3-2-2 曲面立体的投影-圆锥的投影及切割
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《建筑制图与识图》第3章
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
1．利用曲面投影的积聚性
例3-2 如图（a）所示，已知圆柱体表面上一点A的V面投影。 求点A的H面、W面投影。
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
分析与作图： 因圆柱的轴线垂直于H面，故圆柱的水平投影有积聚性，又 因a′可见，表明点A位于圆柱的前半个表面上，因此过a′向下投 影，在圆柱水平投影的前半圆周上得点A的水平投影a。由a，a′ 可求出a″，如图3-9（b）所示。因a′位于V投影对称轴的右侧， 故a″为不可见，A点在圆柱体上的位置如图3-9（c）所示。
3.3.1 截切体
因为立体的形状都不一样，截平面与立体表面的相对位置 也各不相同，由此产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交 线都具有以下基本性质：
① 共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截 平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。
② 封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是 封闭的平面图形。
第3章 立体的投影
目录
3.1
平面立体
曲面立体
3.2
3.3
截切体和相贯体
组合体
3.4
3.1 平面立体
3.1.1 常见平面立体的投影图
平面立体
3.1.2 平面立体的投影图的绘制
3.1.3 平面立体表面上点和直线的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.2 平面立体图的绘制
绘制平面立体的三面投影图，首先要按正确位置将 形体放入三面投影体系中，让形体的表面和棱线与投影 面尽量平行或垂直。
绘制平面体的投影图实际上就是绘制平面体底面和 侧表面的投影，一般先画出反映底面实形的正投影图， 然后再根据投影规律画出其他两个投影。
第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
曲面立体的投影
线上，如图4-13(b)所示。因圆柱水平投影具有积聚性，
所以这三点的水平投影一定都在圆上，根据其位置判断
可见性即可，再根据三等关系即可求出侧面投影。
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单击此处编基辑母本版体标的题样投式影
曲面立体的投影
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作图步骤如下：点a′为可见点，根据点a′的位置分析，其侧面投影 位于前轮廓线素线上，可过点a′作水平线交前轮廓素线于一点(即a″点)， 根据三等关系可求出水平投影a。同理，c′点位于右轮廓素线上，根据 水平投影的积聚性，从c′点向圆柱水平投影作垂线交于一点即为c点， 根据三等关系可求出点c″的位置，其侧面投影为不可见点，需要用小 括号括起来。b′点位于后左平面上，根据水平投影的积聚性，从b′点向 圆柱水平投影作垂线交于一点即为b点，再根据三等关系可求出点b″的 位置。
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曲面立体的投影
1.素线法 圆锥面由许多素线组成，圆锥面上任一点必在经过该点的素线 上，因此只要求出过该点素线的投影，即可求出该点的投影。 2.纬圆法 由回转面的形成可知，母线上任一点的运动轨迹为圆，且该圆 垂直于旋转轴线，这样的圆称为纬圆。圆锥体上任一点一定在与其 等高的纬圆上，因此可借助该点的纬圆求出该点的投影。
曲面立体的投影
2.投影分析 （1）俯视图。俯视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大水平面①的投影。球被分为上、下两部分，上部分可见， 下部分不可见。 （2）主视图。主视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大正平面②的投影。球被分为前、后两部分，前部分可见， 后部分不可见。 （3）左视图。左视图为一个圆，其投影的轮廓线是球的 最大侧平面③的投影。球被分为左、右两部分，左部分可见， 右部分不可见。
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第三章立体的投影 1
回节目录
1.圆柱体
(1)形成
圆柱面可以看成是由一直线段绕与它平行的轴线回转而 成，圆柱体的表面是由圆柱面和上、下底面围成的。
轴线 纬圆 素线
（a)圆柱体形成立体图
(b)圆柱体投影直观图 回节目录
(2)圆柱的投影
分析：圆柱轴线为铅垂线时，顶圆、底圆为水平面，圆柱面为 铅垂面，素线为相互平行的铅垂线。
圆柱的投影: • 轴线、圆的中心线用点 画线表示； • 水平投影积聚为圆； • 正面投影和侧面投影均 为矩形。
