第五章立体的投影3(两曲面立体相交)
第五章 相贯线
第五章相贯线两立体表面相交，交线称为相贯线。
准确地画出相贯线的投影能更完整地表达立体。
实际中两立体相交可分为三种情况：平面立体与平面立体相交；平面立体与曲面立体相交；两曲立体相交，如图5-0-1所示。
相贯线有如下性质：1．相贯线一般是封闭的空间折线或曲线。
其形状随两相交立体表面的性质和相对位置的变化而不同。
2．相贯线是两立体表面的共有线，是两立体表面公共点的集合。
求相贯线，也就是求两相交立体表面的公共点。
第三节两曲面立体相交两曲面立体相交，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线。
下面介绍常用的两种方法。
一、表面取点法两回转体相交，如果其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影，就积聚在圆柱面的有积聚性的投影上。
于是可以在这个相贯线有积聚性的投影上取一些点，按已知曲面立体表面上的点的一个投影，求其它投影的方法，即表面取点法，作出相贯线的投影。
例1：如图5-3-1所示，求作两正交圆柱的相贯线。
解：相贯线系两圆柱表面公共点的集合，应在铅垂轴线的小圆柱面上，其水平投影重合在水平投影中的小圆周上；同理相贯线的侧面投影也应重合在侧面投影的大圆周上。
故只有它的正面投影需要画出，可以用已知曲面上点的一个投影求另外投影的方法。
作图步骤如下：（1）先求特殊点，即求相贯线上的最前、最后、最左、最右、最上、最下等点。
在水平投影的小圆周上直接确定出相贯线上最左、最右点的投影1、3和最前、最后点的投影2、4；对应在侧面投影中为1″、3″和2″、4″，也是最高、最低点的侧面投影；按投影关系可得出它们的正面投影1′、3′和2′、4′。
因为两曲面立体前后对称相贯，故最前、最后两点的正面投影重合。
（2）求作若干一般位置点。
依连线光滑准确的需要，作出相贯线上若干个中间点的投影。
如在水平投影上取5、6点，其侧面投影为5″、6″，再求出其正面投影5′和6′。
（3）依次光滑连接1′、5′、2′（4′）、6′、3′各点，即得相贯线的正面投影。
第五章-组合体的投影知识讲解
第五章-组合体的投影第5章组合体的投影5.1 组合体投影图的绘制组合体是由若干个基本几何体组合而成的。
常见的基本几何体是棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
用正投影原理绘制组合体的投影图称为正投影图。
在正投影图中把正投影图称为“投影图”。
在三面投影体系中，V面投影通称正面投影图（或称正立面图），H面投影通称水平投影图（或称平面图），W面投影通称侧面投影图（或称侧立面图），合称“三投影图”。
表达组合体一般情况下是画三投影图。
从投影的角度讲，三投影图已能唯一的确定形体。
当形体比较简单时，只画三投影图中的两个就够了；个别情况与尺寸相配合，仅画一个投影图也能表达形体。
当形体比较复杂或形状特殊时，画投影图难于把形体表达清楚，可选用其他的投影图来表达形体，可见以后章节论述，本章主要是指三投影图，它是表达组合体的基础。
5.1.1 组合体的分类组合体的组合方式可以是叠加、相贯、相切、切割等多种形式。
(1)叠加式：把组合体看成由若干个基本形体叠加而成，如图5-1(a)所示。
(2)切割式：组合体是由一个大的基本形体经过若干次切割而成，如图5-1(b)所示。
(3)混合式：把组合体看成既有叠加又有切割所组成，如图5-1(c)所示。
（a）叠加式组合体（b）切割式组合体（c）混合式组合体图5-1 组合方式组合体的表面连接关系：所谓连接关系，就是指基本形体组合成组合体时，各基本形体表面间真实的相互关系。
组合体的表面连接关系主要有：两表面相互平齐、相切、相交和不平齐，如图5-2所示。
（a）表面平齐（b）表面相切（c）表面相交（d）表面不平齐图5-2 形体表面的几种连接关系组合体是由基本形体组合而成的，所以基本形体之间除表面连接关系以外，还有相互之间的位置关系。
