中考数学与初高中衔接的关系
专题00中考数学与初高中衔接的关系
中考起着为高中选拔人才的作用，莘莘学子通过中考这一座桥梁走向高中.初中数学教材难度下降，初中教学跟着中考指挥棒，弱化了很多初高中数学学习中需要一直贯彻的数学思想方法，高中数学内容起点高、难度大、容量多，学生到了高中易衔接不上中考试题除了考察学生对初中知识的掌握程度以外，还为学生适应高中学习做适当的衔接，将会很好地体现“以学生的发展为根本”这一教学理念. 一、延伸高中数学思想方法
在初高中数学学习中需要一直贯彻的数学思想方法有函数的思想、数形结合思想、对图形的认识与空间想象能力等
例如函数思想，生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容初中教材中函数知识的考察重点在于函数的基本性质和如何求函数表达式，而高中数学重视各种函数间的关系、动态问题中融合函数知识等内容.中考试题中对这类问题加以重视，把高中数学思想方法渗入初中的学习，以达到初高中接轨.
例1如图1，在平面直角坐标系x0y 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A 、C 、D 均在坐标轴上，且AB=5，4
sin 5
B =. （1）求过A 、
C 、
D 三点的抛物线的解析式；
（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解析式为2
2y ax bx c =++，求当12y y <时，自变量x 的取值范围；
（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上，A ，E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值.
如图2，
（1）由菱形ABCD 的边长和一角的正弦值，可求出OC ，OD ，OA 的长，进而确定A ，C ，D 三点坐标，通过待定系数法求出抛物线的解析式222
433
y x x =-
++. （2）首先由A ，B 的坐标确定直线AB 的解析式143y x =--8
3
， 然后求出直线A 与抛物线的两个交点（-2，0）和285,3??
- ???
，然后通过观察图象找出直线y 1在抛物线y 2图象下方的部分，由图可知：当y 1 （3）该题的关键点是确定点P 的位置，△APE 的面积最大，那么1 2 APE S AE h ?= ?中h 的值最大，即点P 离直线AE 的距离最远，那么点P 为与直线AB 平行且与抛物线有且仅有的唯一交点的直线上的点. 若设直线4 :3 L y x b =- +，直线L ∥AB ，当直线L 与抛物线有且只有一个交点P 时，2422 4333 x b x x -+=-++，且0?=. 求得112b = ，即直线411:32L y x =-+；可得点37,22P ?? ??? . 由（2）得285, 3E ?? ???，则直线11 :93 PE y x =-+. 则点2749,0,1111F AF OA OF ?? =+= ??? . ∴△PAE 的最大值：149211PAE PAF AEF S S S ???=+= ??287343 3212 ??+= ???， 综上所述，当P 为37,22?? ??? 时，△PAE 的面积最大，为34312. 类似的题型还有结合高中几何不等式考察数形结合思想；利用三视图延伸到高中立体几何，考察空间理解能力；渗透排列组合知识强化概率知识的理解能力等等.学生通过解这一类题目，可以把解题思想延伸到高中，利用高中思维方法解初中函数题，以达到初高中思维方法上的衔接. 二、滲透高中数学概念 概念是基础知识的核心.初中概念简单，容易理解，从升学考看，学生只要记准概念公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得中考好成绩造成了轻知识形成过程、轻概念理解、重题量的情形.初、高中教师教学方法上的差异中间又缺乏过渡过程，至使高中新生在理解概念时，普遍感到吃力.把高中的概念理解渗透到中考试题，引导学生重视概念理解，正确理解和灵活运用概念，从而增强概念理解能力. 例2如图3，对于平面直角坐标系中的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，我们把12 12x x y y -+-叫做12,P P 两 点间的直角距离记作()12,d P P . （1）已知O 为坐标原点，动点P （x ，y ）满足d （O ，P ）=1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形； （2）设()0 00,P x y 是一定点，Q （x ，y ）是直线上的动点，我们把()0,d P Q 的最小值叫做P 到直线y=ax+b 的 直角距离试求点M （2，1）到直线y=x+2的直角距离. 