解析几何方法技巧2圆锥曲线的综合应用
方法技巧圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线的最值问题
【考情快递】最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题.
方法1：定义转化法
解题步骤
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解.
适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用?
【例1】？已知点F是双曲线x2- y|=i的左焦点，定点A的坐标为（1,4）, P是双曲线右支上的动点，贝U |PF|+|PA|的最小值为______ .
解析
即|PF|-4= |PF' |.又|PA|+ |PF'p |AF'匸5, 将|PF|-4=|PF' |代入，得|PA|+ |PF|-4>5, 即|PA|+ |PF|>9,等号当且仅当A，P，F'三点共线，
即P为图中的点P o时成立，故|PF|+ |PA|的最小值为9.故填9.
答案9
方法I:切线法
解题步骤①求与直线平行的圆锥曲线的切线；
②求出两平行线的距离即为所求的最值.
适用情况
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法. 【例I】？求椭圆x| + y2= 1上的点到直线y = x+ 2 3的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
解设椭圆的切线方程为y=x+ b，代入椭圆方程，得3x2+ 4bx+ Ib1-1= 0.
如图所示，根据双曲线定义
由△= (4b)2 — 4X 3X (2b 2
— 2) = 0,得 b =± 3.
当b = .3时，直线y = x + ,3与y = x + 2 .3的距离d i = ^，将b = . 3代入方程3x 2 + 4bx + 2b 2 —2二 0,
解得x = — ^^3,此时y =f,
即椭圆上的点-弩，中 到直线y = x + 2 3的距离最小，最小值是 今;
当b =— .3时，直线y =x — 3到直线y = x + 2 3的距离d 2 =苧，将b =— , 3代入方程3x 2
2 + 4bx + 2b — 2 = 0，
解得x = ^^3，此时y =—中，
即椭圆上的点 習，一3到直线y = x + 2 3的距离最大，最大值是 罗.
方法3:参数法
解题步骤 ① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；
② 求解关于这个参数的函数最值.
适用情况
可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题? 【例3】？在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）是椭圆詈+ y = 1上的一个动点，贝U S = x + y
的最大值为 ________ .
x2
解析 因为椭圆"3■+ y 2
= 1的参数方程为
故可设动点P 的坐标为（.3cos 札 sin 妨，
其中0W 如2 n
大值2.故填2.
答案2
方法4:基本不等式法
x = V3cos
=2sin ?+扌，所以，当?= 6时，S 取最
因此 S = x + y = .3cos ?+ sin
+ ^sin
【例4】？设椭圆中心在坐标原点，A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点，直线y = kx(k >0)与椭圆相 交于E , F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值.
x2
解 依题设得椭圆的方程为x2+—1.
直线AB , EF 的方程分别为x + 2y =2, y = kx(k >0).
设 E(x i , kx i ) , F(X 2, kx 2)，其中 x i < X 2,
2 2
2
且 x i , x 2满足方程(1 + 4k 2)x 2 = 4,故 x 2= — = ?①
根据点到直线的距离公式和①式， 得点E , F 到AB 的距离分别为
|xi + 2kxi — 2| _2 1 + 2k +p i + 4k2 h i 二—"5 —二 +祀 ，
|x2 + 2kx2 — 2| 2 1 + 2k —寸 i + 4k2 h 2 二 躬=￡ 1+4屹 ，
又AB|= 22 + i = , 5,所以四边形AEBF 的面积为
i
, i + +2k
S = 2|AB|(h i +h 2)=N S 1+4k2 i + 4k2 + 4k
-叫一“-三2
屉
i 当2k = i ,即k = 2时，取等号.
所以四边形AEBF 面积的最大值为2 2.
二、圆锥曲线的范围问题
【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题.
方法i :曲线几何性质法
右支上，且|PF i | = 4|PF i |，贝吐匕双曲线的离心率e 的取值范围是 _______ .
解析根据双曲线定义|PF i|—|PF i匸la,设|PF i|= r,
l a|a
则|PF i| = 4r，故3r = la,即r = §, |PF i|^y.
l a
根据双曲线的几何性质，|PF i|> c—a,即§ > c—a, 即a* 3，即?三3.又e> 1,
故双曲线的离心率e的取值范围是1, 5 .故填1, 5
答案1
, I
方法i：判别式法
【例i】?(i011浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0, i)且斜率为k的直线I
一x i i
与椭圆1+y i= 1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
⑵设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A, B,是否存在常数k,使得向量OP+ OQ 与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
解(1)由已知条件，知直线I的方程为y= kx+ i,
代入椭圆方程，得卷+ (kx+ . i)i= 1, 整理得i+ kix? + i 2kx+ 1= 0?① 由直线I与椭圆有两个不同的交点P和Q,
得△= 8k i—4 i+ ki = 4k i—1>0,
解得k v — 或k ＞子，
即k 的取值范围为(一％, —2)u￡2，+xj
(2)设 P(x i , y i ), Q(x 2, y 2), 则OP + OQ= (x i + x 2, y i + y 2).
由方程①，知X 1 + X 2=—
.② 又 y i + y 2=k(x i + x 2)+ 2 2= i + 爲?③ 由 A( 2, 0), B(0,1),得 AB = (— . 2, 1).
所以OP + OQ 与AB 共线等价于x i + X 2=— 2(y i + y 2),
将②③代入，解得
由(1)知k v —彳或k ＞彳，
故不存在符合题意的常数k.
三、圆锥曲线的定值、定点问题
【考情快递】 此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变 化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平 面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题.
方法1:特殊到一般法
【例1】？已知双曲线C : x 2— y2= 1,过圆0: x 2+ y 2 = 2上任意一点作圆的切线I ，若I 交双 曲线于A , B 两点，证明：/ AOB 的大小为定值.
证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为 x = ± 2.
当x = ,2时，代入双曲线方程，得y =± 2,
即 A( .2, .2), B( .2,— .2),此时/ AOB = 90°
同理，当 x =— ,2时，/ AOB = 90°.