图5-3所示为叠加式组合体组合过程中的几种位置关系。
（a）1号形体在2号形体的上方中部（b）1号形体在2号形体的左后上方（c）1号形体在2号形体的右后上方图5-3 基本形体的几种位置关系5.1.2 形体分析法形体分析法：对组合体中基本形体的组合方式、表面连接关系及相互位置等进行分析，弄清各部分的形状特征，这种分析过程称为形体分析。
两曲面立体相交
3.两个轴线相互平行的圆柱相交或两个共锥顶的圆锥相交时, 其相贯线为直线段
土木制图技术
例 求圆管与半圆管的相贯线。
VR模型，识码即现
土木制图技术
重点：
1、了解两曲面立体相贯线特点； 2、了解两曲面立体贯线的投影作法； 3、掌握特殊情况两曲面立体贯线的投影做法。
难点：
两曲面立体贯线的投圆柱的轴线
土木制图技术
直立圆柱位置变化时相贯的变化
土木制图技术
四、相贯线的特殊情况
1.两回转体共轴时，相贯线为垂直于轴线的圆。
土木制图技术
2.当相交两回转体表面共切于一个球面时,其相贯线为椭圆。在两 回转体轴线同时平行的投影面上,椭圆的投影积聚为直线。
第五节 两曲面立体相交
一、两曲面立体相交的相贯线及其性质
1．相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线， 相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 2．一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，特殊情况下成为平 面曲线或直线。
土木制图技术
二、求相贯线的方法及步骤
求相贯线常用的方法有表面取点法和辅助平面法。 求相贯线的步骤 1.分析(谁与谁相贯)； 2.求相贯线---用描点法； 3.连线 、判别可见性； 4.整理轮廓线。
可见性的判别原则：
只有同时位于两立体可见表面的相贯线才可见。
土木制图技术
例 求两圆柱的相贯线。表面取点法
VR模型，识码即现
土木制图技术
例 已知圆锥上挖切圆柱槽,完成其水平投影和侧面投影。表面取点法
VR模型，识码即现
土木制图技术
例 求作球和圆锥相贯的正面投影和水平投影。辅助平面法
VR模型，识码即现
土木制图技术
土木制图技术
立体的投影—曲面立体的投影(工程制图)
圆锥体的投影分析 （回转轴垂直于H面）
圆锥由圆锥面和底圆围成 圆锥面是无数多条素线的集合
圆锥体的投影分析 （回转轴垂直于H面）
水平投影是一个圆，这个圆是圆锥底圆和 圆锥面的重合投影，反映底圆的实形，其半径 等于底圆的半径，回转轴的投影积聚在圆心上， 锥顶的投影也落在圆心上（通常用细点画线画 出十字对称中心线） 。
正面投影和侧面投影是两个相等的等腰三角形， 高度等于圆锥的高度，底边长等于圆锥底圆的 直径（回转轴的投影用细点画线来表示） 。
圆柱体的投影分析 （回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边线分别是圆锥最左、 最右的两条轮廓素线的投影，这两条素线把 圆柱分为前、后两半，他们在W面上的投影 与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆 的水平中心线重合。
侧面投影的左、右边线分别是圆锥最前、 最后的两条轮廓素线的投影，这两条素线把 圆柱分为左、右两半，他们在V面上的投影 与回转轴的投影重合，在H面上的投影与圆 的竖直中心线重合。
球体的投影分析
球体的投影分析
半圆面绕其直经为轴旋转运动的轨迹称为圆球体。 半圆线旋转运动的轨迹是球面，即圆球的表面。
球体的投影分析
《工程制图》
素线求解圆锥体表面的点
素线求解圆锥体表面的点
素线求解圆锥体表面的点
圆锥表面取点
圆锥表面取点
素线法、纬圆法
s'
s"
a'
a"
1'
s
a 1
《工程制图》
回转曲面的有关概念
O 回转轴
