电路(第五版).邱关源原著电路课程教案第3章电阻电路的一般分析

第3 章电阻电路的一般分析

本章重点

1、独立independent KCL、KVL 方程equations 个数；

2、支路法列方程construct equations 解电路；

3、网孔法列方程解电路analyse circuit ；

4、回路法列方程解电路；

5、节点法列方程解电路。

本章难点

1、含有理想电源Ideal Power 的回路法Loop method ；

2、含有受控源Controlled source 的回路法；

3、含有理想电源的节点法node method ；

4、含有受控源的节点法。

教学方法

本章主要讲述电阻电路的一般分析方法，即方程法。本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法，共需6 课时。对独立KCL、KVL 方程个数确定，可以自学；有关图论Graph 的内容，在15 章统一讲解；对支路法、网孔法、回路法、节点法在不同情况下如何建立方程等重点和难点内容，课堂上要讲解透彻，课下布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。为使学生能区分各方法的优点和应用对象，可采用一个电路用不同的方法来分析。

授课内容

3.1 支路法

一、支路电流法

以支路电流为未知量，根据KCL、KVL 列关于支路电流的方

程， 进行求解的过程。

图 3-1

仅含电阻和电压源的电路

第 1 步 选定各支路电流参考方向，如图 3-1 所示。 第 2 步 对(n －1)个独立节点列 KCL 方程

如果选图 3-1 所示电路中的节点 4 为参考节点，则节点 1、2 、

3 为独立节点，其对应的 KCL 方程必将独立，即：

1 I 1 I 3 I 4 0

2 I 1 I 2

I 5

3

I 2 I 3 I 6 0

第 3 步．对 b (n 1) 个独立回路列关于支路电流的 KVL 方程

Ⅰ： R 1I

1

R

5I 5

U

s4

R

4I 4

U

s1

0 Ⅱ： R 2 I 2 U s2 R 6 I 6 R 5 I 5 0 Ⅲ： R 4I

4

U

s4

R

6I 6

U

s3

R

3I 3

第 4 步．求解

3.2 网孔电流法和回路电流法 一、网孔电流法

1 、网孔电流 ：是假想沿着电路中网孔边界流动的电流，如

图

3-2 所示电路中闭合虚线所示的电流 I m1、I m2 、I m3。对于一个节

点 数为 n 、支路数为 b 的平面电路，其网孔数为 (b- n+1) 个，网孔电 流数也为 (b- n+1) 个。网孔电流有两个特点：

、基本步

图 3-2 网孔电流

2 、网孔电流法： 以网孔电流作为独立变量，根据 KVL 列

出关 于网孔电流的电路方程，进行求解的过程。

3 、建立方程步骤：

第一步，指定网孔电流的参考方向，并以此作为列写 KVL 方程 的回路绕行方向 bypass direction of the Loop.

