初二讲义 平行四边形知识点汇总
平行四边形的知识点汇总
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等。
平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等。
平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分。
平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行线之间的距离及特征
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。
矩形
矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。
矩形性质1：矩形的四个角都是直角。
矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分。
（注意：矩形具有平行四边形的一切性质）
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。
菱形性质1：菱形的四条边都相等。
菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分。
菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角。 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形。
菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 （注意：菱形具有平行四边形的一切性质）
正方形
正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。
正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。
正方形性质1：正方形的四个角都是直角。 正方形性质2：正方形的四条边都相等。
正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。 正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 （注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）
四边形的典型题目精编
1，如图1，在平行四边形ABCD 中，下列各式不一定正确的是（ ） A.∠1+∠2＝180° B.∠2+∠3＝180° C.∠3+∠4＝180° D.∠2+∠4＝180°
2，如图2，在□ABCD 中，EF //AB ，GH //AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有( )
A.7 个
B.8个
C.9个
D.11个 图4
E F A
B
C D 图3
图2
H G
D O
F E C B
A
图1
4
D 23
1B A
3，如图3，在平行四边形ABCD 中，∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E +∠F =（ ）
A. 110° B .30° C.50° D.70° 4，对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( ) A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．等腰梯形
5，下列说法中，正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形且有四条对称轴 B.正方形的对角线是正方形的对称轴 C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D.菱形的对角线相等
6，菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线平分一组对角
7，已知：如图4，菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,OE ∥DC 交BC 于点E ，AD =6cm ，则OE 的长为（ ）
A.6 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
8，在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水（如图5），看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是( )
A ．等边三角形
B ．四边形
C ．等腰梯形
D ．菱形
9，如图6，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为( )
A ．600m 2
B ．551m 2
C ．550 m 2
D ．500m 2
10，如图7，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是 （ ）B
A.3∶4
B.5∶8
C.9∶16
D.1∶2 二、填空题（每题3分，共24分）
11，如图8，AB ∥DC ，AD ∥BC ，如果∠B =50°，那么∠D ＝＿＿＿度.
12，已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC ＝60°,BD ＝
,AE 是梯形的高,且BE ＝1,则AD ＝＿＿＿.
A C 图7 图6 A E
B
C D
F
C 1
图11
C
图12
H
D A
E B
F G
图8 图1D C B A S 4S 3
S 2S 1D
C B
A 图9
图10
E
D C
B
A
13，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4的四个小平行四边形(如图9),当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时, S 1·S 4与S 2·S 3与的大小关系是＿＿＿.
14，如图10，已知AB ∥DC ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20, 则梯形ABCD 的面积为＿＿＿.150
15，矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝10cm ，按如图11方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则DE ＝＿＿＿cm.
16，矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,∠AOB ＝2∠BOC .若AC ＝18cm,则AD ＝＿＿＿cm.
17，如图12，矩形ABCD 的相邻两边的长分别是3cm 和4cm ，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长等于＿＿＿cm ，四边形EFGH 的面积等于＿＿＿cm 2.
18，在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图13所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝＿＿＿.
三、解答题（共40分）
19，如图14，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，AB ＝4，BC ＝7.求∠B 的度数. 20，如图15，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 画直线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F .求证：OE ＝OF .
21，如图17，在□ABCD 中，∠ABC ＝5∠A ，过点B 作BE ⊥DC 交AD 的延长线于点E ，O 是垂足，且DE ＝DA ＝4cm ，求：（1）□ABCD 的周长；（2）四边形BDEC 的周长和面积（结果可保留根号）.
22，如图18，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.
23，如图20，正方形ABCD 中，P 是CD 边上一点，DF ⊥AP ，BE ⊥AP .求证：AE ＝DF . 24，如图19，在矩形ABCD 中，P 是形内一点，且PA ＝PD .求证:PB ＝PC .
O A C F
E
B D
图18 图13 l
3
21S 4S 3S 2S 1图19 图17 A B
C D
O E 图16 E D
C O B F A 图21
图14 A C D B
25，如图，在梯形ABCD 中，AD
BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点E ，F 是CD 的中点，DG 是梯形ABCD 的高． （1）求证:四边形AEFD 是平行四边形;
（2）设AE x =，四边形DEGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．
参考答案：
一、1，D ；2，C ；3，D ；4，A ；5，A ；6，C ；7，C ；8，D ；9，B ；10，B . 二、11，50；12，2；13，S 1·S 4＝S 2·S 3；14，150；15，4
295
；16，9；17，10、6；18，4.
三、19，过A 点作AE ∥CD ，有□AECD ,则△ABE 为等边三角形. 即∠B=60°；20，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，AO ＝CO ，即∠EAO ＝∠FCO ，又∠AOE ＝∠COF ，则△AOE ≌△COF ，故OE ＝OF ；21，在□ABCD 中，因为∠ABC ＝5∠A ，又∠A+∠B ＝180°，所以∠A ＝30°，而AB ∥DC ，BE ⊥DC ，所以BE ⊥AB ，在Rt △ABE 中，∠ABE ＝90°，AE ＝2AD ＝8cm ，∠A ＝30°，所以BE ＝
12
AE ＝4cm ，由勾股定理，得AB ＝22AE BE -＝43（cm ），所以□ABCD 的周长＝（83+8）cm ；（2）因为BC ∥AD ，BC ＝AD ，而AD ＝DE ，所以DE ＝BC 且DE ∥BC ，即四边形BDEC 是平行四边形，又BE ⊥DC ，所以□BDEC 是菱形，所以四边形BDEC 的周长＝4DE ＝16（cm ），面积＝
1
2
DC ·BE ＝83（cm 2）；22，易证△AOE ≌△COF ，所以OE ＝OF ，所以四边形AFCE 是平行四边形，又AC ⊥EF ，所以四边形AFCE 是菱形；23，证△ABE ≌△DAF 即得；24，证△PBA ≌△PCD 即得； 25，【答案】：（1） 证明： ∵AB DC =，∴梯形ABCD 为等腰梯形．∵∠C=60°，∴120BAD ADC ∠=∠=o
，又∵AB AD =，
∴30ABD ADB ∠=∠=o
．∴30DBC ADB ∠=∠=o
．∴90BDC ∠=o
．
图20
由已知AE BD ⊥，∴AE∥DC． 又∵AE 为等腰三角形ABD 的高， ∴E 是BD 的中点， ∵F 是DC 的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD．
∴四边形AEFD 是平行四边形．
（2）解：在Rt△AED 中， 30ADB ∠=o ，∵AE x =，∴2AD x =．
在Rt△DGC 中 ∠C=60°，并且2DC AD x ==，∴DG =．
由（1）知： 在平行四边形AEFD 中2EF AD x ==，又∵DG BC ⊥，∴DG EF ⊥， ∴四边形DEGF 的面积1
2
EF DG =g ，
∴ 21
22
y x =
?=(0)x >．