2020原创高考数学模拟试卷含答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．非空集合A 、B 满足≠?B A ，U 是全集，则下列式子：①B B A =Y ，②A B A =I ，③（

A U

）Y B ＝U ，④（

A U

）Y （

B U

）＝U 中成立的是（ ）．

A ．①，②

B ．③，④

C ．①，②，③

D ．①，②，③，④ 2．已知OM ＝（3，-2），ON ＝（-5，-1），则2

1MN 等于（ ）． A ．（8，1） B ．（-8，1） C ．（-8，-1） D ．4(-，2

1） 3．函数)

3(log 1

sinl x y -=

的定义域是（ ）．

A ．（2，3）

B ．[2，)3

C ．（2，]3

D ．（2，＋∞） 4．如果数列}{n a 的前n 项和))(49(4

1*N ∈-=

n S n n

n

n ，那么这个数列（ ）． A ．是等差数列而不是等比数列 B ．是等比数列而不是等差数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列又不是等比数列 5．锐二面角βα--l 的棱l 上一点A ，射线α?AB ，且与棱成45°角，又AB 与β成30°角，则二面角βα--l 的大小是（ ）

． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

6．有6个人分别来自3个不同的国家，每一个国家2人。他们排成一行，要求同一国家的人不能相邻，那么他们不同的排法有（ ）．

A ．720

B ．432

C ．360

D ．240

7．直线经过点A （2，1），B （1，2m ）两点)(R ∈m ，那么直线l 的倾斜角取值范围是（ ）．

A ．[0，)π

B ．[0，2π(]4π

Y ，)π C ．0[，]4π D ．4π[，2

π()2πY ，

)π

8．下列函数中同时具有性质：（1）最小正周期是π，（2）图象关于3

π=x 对称，（3）在6π[-，]3

π上是增函数的是（ ）．

A ．)6

π2

sin(+=x y

B ．)3

π2cos(+=x y

C ．)6

π2sin(-=x y

D ．)6

π

2cos(-=x y

9．设双曲线122

22=-b

y a x 的右准线与两条渐近线交于A 、B 两点，右焦点为F ，且

FA ⊥FB ，则双曲线的离心率为（ ）．

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

3

3

2 10．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表

那么分数在[100，110]中和分数不满110分的频率和累积频率分别是（ ）． A ．0.18，0.47 B ．0.47，0.18 C ．0.18，1 D ．0.38，1

11．已知)3

π

2sin(3)(+=x x f ，则以下选项正确的是（ ）．

A ．f （3）＞f （1）＞f （2）

B ．f （3）＞f （1）＞f （2）

C ．f （3）＞f （2）＞f （1）

D ．f （1）＞f （3）＞f （2）

12．下列各组复合命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（ ）．

A ．p ：0＝?，q ：0?∈

B ．p ：过空间一点有且仅有一条直线与两异面直线a ，b 都相交，q ：在△AB

C 中

若B A 2cos 2cos =，则A ＝B

C ．p ：不等式x x >||的解集为（-∞，0），q ：y ＝x sin 在第一象限是增函数

D ．p ：01cos 1sin >-，q ：椭圆13

42

2=+y x 的一条准线方程是x ＝4

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．已知一个球的半径为1，若使其表面积增加到原来的2倍，则表面积增加后球的体积是______________．

14．函数59323+--=x x x y 的单调递减区间是______________．

15．已知α、β是实数，给出下列四个论断：（1）||||||βαβα+=+，（2）||||βαβα+≤-，

（3）22||>α，22||>β，（4）5||>+βα．以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．

16．一天内的不同的时刻，经理把文件交由秘书打字。每次都将文件堆放在秘书的文件堆的上面，秘书有时间就将文件最上面的那份文件取来打字。若有5份文件，且经理是按1，2，3，4，5的顺序交来的，在下列的顺序①12345，②32415，③24351，④54321，⑤45231中，秘书打字的可能顺序是________（只要填上序号）．

三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分） 17．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三边a ，b ，c 成等比数列．

（1）求证：3

π

0≤

（2）求函数B

B B

y cos sin 2sin 1++=的值域．

18．已知等差数列}{n a 的首项11=a ，且公差d ＞0，第二项、第五项、第十四项分别是等比数列}{n b 的第二项、第三项、第四项． （1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；

（2）设数列}{n c 对任意自然数n 均有122

11+=+++n n

n a b c b c b c Λ成立，求n n c a c a c a +++Λ2211的值．

19．如图，△ABC 中，AC ＝BC ，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE ＝AB ＝2，F 为BE 的中点，DF ∥平面ABC ，

（1）求CD 的长；

（2）求证：AF ⊥BD ；

（3）求平面ADF 与平面ABC 所成的二面角的大小．

20．袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n 的

球重1553

2

+-n n （克）．这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出．

（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；

（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率．

21．如图：已知△OFQ 的面积为62，且m FQ OF =?，

（1）若646<

（2）设c OF =||，2)14

6

(

c m -=时，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，

当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程．

22．已知函数b

c bx x a x f -++-=1

)1()(2（a 、b 、N ∈c ）的图象按e ＝（-1，0）平移后

得到的图象关于原点对称，f （2）＝2，f （3）＜3． （1）求a 、b 、c 的值；

（2）设1||0<

（3）设x 是正实数，求证：22)1()1(-≥+-+n n n x f x f ． 参考答案

1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．A 10．A

11．A 12．B 13．

π23

8

14．[-1，3]（填（-1，3）也算对） 15．①③?②④由①知α与β同号，故②成立；再由③得524||||||>>+=+βαβα故④成立

16．①②③④

17．（1）因为a 、b 、c 成等比数列，所以ac b =2，由余弦定理得：

21222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a B ，又因为∠B ∈（0，π），所以0＜∠B ≤3π． （2）由

