高中数学平面向量测试题
高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)
高中数学 平面向量 选择填空题精选50道一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度；⑩摩擦系数，其中不是向量的有（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2. 下列六个命题中正确的是 （ ）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若丨a 丨＝丨b 丨，则a ＝b ； ③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A. ①②③ B. ④⑤ C. ④⑤⑥ D. ⑤⑥3． 以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量4． 已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ）AB →＝－BC → （B ）AC →＝21BC →（C ）BA →＝BC → （D ）BC →＝21AC → 5． 下列四式不能化简为AD →的是（）（A ）（AB →＋CD →）＋BC → （B ）（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）（C ）MB →＋AD →－BM →（D ）OC →－OA →＋CD →6、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（ ） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-7、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-8. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2) D.(5k,4k)9. 已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥b ，则x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．31D ．31-10．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（ ）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行11. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是（）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313. 已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（ ）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 2114．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ） )(21→→-b a（B ）)(21→→-a b（C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a15. 设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ， BC →＝－4 a －b ，CD →＝－5 a －3 b ，则下列关系式中正确的是（ ）（A ）AD →＝BC → （B ）AD →＝2BC → （C ）AD →＝－BC → （D ）AD →＝－2BC →16. 设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数17. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足－2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A.49 B.43 C.43- D. 49-18． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a ＋3b 丨＝（ ）A ．7B ．10C ．13D ．419．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。
高中数学 第二章 《平面向量》测试题B卷 新人教A版必修4(1)
高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．化简AB →＋BD →－AC →－CD →等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA →2．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝ ( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( )A ．(a ·b )c ＝a (b ·c )B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝bC ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0D ．|a ·b |≤|a |·|b |4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝ ( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－18．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322D ．－31529．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于 ( )A ．2 B. 3 C. 2D ．110．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)，(c ，d∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．14．正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1) (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．16.（本题满分12分）设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值． 17.（本题满分12分）已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．18.（本题满分12分）已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19.（本题满分14分）已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．20.（本题满分14分）如图，已知△ABC 的三个顶点坐标为A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)．(1)求△ABC 的面积；(2)若四边形的ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标．高中数学必修4 第二章 《平面向量》测试题B 卷参考答案一、 选择题1. 【答案】B.【解析】 AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. 2. 【答案】D.【解析】∵AB →＝MB →－MA →＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．3. 【答案】D.【解析】对于A ：向量的数量积不满足结合律；对于B ：向量的数量积不满足消去律；对于C ：只要a 与b 垂直时就有a ·b ＝0；对于D ：由数量积定义有|a ·b |＝||a ||b |cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，等号成立． 4. 【答案】C.【解析】 a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误． 5. 【答案】 D【解析】 EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6.【答案】 C【解析】由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°. 7.【答案】 C【解析】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n＝1.8. 【答案】 A【解析】本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.9. 【答案】A.【解析】如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1. 又∵a ·b ＝－12， ∴|a |·|b |·cos∠AOB ＝－12， ∴cos∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.10. 【答案】D.【解析】依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ>1，AD →＝μAB →时，μ>1，此时1λ＋1μ<2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．二、 填空题11.【答案】A ，B ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →. 12.【答案】 －1【解析】 (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0， ∴k ＝－1. 13.【答案】 12【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.14. 【答案】 －2【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、 解答题15. 解： (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.16. 解： 以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ， 则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.17. 解： (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cosθ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立． 18. 解： (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， 整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k、t ，使x ⊥y 成立， 其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19. 解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos 2＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴co s α＋sin α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OB →·OC →＝332，设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3323＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6即为所求的角.20. 解：如图，(1)作BC 边上的高为AE ，设E (x ，y )，∴AE →＝(x ，y ＋4)，BE →＝(x －4，y )，BC →＝(－10,2)， 由AE →⊥BC →，则－10x ＋2(y ＋4)＝0①由于BE →与BC →共线，则2(x －4)＋10y ＝0② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213y ＝813，因此S △ABC ＝12|BC →|·|AE →|＝12·104·122＋602132＝26×122613＝24. (2)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y ＋4)，BC →＝(－10,2)，由题意可知AD →＝BC →，∴(x ，y ＋4)＝(－10,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＝－2，所以，所求点D 的坐标为(－10，－2)．。