圆柱体的投影 回节目录
对W面转向轮廓线 对V面转向轮廓线
(3)圆柱表面上取点
已知圆柱面上两点Ⅰ和Ⅱ的正面投影1′和（2′），求作其余 两面投影。
(2') 1' (2")
分析：圆柱面上的点，利用 投影积聚性求出一面上的投 影，利用“三等”关系求另 一面上的投影；特殊素线上 的点，可直接利用素线求出。
轴线
母线
圆环的形成 回节目录
(2)圆环的投影及表面取点 画投影图： 1)画中心线和轴线； 2)画V投影中平行于V面的素线圆；
3)画V面上、下两条轮廓线； 4)画H面面投影中最大轮廓线圆、 最小轮廓线圆和中心圆，完成作 图。 b a
圆环的投影 回节目录
a'
b'
圆环面取点:
圆环面取点，必须利用纬圆法求解。
1
1"
2
圆柱体的投影 回节目录
2.圆锥体
(1)形成
圆锥体——一直线绕与它相交的轴线回转而成。由圆锥面和底 面圆围成，圆锥面上所有素线均交于锥顶。
轴线
素线
纬圆
（a)圆锥体形成立体图
(b)圆锥体投影直观图 回节目录
1.圆柱体
(1)形成
圆柱面可以看成是由一直线段绕与它平行的轴线回转而 成，圆柱体的表面是由圆柱面和上、下底面围成的。
轴线 纬圆 素线
（a)圆柱体形成立体图
(b)圆柱体投影直观图 回节目录
(2)圆柱的投影
分析：圆柱轴线为铅垂线时，顶圆、底圆为水平面，圆柱面为 铅垂面，素线为相互平行的铅垂线。
圆柱的投影: • 轴线、圆的中心线用点 画线表示； • 水平投影积聚为圆； • 正面投影和侧面投影均 为矩形。
圆柱体的投影 回节目录
对W面转向轮廓线 对V面转向轮廓线
(3)圆柱表面上取点
已知圆柱面上两点Ⅰ和Ⅱ的正面投影1′和（2′），求作其余 两面投影。
(2') 1' (2")
分析：圆柱面上的点，利用 投影积聚性求出一面上的投 影，利用“三等”关系求另 一面上的投影；特殊素线上 的点，可直接利用素线求出。
轴线
母线
圆环的形成 回节目录
(2)圆环的投影及表面取点 画投影图： 1)画中心线和轴线； 2)画V投影中平行于V面的素线圆；
3)画V面上、下两条轮廓线； 4)画H面面投影中最大轮廓线圆、 最小轮廓线圆和中心圆，完成作 图。 b a
圆环的投影 回节目录
a'
b'
圆环面取点:
圆环面取点，必须利用纬圆法求解。
1
1"
2
圆柱体的投影 回节目录
2.圆锥体
(1)形成
圆锥体——一直线绕与它相交的轴线回转而成。由圆锥面和底 面圆围成，圆锥面上所有素线均交于锥顶。
轴线
素线
纬圆
（a)圆锥体形成立体图
(b)圆锥体投影直观图 回节目录
第三章 立体的投影(2-2)----曲面立体--圆锥和球--最好用的工程制图课件
2012-8-18
O1
b
工业制图课件
(2) 一般位置点
辅助素线法
已知圆锥表面上点的投影1，求其它两面投影。 s s
● ●
如何在圆锥面上作直线？
过锥顶作一条素线。
1
S
m
1
●
s
m
M
1
2012-8-18 工业制图课件
(2) 圆锥表面上取点
辅助圆法
2012-8-18
工业制图课件
2012-8-18
M
S
s
k m
K
2012-8-18
工业制图课件
3、圆球的投影及其表面上的点
2012-8-18
工业制图课件
例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。
1' 3‘(4’) 2'
• • •
•
1" • 3"
•
2"
• •1 •3 •
2
2012-8-18
分析：圆锥台的切口 由三个平面切割而成， 分析各截交线的空间 形状和投影特性。
工业制图课件
三、 圆球的投影特点
2012-8-18
工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法
k
圆的半径？
1
1
k
1
1
2012-8-18
工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法 圆的半径？
m
(2 )
(2)
(2)
2
(m)
2012-8-18
工业制图课件
取点的方法
1）轮廓线上取点 这一方法实质是线上取点定理的直接应用。
O1
b
工业制图课件
(2) 一般位置点
辅助素线法
已知圆锥表面上点的投影1，求其它两面投影。 s s
● ●
如何在圆锥面上作直线？
过锥顶作一条素线。
1
S
m
1
●
s
m
M
1
2012-8-18 工业制图课件
(2) 圆锥表面上取点
辅助圆法
2012-8-18
工业制图课件
2012-8-18
M
S
s
k m
K
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工业制图课件
3、圆球的投影及其表面上的点
2012-8-18
工业制图课件
例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。
1' 3‘(4’) 2'
• • •
•
1" • 3"
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2"
• •1 •3 •
2
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分析：圆锥台的切口 由三个平面切割而成， 分析各截交线的空间 形状和投影特性。
工业制图课件
三、 圆球的投影特点
2012-8-18
