有关类比推理一个例子与证明

类比推理的教学案例分析

大兴安岭实验中学袁玉娟

引言：我记得曾经读过这样一条轶闻：在我国科学家代表团前去参加世界大会的飞机上，当时，主要有均已作古的华罗庚、钱三强、赵九章等我国老一辈科学家。一位前去参加大会的历史学家，即兴给数学家华罗庚出了一幅上联“三强，赵韩魏”。这幅上联，即嵌含着物理学家钱三强的名字，又涉及到中国古代战国时期的一段历史，符合出联者身份；华罗庚稍加思索，很快就对出“九章，勾股玄”。此下联对得很巧妙，既嵌入了空间物理学家赵九章的名字，用“勾股玄”这个数学概念，表明了对者的身份。一般说来，数学家是靠逻辑思维和推理的。但也不尽然，作为学者不仅要有严谨的科学态度，而且也需要深厚的文学功底。本文着重想谈数学中的推理和证明。

一、教材分析

“类比推理”是人教版选修2—2的第二章第二节的内容，本节课是其中的第二课时.课程标准要求：“结合已经学过的数学案例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.并指出：“合情推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的一种重要思维形式”.要求“在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点”根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从重难点分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明.

在教学中教师从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：

茅草是齿形的；

茅草能割破手.

我需要一种能割断木头的工具；

它也可以是齿形的.

教材中试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆球

弦←→截面圆

直径←→大圆

周长←→表面积

面积←→体积

二、问题提出

问题提出一：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中相应的结论．

大家都知道，学过《平面几何》后，就要继续学习《立体几何》了。人们常常根据平面几何中的定理，类比推广到立体几何中。有这样一个例子，从平面直角三角形勾股定理，“斜边的平方等于两条直角边的平方和”，直接推测出三个两两垂直的平面和一个斜三角形平面构成四面体（示如图）的面积关系定理，“四面体斜面的面积的平方等于三个直角面的面积平方和”。先给出如下证明：

设三个两两垂直的直三角形平面的边分别为：a ,b ,c ; 构成斜平面三角形的三条边分别为：A , B ,C。根据勾股定理有构成四面体斜面的三条边分别为：A2=a2+c2(1) ；B2=a2+b2 (2)； C2=b2+c2(3)

再依据南宋数学家秦九昭所著《数书九章》（卷五）记载“问有沙田一段，有叁斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知田几何。以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”

此即为我国古代计算三角形面积公式： S={1/4[A2C2-（(A2+C2-B2)/2）2]}1/2。此公式等同于世称海伦公式的三角形面积计算公式。在证明此题时，也可以应用海伦公式，但计算颇为复杂。若用《数书九章》中的“三斜求积”公式，则计算过程相对简单些。先将此公式经化简得：

S2=1/4{(A2C2-[(A2+C2-B2)/2)]2 }

=A2C2/4-[(A2+C2-B2)( A2+C2-B2)/16]

=A2C2/4-[(A4+B4+C4+2A2C2-2A2B2-2B2C2)/16]

=(2A2C2+2A2B2+2B2C2-A4-B4-C4)/16，

再将式（1），（2），（3）代入上式，计算后得：

S2=(a2c2+a2b2+c2b2)/4

又根据已知条件，知构成四面体的三个直角形面积平方和，当三条直角边分别为a、b、c时

∵S12=a2c2/4，S22=b2c2/4，S32=a2b2/4

∴S12+ S22+ S32=（ a2c2 + a2b2）+ b2c2）/4

∴S2= S12+ S22+ S32证毕。

“类比推理”概念枯燥抽象，学生似懂非懂，道理似易实难.题目浅深度难以把握，而且对具体题目的处理，没有确信的统一方法.思辨之美，难以体会.教师根据新课程标准的要求，更多的专注于推理的形式，引用多个实例，如：地球和细胞多相似啊，细胞分细胞壁、细胞质、细胞核，那么地球也差不多得分这么几层，果不其然：地壳、地幔地核；鸟的飞翔与飞机的飞行等等。带领学生亲历思维过程即推理过程，真正理解推理概念.同时，我也希望通过这节课的教学，能让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值. 问题提出二：圆中有结论“经过圆心的任意弦的两端点与圆上任意一点的连线的

斜率之积为定值-1”是正确的。通过类比，对于椭圆，我们有结论“”成立。

通过椭圆的类比，那么双曲线上任意一点与过中点的弦的两端连线的斜率之积是否也为定值？

当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理；科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在其他方面的广泛应用.