高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。
高中数学6.4《平面向量的应用》基础过关练习题
第六章 6.4 6.4.1 6.4.2A 级——基础过关练1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N【答案】B 【解析】|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N.2．(2020年北京期末)已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c|等于( )A ．0B ．2C ．2D ．22【答案】C 【解析】如图，a ＋b ＝c ，则|a －b ＋c|＝|2a|.又|a|＝1，∴|a －b ＋c|＝2.故选C ．3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点【答案】D 【解析】∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．4．(2020年深圳期中)已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【答案】A 【解析】由题意可知对应向量如图．由于α＝60°，∴F 2的大小为|F 合|·sin60°＝10×32＝5 3 N ．故选A ．5．已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，DC ＝1，AB ∥DC ，则当AC ⊥BC 时，AD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD ＝t (t ＞0)，则A (0,0)，C (1，t )，B (2,0)，则AC →＝(1，t )，BC →＝(－1，t )．由AC ⊥BC 知AC →·BC →＝－1＋t 2＝0，解得t ＝1，故AD ＝1.6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.【答案】1 5003 【解析】所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】y ＝－12x ＋2 【解析】OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，∴x ＋2y －4＝0，则y＝－12x ＋2.8．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】30 【解析】BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，又因为AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD 为矩形．又|AB →|＝42＋(－2)2＝25，|BC →|＝32＋62＝35，所以S ＝|AB→||BC →|＝25×35＝30.9．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b|＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4－2a·b ＝5－2a·b ＝2，所以5－2a·b ＝4.所以a·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋4＋2a·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离(g 取9.8 N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解：(1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F·s ＝|F|·|s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 的方向与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为W G ＝G·s ＝|G||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．B 级——能力提升练11．△ABC 中，若动点D 满足CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝0，则点D 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】A 【解析】取AB 的中点E ，则CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＋2AB →·CD →＝2CE →·BA →＋2AB →·CD →＝2AB →·(CD →－CE →)＝2AB →·ED →＝0，∴AB ⊥ED ，即点D 在AB 的垂直平分线上．∴点D 的轨迹一定通过△ABC 的外心．12．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A 处所受力的大小为( )A ．1202－50 6 NB ．1502－50 6 NC ．1203－50 2 ND ．1503－50 2 N【答案】B 【解析】如图，由已知条件可知AG 与垂直方向成45°角，BG 与垂直方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |·cos 45°＋|F b |cos 60°＝G ＝100①，且|F a |·sin 45°＝|F b |sin 60°②.由①②解得|F a |＝1502－50 6.故选B ．13．(2020年太原月考)在△ABC 中，若AD →＝13AB →＋12AC →，记S 1＝S △ABD ，S 2＝S △ACD ，S 3＝S △BCD ，则下列结论正确的是( )A ．S 3S 1＝23B ．S 2S 3＝12C ．S 2S 1＝23D ．S 1＋S 2S 3＝163【答案】C 【解析】如图，作AE →＝13AB →，AF →＝12AC →，则AD →＝AE →＋AF →，∴四边形AEDF是平行四边形．∴S △ADE ＝S △ADF .设△ABD 的边AB 上的高为h 1，△ACD 的边AC 上的高为h 2，则12|AE →|h 1＝12|AF →|h 2，∴13·⎝⎛⎭⎫12|AB →|h 1＝12·⎝⎛⎭⎫12|AC →|h 2.∴13S 1＝12S 2.∴S 2S 1＝1312＝23.故选C ．14．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) 【解析】设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0.AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0.可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．15．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．【答案】316 【解析】如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．16．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)t 为何值时，共起点的三个向量a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上？(2)若|a|＝|b|且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？解：(1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线，则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ，化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m 3－t b .因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧23m －1＝0，m 3－t ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)因为|a|＝|b|，所以|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34·|a |2.所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.17．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a .设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v .因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a .所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．C 级——探索创新练18．在△ABC 中，AC ＝BC ＝33AB ＝1，且CE →＝xCA →，CF →＝yCB →，其中x ，y ∈(0,1)，且x ＋4y ＝1.若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，则线段MN 的最小值为________．【答案】77【解析】如图，连接CM ，CN ，∵等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝3，∴∠ACB ＝120°.∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 120°＝－12.又CM 是△CEF 的中线，∴CM →＝12(CE→＋CF →)＝12(xCA →＋yCB →)．同理可得CN →＝12(CA →＋CB →)，∴MN →＝CN →－CM →＝1－x 2CA →＋1－y 2CB →.∴MN→2＝(1－x )24＋(1－x )(1－y )2×⎝⎛⎭⎫－12＋(1－y )24.由x ＋4y ＝1，得1－x ＝4y ，代入上式得MN →2＝214y 2－32y ＋14.又x ，y ∈(0,1)，∴当y ＝17时，MN →2取得最小值17，此时|MN →|的最小值为77，即线段MN 的最小值为77.。
高中数学平面向量多选题专题复习附答案
