湖南省长沙市雅礼中学高一下学期三月检测数学试题(解析版)

湖南省长沙市雅礼中学高一下学期三月检测数学试题

一、单选题

1．设函数()f x =的定义域A ，函数()()ln 2g x x =-的定义域为B ，则集合

A B 为（ ）

A ．（2，3）

B ．(]2,3

C ．[)3,2-

D ．（-3，2）

【答案】C

【解析】由函数的定义域，分别算出A 和B ，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案. 【详解】

由290x -≥，得33x -≤≤，所以{|33}A x x =-≤≤， 又由20x ->，得2x <，所以{|2}B x x =<， 所以{|32}A B x x ?=-≤<. 故选：C 【点睛】

本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题.

2．为了得到函数π

sin(2)3

y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点

A ．向左平行移动π

3个单位长度 B ．向右平行移动π

3个单位长度

C ．向左平行移动π

6个单位长度

D ．向右平行移动π

6

个单位长度

【答案】D

【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36

y x x π

π

=-=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行移动π

6

个单位长度，故选D. 【考点】三角函数图象的平移

【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数()sin()f x A x ω?=+的图象平移变换中要注意“ω”的影响，变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移?个单位

得sin()y x ?=+的图象，再把横坐标变为原来的

1

ω

倍，纵坐标不变，得

sin()y x ω?=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的

1

ω

倍，纵坐标

不变，得sin y x ω=的图象，再向左平移

?

ω

个单位得sin()y x ω?=+的图象． 3．已知向量()23,6a k =-，()2,1b =，且a b ⊥，则实数k =（ ） A ．92

-

B ．0

C ．3

D ．

152

【答案】B

【解析】由平面向量垂直的等价条件，列出方程求解，即可得到本题答案. 【详解】

因为向量()23,6a k =-，()2,1b =，且a b ⊥， 所以(23)2610k -?+?=，解得0k =. 故选：B 【点睛】

本题主要考查平面向量垂直的等价条件的应用，属基础题.

4．函数()()2

1sin ,10,

2,0.

x x x f x x π-?-<

A ．1

，±

B ．1

， C

．D ．1

，

2

【答案】B

【解析】分10a -<<和0a ≥两种情况考虑，解得对应方程的结果，即可得到本题答案. 【详解】

若10a -<<，则()2

()sin

1f a a π==

，得2a =-

或2

a =（舍去）； 若0a ≥，则1

()21a f a -==，得1a =.

综上，2

a =-或1a =. 故选：B 【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，体现了分类讨论的数学思想.

5．已知角α的终边经过点()3,P t ，且()()3

sin 25

k k Z πα+=-∈，则t 等于（ ）

A ．916

-

B ．94

-

C ．34

-

D ．94

【答案】B

【解析】

35=-，求得方程的解，即可得到本题答案.

【详解】

因为角α的终边经过点()3,P t ，所以

sin α=，

又3sin(2)sin 5

k παα+==-

，

35=-，

解得94

t =-. 故选：B 【点睛】

本题主要考查利用三角函数的定义求参数.

6．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若12a =，312S =，则6a =（ ） A ．6 B ．8

C ．10

D ．12

【答案】D

【解析】由12a =，312S =，可算得d ，然后利用数列的通项公式，即可得到本题答案. 【详解】

因为313312S a d =+=，又12a =， 所以2d =，

所以61512a a d =+=. 故选：D 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题. 7．已知0θπ<<，且1

sin cos 5

θθ-=

，则tan θ的值等于（ ）

A ．

43

B ．

34

C ．34

-

D ．43

-

【答案】A

【解析】由1

sin cos 5

θθ-=和22sin cos 1θθ+=，联立消cos θ，即可求得本题答案. 【详解】

因为1

sin cos 5

θθ-=

，又22sin cos 1θθ+=，联立消cos θ，得2

25sin 5sin 120

θθ--=，解得4sin 5θ=或3sin 5θ=-（舍去），所以3cos 5

θ=，sin 4

tan cos 3

θθθ==.

故选：A 【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的运算求解能力.

8．在ABC ?中，已知的三边a 、b 、c 成等比数列，且c =2a ，则cos B 等于（ ）

A ．

3

B ．

12

C ．

4

D ．

34

【答案】D

【解析】由三边a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，得b =

，然后直接套入余弦定理

222

cos 2a c b B ac

+-=

，即可得到本题答案. 【详解】

因为三边a 、b 、c 成等比数列，所以2b ac =，又2c a =，则b =

，

所以222222423

cos 2224

a c

b a a a B a

c a a +-+-===?.

