2018年北京高考数学试题(理科)
2018年北京高考理科数学试题Word版
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）- （B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t= ，s的最小值为（B）t= ，s的最小值为（C）t= ，s的最小值为（D）t= ，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。
2018年北京高考数学及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回•第部分（选择题共40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5分，共40分.1.已知集合Ax|x 2， B2,0,1,2，则 A B( )A 0,1 B. 1,0,1C. 2,0,1,2D.1,0,1,22.在复平面内， 复数- 1 11的共轭复数对应的点位于（）iA 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）B.-C.-D.—124•“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做 出了重要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一 个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 122 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（）A 32fB. 3 22 fC.12 25 fD.1227 f5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为值为（A.1B.2 D.46.设a , b 均为单位向量，则“ a 3b 3a b 是“ a 丄b ”的（A 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d 为点 P cos ,sin 到直线x my0的距离，当，m 变化时，d 的最大A1B.2C.3D.48.设集合A x, y | x y 1, ax y 4, x ay2，则（A 对任意实数a , 2,1 AC.当且仅当a 0时，2,1 AB.对任意实数a , 2,1 A3D.当且仅当a 时，2,1 A2侧〔左）规图、填空题共6小题，每小题5分，共30分.四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为 _________________ ;双曲线N 的 离心率为 ___________ .三、解答题共6小题，共80分。
18年高考真题——理科数学(北京卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合{}|2A x x =<，{}2,0,1,2B =-，则A B =I （ ）（A ）{}0,1 （B ）{}1,0,1- （C ）{}2,0,1,2- （D ）{}1,0,1,2-2．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）（A ）12 （B ）56 （C ）76 （D ）7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。
十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122。
若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）（A ）32f（B ）322f（C ）1252f（D ）1272f5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6．设,a b r r 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+r r r r ”是“a b ⊥r r ”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当,m θ变化时，d 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ）48．设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则（ ）（A ）对任意实数a ，()2,1A ∈ （B ）对任意实数a ，()2,1A ∉（C ）当且仅当0a <时，()2,1A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________。
2018年北京市高考数学试卷(理科)
2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学理
)
A. B. C. D.
1 2 5 6 7 6 7 12 1 2 1 3 1 2 5 6
解析：在执行第一次循环时，k=1，S=1. 在执行第一次循环时，S=1所以执行下一次循环.S= 答案：B 4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个 理论的发展做出了重要贡献， 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十三个单 音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 1 2 2 .若第一 个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为( A. 3 2 f B. 2 2 f C.
a1 3， ∴ 解得 a1=3，d=6， a1 d a1 4 d 36，
.
∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×6=6n-3.∴{an}的通项公式为 an=6n-3.
答案：an=6n-3 10.在极坐标系中，直线ρ cosθ +ρ sinθ =a(a＞0)与圆ρ =2cosθ 相切，则 a= . 2 2 2 解析：圆ρ =2cosθ ，转化成：ρ =2ρ cosθ ，进一步转化成直角坐标方程为：(x-1) +y =1， 把直线ρ (cosθ +sinθ )=a 的方程转化成直角坐标方程为：x+y-a=0. 由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径.则：
12 3
.由于 k=2≤3， ，k=3，直接输出 S=
5 6
1 2
.
)
2 f
5
D. 12 2 7 f 解析：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 1 2 2 . 若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为： 答案：D 5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
2018年北京市高考数学试卷(理科)