母线 O1
纬圆
素线：母线在曲面上的任意位置 都称为素线。
纬圆：母线上任意点的运动轨迹 都是一个垂直于回转轴且中心在 回转轴上的圆，这种圆就称为纬 圆。
工程制图第五章立体的投影
投影的分类
01
02
03
正投影
光线与投影面垂直，物体 的投影与原物体形状、大 小一致。
斜投影
光线与投影面形成一定角 度，物体的投影与原物体 形状、大小可能存在差异。
中心投影
光线通过一点投影到投影 面上，物体的投影与原物 体形状、大小可能存在较 大差异。
投影法在工程中的应用
建筑设计
通过正投影法绘制建筑物 的平面图、立面图和剖面 图，以表达建筑物的外观 和内部结构。
圆锥体的投影
1 2
圆锥体的投影特性
圆锥体在三面投影体系中分别形成圆、椭圆和抛 物线。
圆锥体的三视图
主视图、俯视图和左视图。
3
圆锥体投影的作图方法
根据圆锥体的轴线位置，确定其在三面投影体系 中的位置，然后根据投影规律画出其三视图。
曲面立体投影的作图方法
曲面立体投影的作图步骤
曲面立体投影的应用
首先确定曲面立体的形状和尺寸，然 后根据其在三面投影体系中的位置， 按照投影规律画出其三视图。
曲面立体投影在工程制图、建筑设计、 机械制造等领域有着广泛的应用，是 工程技术人员必须掌握的基本技能之 一。
曲面立体投影的注意事项
在作图过程中，需要注意曲面的曲率、 方向和投影角度等因素，以确保绘制 的图形准确无误。
04 组合体的投影
组合体的构成方式
叠加型
由基本几何体按一定方式叠加而成，各基本体之间相 对位置关系明确。
对于截断立体和相贯立体，尺寸标注更为复杂。需要明确截断和相贯的位置，以及各个部分的大小。这涉及到对立体结构的 深入理解，以确保标注的尺寸能够准确反映立体的实际结构和形状。
Hale Waihona Puke 组合体的尺寸标注全面反映组合体的结构和功能
5 第五单元 立体的投影
m' m"
X
s
m
O
YW M
YH
六、圆球体
1.圆球体的形体特征
圆球的表面是球面，球面可看作是一条圆母线绕着通过其圆心的轴线回 转而成。
回转轴线
素线圆
母线圆
2.圆球的投影
（1）投影分析。 圆球在三个视图 都是直径相等的圆。 三个圆表示三个不 主视轮廓圆 平行V面 Z 左视轮廓圆 平行W面
同方向轮廓素线的投影
底面和矩形的棱面组成，棱线互相
V
w
平行。
2.棱柱体的投影
(1)投影分析 正六棱柱的两底面 为正六边形，其水平投影反映实形；
前、后两个面为正平面，正面投影反
映实形；其他四个棱面均为铅垂面，
H
水平投影均积聚为倾斜的直线，正面
主视图投射方向
投影和侧面投影均为类似形(矩形)。
(2)作图步骤
3.棱柱体的投影特征
1.切割圆柱体
根据截平面与圆柱轴线的位置不同，平面切割圆柱体产生的截交线有三种 情况，见表5-3。
表5-3
截平面位置 截交线 垂直于轴线 圆
圆柱的截交线
倾斜于轴线 椭圆 平行于轴线 矩形
轴测图
PV
PV
投影图 PH
【例5-9】
根据圆柱切肩的主、俯视图，补画出左视图。
分析 圆柱左上角的切口是由互相垂直的两个平面切割而形成的。 水平面P与圆柱的轴线垂直，所产生的 交线是一段圆弧，正面投影与P面的正面投 影p'重合，水平投影反映实形，并与圆柱的 水平投影重合。
【例5-6】如左图所示，完成三棱锥被正垂面P切割后的三视图。
f' e' d' d f e
f" d"
工程制图第七讲
画法
a、画法——回转轴线（用点划线），上下两底 圆、转向轮廓线。
取点
b、在其表面上取点、取线 1、取点 （1）对于正置的，利用积聚性。见例5-04 （2）对于斜置的，利用素线法。见例5-05 (b′) a′
(b″) a″
b
a
无轴线举例
b'
Y
b" B
a´
a"
Y1 投影积聚性
A
a
3׳ 5׳
7׳
4׳
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点
2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