故选：D 【点睛】

本题主要考查等比数列与余弦定理的综合应用，考查学生的运算求解能力. 9．如图，AB 是的

O 的直径，且半径为1，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个等三分点，

则向量AD 在向量CA 上的投影等于（ ）

A ．

32

B ．

3 C ．3-

D ．32

-

【答案】D

【解析】求得AD 与CA 的夹角和||AD 的大小，套用公式即可得到本题答案. 【详解】

由题，得30CAD BAD ?∠=∠=， 连接BD ，易得90ADB ?∠=， 在Rt ABD ?中，2AB =，所以3AD =

，

所以向量AD 在向量CA 上的投影33||cos15032AD ?

??==?-=- ? ???

. 故选：D

【点睛】

本题主要考查向量a 在b 方向上的投影公式的应用.

10．在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ?的面为S ，且

()2

243S a b c =+-，则sin 4C π??+= ??

?（ ）

A ．1

B ．

22

C ．

62

4

D 62

+【答案】D

【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差

的正弦公式进行求解即可． 【详解】

解：由()2

2a b c =+-，

得222

1sin 22ab C a b c ab =+-+，

∵ 2222cos a b c ab C +-=，

∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，

cos 1C C -=

即2sin 16C π?

?-= ??

?，

则1sin 62

C π??

-

= ??

?， ∵ 0C π<<， ∴ 56

6

6

C π

π

π-

<-

<

， ∴ 6

6

C π

π

-

=

，即3

C π

=

，

则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ????+=+=+= ? ?????1222+?=

故选D ． 【点睛】

本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．

11．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=?，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，

3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ?=，则λ的值为（ ）

A ．3

B ．2

C ．

3

2

D ．

52

【答案】B

【解析】由题意利用向量数量积的定义和平面向量基本定理整理计算即可确定λ的值. 【详解】 由题意可得：

()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+

113AB BC BC AB λ????+?+ ? ?????22111133AB BC AB BC λλ??

=+++? ???

，

且：22

4,22cos1202AB BC AB BC ==?=??=-， 故

()44112133λλ??

+++?-= ???

，解得：2λ=. 故选B . 【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12．已知数列{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，则n

a n 的最小值为（ ）

A ．

294

B ．1

C ．152

D ．

38

5

【答案】C

【解析】由累加法，可得2

18n a n n =-+，然后借助函数的单调性，即可确定

n

a n

的最小值. 【详解】 由题，得

()()()()11112211n n n n n n n a a a a a a a a a a ++---=-+-+-+

+-+

22(1)2(2)2118n n n =+-+-+

+?+

(1)

2182

n n +=?

+ 218n n =++，

所以2

18n a n n =-+，21818

1n a n n n n n n

-+==+-，

因为双勾函数18

()f x x x

=+

在递减，在)+∞递增， 且541538,4255a a ==， 所以n a n

的最小值为152.

故选：C 【点睛】

本题主要考查利用累加法求通项公式以及借助函数的单调性确定数列的最小项，考查学

生的分析问题与解决问题的能力.

二、填空题 13．2

233cos

sin 88ππ-=____

【答案】2

-

【解析】解答：

2

233cos sin 88ππ-=cos 6π8=?cos π4

故答案为：. 14．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ??

???

上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______． 【答案】①③

【解析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在

,2x ππ??

∈ ???

时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区

间,2ππ??

???上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π??

= ???

以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】

对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，

且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当

2

x π

π<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数

()y f x =在,2

ππ?? ??

?

上单调递减，命题②错误；

对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又

22f π??

= ???

，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；

对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又

()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.

因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】

本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.

15．已知πcos sin 6αα??-+= ??

?πsin 6α??+= ???

________. 【答案】

45

【解析】利用和差公式恒等变换，即可得到本题答案. 【详解】

因为13

cos sin sin sin sin 622

πααααααα??

-

+=++=+ ??

?

6πα?

?=+= ??

?

所以4sin 65

πα??

+= ??

?. 故答案为：45

【点睛】

本题主要考查利用和差公式恒等变换求值，考查学生的运算求解能力. 16．设n S 是数列{}n a 的前项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n a =______.

【答案】()1,11,2

1n n n n -=??

?

≥?-?

【解析】将11n n n a S S ++=转化为11n n n n S S S S ++-=，两边除以1n n S S +转化为等差数列，先求得n S 的表达式，再利用1n n n a S S -=-求得n a 的表达式.. 【详解】

.由11n n n a S S ++=得11n n n n S S S S ++-=，两边除以1n n S S +得

111

1n n

S S +-=-，故数列1n S ??