工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法
k
圆的半径？
1
1
k
1
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工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法 圆的半径？
m
(2 )
(2)
(2)
2
(m)
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工业制图课件
取点的方法
1）轮廓线上取点 这一方法实质是线上取点定理的直接应用。
第3章 立体的投影
第3章立体的投影一、本章重点：1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影。
2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线。
3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
4.立体的尺寸标注。
二、本章难点：1.圆球和圆环的投影及表面上点的投影。
2.圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法。
3.求作相贯线。
三、本章要求：通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线，掌握立体的尺寸标注的方法。
四、本章内容：§3-1 平面立体的投影一、棱柱棱柱体由若干个棱面及顶面和底面组成，它的棱线相互平行。
顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。
1．棱柱的三视图2．棱柱表面上的点二、棱锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。
从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。
当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、六棱锥。
1. 棱锥的三视图2．棱锥表面上的点§3-2曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
一、圆柱1．圆柱面的形成圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。
OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时称为素线。
这种由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转面，由回转面构成的立体称为回转体。
2．圆柱的三视图3．圆柱表面上的点二、圆锥1．圆锥面的形成圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成。
2．圆锥的三视图3．圆锥表面上的点三、圆球1．圆球面的形成圆球面可看作一圆（母线），围绕它的直径回转而成。
2．圆球的三视图3．圆球表面上的点四、圆环1．圆环的形成圆环面可看作由一圆母线，绕一与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。
图中的回转轴是铅垂线。
《机械制图》曲面立体的投影
机械制图
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
曲面立体的投影
曲面立体的投影
A
B
C
D
3
曲面立体的投影
回转体的侧面是光滑曲面，在向平行于轴线的投影面投射时，其上某条或某几 条素线会把回转面分为两半，是可见面和不可见面的分界线，称其为轮廓素线。
在平行于轴线的投影面上画回转体的投影时，对其回转表面只需画出其轮廓素 线的投影，同时用点画线画出轴线的投影。
9
曲面立体的投影
2 圆锥的投影
2) 圆锥表面上点的投影（辅助线法）
1′
1″
1
10
曲面立体的投影
2 圆锥的投影
2） 圆锥表面上点的投影（辅助圆法）
1′
1″
1
11
曲面立体的投影
3 圆球
1）圆球的投影 球的正面投影是球面上平行V 面的轮廓素线圆的投影。 球的水平投影是球面上平行H 面的轮廓素线圆的投影。 球的侧面投影是球面上平行W 面的轮廓素线圆的投影。
4
曲面立体的投影 1 圆柱的投影
5
圆柱面的水平投影积聚成一个圆。 圆柱正面投影中左、右两轮廓线是圆柱面上 最左、最右轮廓素线的投影。上面与下面两 直线段是圆柱上、下底面的正面投影。 圆柱侧面投影的两侧轮廓线是圆柱面上最前 和最后轮廓素线的投影。
曲面立体的投影 1 圆柱的投影
1). 圆柱的投影图
6
曲面立体的投影
1 圆柱的投影
b′
2). 圆柱表面上点的投影（特殊点）
a′
B A
7
a b
b″ a″
曲面立体的投影
1 圆柱的投影
（d′)
2)圆柱表面上点的投影（一般位置点） c′
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
曲面立体的投影
曲面立体的投影
A
B
C
D
3
曲面立体的投影
