高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质

考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．

1．函数的三要素

定义域、值域及对应关系

两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．

2．函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．

(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.

3．函数的图象

对于函数的图象要会作图、识图、用图．

作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质

(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.

热点一 函数的性质及应用

例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．

(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，1

2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭

⎫－3

2＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，1

2]时的

解析式探求f (3)和f (－3

2)的值．

答案 (1)(－1,3) (2)－1

4

解析 (1)∵f (x )是偶函数，

∴图象关于y 轴对称．

又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，

由f (x －1)>0，得－2

得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1

4.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－1

4

. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．

(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则

f (lg(l

g 2))＝________.

(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为

________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝

⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫

1lg 2＝－lg(lg 2)，

由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．

又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)

∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，

由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，

即⎩⎪⎨⎪⎧

g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，

∴－2

热点二 函数的图象

例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|

x ＋1

图象的是________．

(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－1

2

)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．

思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c

解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而

得到，y ＝10ln|x |

x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中

心对称．所以①④不可能是；