2018年北京市高考数学试卷（理科）、选择题共8小题，每小题 5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. （5.00分）已知集合A={x|| x| V 2} , B={ - 2, 0, 1, 2}，则 A H B=（ ）A . {0, 1}B . { - 1, 0, 1}C { - 2, 0, 1, 2} D. { - 1, 0, 1, 2}2. （5.00分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A •第一象限B •第二象限 C.第三象限 D .第四象限D. r频率为（ ）A . "fB ・f C.-'f D.3. （5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）4. （5.00分）十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于「—.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的5. （5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的A . 1 B. 2 C. 3 D . 46. （5.00分）设….均为单位向量，贝U “；- 3"=|3.；+：】|”是“丄［•”的（ ） A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7. （5.00分）在平面直角坐标系中，记 d 为点P （cos Q sin 》到直线x -my - 2=0的距离.当（、m 变化时，d 的最大值为（ ）A . 1 B. 2 C. 3D . 48. （5.00分）设集合 A=｛ （x ，y ） | x - y > 1，ax+y >4，x - ay <2｝，贝U （ ）A .对任意实数a ，（2，1 ）€ AB •对任意实数a, （2，1） ?AC •当且仅当a v 0时，（2, 1） ?AD .当且仅当aw£■时，（2, 1） ?A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【最新】2018年北京市高考数学理试题有答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01，（B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，，2.在复平面内，复数i1i-的共轭复数对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）．A ．12B ．56C ．76D ．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（）．ABC ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设a b r r ,均为单位向量，则“33a b a b -=+r r r r ”是“a b ⊥r r ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈()B 对任意实数a ，()2,1A ∉ ()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为。
2018北京高考真题数学试卷解析【理】
绝密★本科目考试启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I（ ）． A ．{}0,1 B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1-D ．{}1,0,1,2-2．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．12 B ．56C ．76D ．712俯视图正（主）视图 侧（左）视图4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）．A．BC．D．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．46．设a ，b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ^”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P q q 到直线20x my --=的距离．当,mq 变化时，d 的最大值为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．48． 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-³+>-£，则（ ）． A ．对任意实数a ，()2,1A Î B ．对任意实数a ，()2,1A Ï C ．当且仅当0a <时，()2,1A ÏD ．当且仅当32a £时，()2,1A Ï第二部分（非选择题 共110分）二．填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．10．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a r q r q +=>与圆2cos r q =相切，则a =_______．11．设函数()πcos 6f x x w æö=-ç÷èø()0w >．若()π4f x f æö£ç÷èø对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为__________．12．若,x y 满足12x y x +££ ，则2y x -的最小值是__________． 13．能说明“若()()0f x f >对任意的(]0,2x Î都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为假命题的一个函数是__________．14．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．三．解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15（本小题13分）在ABC △中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（1）求A Ð；（2）求AC 边上的高． 16.（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB的中点，AB BC ==12AC AA ==．（1）求证：AC ^平面BEF ； （2）求二面角1B CD C --的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．17.（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k x =”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k x =” 表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）．写出方差561234,,,,,D D D D D D x x x x x x 的大小关系．GFEDCBAB 1C 1A 118.（本小题13分）设函数()()24143e xf x ax a x a éù=-+++ëû.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程与x 轴平行，求a ； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 19.（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点()1,2P ．过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO l =，QN QO µ=，求证：11lµ+为定值．20.（本小题14分）设n 为正整数，集合(){}{}12|,,...,,0,1,1,2,...,n k A t t t t k n a a ==Î=．对于集合A 中的任意元素()12,,...,n x x x a =和()12,,...,n y y y b =，记()()()()111122221,...2n n n n M x y x y x y x y x y x y a b éù=+--++--+++--ëû． （1）当3n =时，若()()1,1,0,0,1,1a b ==，求(),M a a 和(),M a b 的值；（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,a b ，当,a b 相同时，(),M a b 是奇数；当,a b 不同时，(),M a b 是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,a b ，(),0M a b =．