第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交

附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
图3-4 斜截圆柱的截交线
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
图3-5 斜截圆柱的截交线
2.平面与圆锥体的截交线 2.平面与圆锥体的截交线
当平面与圆锥体相交时， 当平面与圆锥体相交时，根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状（见下页表3 置不同，截交线有五种形状（见下页表3-1）。 当截交线为圆和直线时，其投影图可直接作出； 当截交线为圆和直线时，其投影图可直接作出；当截交线 为其余的三种曲线时， 为其余的三种曲线时，可用辅助平面法先求得截交线上的若干 个点，然后用曲线板光滑连接起来便得到截交线的投影。 个点，然后用曲线板光滑连接起来便得到截交线的投影。为了 作图方便，通常选择特殊位置的平面作为辅助平面， 作图方便，通常选择特殊位置的平面作为辅助平面，并使其与 立体表面的交线为圆或直线。 立体表面的交线为圆或直线。
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形
图3-14
附：题 5:
求圆锥被正平面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段
圆
三角形
投 影 图
求正垂面P与圆锥的截交线。 例3-3 求正垂面P与圆锥的截交线。 可以看出， 可以看出，此种截交线为 具体步骤如右图： 具体步骤如右图：
6”
5” 4”
4’ 3’ 2’ 1’ 8 1 2 3 4 7 6
7” (7)’
8”
2” 1”
具体步骤如下： 由于平面与圆柱的轴线斜交， 具体步骤如下： 由于平面与圆柱的轴线斜交， 因此截交线为一椭圆。 因此截交线为一椭圆。截交线的正面 （2）再作出适当数量的一 4 补全侧面投影中的转 投影重影为一直线， （1）先作出截交线上的特殊 3 将这些点的投影依次 3” 投影重影为一直线，水平投影与圆柱 般点。 向轮廓线。 般点。 。 向轮廓线 点。 面的投影重影为圆。 面的投影重影为圆。侧面投影可根据 光滑的连接起来。 光滑的连接起来。 圆柱表面取点的方法求出。 圆柱表面取点的方法求出。
2’ 5’6’ 3’4’
7’8’
2” 6”
4”
8”
5” 3”
7”
1’
1” 4 6 2
7
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线 1 3 5
8
Ⅰ
正平线
图 3-6
已知立体的正面投影，试完成H 两面投影。 例3-4 已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影。
1’ (2)’ (8)’
(4)’ 3’
2”
4”
3”
1”
(12)’
7’ 11’
截交线
截平面
截平面
截 面
图 3-1
截交线
1.平面与圆柱体的截交线 1.平面与圆柱体的截交线
根据圆柱体与截平面不同的相对位置，截交线有三种形状，如下所示： 根据圆柱体与截平面不同的相对位置，截交线有三种形状，如下所示： PV PV PV
P
P
P
与轴线垂直
与轴线倾斜
与轴线平行
圆
椭圆
图 3-2
两平行直线
例3-1 求正垂面斜截圆柱体的投影 5’
分析: 分析:球面被侧平面截切
侧面投影为圆； ，侧面投影为圆；球面被 水平面截切， 水平面截切，水平面投影 为圆。 为圆。
轮廓线 要不要?