6׳
5
3 1
7 2 6 4
例题
求八棱柱被平面P截切后的俯视图。 P
4≡5 7 5 6 3 4 2 1 Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅵ Ⅲ 8 Ⅱ Ⅴ Ⅳ
2≡3≡6≡7 1≡8 8
a’
b’
c’
c”
a”
b”
(2) 根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。
1
s 2
3
(3) 连接各点的同面投 影即得截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。
例题
求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
1׳2 ׳ 1״ 3״ 5״ 7״ 2״ 4״ 6״
表面上的点的例题
正三棱锥表面上的点
s′
s′ g′ d′
s′
d′
a′ (c′) b′ a′ c s f d b a
m′
(c′) b′ a′
d′ (c′) b′ c
f′
c s a
a
g
d
m d
2021级-《机械制图(一)》课程大纲(李成)-新版
《机械制图（一）》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：主要教学目的包括学习投影法（主要是正投影法）的基本理论及其应用；培养空间形体的图示表达能力；培养绘制和阅读机械图样及其它工程图样的基本能力；培养空间几何问题的图解能力；培养空间想象能力、形象思维能力和空间分析能力；培养计算机绘图的应用能力。
同时，要求在学习过程中逐步建立产品信息概念、设计构形概念和工程规范概念，随着后续课程的学习以及实践经验的累积，逐渐培养设计与绘制生产图样的能力。
本课程内容包括画法几何学、机械制图基础，对学生的空间想象和形体分析能力提出了较高要求，最终目标是培养学生的规范制图及读图能力。
（二）课程目标：课程目标1系统地了解画法几何学的基本原理和分析思路，掌握机械制图的国家标准和作图规范等方面具体的细节和方法1.1明确课程的特征作用与学习方法，能够提取机械图样上的信息；2.2熟练掌握国家标准的选取以及作图规范的相关规定。
课程目标2：掌握点、线、面、立体的画法几何学作图思路和解题方法，懂得运用合适的分析方法进行基本几何元素作图分析和求解。
3.1熟练掌握基本几何元素的特性与作图方法，包括几何元素间的相对关系与立体的投影规律；4.2能够正确使用制图方法，对简单的几何元素进行分析。
课程目标3：能够根据要求进行简单机械零部件的作图，按照预定计划和目标规范、完整地完成基本制图工作，并持续改进制图提高作图质量。
5.1能够针对简单的工程问题进行分析，并选择合适的作图方法;6.2能够选择并使用恰当的制图方法，完成基本的制图工作。
课程目标4：掌握机械制图的读图方法，在形体分析和线面分析的思想上，准确读懂给定图样，并按照要求给出设计和制造工作技术说明。
在此基础上，开展团队合作，分工协作共同完成机械大图的制作任务。
7.1能够针对给定图样进行设计与制造工作技术说明；8.2能够正确的完成制图实验。
(H)课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1:课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表三、教学内容第一章绪论1.教学目标（1）r解本课程的学习内容、课程特点及学习方法；（2）掌握各类投影法的基本原理。
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求相贯线的方法和步骤：
• 方法：表面取点法和辅助平面法 • 步骤： • (1)分析两回转体表面性质及投影特性，选 择求解方法； • (2)求出相贯线上的特殊点； • (3)求出相贯线上的一般点； • (4)顺次光滑地连接各点，判断相贯线的可 见性。