高中数学平面向量多选题专题复习附答案一、平面向量多选题1．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.2．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG ==∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系3．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.4．下列说法中错误的为 （）A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为aD ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC 的内心 【答案】AC 【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可； 对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底； 对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角， 可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠， 故A 不正确；对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 124e e =，∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误； 对于D ，AB CA ABCA+表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线， 所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上， 故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.5．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AD 【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等，∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD. 【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.6．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()2cos ,2||||122a ab a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k=，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．113C D 【答案】BCD【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得32k ±=综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确；对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，+-=+-=-==，故D错误；FA OD CB OD DC CB OC OA AC||||||||3故选：BC.【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。
高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答
高中高考数学专题复习平面向量含试题与详细解答1．平面上有一个△ABC 和一点O ，设OA a =，OB b =,OC c =，又OA 、BC 的中点分别为D 、E ，则向量DE 等于（ ）A.()12a b c ++ B. ()12a b c -++ C. ()12a b c -+ D. ()12a b c +-2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中R ∈μλ,，则μλ+的值是 A ．34 B ．1 C ． 32 D. 31 3．若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a =，AD b =，则BE = A.12b a +B.12a b + Ｃ.12b a - Ｄ.12a b -4．在平面内，已知31==，0=⋅OB OA ，30=∠AOC ，设n m +=，（,R m n ∈），则nm等于A ．B ．3±C ．13±D ．3±5．在等腰Rt ABC △中，90A ∠=，(1,2),(,)(0)AB AC m n n ==>，则BC = ( ） A ．（-3，-1）B ．（-3,1）C ．(3,1)-D ．（3,1）6．已知,,A B C 三点共线，且(3,6)A -，(5,2)B -，若C 点横坐标为6，则C 点 的纵坐标为（ ）．A ．13-B ．9C ．9-D ．137．设a 、b 、c 是非零向量，则下列说法中正确．．是 A ．()()a b c c b a ⋅⋅=⋅⋅ B. a b a b -≤+C ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =D ．若//,//a b a c ，则//b c 8．设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形B.等腰梯形C. 矩形D.菱形9．已知()()0,1,2,3-=-=，向量+λ与2-垂直，则实数λ的值为( ). A.17-B.17C.16- D.1610．若点M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与共线的是（ ） A ．++ B ．++ C ．AC AM +3 D ．CM BM AM ++11．若|a |=|b |=|a －b|,则b 与a +b 的夹角为 （ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°12． 已知()23,a =,47(,)b =-,则b 在a 上的投影为（ ）（A）(B)13．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0000，则||的最小值是 A. 2 B.22C. 1D. 2114．矩阵A 1002⎛⎫=⎪⎝⎭，向量12α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 10α= （ ） A ．1012⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2060⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1122⎛⎫⎪⎝⎭15．如图，A 、B 分别是射线OM ON ，上的两点，给出下列向量：①OA OB +；②1123OA OB +；③3143OA OB +； ④3145OA OB +；⑤3145OA OB -.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．⑤16．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( ) A. B. C. D.17．已知O 为空间内任意一点，P 为ABC ∆所在平面内任意一点，且2OP OA OB mCO =++ 则m 的值为( )A 、 2B 、2-C 、3D 、 3-18．设向量(cos25,sin 25),(sin 20,cos20)a b =︒︒=︒︒，若c a t b =+（t ∈R ），则()2c 的最小值为（ ）A.2B.1C.22 D.2119．已知20()OA x OB x OC x R ⋅+⋅-=∈，其中,,A B C 三点共线，O 是线外一点，则满足条件的x （ ）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能 20．平面直向坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1） B （－1，3）若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为 。
高中数学必修二 专题03 平面向量的应用(课时训练)(含答案)
专题03 平面向量的应用A 组 基础巩固1.（2020·山东高三期中）（多选题）下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【解析】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD2. （2020·北京高二学业考试）（多选题）给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=【答案】AB 【解析】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误； 0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .3.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC 满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD 满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=（ ）A.14425B.25144C.16925D.25169【答案】A【解析】由题意求出125AD =2212144()()525AD CB CA AD AB AD AB AD AD AB -==⋅===，故选A. 4.（多选题）ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量,a b 满足2AB a =,2AC a b =+,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．b 为单位向量C ．a b ⊥D ．(4)a b BC +⊥【答案】AD【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2,2AB a =,∴||2||2AB a ==,∴||1a =,故A 正确；∵2AC AB BC a BC =+=+,∴BC b =,∴||2b =,故B 错误；由于2,AB a BC b ==,∴a 与b 的夹角为120°,故C 错误； 又∵21(4)4||412402a b BC a b b ⎛⎫+⋅=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭, ∴(4)a b BC +⊥,故D 正确.5. （2020·北京高二学业考试）已知平面向量满足 ，且与夹角为60°，那么等于( )A ．B ．C ．D ．1【答案】C【解析】因为，故选：C. 6.已知O 为ABC ∆内部一点，且5()2AB OB OC =+,则AOB BOC S S ∆∆=（ ） A. 1 B. 54 C. 2 D.52 ,a b 1a b ==a b a b ⋅14131211cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=【答案】：D.【解析】由题意，5()2OB OA OB OC -=+，即2350OA OB OC ++=。
高中数学人教a版(2019)必修第二册《平面向量的应用》测试卷