图3-16
附：题 7:
如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 （2）确定截交线与转向轮廓线的交点。 （3）依次连接各点的水平投影。 （1）先求特殊点。
求作半圆头螺钉的投影。 例3-6 求作半圆头螺钉的投影。
水平面截圆球的截交线的投影 两个侧平面截圆球的截交线的 ，在俯视图上为部分圆弧，在侧视 投影，在侧视图上为部分圆弧， 投影，在侧视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。 俯视图上积聚为直线。 图上积聚为直线。
图 3-9
图3-10
附典型例题（三） 附典型例题（
图3-22
辅助平面法求相贯线a 辅助平面法求相贯线
动画
● ● ● ●
P
假想用水平面P截切立体， 面与圆柱体的截交线为两条直线 面与圆柱体的截交线为两条直线， 假想用水平面 截切立体，P面与圆柱体的截交线为两条直线， 截切立体 与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。 与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
图3-23 辅助平面法求相贯线b 辅助平面法求相贯线
● ● ● ●
●
● ● ●
解题步骤： 解题步骤：
●
●
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求中间点 ★ 光滑连接各点
● ●
●
图3-23
表面取点法求相贯线
图3-24
表面取点法求相贯线
三、相贯线的特殊情况
1.等径正交两圆柱的相贯线
图3-25
蒙日定理----如下图所示，圆柱与圆柱相交并共切于球； 蒙日定理----如下图所示，圆柱与圆柱相交并共切于球；圆柱与圆锥 ----如下图所示 相交，也共切于球， 即都属于两回转体相交并共切于球 两回转体相交并共切于球， 相交，也共切于球， 即都属于两回转体相交并共切于球，则它们的相贯线 都是平面曲线----椭圆 因为两回转体的轴线都平行于正投影面为直线， 椭圆。 都是平面曲线 椭圆。因为两回转体的轴线都平行于正投影面为直线，其 水平投影为圆或椭圆
Ⅴ Ⅳ Ⅲ Ⅷ Ⅰ Ⅱ
Ⅵ
5
Ⅶ
图3-3 斜截圆柱的截交线
例3-2 求出带切口圆柱套筒的投影
分 析：
该立体是在圆柱筒的上部 开出一个方槽后形成的 。构成 方槽的平面为垂直于轴线的水 平P和两个平行于轴线的侧平面 Q 。它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱的交线 都有交线，平面P 为圆弧，平面Q与圆柱的交线为 为圆弧，平面Q 直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直 直线，平面Ｐ 线段。 线段。
一椭圆。 由于圆锥前后对称， 一椭圆。 由于圆锥前后对称， 依次光滑连接各点， （3）依次光滑连接各点，即得 故椭圆也前后对称。 故椭圆也前后对称。椭圆的长轴 先作出截交线上的特殊点。 （1）先作出截交线上的特殊点 截交线的水平投影和侧面投影。 截交线的水平投影和侧面投影 。 为截平面与圆锥前后对称面的交。 正平线， 线——正平线，椭圆的短轴是垂 正平线 再作一般点。 （4）补全侧面转向轮廓线。 2 补全侧面转向轮廓线。 再作一般点。 直与长轴的正垂线。 直与长轴的正垂线。
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
第三章
平面与曲面立体相交、 平面与曲面立体相交、 两曲面立体相交
第一节
平面与曲面立体相交 曲面立体相交
第二节
三、回转体的截交线
回转体的截交线一般是封闭的平面曲线， 回转体的截交线一般是封闭的平面曲线，特殊情况下为圆或 直线。作图时，从截平面有积聚性的那个投影入手， 直线。作图时，从截平面有积聚性的那个投影入手，先找出截交 线上的特殊点（最上、最下、最左、最右、最前、 线上的特殊点（最上、最下、最左、最右、最前、最后及转向轮 廓线上的点等) 的投影，再求出若干个一般点的投影， 廓线上的点等 的投影，再求出若干个一般点的投影，并判别可见 最后用曲线板把各点光滑地连接起来，即为截交线的投影。 性，最后用曲线板把各点光滑地连接起来，即为截交线的投影。
最前点 1
最后点 2 最左点 3 最右点 4 2.适当求一般点 适当求一般点 3.连线 连线
最低点 最高点
2 3 1
图3-21 表面取点法求相贯线
4
－－辅助平面法 二、相贯线的求法一－－辅助平面法 例3-8 求圆柱与圆锥正交 的相贯线。 的相贯线。
◆ 空间及投影分析： 空间及投影分析： 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线 它的侧面投影有积聚性， 光滑的封闭的空间曲线。 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性， 正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 解题方法： ◆ 解题方法：辅助平面法
第二节
曲面立体相交
一、相贯线的性质 二、相贯线的求法 三、相贯线的特殊情况 四、影响相贯线形状的因素 五、相贯线画法举例
一、相贯线的性质 1.概念 概念 两立体相交称为 相贯， 相贯，其表面的交线 称为相贯线 相贯线。 称为相贯线。机件上 常见的相贯线， 常见的相贯线，大多 是回转体相交而成， 是回转体相交而成， 本章主要介绍这类相 贯线的性质及画法 性质及画法。 贯线的性质及画法。 相贯线