回转体的侧面是光滑曲面，在向平行于轴线的投影面投射时，其上某条或某几 条素线会把回转面分为两半，是可见面和不可见面的分界线，称其为轮廓素线。
在平行于轴线的投影面上画回转体的投影时，对其回转表面只需画出其轮廓素 线的投影，同时用点画线画出轴线的投影。
9
曲面立体的投影
2 圆锥的投影
2) 圆锥表面上点的投影（辅助线法）
1′
1″
1
10
曲面立体的投影
2 圆锥的投影
2） 圆锥表面上点的投影（辅助圆法）
1′
1″
1
11
曲面立体的投影
3 圆球
1）圆球的投影 球的正面投影是球面上平行V 面的轮廓素线圆的投影。 球的水平投影是球面上平行H 面的轮廓素线圆的投影。 球的侧面投影是球面上平行W 面的轮廓素线圆的投影。
4
曲面立体的投影 1 圆柱的投影
5
圆柱面的水平投影积聚成一个圆。 圆柱正面投影中左、右两轮廓线是圆柱面上 最左、最右轮廓素线的投影。上面与下面两 直线段是圆柱上、下底面的正面投影。 圆柱侧面投影的两侧轮廓线是圆柱面上最前 和最后轮廓素线的投影。
曲面立体的投影 1 圆柱的投影
1). 圆柱的投影图
6
曲面立体的投影
1 圆柱的投影
b′
2). 圆柱表面上点的投影（特殊点）
a′
B A
7
a b
b″ a″
曲面立体的投影
1 圆柱的投影
（d′)
2)圆柱表面上点的投影（一般位置点） c′
机械制图 第三章 立体的投影
平面立体截交线的特点： 截交线是一个封闭的平面 多边形。多边形的各边是截平 面与立体各棱面的交线。 多边形的顶点是截平面与各 条棱线的交点。 A B 求截交线的关键： 求截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线 Ⅰ S
Ⅲ
Ⅱ
C
（二）求截切立体投影的方法与步骤
1.先画立体未被切的投影图 2.再画截交线的投影图 3.擦掉被切的轮廓线
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 1' a' a 2´ b' 1 Ⅲ s 2 3 c A Ⅰ c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。
宽 宽
4. 棱柱的投影的特征和几何含义
一个投影为多边形，另外两个投影为小 矩形组成的大矩形。
棱锥
锥顶 侧棱面
棱线
棱锥的棱线相交于锥顶
底面
底边
（二）、三棱锥
1.三棱锥的组成
棱锥由一个底面 和三个侧棱面组成， 侧棱线汇交于有限远 一点----锥顶。
2.棱锥投影时的安 放位置 底面平行水平 投影面，使一个侧 棱面垂直正立投影 面或侧立投影面。
O
平行V面的最大圆
平行W面的最大圆
V
W
a' c"
O
平行H面的最大圆
b
外形轮廓线投 影的对应关系
球面投影 可见性判断
圆球表面取点取线
例 圆球表面一点N，已知n′，求n ，n"
O n' (n" )
N
O
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1.分析截交线的空间和投影形状
2.先找特殊点，再找中间点
3.依次光滑连线，判别可见性
4.完成轮廓线的投影
9
例5：作组合体截切后的水平投影
椭圆
双曲线 矩形 矩形
P
先画完整形体 分析截交线空间、投影形状加深
10
作业：P27
P28
11
3-5完成下列曲面立体截切后的三面投影。
P27
1.
2.
12
3-5完成下列曲面立体截切后的三面投影。
第三章 立体的投影
Chapter3 Projection of Solid
课程：机械制图 (Mechanical Drawing) 1
第3章 立体的投影
3.1 平面立体的投影 3.2 曲面立体的投影
Projection of Curving Solid
3.3 两立体相交
2
圆锥体（Cone）
s'
s"
S
V
W
H
s
正面 轮廓线
侧面 轮廓线
3
圆锥体表面取点取线
S
s'
s"
V
W
a'
a"
m'
M
(b')
b"
(m")
H
b
as
素线法
m
辅助圆法
4
例1. ABC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、 W 投影
s'
s"
分析
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
(a")
e"
d"
c"
b"
ABD不通过锥 顶，故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
bd
5
平面与圆锥体相交
6
例2:求圆锥截交线
步骤:
1 分析截交线空间、投影形状； 2 求特殊点和中间点； 3 顺次光滑连线，判别可见性； 4 完成轮廓线。
7
例3:求正平面与圆锥的截交线。
1’
4’
5’
2’
3’
1” 4”(5”)
2”(3”)
24
1 53
8
例4:求截交线
P27
画出未截切前 的左视图
步骤:
3.
4.
20 28
22
23
3.
4.
13 27
5.143-5 完成立来自截切后的投影（选作）P27
6.
15
3-6 完成下列平面与曲面立体截切后的三面投影。
1.
28
2.
先画完整半球， 再画切口。 两段截交线均为圆弧，扩大截面 求出半圆，再取实际部分。
17
求作水平投影
P28
18
分析圆锥切割后截交线的投影
P28
19
3-6 完成下列平面与曲面立体截切后的三面投影。