人教A 版（2019）必修第二册《6.4 平面向量的应用》2022年最热同步卷一．选择题（共15小题）1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60︒．已知礼物的质量为1k g ，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度g 取29.8/m s，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为()A ．2.25NB ．2.45NC ．2.5ND ．2.75N2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知s in s in 2s in c C b B a A-=，2cb=，则sin(A = )A 8B ．78C 5D 53．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1a =in c o s Bb A b-=，则2bc+的最大值为()A 3B C 3D 4．在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知228s in 4c o s902A A +-=，且A为锐角．若6sin(sin sin )A aBC =+，且A B C ∆则A B C ∆的内切圆的半径为()A -B +C ．4D ．5．在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，c o sb 12Ac a=-，点D 在A C 上，2A D D C=，2B D =，则A BC ∆的面积的最大值为()A 2B C ．4D ．66．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，3s in 2s in A B=，并且2253a cb c+=．若M为A B 的中点，并且C M=A B C ∆的周长为()A ．20B ．18C ．16D ．147．在A B C ∆中，a ，b ，c 是三角形A ，B ，C 的对边，若2co s (co s co s )C a B b A c+=且c=s in 7A =，s in 14B =，则A B C ∆的面积为()A ．2B ．2C ．D ．38．若在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A=︒，a=4b=，则(B =)A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上都不对9．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(2)c o s(2c o sc o s )ab Cc B A-=-，A B C∆的面积为2s in2A B a +，则(C=)A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π10．已知A B C ∆的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c a cb ++-=，则2c o ss i nc o s222A CC -的取值范围为( )A ．44B ．1(4，3)4C ．3(4，1]D ．3(4，3)211．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c in s in )s in A C B-=，2252co s ac a c B=+，且A B C ∆A B C ∆的周长为()A ．6+B ．4+C 4D ．3+12．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 4(c o s )a c B =-，若2a b +=，则A B C ∆的面积的最大值为( )A 8B ．14C 4D 813．三国(220年280-年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权．元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走30公里，一天最多能跑10个小时，十天能到达．吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30︒，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能达到魏国都城()72.65)≈A ．七B ．八C ．九D ．十14．为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行．测量人员从山脚开始，直到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度．在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为( )（参考数据：s in 100.1736︒≈，s in 700.9397︒≈，sin 800.9848)︒≈A ．10米B ．9.66米C ．9.40米D ．8.66米15．某人向正东走了x k m 后，右转150︒，又走了3k m m，则(x=)A B ． C D ．3二．填空题（共10小题）16．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c≠，13A DA C=，3B D=，若b=3A B Cπ∠=，则A B C ∆的面积为 ．17．若A B C ∆为锐角三角形，且满足22sin sin sin sin B A A C-=，则sinB的取值范围为 ．18．在锐角三角形A B C中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2s i n 3)s i n 3(s i n s i n )c B a A c C bB --，则B = ，a c的取值范围为 ．19．在A B C ∆中，若2A B=，512Bπ∠=，4Cπ∠=，则B C=．20．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s41c o ss i n b Cc B aBB+=-，ac +=A B C∆的面积为2，则b=．21．如图，在A B C ∆中，已知3A B=，B C=，c o sA B C∠=，D 为A C 的中点，则A C =，s in A B D∠=．22．在A B C ∆中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a=，bc +=，且o s (c o s c o s )s i n A c B b C aA+=，则A = ，A B C ∆的面积为 ．23．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A B C ∆的面积为214c，则22s in s in s in A s in B A B+的最大值为 ．24．某地计划建一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域A B C D ，其中三角形区域A B C 中，2A B=百米，4B C=百米，三角形区域A C D 是以A C 为斜边的等腰直角三角形，现计划将三角形区域B C D 建为水上项目区，则三角形区域B C D 的最大面积为 平方百米．25．如图，为测量山高M N ，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60M A N ∠=︒，C 点的仰角45C A B∠=︒以及75M A C ∠=︒；从C 点测得60M C A∠=︒，已知山高1000B Cm=，则山高M N=m．三．解答题（共5小题）26．在A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知s i n)s i n (1c o sc o s)c A C c AC -=-． （Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）在①4A B C S ∆=，②4Aπ=，③2ac=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b=，_______，求A B C ∆的周长．27．A B C ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，已知A B C ∆的面积等于c o s2B c ．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）求锐角A B C ∆面积的取值范围．28．已知a 、b 、c 是A B C ∆中A ∠、B ∠、C ∠的对边，a =6b=，1c o s3A =-．（1）求c ；（2）求c o s 2B 的值．29．在A B C ∆中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且254cos()4sinB C A++=．（1）求角A 的大小；（2）若a=A B C ∆bc+的值．30．已知函数()4s in c o s ()13f x x x π=-+-．（1）若关于x 的方程()0f x m --=在[,]32x ππ∈上有解，求实数m 的取值范围；（2）设A B C ∆的内角A 满足()1f A =+，若4A BA C=，求B C 边上的高A D 长的最大值．人教A 版（2019）必修第二册《6.4 平面向量的应用》2022年最热同步卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60︒．已知礼物的质量为1k g ，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度g 取29.8/m s，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为()A ．2.25NB ．2.45NC ．2.5ND ．2.75N【分析】根据8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，列方程求出拉力的大小． 【解答】解：由题意知，8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等， 设每根绳子的拉力为T ，则8c o s 6019.8T ︒=⨯，解得 2.45()NN =．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量在物理中的应用问题，是基础题． 2．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知s in s in 2s in c C b B a A-=，2cb=，则sin(A = )A 8B ．78C 5D 5【分析】直接利用余弦定理的应用和三角函数的关系式的变换求出结果． 【解答】解：A B C ∆中，已知s in s in 2s in c C b B a A-=，整理得2222c ba-=，由于2c b=，=，a=，故根据余弦定理2227c o s 28b c aA b c+-==，由于0A π<<，所以sin8A ==故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1a =in c o s Bb A b-=，则2bc+的最大值为()A 3B C ．3D 【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，可求3A π=，进而可求2in ()3b c B ϕ+=+，其中ta n 2ϕ=，(0,)2πϕ∈，由题意可求范围2(,)3Bπϕϕϕ+∈+，进而根据正弦函数的性质即可求解其最大值．【解答】解：因为1a =in c o s B b A b-=，所以3s i n c o sa Bb A b -=，由正弦定理可得sin sinc o s sin A B B A B-=，即2s i ns i n ()s i n 6B A B π-=， 因为0A<，Bπ<，所以s inB >，可得1s in ()62Aπ-=，从而66Aππ-=，即3Aπ=，由正弦定理可得inbB=，in cC=，则22in in in 2s in ()]in ()33bc B C B B B πϕ+=+=+-=+，其中ta n 2ϕ=，(0,)2πϕ∈，因为2(0,)3B π∈，所以2(,)3Bπϕϕϕ+∈+，从而当sin ()1B ϕ+=时，2b c +3故选：C ．【点评】本题主要考查了正弦定理，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化能力，属于中档题． 4．在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知228s in 4c o s902A A +-=，且A为锐角．若6sin(sin sin )A aBC =+，且A B C ∆则A B C ∆的内切圆的半径为()A -B +C ．4D ．