第二步，根据 KVL 列写关于网孔电流的电路方程。

R 1I m1 R 5(I m1 I

m2

) U

s4 R 4

(I m3 I

m1

) U

s1 0

U s2 R 6(I m3 I m2) R 5(I m1 I m2) 0

I

m1) U s4 R 6

(I m3 I

m2

) U

s3 R 3

I m3 0

R 4)I m1 R 5I

m2 R

4I

m3 U

s1 U

s4

式中， R ij (i= j )称为自电阻 self-resistance ，为第 i 个网

孔中各支 路的电阻之和， 值恒为正。R i (j i ≠j )称为互电阻

独立性 Independence ：网孔电流自动满足 KCL ，而且相互独 立。

完备性 流表示。

Completeness ：电路中所有支路电流都可以用网孔电 R

2I m2

R 4(I m3 (R 1 R 5

R

5I m1 (R 2 R 5 R 6)I m2

R

6I m3

U

s2

R

6I m2 (R 3 R 4 R 6)I m3 U s3

R

4I m1 第三步，网孔电流方程的一般形

式

R

11i m1 R 12i m2 R 13i m3 R

21i m1 R 22i m2 R 23i m3

R 31i m1 R 32 i m 2 R 33i m3

U s4

u

s11

u

s22 u

s33

R 1

I

2

+ U s1

R 2

I 2

R3

I 3 +

R

s3

Mutual-resistance

R 1

R 3

U s + s

I m1

R 2

为第 i 个与第 j 个网孔之间公共支路的电阻之和 the sum of

public resistance between Meshs ，值可正可负； 当相邻网

孔电流在公共 支路上流向一致时为正，不一致时为负。 u sii 为第

i 个网孔中的等效 电压源。其值为该网孔中各支路电压源电压值

的代数和。当电压源 方向与绕行方向一致时取负，不一致时取正。

4 、电路中仅含电压源的网孔法

第一步 , 选取各网孔电流绕行方向 The bypass direction

of the mesh-current ；第二步 , 利用直接观察法 Direct observation 形成方程；第三步 , 求解。

5 、电路中含电流源时的网孔法 第一类情况：含实际电流

源：作一次等效变换。 第二类情况：含理想电流源支路。 ①理想电流源位于边沿支路 Edge branch ，如图 3-3

R 1

图 3-3

ａ：选取网孔电流绕行方向，其中含理想电流源支路的网孔电 流为已知量 I m2 ＝－I S

ｂ：对不含有电流源支路的网孔根据直接观察法列方程

（R 1＋R 3）I m1－R 3I m2 ＝U S ｃ：求解。

②位于公共支路 Public branch ，如图 3-4

ａ：选取网孔电流绕行方向，虚设电流源电压 U

图 3-4 图 3-5 ｂ：利用直接观察法列方程

R 2

U s I m1 R 3 I m2

I m2

(R1 R2)I m1 R2I m2 U U s

R2I m1 (R2 R3)I m2 U 0

ｃ：添加约束方程： I m2 I m1 I s

ｄ：求解。

6、电路中含受控源时的网孔法 (如图3-5 ) 第一步，选取

网孔电流方向；第二步，先将受控源作独立电源处理，利用直接观察法列方程；

(R1 R2)I m1 R2I m2 U s

R2I m1 (R2 R3)I m2 rI 第三步，再将控制量用未知量Unknown quantity 表示

I I m1 I m2 第四步，整理求解。

(R1 R2)I m1 R2I m2 U s

(注意：R12≠R21 ) (r R2)I m1 (R2 R3 r)I m2 0 可见，当电路中含受控源

时， R ij R ji

二、回路电流法

适用于含多个理想电流源支路的电路。

回路电流是在一个回路中连续流动Continuously flow 的

假想电流Imaginary current 。一个具有b 条支路和n 个节点的电路，其独立回路数The number of independent loop

为(b- n +1) 。以回路电流loop current 作为电路独立变量independent variables 进行电路分析circuit analysis 的方法称为回路电流法。

例： 电路如图 3-6 ，求 I ＝？

+

5V

图 3-6

解：适当选取回路，使独立电流源支路只有一个回路电流流过

I l1 2A ，I l2 3A ， I l3 1A 于是只需对回路 4 列写回路电

流方程

∴I l4 3.2A 则 I I l4 3.2A

3.3 节点电压法

一、节点电压 任意选择电路中某一节点作为参考节点，其余节点与此参考节 点间的电压分别称为对应的节点电压，节点电压的参考极性均以所 对应节点为正极性端，以参考节点为负极性端。如图 3-7 所示的电 路，选节点 4 为参考节点，则其余三个节点电压分别为 U n1、U n2、 U n3。节点电压有两个特点：

独立性：节点电压自动满足 KVL ，而且相互独立。 完备性：电路中所有支路电压都可以用节点电压表示。

二、节点电压法 以独立节点的节点电压作为独立变量， 根据

KCL 列出关于节点

电压的电路方程，进行求解的过程。

1Ω

1Ω

I l2

1Ω

I l1

1Ω

I l3

I l4

3V +

1Ω

2A

2I l 1 2I l2

5I l4 513 1V 1Ω

1A

节点 1： G 1(U n1 U n2) G 5(U n1 U n3) I s

节点 2： G 1(U n1 U n2 )