如图4， （1）由题意，得|x|+|y|=1，所有符合条件的点P 组成的图形如图所示， （2） (,)|2||d M Q x y =-+-1||2||21|x x =-++-|2||1|x x =-++， ∴x 可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x 所对应的点到2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3. ∴点M （2，1）到直线y=x+2的直角距离为3. 类似的题型有以下几种：直接利用高中数学概念解题如直接给出正弦函数、余弦函数解斜三角形；以高中数学概念为背景结合初中知识解题，如射影定理、圆幂定理的应用；或者改编高中概念，使其简单化，在初中背景下应用等这类试题要求学生通过阅读对概念的本质进行理解、概括在新背景下运用新概念，结合初中知识解决问题这类题目能很好地考查学生的数学阅读理解能力数学抽象概括能力和对概念的实际应用能力. 三、衔接高中解题技巧 高中数学解题有较多技巧，用高中解题技巧解初中数学题，很多时候能事半功倍，展现数学的奥妙之处中考题融人高中解题技巧，能促使师生更新原有的思维方式，为高中后续学习做铺垫. 例3为解方程 () ( ) 2 2 2 1514x x ---+=0，我们可以将x 2-1视为一个整体然后设x 2 -1=y ，则()2 2 21x y -=， 原方程化为y 2-5y+4=0 ①， 解得121,4y y ==. 当y=1时，2 11,2x x -== 当y=4时，2 14,5x x -==所以，原方程的解为12342,2,5,x x x x =-=-5解答问题 （1）填空：在由原方程得到①过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了的数学思想； （2）解方程：4 2 60x x --=. 解：(1)换元法 (2)由题意可得： ()()2 2230x x +-=， 由于2 20x +>，故2 30,x x -==. 例4观察下列等式： 第1个等式：1111113 23a ??= =- ???? 第2个等式111135235??= =- ???? 第3个等式3111157257a ??= =- ???? 第4个等式4111179279a ??= =- ???? 请解答下列问题： （1）请按以上规律列出第5个等式：5a = = . （2）用含n 的代数式表示第n 个等式：n a = = .（n 为正整数） （3）求1234100a a a a a ++++ +的值. (1)411119112911a ?? = =- ???? (2)()()1 111212122121n a n n n n ??= =- ?-+-+?? (3)1234100a a a a a ++++ +11111 112335199201?????? ??= -+-++- ? ? ??????????? 100201=. 【名师点睛】本题是初中常见的寻找规律题取材于高中数学中的数列结合高中数列求和常用的裂项相消法解题技巧性较强. 中考题可渗透韦达定理、参数法数学归纳法反证法解题方法技巧等增加试题的灵活性，提高试题的丰富度这些创新的题型及解法可引导学生平时注重涉足课本以外知识开拓视野发展思维脱离“应试教育”的误区. 四、弥补初中知识层面的不足 初中教材知识层面较简单，对能力要求不高，相对来说，高中对数学能力和数学思想的运用要求比较高，初高中 知识存在着很多需要衔接的地方，中考题可以在这些方面加以重视. 新高一学生的数学知识上看，明显在一元二次方程的解、二次函数根与系数的关系方面知识欠缺，遇到此类问题时，学生表现出思维能力、分析能力等方面的乏力，中考题中，可利用二次函数在开闭区间上的最值，十字相乘法分解因式，元二次不等式的解法等，作为初中数学学习的延伸，高中数学学习的阶梯，并依此为突破口，做好初、高中数学教学的衔接；射影定理，平行线分线段比例定理，圆幂定理等，初中深度不够，高中应用频繁，在考察相似三角形知识的中考题可引用此类知识；初中教材中没有关于含有字母系数的方程的解法和公式变形等内容，进入高中后进行公式推动有困难，这方面中考题可尝试渗透；直线与圆的位置关系的讨论，学生在初中掌握的很肤浅，可在中考题中利用几何法和代数法探讨，作进一步深化；含有参数的函数、方程、不等式，初中教材中同样不作要求，只作定量研究，而在高中，这部分内容被视为重难点，可在中考综合题（如动点问题）中涉及，作为区分度较高的拔高知识点；几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等），初中生大都没有学习，而高中教材多常常要涉及，这些也可以作为考察的内容. 中考题的多方面、多层次变化，决定了初中教师要站在更高的平台上展望，初高中衔接的中考题，对初中知识和数学思想进行补充、对初中教师的教学起到指导性作用.初中老师在平时的教学中，或初三备考时，不妨多与高中知识、思想方法接轨，以崭新的视角看待中考，以达到中考的真正意义.