【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得28sin 2co s 10A A --=，解方程可求c o s A的值，结合范围02A π<<，可求A 的值，利用三角形的面积公式可求b c 的值，由正弦定理化简已知已知等式可得6b c +=，由余弦定理可得a 的值，可求A B C ∆的周长，设A B C ∆的内切圆的半径为r ，利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：因为228s in 4c o s902A A +-=，所以28sin 2co s 70A A +-=， 所以28sin 2co s 10A A --=， 解得1c o s 2A =或1c o s4A =-（舍去），又02A π<<，所以3Aπ=，又因为A B C ∆所以1s in 2b c A =，解得4b c =，因为6sin(sin sin )A aBC =⋅+，由正弦定理可得6()aa b c =+，所以6bc +=，由余弦定理可得22222c o s ()324a b c b c A b c b c =+-=+-=，所以a=所以A B C ∆的周长为6a b c ++=+，设A B C∆的内切圆的半径为r，则11()(6)22A B C S a b c r r ∆=++==，解得r =-．故选：A ．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，三角形的内切圆的性质，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，考查了数学抽象，数学运算核心素养，属于中档题． 5．在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，c o sb 12A c a=-，点D 在A C 上，2A D D C=，2B D =，则A BC ∆的面积的最大值为()A 2B C ．4D ．6【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1s in c o s s in 2A B A=，结合s inA ≠，可求1c o s 2B=，结合范围(0,)B π∈，可得3Bπ=，设A Dx=，则2C Dx=，3A C x=，在A D B ∆，B D C ∆，A B C ∆中分别利用余弦定理，由c o s c o s A D BC D B∠=-∠，可得2226212x ac =+-，再根据1c o s 2A B C ∠=，可得2229a c xa c +-=，可得224236c aa c ++=，根据基本不等式可得6a c …，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：在A B C ∆中，c o s b 12A c a=-，由正弦定理可得1sin co ss i n s i2B AC A =-，可得11s in c o s s in ()s in s in c o s c o s s in s in 22B A A B A A B A B A=+-=+-，即1s inc o s s in 2A B A=，由于s inA ≠，所以1c o s 2B =，由(0,)B π∈，可得3Bπ=，设A D x=，则2C D x=，3A Cx=，在A DB ∆，B D C∆，A B C∆中分别利用余弦定理，可得224c o s 4xc A D B x+-∠=，2244c o s 8xa C D B x+-∠=，2229c o s 2acxA B Ca c+-∠=， 由于c o s c o s A D BC D B∠=-∠，可得2226212x ac =+-，再根据1c o s 2A B C ∠=，可得2229a c xa c+-=，所以224236c aa c ++=，根据基本不等式可得2244c a a c+…，所以6a c …，当且仅当a=，c=时等号成立，所以A B C ∆的面积1s in 242S a c A B C c =∠=…．故选：A ．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了三角函数恒等变换以及基本不等式的应用，考查了化归和转化思想，考查了数学运算以及逻辑推理能力，属于中档题．6．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，3s in 2s in A B=，并且2253a cb c+=．若M为A B 的中点，并且C M =A B C ∆的周长为()A ．20B ．18C ．16D ．14【分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用和关系式的解法的应用求出结果． 【解答】解：由于3s in 2s in A B=，故32ab=，设2ak=，3bk=，(0)k >代入2253a cb c+=． 所以5ck=或4ck=，根据三角形的三边关系， 所以(,5)c k k ∈． 所以4ck=，则A B C ∆的周长为2349l k k k k=++=，由于点M 为A B 的中点， 由余弦定理：222222()101044ab c k C M +-===，解得2k=，所以A B C ∆的周长为18． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．7．在A B C ∆中，a ，b ，c 是三角形A ，B ，C 的对边，若2co s (co s co s )C a B b A c+=且c=s in 7A =，s in 14B =A B C ∆的面积为()A 2B 2C ．D ．3【分析】直接利用正弦定理和三角形面积公式的应用求出结果． 【解答】解：2co s (co s co s )C a B b A c+=， 利用正弦定理：2c o s sin ()sin CA B C+=，整理得：2s in c o s s in C C C=，由于s in 0C ≠， 所以1c o s 2C =， 由于0C π<<，所以3C π=，由于c=s in7A =，s in14B =，所以2s in 3cR C==，则11s in 2s in 2s in s in 222A B CS a b C R A R B C ∆==⨯⨯⨯=．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8．若在A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A=︒，a=4b=，则(B =)A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上都不对【分析】4s in 60s in B =︒，进而得出B ．【解答】4s in 60s in B=︒，s in2B ∴=a b>，A B∴>．0180B ︒<<︒，B∴为锐角．45B ∴=︒．故选：C ．【点评】本题考查了正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(2)c o s (2c o s c o s )ab Cc B A-=-，A B C∆的面积为2s in2A B a +，则(C=)A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出s in2s in B A=；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，s in s in s in a b c ABC==，(2)co s (2co s co s )a b C c B A -=-， (sin 2sin )co s sin (2co s co s )A B C C B A ∴-=-，即sinco s sin co s 2(sin co s co s sin )A C C ABC B C +=+，sin ()2sin ()A C B C ∴+=+，即s in2s in B A=．A B C∆的面积为2s in2A B a +，21s in s in22A B S b c A a +∴==，根据正弦定理得，21s in s in s in s ins in22CB C A A π-⋅⋅=⋅，化简得，s ins inc o s s in c o s222C C C B A ⋅=⋅，(0,)22C π∈，c o s2C ∴>，s in 1s in2s in 2C A B∴==，∴26C π=，即3Cπ=．故选：C ．【点评】本题考查正弦定理的应用、三角形的面积公式、三角恒等变换，考查分析问题、解决问题的能力，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 10．已知A B C ∆的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a c a c b++-=，则2c o ss i nc o s222A C C -的取值范围为( )A ．44B ．1(4，3)4C ．3(4，1]D ．3(4，3)2【分析】利用余弦定理求出B 的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围． 【解答】解：A B C ∆中，由2220a c a c b++-=，得222a c ba c+-=-，由余弦定理得2221c o s 222acba c Ba c a c+--===-；又(0,)B π∈，所以23B π=；由题意得21c o s inc o s (c o s 1)in 22222A C C A C-=+-11c o s in ()2232A A π=--+111c o s o s s in )22222A A A =--+11c o s in 442A A =-++11s in ()262A π=-+；又03A π<<，所以666A πππ-<-<，所以11s in ()262A π-<-<，所以1113s in ()42624A π<-+<，即2c o s in c o s222A C C -的取值范围是1(4，3)4．故选：B ．【点评】本题考查了三角恒等变换和余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力和逻辑推理能力的数学核心素养，是中档题．11．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c in s in )s in A C B-=，2252co s ac a c B=+，且A B C ∆A B C ∆的周长为()A ．6+B ．4+C 4D ．3+【分析】)a c b-=，利用余弦定理化简已知等式可得b =，联立解得2ac=，由余弦定理可求c o s B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求s in B的值，利用三角形的面积公式解得a ，b ，c 的值，即可得解A B C ∆的周长．【解答】in s in )s in A C B-=，)a c b-=，①由2252co s ac a c B=+，利用余弦定理可得22222522ac b ac a c a c+-=+⋅，解得b=，②由①②，解得2a c=，由余弦定理可得1c o s 224B c c==-⨯⨯，所以s in4B =，所以1224A B CS c c ∆=⨯⨯⨯=，解得2c=，可得4a=，b=，所以A B C ∆的周长为6a b c ++=+故选：A ．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了化归与转化思想，运算求解能力，属于基础题．12．已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 4(c o s )a c B =-，若2ab +=，则A B C ∆的面积的最大值为( )A 8B ．14C 4D 8【分析】利用正弦定理将已知等式化边为角，再结合三角形内角和定理与两角和公式，可推出c o s 4C=，从而求得s in C 的值，再由基本不等式与三角形的面积公式，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，s in s in s in a b c ABC==，4(c o s )a c B =-，∴in 4(s in s in c o s )B AC B =-，sin sin ()sin co s co s sin A B C B C B C=+=+，∴4sin c o s B B C=，又s inB ≠，c o s 4C∴=，s in 4C==，2a b +=…1a b ∴…，当且仅当1a b ==时，等号成立，A B C∴∆的面积1s in 288Sa b C a b ==…．