北邮数理方程课件-第六章-Legendre多项式
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第六章Legendre多项式
6.2 基础训练
6.2.1例题分析
例1 氢原子定态问题的量子力学Schrodinger（薛定谔）方程是
−ℎ
2
2
∇2u−
Ze2
u=Eu
其中ℎ,μ,Z,e,E都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量。
解：先令A= 2
8π2μ
,B=Ze2，则Schrodinger方程可以简单写为
A∇2u+B
u+Eu=0
由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为
A[1
2
ð
ð
(r2
ðu
ð
)+
1
2
ð
ð
(sinθ
ðu
ð
)+
1
22
ð2u
ð2
]+B
u
+Eu=0
令u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)，代入上式得
AY 2d
(r2
dR
)+
AR
2
ð
ð
(sinθ
ðY
ð
)+
AR
22
ð2Y
ð2
+(
B
+E)RY=0
两边分别乘以r 2
ARY
，得
1 R d
dr
(r2
dR
dr
)+
r2
A
(
B
r
+E)=−
1
Y sinθ
ð
ðθ
(sinθ
ðY
ðθ
)−
1
Y sin2θ
ð2Y
ðϕ2
要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为l(l+1)，从而
d dr (r2
dR
dr
)+[
B
A
r+Er2−l(l+1)]R=0
即
1 r2d
dr
(r2dR
dr
)+[8π2μ
ℎ
2
(Ze2
r
+E)−l(l+1)
r2
]R=0（1）
至于Y则满足球函数方程
1 sinθ
ð
ðθ
(sinθðY
ðθ
)+1
sinθ
ð2Y
ðϕ
+l(l+1)Y=0（2）
球函数方程（2）的可以进一步分离变，令Y(θ,ϕ)=Θ(θ)Φ(ϕ)代入（2），并有周期条件，则得Φ满足
Φ′′+m2Φ=0（3）
它的解是
Φm=A m cos mϕ+B m cos mϕm=0,1,2,⋯
Θ满足缔合勒让德方程
(1−x2)d2Θ
dθ2−2x dΘ
dθ
+[l(l+1)−m2
1−x2
]Θ=0（4）
其中x=cosθ.
例2.证明：P n(1)=1,P n(−1)=(−1)n,P2n−1(0)=0,P2n(0)=(−1)n2n!
2n!
.
证明：利用Legendre 多项式的微分表示，即Rodrigues 公式及Leibniz （莱布尼兹）求导法则知道
[uv ](n )=u (n )+C n 1u (n−1)v ′+⋯+C n n−1u ′v (n−1)
+v (n ) 取u =(x −1)n ,v =(x +1)n ，注意到[(x −1)n ](k )|x =1=0,(当k P n (1)=1 2n n !d n dx n [(x −1)n (x +1)n ]|x =1 = 12n ! [(x +1)n d n dx (x −1)n ]|x =1= 12n ! 2n n !=1 同理有 P n (−1)=1 2n n !d n dx n [(x − 1)n d n dx n (x +1)n ]|x =1=1 2n n ! −2 n n != −1 n 当n 为奇数时，P n (x )是奇次多项式，有P 2n +1(0)=0,(n =0,1,2⋯) 为求P 2n (0)=0,(n =0,1,2⋯)，再利用二项式定理，即 (x 2−1)n = C n k x 2k (−1) n−k n k =0 则 P 2n (0)=1 22n (2n )!d 2n dx 2n (x 2 −1)2n |x =0=1 22n (2n )! −1 2n−k 2n k =0C 2n k d 2n x 2k dx 2n |x =0 = 122n (2n )! −1 2n−k 2k (2k −1)⋯(2k −2n +1)2n k =n C 2n k x 2k−2n |x =0 = 122n (2n )! −1 n 2n !C 2n n = −1 n 2n !22n (n !)2= −1 n 2n ![ 2n !!]2 = −1 n 2n −1 ! 2n !! 例3证明：P n (x )=1 2n +1[P n +1′(x )−P n−1′ (x )]。 证明：由递推公式 nP n (x )−xP n ′(x )+P n−1′(x )=0 nP n−1(x )−P n ′(x )+xP n−1′(x )=0 有 P n +1′(x )−P n−1′(x )=P n +1′(x )−[xP n ′(x )−nP n (x )] =P n +1′(x )−[P n +1′(x )−(n +1)P n (x )−nP n (x )]=(2n +1)P n (x ) 即 P n (x )= 12n +1 [P n +1′(x )−P n−1′(x )]。 例4在(−1,1)上，将下列函数按勒让德多项式展开为广义傅里叶级数。 （1）f (x )=x 4（2）f (x )=|x | 解：（1）由计算可得 f 0=1 2 x 4P 01 −1(x )dx =1 2 x 41 −1dx =1 5 f 1=0,f 3=0，⋯,f 2n−1=0. n =1,2,⋯ f 2=32 x 4P 21−1(x )dx =32 x 4 3x 2−12 1 −1dx =4 7 f 4=92 x 4P 41−1(x )dx =92 x 418 35x 4−3x 2+3 1−1dx =8 35 f 2n =0, n =3,4,⋯ 故 x 4=1 5P 0(x )+4 7P 2(x )+8 35P 4(x )