????

是以11111S a ==-为首项，公差为1-的等差数列，故1n n S =-.即1n S n =-.当2n ≥时，()1111

11n n n a S S n n n n -??=-=---= ?

--??，1a 不符合上式，故()1,11,21n n a n n n -=??=?≥?-?

.

【点睛】

本小题考查利用递推数列求数列的通项公式.题目所给已知条件是11n n n a S S ++=，通过将

1n a +转化为1n n S S +-，可将题目所给已知条件配成有关1,n n S S +的等差数列的形式，由

此求得n S 的表达式，在根据()12n n n a S S n -=-≥这个常用的关系式，求得n a 的表达式.最后要注意验证1n =时是否符合，不符合的话要写成分段的形式.

三、解答题

17．已知向量()sin ,cos a x x =，(

)

3,1b =-，[]0,πx ∈.

（1）若a 与b 共线，求x 的值；

（2）记()f x a b =?，求()f x 的最大值以及对应的x 的值. 【答案】（1）2

3x π=

；（2）()f x 的最大值为2以及对应的x 为22()3

k k Z ππ+∈. 【解析】（1）由平行向量的等价条件，列出方程求解即可得到本题答案；

（2）由题，得()cos 2sin 6f x x x x π?

?

=-=- ??

?

，令2()6

2

x k k Z π

π

π-

=

+∈，

即可得到本题答案.

【详解】

（1）因为向量()sin ,cos a x x =，(

)

3,1b =

-，且a 与

b 共线，

所以sin 0x x -

=，化简得tan x =2

3

x π=；

（2）由题，得()cos 2sin 6f x x x x π??

=-=- ??

?

， 令2()62

x k k Z π

π

π-

=

+∈，得2

2()3x k k Z ππ=+∈，

所以()f x 的最大值为2，以及对应的x 的值为2

2()3

k k Z ππ+∈.

【点睛】

本题主要考查平面向量与三角函数的图象与性质的综合应用，属基础题. 18．已知实数列{}n a 是等比数列，其中51a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：32n S <.

【答案】（1）5

12n n a -??= ???

；（2）证明见解析

【解析】（1）由51a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列，可得

()()

23112211q q q q q -----+=+=+，解方程可得q ，从而可以得到本题答案；

（2）由（1）得(

)11132112n

n

n a q S q

-????==-??

?-??????

，从而可以得到本题答案.

【详解】

（1）由4511a a q =?=，得41a q -=，从而3

21a a q q -==，2231a a q q -==，

3141a a q q -==，

又2a ，31a +，4a 成等差数列， 所以()32421a a a +=+即(

)()

2

3112211q

q q q q -----+=+=+，

解得12q =，所以4

116a q -==，1

5

11111622n n n n a a q ---????

==?= ?

?????

；

（2）由（1）得，()

111611213213211212

n n

n

n

a q S q

????-?? ?-??????????=

==-

本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算求解能力.

19．在ABC ?中，三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知三内角A ，B ，C 成等差数列. （1）求角B 的值；

（2）若2b =，且ABC ?

a ，c ； （3

）若b =

L 的范围.

【答案】（1）3

B π

=

；（2）2a =，2c =；（3

）L ∈

【解析】（1）由题得，2B A C =+，结合A B C π++=，即可求得角B ；

（2）由面积公式，得4ac =，由余弦定理，得228a c +=，结合两个式子即可得到本题答案；

（3）利用正弦定理、三角形内角和等于π

，和差公式，恒等变形得

6L A π?

?=++ ??

?A 的取值范围，即可得到本题得到.

【详解】

（1）因为三内角A ，B ，C 成等差数列，所以2B A C =+，又A B C π++=，所以3

B π

=；

（2）因为ABC ?

，所以

1

sin 2

ac B =4ac =①， 又2222cos b a c ac B =+-，所以224a c ac =+-，得228a c +=②， 综合①②得，2a =，2c =； （3）由题，得

2sin sin sin a b c

A B C

===，所以2sin ,2sin a A b B ==，

所以周长22sin 2sin 2sin 2sin 3

L a b c A B A A π??=++=+=+- ?

??

3sin 6A A A π?

?=+=++ ??

?

因为203A π<<

，所以5666

A πππ

<+<，

所以1sin 126A π??<+≤ ??

?，

所以6L A π?

?

=+ ??

?

. 【点睛】

本题主要考查正余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的图象与性质的综合问题，主要考查学生的转化能力和运算能力. 20．下表是一个“数阵”：

其中每行都是公差不为0等差数列，每列都是等比数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数. （1）写出45a 的值：

（2）写出ij a 的计算公式，以及第2020个1所在“数阵”中所在的位置.