B B B B B B B B B y sin cos cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12+=++=++=)4πsin(2+=B ，因为0＜∠B ≤3

π

，所以127π4π4π≤

+

π

sin(21≤+

21=-=+n n n

n

a a

b

c ，所以132-?=n n c ，所以由错项相消法得23)1(22211+-=+++?n n n n c a c a c a Λ

19．（1）取AB 中点G ，连FG 、CG ，则FG ∥AE ，又AE 和CD 都垂直于平面

ABC ，所以AE ∥CD ，所以FG ∥CD ，所以F 、G 、C 、D 四点共面．又平面I FGCD 平

面ABC ＝CG ，DF ∥平面ABC ，所以DF ∥CG ，所以四边形FGCD 是平行四边形，所以12

1

===AE FG CD ． （2）直角三角形ABE 中，AE ＝AB ，F 是BE 的中点，所以AF ⊥BE ，又△ABC 中，AC ＝BC ，G 是AB 中点，所以CG ⊥AB ，又AE 垂直于平面ABC ，所以AE ⊥CG ，又A AB AE =I ，所以CG ⊥面ABE ．因为DF ∥CG ，所以

DF ⊥面ABE ，所以AF ⊥DF ，又因为F DF BE =I ，所以AF ⊥面BED ，所以AF ⊥BD ． （3）设面I ADF 面ABC ＝L ，因为DF ∥平面ABC ，所以DF ∥L ，又DF ⊥面ABE ，所以L ⊥面ABE ，所以L ⊥AF ，L ⊥AB ，所以∠FAB 即为二面角的平面角．直

角三角形ABE 中，易得∠FAB ＝45°，所以平面ADF 与平面ABC 所形成的较小的二面角为45°

20．（1）由不等式n n n >+-1553

2

得n ＞15，n ＜3，由题意知n ＝1，2，或n ＝

16，17，…，35．于是所求概率为

35

22

（2）设第n 号与第m 号的两个球的重量

相等，其中n ＜m ，则有1553

15532

2+-=

+-m m n n ，所以0)(15)(22=---m n m n ，因为n ≠m ，所以n ＋m ＝15，（n ，m ）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但从35个

球中任取两个的方法数为595213435C 2

35=??=

，故，所求概率为85

1

5957= 21．（1）由已知，得??

???==-??，

，

m FQ OF FQ OF θθcos ||||62)πsin(||||21

所以m 64tan =θ，因为646<

所以4tan 1<<θ，则4arctan 4

π

<<θ． （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直

角坐标系，设所求的双曲线方程为122

22=-b y a x ，（a ＞0，b ＞0），Q 点的坐标为（1x ，

1y ），则FQ ＝（c x -1，1y ），因为△OFQ 的面积62||2

1

1=?y OF ，所以c y 641=，又由

=?（

c ，0）（c x -1，1y ）21)146(

)(c c c x -=-=，所以c x 4

61=，128

396||2

221

2

1

≥+=+=c c y x ，

当且仅当c ＝4时，||最小，此时Q 的坐标为（6，6），由此可得??

???=+=-，

，

161662222b a b a 解之得?????==，，12422

b a 故所求的方程为112422=-y x

22．（1）函数f （x ）的图象按=e ρ

（-1，0）平移后得到的图象的函数式为

c

bx ax x f ++=+1)1(2，因为其图象关于原点对称，所以)1()1(+-=+-x f x f ，即

c

bx ax c x b x a ++-=+-+-1

)(1)(22，因为∈a N ，所以12+ax ＞0，所以-bx ＋c ＝-bx -c ，所以

c ＝0，

又因为f （2）＝2，所以

21=++b c a ，a ＋1＝2b ，a ＝2b -1……①，又321

4)3(<+=b

a f ，4a ＋1＜6

b ……②，由①②及a 、b ∈N 得a ＝1，b ＝1． （2）1

1

)1()(2-+-=x x x f ，所

以tx tx tx f 1)1(+

=+，|1||)1(|tx

tx tx f +=+ 2|1

|||2|1|

||=≥+=?tx

tx tx tx ，当且仅当||tx ＝1时，上式取等号，但0＜||x ＜1，0＜||t ≤1，所以||tx ≠1，|)1(|+tx f ＞2，)(2|)||(|222x t x t x t +=-++

||222x t -+，当||||x t >时，上式＝24t ≤4；当||||x t <时，上式＝24x ＜4，所以

||x t +|)1(|2||+<≤-+tx f x t ，即|)1(|||||+<-++tx f x t x t ； （3）)1(+x f n

2211C 1C )1()1()1(--+=+-+=+-?n n n n n n n n x x x x x x x x f 1

1

21C 1--??++n n n

x x x Λ2

1C -=n n x

21421C C ---+++n n n n n x x Λ，令2142211C C C ----+++=n n n n n n n x x x S Λ，又2

11C --=n n n

x S 2142C 1C ---+++n n n n n x x Λ，所以)1(C )1(C 24

4

2221----+++=n n n n n n x

x x x S 1C -++n n Λ +

++≥+------??Λ4

4

22

2122

12C 12C )1(n n n n n n n n x x

x x

x x 12

2

1

C (212

C n

n n n n x x

=---?)22(2)C C 12-=+++-n

n n n Λ