G 2U n2 G 3(

U n2

U n3) 0

节点

3： G 3(U n2 U

n3) G 4U

n3 G

5(U

n1 U n3) 0

第三

步，

具有三个独立节点的电路的节点电压方程的一

般形式

G

11u n1 G

12 u n 2 G

13u u 3 i

s11

G 21u n1 G 22u n2 G 23u n3 i

s22

G 31u n1

G 32u n 2

G 33u n3

i

s33

式中， G ij (i j) 称为自由导， 为连接到第 i 个节点各支路电导之和，

值恒正。 G ij (i j )称为互电导，为连接于节点 i 与 j 之间支路上的电 导之和，值恒为负。 i sii 流入第 i 个节点的各支路电流源电流值代数 和，流入取正，流出取负。

三、仅含电流源时的节点法 第一步，适当选取参考点； 第二

步，利用直接观察法形成方程； 第三步，求解。

四、含电压源的节点法 第一类情况：含实际电压源：作一次等效

变换。 第二类情况：含理想电压源。 ① 仅含一条理想电压源支路，如图 3-8 ａ.取电压源负极性端为参考点：则 U n1 U s

G 1

I S

G 2

G 5 2

G 3

G 4

图 3-7

第一步，适当选取参考

点。 根据 KCL 列出关于节点电压的电路方程。

4

图 3-8

ｂ.对不含有电压源支路的节点利用直接观察法列方程：

G 1U n1 (G 1 G 2 G 3)U n2 G 3U n3 0

G 5U n1 G 3U n2 (G 3 G 4 G 5)U n3 0 ｃ.求解

② 含多条不具有公共端点的理想电压源支路，如图

3-9 ａ.适当选取参考点：令 U n4 0，则U n1 U s 。

ｂ. 虚设电压源电流为 I ，利用直接观察法形成方程

G 1U n1 (G 1 G 2)U n2 I 0

G 5U n1 I (G 4 G 5)U n3 0

ｃ.添加约束方程： U n2 U n3 U s3

G 5

＋－ U S3

G 3

G 5

2

G 1

G 2

G 3

G 4

U S1

G 2

G 4

G 1

ｄ.求解图3-9

4

五、含受控源的节点法 (如图 3-10 ) R 3

R 4 U n2

U n1

R 1 + U S

图 3-10

第一步，选取参考节点； 第二步， 先将受控源作独立电源处理， 1 1 1 (

)U

n

1

R 1 R 2 R 3 R 4

n1

R 2 利用直接观察法列方程； 1 U s R

3 R 4

U n2

R 1

第三

步， 第四步，

1

U n1

( 1

n1

R

3

R

4

R

3

R

4

再将控制量用未知量表示

整理求解。

1 1 1 ( )U n1 R 4

n1

gR 3 R 1 R 2 R 3 ( gR 3 1

)U n1 (

R 3 R 4 R 3 注意： G 12 ≠G 21 )

六、含电流源串联电阻时的节点法

R 1

+ U S

R 1

5

)U n2

gU

1

R 3 R

U

n1 U n2

R 3

R 4

R 3

U n2

4 11

1

)U n2

R 4 R 5

如图 3-11

Un R 2

图 3-11

(

R 11 R 12

)U n U s

R1

I s

R 3

结论： 与电流源串联的电阻不出现在自导或互导中 U s

R 1

I S

例：如下图 3-12 ，用网孔电流法和节点电压法列

方程。

图 3-12 网孔电流方程： (R

1 R 4 R 5)I m1 (R 4 R

5)I m3

U

S2 U 5

(R 2 R 3)I m2

R

3I m3

U U s2

I

m3 I 3

约束方程： I

m3 I m2

I

s4

补充方程： U

5

R

5(I m1 I

m3) ； I 3 I m2

节点电压方程：

( R

1

1 R 1

2

)U n1

1

U

R 2 n3

I

U 5

R 1

1

U

R 4 R 5 n 2

I I

s4

1

U

R 2 U n1

R 12

U n3

I

s4 I 3

约束方程： U n1 U n2 U

s2 补充方程： I U n1 U n3

； U 5

R 5

U n2

R 2

R 4 R 5

图 3-13

上述电路也可以列写回路电流方程图3-13 ，如下：

回路电流方程：

(R1 R4 R5)I m1 (R4 R5)I m3 U S2 U 5

I m2 I S4 I m3 I S3

补充方程： U5 R5(I m1 I m3) ； I 3 I m2 I m3