故选：D ．【点评】本题考查正弦定理、三角形面积公式，考查运算求解能力、推理论证能力和化归与转化思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养．13．三国(220年280-年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权．元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰能走30公里，一天最多能跑10个小时，十天能到达．吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30︒，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能达到魏国都城()72.65)≈A．七B．八C．九D．十【分析】把魏蜀吴三国的都城位置分别即为A，B，C，利用余弦定理求解即可．【解答】解：可以把魏蜀吴三国的都城位置分别即为A，B，C，由题意可知1000A B=公里，1500A B C∠=︒，B C=公里，60由余弦定理得501325A C==≈公里，132515108.8÷÷≈（天)，故叛徒大约九天能到达目的地．故选：C．【点评】本题考查数学文化与余弦定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题．14．为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行．测量人员从山脚开始，直到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70︒，80︒，则A、B的高度差约为()（参考数据：s in100.1736︒≈︒≈，sin800.9848)︒≈，s in700.9397A．10米B．9.66米C．9.40米D．8.66米【分析】根据题意画出图形，利用三角形的边角关系，即可求出正确的结果．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；则10∠=︒，C B=，70O A BA C B∠=︒，10∠=︒，80O A C∠=︒，所以10C A B所以10A B=．在R t A O BB O=︒=⨯=≈（米)．∆中，10s in70100.93979.3979.4故选：C．【点评】本题考查了解三角形的实际应用问题，也考查了数学建模能力，是基础题．15．某人向正东走了x k m后，右转150︒，又走了3k m m，则(x= )A B．C D．3【分析】由题意画出示意图，即三角形A B C，根据题意表示出三角形A B C的边角，然后利用余弦定理求解．【解答】解：如图所示：设A 是起始位置．由题意知A Bx=，3B C=，A C=，18015030B∠=︒-︒=︒．在A B C ∆中，利用余弦定理得：222323c o s 30x x =+-︒，即260x -+=，解得x=，或．故选：C ．【点评】本题考查解三角形应用举例问题，以及余弦定理的应用．属于基础题． 二．填空题（共10小题）16．已知A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c≠，13A DA C=，3B D=，若b=3A B Cπ∠=，则A B C ∆【分析】由A D BC D B π∠+∠=，分别在A B D ∆和B C D ∆中，利用余弦定理建立关于a 、b 、c的关系式，再在A B C ∆中，由余弦定理得a 、b 、c 的关系式，解方程组得a 和c 的值，最后由1s in 2S a c A B C=∠，得解．【解答】解：在A B D ∆中，由余弦定理知，2222co s A B A DB DA DB D A D B=+-∠，即222117()2()c o s 3333a c cb b A D B=+-∠①，在B C D ∆中，由余弦定理知，2222co s C B C D B DC D B D C D B=+-∠，即222227()2()c o s 3333a c ab b C D B=+-∠②，A DBCD B π∠+∠=，∴①2⨯+②得，2222212722()()3()333a c c ab b +=++，化简得，2223672a c a c b+-=，在A B C ∆中，由余弦定理知，2222co s b ac a c A B C=+-∠，即222b ac a c=+-，22223672()ac a c ac a c ∴+-=+-，即22540a a c c-+=，4a c∴=或ac=， a c≠，4a c∴=，而22213b a c a c =+-=，1c ∴=，4a =，A B C∴∆的面积11s in 41222Sa c A B C =∠=⨯⨯⨯=．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理和正弦面积公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题． 17．若A B C ∆为锐角三角形，且满足22sin sinsin sin B A A C-=，则s i n B 的取值范围为2 ．【分析】直接利用正弦定理余弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【解答】解：A B C ∆为锐角三角形，且满足22sin sinsin sin B A A C-=，由正弦定理和余弦定理得：22b aa c-=，整理得22222co s b aa c ac a c B=+=+-，化简得：2c o s ac a B=-，由正弦定理得：s in s in 2s in c o s A C A B=-，转换为sinsin ()2sin co s sin ()A AB A B B A =+-=-，由于三角形为锐角三角形， 所以A B A=-，故2A B=，由于2A B ππ<+<，02B π<<，所以32B ππ<<，s in 12B <<．故s inB的取值范围为2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 18．在锐角三角形A B C中，已知A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2s i n 3)s i n 3(s i n s i n )c B a A c C bB --，则B = 3π，a c的取值范围为 ．【分析】由正、余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得ta nB，结合范围(0,)2B π∈，可求3B π=，结合A B C ∆为锐角三角形，解得范围62C ππ<<，利用三角函数恒等变换的应用可求12ta n 2a cC=，根据正切函数的性质即可求解其范围．【解答】解：因为(2s in )s in s in s in )c B A c C b B -=-，可得2s ins in s in s in s in )c B A a A c C b B =+-，由正、余弦定理，可得2222s in )c o s a c B acb c B=+-=，所以ta nB =，又(0,)2B π∈，所以3Bπ=，所以21s in ()o s s in s in 11322s in s in s in 2ta n 2C C Ca A cCCCCπ-+====+，因为A B C ∆为锐角三角形，022032C A C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以ta n 3C >，所以10ta n C<<，所以11(2ta n 22a c C=∈，2)．故答案为：3π，1(2，2)．【点评】本题主要考查了正、余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正切函数的性质，考查了计算能力和转化思想，以及函数思想在解三角形中的应用，属于中档题． 19．在A B C ∆中，若2A B=，512Bπ∠=，4Cπ∠=，则B C=【分析】由三角形的内角和即B ，C 的值，求出A 角的值，再由正弦定理可得边B C 的值．【解答】解：51243AB C πππππ=--=--=，由正弦定理得s in s in A B B C CA=，所以2s in s in 3s in s in4A B A B CCππ===．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．20．A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 41c o ss in b Cc B aBB+=-，ac +=A B C∆的面积为2，则b=3 ．【分析】利用三角形的内角和定理与正弦定理化边为角，可推出sin4(1co s )B B =-，再由22sin c o s 1B B +=，可求出c o s B 和s inB的值，然后根据1s in 2Sa c B=，求得a c 的值，最后由余弦定理，即可得解． 【解答】解：由正弦定理知，s in s in s in a b c ABC==，c o s c o s 41c o s s in b C c Ba BB+=-，∴s in c o s s in c o s 4s in 1c o s s in B C C BA BB+=-，即s in ()4s in 1c o s s in B C A BB+=-，A B C π++=，sin ()sin BC A∴+=，又s inA ≠，sin 4(1c o s )B B ∴=-，将其左右两边平方，得22sin 16(12c o s c o s )B B B =-+，22sin co s 1B B +=，217co s 32co s 150B B ∴-+=，解得15c o s 17B=或1（舍)，8s in 17B ∴==，A B C∆的面积为2，14s in 2217S a c B a c ∴===，172a c ∴=， 由余弦定理知，2222co s b a c a c B=+-，22171715()22c o s 412292217ba c a c a c B ∴=+--=-⨯-⨯⨯=，3b ∴=．故答案为：3．【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式、余弦定理与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21．如图，在A B C ∆中，已知3A B=，B C=，c o sA B C∠=，D 为A C 的中点，则A C =4 ，s in A B D∠=．【分析】直接利用利用余弦定理的反复应用求出结果．【解答】解：由于3A B=，B C=c o sA B C∠=，所以：由余弦定理得：2222c o s 9312316A C A BB C A B B C A B C =+-⋅∠=+-⨯⨯=，所以4A C=．在A B C ∆中，由余弦定理2221c o s 24A BA CB CB AC A B A C+-∠==-⋅⋅，在A B D ∆中，由余弦定理2222co s 16B D A B A D A B A D B A D =+-⋅⋅∠=，所以4B D=，故2227c o s 28B AB DA DA B DB A B D +-∠==⋅⋅，所以s in 8A B D ∠=故答案为：48．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．22．在A B C ∆中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a=，bc +=，且o s (c o s c o s )s i n A c B b C aA +=，则A =3π，A B C ∆的面积为 ．【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化角，结合两角和公式与AB C π++=，可求得角A；利用余弦定理和bc +=，可得2b c=，再由1s in 2Sb c A=，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，s in s in s in ab c ABC==，o s (c o s c o s )s in A c B b C a A+=，∴2o s (s in c o s s in c o s )s in A C B B C A+=2o s s in ()s inA B C A+=，又BC Aπ+=-，sin ()sin BC A∴+=，∴2o s s in s in A A A=，(0,)A π∈，s inA ∴≠，ta nA =，3A π∴=，由余弦定理知，2222co s a b c b c A=+-，即224b c b c=+-，2()34b c b c ∴+-=，b c +=，2b c∴=，A B C∴∆的面积1s in 22Sb c A ==故答案为：3π；2．