概念，杂化密度泛函正是通过包含精确交换来提高计算精度的。
屏蔽交换的LDA(sX-LDA)方法[5]在非局域框架内描述交换相关穴，它通过包含一个屏蔽交换项来提高交换相关近似的质量。
扩展系统中的电子屏蔽可以用一个Thomas-Fermi指数衰减因子来考虑。
Engel等[6]通过研究均匀电子气的线性响应函数考察了这种方法的理论基础。
对一些半导体的自洽计算表明sX-LDA可以相对LDA显著提高计算结果,给出更接近实验值的能隙和光学性质。
3.1.2 自相互作用修正自相互作用修正(SIC) 最早由Stoll等人[7]提出，用来消除LSDA带结构理论中的不真实的电子与自身的相互作用。
现在已经有好几种基于现代密度泛函理论的消除自相互作用的方案，一个典型的代表是Perdew等[8]提出的泛函形式。
通过自相互作用修正可以显著改善计算结果，但是SIC中泛函是与轨道有关的，这使得我们需要重新得到自洽方程。
3.1.3 其他交换相关泛函为了设计一种能处理包含长程关联相互作用体系的交换相关能量泛函，只包括密度和密度梯度信息也许是不够的。
这种“不够”是不能够恰当地使用这些信息，所以必须求助于其他信息。
这种比GGA 近似包含更多半局域信息的泛函就叫做meta-GGA泛函。
这些信息可以是密度的更高阶梯度、KS轨道梯度或者其他一些系统特征变量。
比如，PKZB泛函[9]就在PBE泛函的基础上包括了占据轨道的动能密度信息。
而最近的TPSS泛函[10]在PKZB泛函的基础上，首次提出了完全不依赖经验参数拟合的meta-GGA泛函，爬到Jacob楼梯[11]的第三阶。
3.2 含时密度泛函理论在现有基础上对密度泛函理论进行扩展也是提高其精度的一个重要方向。
其中一个重要的扩展方向是含时密度泛函(TDDFT) [12]。
为了建立TDDFT理论体系，首先需要Runge-Gross 定理。
该定理可以表述为：如果两个势函数相差不止一个纯的时间函数，那么在这两个势的作用下，从相同初始态开始演化的两个密度不同。
所以，在含时理论中我们也可以在势和密度间建立一一对应。
除了一个含时的常数，密度唯一决定势函数，进而决定了波函数，除了一个含时的位相，而这个位相在求算符平均值时将会被抵消。
同样的，Runge-Gross定理也可以应用到一个和物理系统有相同密度的假想无相互作用系统，进而确立一个唯一的KS势。
至此就建立了TDDFT的基本理论框架。
3.3相对论性密度泛函理论在运用密度泛函理论对某些重元素的计算时需要考虑相对论效应。
一般用量子电动力学中的单粒子Dirac方程代替Schördinger方程。
其中常数c是光速，V ( r)是外势，p是动量算符。
α和β是4×4 的Dirac矩阵，可由2×2的Pauli矩阵定义。
Dirac哈密顿量的本征谱包括正态和负态两部分，分别对应着电子和正电子。
最简单的相对论处理方法是所谓的有效核势( ECP)方法，即通过在常规的密度泛函计算中使用相对论性的赝势来处理相对论效应。
4 密度泛函理论的数值计算方法为了运用密度泛函理论求解具体物理化学问题，需要用到数值计算的方法将密度泛函理论方程离散成计算机可以识别和操作的数组和矩阵。
以下介绍几种常用的数值计算方法。
4.1 离散方法4.1.1 基于基组函数方法所谓基组方法是指把一个物理量用一些基函数来展开，将一个物理量离散成了一组系数。
在数值计算中，这些基函数的个数是有限的。
但事实上，对一个一般的物理量而言，需要的基函数的个数是无限的，一套好的基组应该使得由基函数个数有限引起的误差（截断效应）尽量小。
4.1.2 基于实空间网格的方法利用实空间网格来离散DFT方程是一种简单直观的方法。
它可以方便地处理一些离域基组（如平面波）难于处理的体系，如带电体系，扫描探针显微镜(SPM) 隧道结体系[13]等。
除此之外，实空间方法还有一些独特的优点比如：（1）允许通过增加网格密度系统地控制计算收敛精度；（2）通过对电子轨道或密度矩阵施加局域性限制，实空间方法可以很容易地实现计算量随体系大小线性增长的算法；（3）实空间方法可以方便地通过实空间域分解实现并行计算。
而对平面波算法而言,在大规模并行计算机上实现快速傅立叶变换(FFT)是十分困难的。
4.1.3 多分辨网格上的小波基组小波方法也是实空间方法的一种，又叫多分辨分析，是上世80年代末发展起来的一种理论。
小波方法可以提供一种用较少的波函数代替成千上万的格点的方法。
小波基组在一个多分辨网格上使用不同分辨率的基函数。
与有限元基组展开系数直接反应函数在格点上的值不一样，小波基展开系数将不同尺度的信息分开，这将带来很多数值上的便利。
另外，小波基基于一组规则的多分辨网格，这使得小波方法不需要针对原子移动作特别的处理。
4.2 线性标度计算方法随着计算机科学的发展，计算机的处理能力越来越强，人们可以处理的体系也越来越大，这也使得计算标度问题越来越重要。
传统的密度泛函理论数值计算方法计算量的增加随体系大小的增加呈三次方增长，而人们希望它能线性增长。
于是线性标度的计算方法被提了出来。
常用的线性标度算法包括分治方法、费米算符展开和费米算符投影方法、密度矩阵最小化、轨道最小化和最优基组密度矩阵最小化等方法。
这些方法都基于所谓的“近视原理”[14]，即一个空间区域的性质受相隔很远的空间区域的影响很小。
另外一种新颖的线性标度算法是所谓的脱离轨道的(orbital-free, OF)算法[15]。