两回转体相交
相贯线为二立体表面公共线 相贯线 相贯线
【例1】 图5-23，求作轴线垂直相交的两圆柱的相 贯线。
分析： 由于两圆柱轴线垂直相交，轴线为铅垂线的 圆柱水平投影积聚为圆，轴线为侧垂线的圆柱侧面投影 积聚为圆，因相贯线是两圆柱的共有线，则其水平投影 积聚在水平圆上，侧面投影积聚在侧平面的圆上，再根 据相贯线的已知两投影求出其第三投影。由于该相贯线 前后对称、左右对称，所以在正面投影中，相贯线可见 的前半部分和不可见的后半部分重合，且左右对称。
第四节 两曲面立体相交
两回转体相交线 —— 相贯线，由于相交回转体的相关 位置不同可分为： 正交、偏交和斜交(其中一个回转体的轴线与投影面倾 斜) 相贯线的性质： (1)相贯线一般是封闭的空间曲线； (2)相贯线是两回转体表面的共有线，也是两回转 体表面的分界线，相贯线上的点是两回转体表面的共有 点。
特殊位置和形状的相贯线 轴线平行两圆柱的相贯线
特殊位置和形状的相贯线
两同轴回转体的相贯线
相贯线为 水平圆 相贯线为 侧平圆
相贯线为 水平圆
§ 5.4 两曲面立体相交-作图方法-重影性法
a' 1' 2' c' b'
a" b" 1" 2" c"
y
y
a 1 c
b
2
y
y
§ 5.4 两曲面立体相交-作图方法-重影性法
PV QV
2'
1' 3' 5' (6') (4') 4" 6"
1"
5" 3"
PW QW
VI V
2"
Y2
4 2 1 5 6
Y1 Y3
Y2方法-辅助平面法-圆柱与球相交
可见性分界点
y
作特殊点
作辅助面求一般点 y
连接各点检查轮廓
1" 3"
1' 5'(6') 3'(4') 2' 6"
1"
5"
4"
2"
3"
2"
4 1
4
2
3
A34
2
3
6 1 5
分析： 圆柱与圆锥相交后的相贯线为一封闭的空间曲线，前后具有对称性。 由于圆柱面在侧面投影积聚为圆，所以相贯线的侧面投影积聚在侧面的圆周 上，所需求的是相贯线的正面投影和水平投影。
5.4.3辅助平面法 求两曲面相贯线比较普遍的方法是辅 助平面法。辅助平面的选择原则是要使 辅助平面与两曲面的交线的投影都是最 简单的线条（直线和圆）。以下分别举 例说明。
辅助平面法
辅助平面的选择原则是要使辅助平面与两曲面的交线的投 影都是最简单的线条（直线和圆）。 求如图所示水平圆柱与半球相交的相贯线
分析： 为水平圆柱与半球相交，其圆柱的轴线垂直于侧面， 因此相贯线的侧面投影与圆柱的侧面投影重合，只需求正面 投影和水平投影。相贯体前后对称，所以正面投影前后重合， 只求前半部分即可，且都可见。
1.两回转体相交,交线为相贯线.
2.相贯线为二立体表面的公共线。 3.相贯线一般为封闭的空间曲 线.
相贯线 圆柱与圆锥相交 圆柱与圆柱相交 封闭的空间曲线
4.特殊情况下,相贯线为平面曲线或直线.
相贯线为圆 相贯线为直线
5.4.2表面取点法
当相交的两曲面立体中有一个是圆 柱体，且其轴线为投影面垂直线时， 则该圆柱的一个投影为圆，且具有积 聚，即相贯线的投影也一定积聚在该 圆上，为一已知投影，其他投影可根 据表面上取点的方法作出。
§ 5.4 两曲面立体相交-作图方法-重影性法
两立体相交 会出现图524所示的两 外表面相交、 外表面与内 表面相交、 两内表面相 交的三种形 式。但其相 贯线的形状 和求法都是 相同的。
（a）
（ b） （c） 图5-24两内外表面相交的圆柱的不同情况
圆柱与圆锥相交
A34
1' (4') 3' 2' 4"
分析: 相贯线水平投影不用求 相贯线侧面投影不用求
3 ׳
1 ׳2 ׳
4 ׳
2״
״ 3 ״4
作图:
最前点 1
1״
最后点 2 1.求特殊点 最左点 3 最右点 4
最低点 最高点
2.适当求一般点
2 3 1 4 3.连线
圆柱相贯线变化趋势
两内外表面相交的圆柱的不同情况
特殊位置和形状的相贯线 等径正交两圆柱的相贯线