【点评】本题考查解三角形，涉及边化角的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 23．在A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A B C ∆的面积为214c，则22s in s in s in A s in B A B+的最大值为【分析】由1s in 2Sa b C=，可推出22sin a b C c=，再结合余弦定理、正弦定理和辅助角公式对22s in s in s in A s in B A B+进行化简后，即可得解．【解答】解：A B C∆的面积211s in 24Sa b C c==，22sin a b C c∴=，由余弦定理知，2222c o s c ab a b C=+-，222sin 2co s aba b C a b C∴+=+，由正弦定理知，s in s in a b AB=，∴22222s in 2c o s in ()s in s in 4s in A s in B ab a b C a b CC A B a ba b π+++===+…∴22s in s in s in A s in B A B+的最大值为故答案为：【点评】本题考查解三角形，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．24．某地计划建一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域A B C D ，其中三角形区域A B C 中，2A B=百米，4B C=百米，三角形区域A C D 是以A C 为斜边的等腰直角三角形，现计划将三角形区域B C D 建为水上项目区，则三角形区域B C D 的最大面积为 4+平方百米．【分析】建立平面直角坐标系，设C Ar=，(0)B C Aθθπ∠=<<，则可求点A的坐标为(co s ,sin )r r θθ，利用三角形的面积公式可求sin c o s B C DA AS r r y x θθ∆=+=+，设A B xα∠=，(0)απ<<，利用三角函数恒等变换的应用可求4in ()4B C DA A S y x πα∆=+=++，进而根据正弦函数的性质即可求解．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设C Ar=，(0)B C Aθθπ∠=<<，则点A 的坐标为(co s ,sin )r r θθ，所以14s in ()s in c o s 224B C DA AS r r y x πθθθ∆=⨯⨯+=+=+，易知点A 在以B 为圆心，2为半径的圆上， 设A B xα∠=，(0)απ<<，则点A 的坐标为(42co s ,2sin )αα+，所以42c o s 2s in 4in ()4B C DA A S y x πααα∆=+=++=++，当且仅当4πα=时，B C D ∆的面积最大，最大为(4+平方百米．故答案为：4+．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，两角和的正弦公式，三角函数的有界性，考查学生的化归与转化能力，逻辑推理能力，运算求解能力，分析问题和解决问题的能力，考查的核心素养是数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算，属于中档题．25．如图，为测量山高M N ，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60M A N ∠=︒，C 点的仰角45C A B∠=︒以及75M A C∠=︒；从C 点测得60M C A∠=︒，已知山高1000B Cm=，则山高M N=1500 m．【分析】由题意，可先求出A C 的值，从而由正弦定理可求A M 的值，在R T M N A ∆中，100A M =，60M A N∠=︒，从而可求得M N 的．【解答】解：在R t A B C ∆中，45C A B ∠=︒，1000B Cm=，所以100A C=．在A M C ∆中，75M A C ∠=︒，60M C A∠=︒，从而45A M C∠=︒，由正弦定理得，s in 45s in 60A C A M=︒︒，因此100A M =．在R t M N A ∆中，100A M =，60M A N∠=︒，由s in 60M N A M=︒得1500M N m=；∴山高1500M N=．故答案为：1500．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考察查了解三角形的实际应用，属于中档题． 三．解答题（共5小题）26．在A B C∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知s i n)s i n (1c o sc o s)c A C c AC -=-． （Ⅰ）求B 的值； （Ⅱ）在①4A B C S ∆=，②4Aπ=，③2ac=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b=，_______，求A B C ∆的周长．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，两角和与差的正弦公式化简已知等式，结合s in 0C≠，可得1s in ()62B π-=，结合范围5666B πππ-<-<，可求B 的值．（Ⅱ）若选择条件①：利用三角形的面积公式可求9a c =，由余弦定理可解得ac+的值，即可求解A B C ∆的周长；若选择条件②，由正弦定理可求得a ，c 的值，即可得解A B C ∆的周长； 若选择条件③，由已知利用余弦定理可解得c ，a 的值，即可求解A B C ∆的周长． 【解答】解：（Ⅰ）因为s in )s in (1c o s c o s )c A C c A C -=-，s in c o s ()0C c A C c ++-=，即s in in c o s )s in C B B C-=，因为(0,)C π∈，s in 0C≠，in c o s 2s in ()16B B B π-=-=，即1s in ()62Bπ-=，因为0B π<<，5666B πππ-<-<，所以66Bππ-=，可得3Bπ=．（Ⅱ）若选择条件①，因为1s in423A B C S a c π∆==，所以9a c=，由余弦定理可得2291c o s 322aca cπ+-==，所以2218a c+=，可得2()36ac +=，又0ac +>，解得6ac +=，因此A B C ∆的周长为9a b c ++=．若选择条件②4Aπ=，在A B C ∆中，由正弦定理可得3s in s in s in s in3a b c ABCπ====所以in4aπ==，in ()342cππ=+=所以A B C ∆的周长为6322a b c +++=+=．若选择条件③2a c=，由余弦定理可得2291c o s322a c a cπ+-==，所以222492c c c+-=，即23c =，解得c=，a=，因此A B C ∆的周长为3ab c ++=+．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，有道理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和数学运算核心素养，属于中档题． 27．A B C ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，已知A B C ∆的面积等于c o s2B c ．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）求锐角A B C ∆面积的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用1s in 2S a c B=构造方程，再利用二倍角公式进行化简得1s in22B =，从而求得角B 的值；（Ⅱ）先求出角C 的取值范围，再结合正弦定理与正弦的两角差公式求出边c 的取值范围，最后应用三角形面积公式，即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）A B C∆的面积1s in c o s22B Sa c B c ==，且s in2s inc o s22B B B =，2a=，1s in22B ∴= (0,)B π∈，∴26B π=，3B π∴=．（Ⅱ）A B C π++=，23A Cπ∴=-，锐角A B C ∆，∴022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得(6Cπ∈，)2π，由正弦定理知，s in s in a c AC=，2s in 2s in ()322ta n C c C Cπ∴===-，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量板块测试 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题(12×5′＝60′) 1.下列五个命题：①|a2|=2a;②ababa2;③222)(baba;④2222)(bbaaba; ⑤若a·b=0,则a=0或b=0. 其中正确命题的序号是 ( ) A.①②③ B.①④ C.①③④ D.②⑤
2.若AB=3e,CD=-5e且|AD|=|BC，则四边形ABCD是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.非等腰梯形 3.将函数y=sinx按向量a＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( ) A.y′=sin(x′-1)-1 B.y′=sin(x′+1)-1 C.y′=sin(x′+1)+1 D.y′=sin(x′-1)+1
4.若有点1M(4，3)和2M(2，-1)，点M分有向线段21MM的比λ＝-2，则点M的坐标为 ( ) A.(0，-35) B.(6，7) C.(-2，-37) D.(0，-5) 5.若|a+b|=|a-b|，则向量a与b的关系是 ( ) A.a=0或b=0 B.|a|=|b| C.ab=0 D.以上都不对
6.若|a|=1，|b|=2，|a+b|=7，则a与b的夹角θ的余弦值为 ( )
A.-21 B.21 C.31 D.以上都不对 7.已知a=31e-42e,b=(1-n)1e+3n2e,若a∥b则n的值为 ( ) A.-54 B.54 C.4 D.2 8.平面上三个非零向量a、b、c两两夹角相等，|a|=1，|b|=3,|c|=7,则|a+b+c|等于 ( )
A.11 B.27 C.4 D.11或27
9.等边△ABC中,边长为2,则AB·BC的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 10.已知△ABC中，)(2222444baccba，则∠C等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y=f (x)cosx的图象按向量a=(4,1)平移，得到函数xy2sin2的图象，那么函数f (x)可以是 （ ） A.cosx B.2cosx C.sinx D.2sinx 12.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中α、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为 ( ) A.3x+2y-11=0 B.5)2()1(22yx C.2x-y=0 D.x+2y-5=0
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(4×4′＝16′) 13.已知|a|=3,|b|=5,a·b=12,则a在b上的投影为 .