【答案】（1）

5

8

；（2）第2020个1所在“数阵”中所在的位置是第2020行20192列 【解析】（1）设第一、二、三行的公差分别为,,d m n ，由题得22(1)13(1)(12)1(12)13m n d n m d ?-=-?

+-=??+=+?

，求

出,,d m n 的值，即可得到本题答案；

（2）令1

112i ij a j -??== ???

，2020i =，求j ，即可得到本题答案.

【详解】

（1）设第一、二、三行的公差分别为,,d m n ，则可得到前三行前四列的表如下：

由每列都是等比数列，得22(1)13(1)(12)1(12)13m n d n m d

?-=-?+-=??+=+?

，化简得22

102m m ??-= ???，由题知，

0m ≠，所以11,,124

m n d =

==，代入表中，可得，每列的公比为1

2，且第i 行的公

差为1

1

()

2

i -，

所以3

4111128a ??=?= ???，3

454115(51)28a a ??=+-?= ???； （2）由（1）得，1

1

1111122i i i a a --????

=?= ?

?????

， 所以1

1

1

1

11111(1)(1)2222i i i i ij i a a j j j ----??????

??

=+-=+-= ? ? ?

???????

??

，

令1

112i ij a j -??== ???

，

当1i =时，0

12j ==，当2i =时，122j ==，当3i =时，2

42j ==，

2020

i =时，2019

2j =.

所以第2020个1所在“数阵”中所在的位置是第2020行20192列. 【点睛】

本题主要考查数列的创新应用问题，考查学生的逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力.

21．如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .

（1）设BO x AB y AC =+，求x y +的值； （2）若6AB AC AO EC ?=?，求AB

AC

的值. 【答案】（1）12

-

；（23 【解析】（1）由,,E O C 三点共线，得1

(1)(1)3

AO t AE t AC tAB t AC =+-=

+-，又由AO mAD =，得()222m m m

AO AB AC AB AC =+=+，由此解得3

412t m ?=????=??

，即可

得到本题答案；

（2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案. 【详解】

（1）因为,,E O C 三点共线，所以1

(1)(1)3

AO t AE t AC tAB t AC =+-=+-， 设AO mAD =，所以()222

m m m

AO AB AC AB AC =

+=+， 所以13212m t m t ?=????-=??

，解得3

4

12t m ?=????=??；

所以1144AO AB AC =

+，1131

4444BO BA AO AB AB AC AB AC =+=-++=-+，

所以1

2

x y +=-；

（2）因为1166()43AO EC AB AC AB AC ???=?

+-+ ???

22312

233AB AB AC AC ??=

-+?+ ???

2213

||||22

AB AB AC AC =-+?+

又6AB AC AO EC ?=?，

所以2213

||||022

AB AC -

+=， 得||3||AB AC =，

即

AB

AC

=【点睛】

本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力.

22．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，*N n ∈. （1）若21n a n =+，且11b =，求数列{}n b 的通项公式；

（2）设10a t =<，()

*

N n n b t n =∈，求t 的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小

值m ，且

()M

2,2m

∈-. 【答案】（1）n b n =；（2）1,02t ??

∈- ???

【解析】（1）由()111

12

n n n n b b a a ++-=

-=，11b =，即可得到本题答案； （2）由累加法，得2n

n a t t =-，然后分1t <-，1t =-和10t -<<考虑，即可得到

本题答案. 【详解】

（1）由题，得()111

12

n n n n b b a a ++-=

-=， 所以{}n b 为等差数列，且11b =， 所以n b n =； （2）

()()

111,22n n n n n n n n b t a a b b t t +++=∴-=-=-

当2n ≥时，

()()()()()()112211

11222222n n n n n n n n n n a a a a a a a a t t t t t t t t t

------=-+-+?+-+=-+-+?+-+=-，

当1n =时，1a t =适合上式，

22212120,22n n n n n n a t t

t a t t t a t t t

--∴=-∴<∴=->-=-<-

①1t <-时，由指数函数的单调性知数列{}n a 不存在最大值和最小值； ②1t =-时，数列{}n a 的最大值为3，最小值为-1，

3

3(2,2)1

=-?--； ③10t -<<时，由指数函数的单调性知，数列{}n a 的最大值2

22M a t t ==-，最小

值为1m a t ==.

由210

222t t t

t -<

，解得102t -<<， 综上所述，1,02t ??

∈- ???

时满足条件. 【点睛】

本题主要考查数列与函数的综合问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查学生的逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力.