14.设a=(-4,3),b=(5,2),则2|a2|-21ab＝ .
15.已知a=(6,2),b=(-4,21),直线l过点A(3,-1),且与向量a+2b垂直，则直线l的一般式方程是 . 16.把函数5422xxy的图象按向量a平移后，得到22xy的图象，且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b= . 三、解答题(5×12′+14′＝74′) 17.若向量a的始点为A(-2，4)，终点为B(2，1).求： (1)向量a的模. (2)与a平行的单位向量的坐标. (3)与a垂直的单位向量的坐标.
18.设两向量1e、2e满足|1e|=2，|2e|=1,1e、2e的夹角为60°，若向量2t1e+72e与向量1e+t2e的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
19.已知向量a=(x23cos,x23sin),b=(2cosx,2sinx),且x∈［-3,4］. （1）求a·b及|a+b|; （2）若f (x)=a·b-|a+b|,求f (x)的最大值和最小值. 20.设a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量)，且|a|=|b|. (1)求点M (x,y)的轨迹C的方程；
(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点，设OP=OA+OB，求证：四边形OAPB为矩形.
21.已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(4，8)，C(6，-4).M点在线段AB上，且AM=3MB，P点在线段AC上，△APM的面积是△ABC的面积的一半，求点M、P的坐标.
22.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX′和YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来两人同时用4 km/h的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行. (1)起初，两人的距离是多少? (2)用包含t的式子表示t h后两人的距离. (3)什么时候两人的距离最短?
第22题图 参考答案 1.B 由向量的数量积的定义即知. 2.C ∵AB∥CD,且AD=BC,AB≠CD,故选C. 3.A 点(x,y)按向量a＝（1，-1）平移后的点(x′,y′)，
∴11yyxx 即 11yyxx ∴y′+1＝sin(x′-1),即y′=sin(x′-1)-1. 4.D 设点M(x,y)，∴521)1(23021224yx ∴点M的坐标为(0,-5). 5.C 设a=(1x,1y)，b=(2x,2y)，由|a+b|=|a-b|，
得221221221221)()()()(yyxxyyxx，即1x2x＋1y2y＝0. 又a·b=1x2x＋1y2y，∴ab＝0. 6.B |a+b|2|=cos||||2||||22baba, ∴7=1+4-4cosα即cosα=-21，∴a与b的夹角θ的余弦值为21. 7.A ∵a=(3,-4),b=(1-n,3n),∴9n=-4(1-n),∴n=-54,故选A. 8.D 若两两夹角为0°,则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=11; 若两两夹角为120°,则
|a+b+c2|=|a2|+|b2|+|c2|+2|a||b|cos120°+2|b||c|cos120°+2|a||c|cos120°
=1+9+49+2×(-21)×(1×3+3×7+1×7)=28,|a+b+c|=27. 9.D AB·BC=22·cos120°=-2.故选D. 10.C 由)(2222444baccba， 得2222222)(bacba， ∴222cba=±2ab=2abccosC，∴cosC=±22,∴C=45°或135°. 11.D 由平移公式，应有xxfxcos)(1)4(sin22. 即 xxfxxcos)(2sin)22cos(,∴f (x)=2sinx. 12.D 设C(x,y),∵OC=αOA+βOB, ∴(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
∴33yx 又∵α+β=1,∴x+2y-5=0.
13.512 ∵a·b=|a|·|b|·cosθ,∴a在b上的投影为512. 14.57 2|a2|-21·a·b=2(16＋9)- 21 (-20+6)=50+7=57. 15.2x-3y-9=0 设l的一个方向向量为(m,n).a+2b=(-2,3),直线l与向量a+2b垂直，即-2m+3n=0,直线l的斜率k=32mn,直线l的方程为y+1=32(x-3),即2x-3y-9=0.
16.(3,-1) 22)1(23542xyxxy, ∴a=(-1,-3),
设b=(0x,0y),则13403000000yxyxyx.
17.解 (1)a＝AB＝（2，1）-（-2，4）=（4，－3），∴|a|＝5)3(422. (2)与a平行的单位向量是±||aa＝±51(4，-3)=(54，-53)或(-54，53). (3)设与a垂直的单位向量是e=(m,n)，则a·e＝4m-3n＝0,∴43nm. 又∵|e|＝1，∴122nm.解得m=53,n=54或m=-53,n=-54. ∴e＝(53，54)或(-53，-54). 18.解 21e=4,22e=1,21ee=2×1×cos60°=1, ∴(2t1e+72e)·(1e+t2e)=2t21e+(22t+7) 1e·2e+7t22e=22t+15t+7. ∴22t+15t+7<0,∴-7
设2t1e+72e=λ(1e+t2e)(λ<0)tt72 22t=7t=-214, ∴λ=-14. ∴当t=-214时，2t1e+72e与1e+2e的夹角为π, ∴t的取值范围是(-7,-214)∪(-214,-21). 19.解 (1)a·b=cos23xcos2x-sin23xsin2x=cos2x. |a|=|b|=1,设a与b的夹角为θ， 则cosθ=xxbaba2cos112cos||||.
∴|a+b2|=2a+2a·b+2b=1+2×1×1·cos2x+1=2+2cos2x=4x2coscos2x, 又x∈［-3,4］,cosx>0,∴||ba=2cosx. (2)f (x)=cos2x-2cosx=223)21(cos21cos2cos22xxx. ∵x∈［-3,4］,∴21≤cosx≤1. ∴当cosx=21时，f (x)取得最小值-23;当cosx=1时，f (x)取最大值-1. 20.(1)解 由已知|a|=|b|，即222)1()1(yxx, 整理得 xy42 ① (2)证明 由已知只需证OA⊥OB即可，即证OA·OB=0. 设A (1x,1y),B (2x,2y), 当l⊥x轴时，A (4,4),B (4,-4),∴1x2x+1y2y=0,即OA⊥OB. 当l不与x轴垂直时，设l的斜率为k，l的方程为y=k(x-4)(k≠0)， ② 将②代入①得016)48(2222kkxxk.
∴22148kxx,1x2x=16.
1y2y
=16]16)48(416[)4)(4(22212kkxxk.
∴1x2x+1y2y=0,∴OA⊥OB.故得证.
21.解 如图，M分AB的比λ＝3，则M的坐标为631830331430MMyx