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．1． 【答案】A集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I{}0,1．故选A. 2． 【答案】D11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222z ++====+--+， 则1i 22z =-，故11i-的共轭复数在第四象限， 故选D ． 3． 【答案】B【解析】根据程序框图可知，开始1k =，1s =，执行()11111112s =+-×=+，2k =，此时3k ³不成立，循环， ()211512126s =+-×=+，3k =，此时3k ³成立，结束，输出56s =．故选B ．4．【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f为首项，故第八个单音的频率为81f -×=．故选D ． 5． 【答案】C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，在正方体中，PAD △，PCD △，PAB △均为直角三角形，DCBAP3PB =，BC =，PC =PBC △不是直角三角形．故选C ．6． 【答案】C【解析】 充分性：|3||3|a b a b -=+，2222||69||9||6||a a b b a a b b -×+=+×+，又||||1a b ==，可得0a b ×=，故a b ^． 必要性：a b ^，故0a b ×=，所以2222||69||9||6||a a b b a a b b -×+=+×+， 所以|3||3|a b a b -=+．7． 【答案】C 【解析】：()cos ,sin P q q ，所以P 点的轨迹是圆．直线20x my --=恒过()2,0点．转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3．8． 【答案】：D【解析】：若()2,1A Î，则2103214222a a a -³ìï+>Û>íï-£î．则当32a >时，()2,1A Î； 当32a £时，()2,1A Ï，选D ．二．填空题 9．【答案】：()63na n n +=-ÎN【解析】：由题知，设等差数列公差为d ，所以：1215134a a a d a a d=ìï=+íï=+î，即1113+4=36a a d a d =ìí++î， 解得13=6a d =ìíî，所以()()1=163n a a n d n n ++-=-ÎN ．10．【答案】：1【解析】：cos sin a r q r q +=，直线方程转化为x y a += 即0x y a +-=，2cos r q =，22cos r r q =，圆的方程转化为222x y x += 即22(1)1x y -+= ， 直线与圆相切\1=，解得1a =0a >，1a \=11．【答案】：23【解析】：由题知：()maxπ14f x f æö==ç÷èø，即ππcos 146w æö-=ç÷èø，所以()ππ2π46k k w -=ÎZ ， 解得:()2=83k k w +ÎZ ，0w >，所以0k =时，min 23w =． 12．【答案】：3【解析】：将不等式转换成线性规划，即121x yy x x +£ìï£íï³î，目标函数2z y x =-， 如右图z 在(1,2)A 处取最小值\ min 3z =13．【答案】：()23f x x x =-+，()答案不唯一【解析】：函数需要满足在[]0,2上的最小值为()0f ，并且在[]0,2上不单调．选取开口向下，对称轴在()0,2上的二次函数均可，其余正确答案也正确．14．【答案】：1-，2【解析】：设正六边形边长为t ；根据椭圆的定义)21a t =+，22c t =，1ce a==-椭圆双曲线的渐近线方程为y =，b a ==2ce a=双曲线．三．解答题 15． 【解析】（Ⅰ ）ABC △中，1cos 7B =-，所以B Ð为钝角，sin B ==由正弦定理：sin sin a b A B =，所以sinB sin 2a Ab ×==， 所以π2π,3A k k =+ÎZ ；或者2π2π,3A k k =+ÎZ ； 又ABC △中，B Ð为钝角，所以A Ð为锐角，所以π3A =．（Ⅱ）ABC △中，()π1sin sin sin sin 32C A B B B B æö=+=+=+=ç÷èø三角形ABC 的面积1sin 2ABCSab C ==AC 边上的高为h ，11822ABCSbh h ==××=2h =，即AC 边上的高为2．16． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，且E 是AC 的中点，∴AC BE ^，∵在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点， ∴1EF CC ∥∵1CC ^平面ABC ， ∴EF ^平面ABC ， ∵AC Ì平面ABC ， ∴EF AC ^，∵EF ，BE Ì平面BEF ，EF BE E =，∴AC ^平面BEF ．（2）由（1）知，EF AC ^，AC BE ^，EF EB ^，∴以E 为原点，EA ，EB ，EF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()1,0,1D ，()11,0,2C -()1,2,0BC =--，()2,0,1CD = 设平面BCD 的法向量(),,z n x y =，∴00BC n CD n ì×=ïí×=ïî，即2020x y x z --=ìí+=î，∴()2,1,4n =--，．易知平面1CDC 法向量()0,1,0m =∴cos ,21m n m n m n×<>===×，由图可知，二面角1B CD C --的平面角为钝角， ∴二面角1B CD C --的余弦值21（3）方法一：∵()0,0,2F ，()0,2,1G ，∴()0,2,1FG =- ∵平面BCD 的法向量()2,1,4n =--， 设直线FG 与平面BCD 的夹角为q ，∴sin cos ,0FG n FG n FG nq ×=<>==¹×，∴0q ¹，∴直线FG 与平面BCD 相交． 方法二：假设直线FG 与平面BCD 平行， ∵设CD 与EF 的交点为M ，连结BM ， ∵FG Ì平面1BB FE ，且平面1BB FE 平面BCD BM =，∴FG BM ∥，∵BG FM ∥， ∴四边形BMFG 为平行四边形，∴FM BG =，易知FM BG ¹，∴假设不成立， ∴直线FG 与平面BCD 相交．17．【解析】(1)由表格可知电影的总部数 140503002008005102000+++++= 获得好评的第四类电影 2000.2550´=设从收集的电影中选1部，是获得好评的第四类电影为事件A ，则501()200040P A == (2)由表格可得获得好评的第五类电影 8000.2160´=第五类电影总数为800 未获得好评的第五类电影 800160640-= 第四类电影总数为200 未获得好评的第四类定影 20050150-=设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评为事件B则11115064015016011200800357()10020C C C C P B C C +=== (3)514236D D D D D D x x x x x x >>=>> 18．【解析】（1）函数定义域为x ÎR ，()()2()241e 4143e x xf x ax a ax a x a ¢éù=-++-+++éùëûëû ()2e 212x ax a x éù=-++ëû()()e 12x ax x =--，若函数在()()1,1f 处切线与x 轴平行，则()()1e 10f a ¢=--=，即1a =．（2）由（1）可知()()()()2212e 21e x xf x ax a x x ax ¢éù=-++=--ëû， ①当0a =时，令()0f x ¢=，2x =，x(),2-¥2 ()2,+¥()f x ¢ +-()f xZ 极大值]不满足题意；当0a ¹时，令()0f x ¢=，2x =或1x a=， ②当0a <时，即12<，不满足题意；③当0a >时，1）当12a =，即12a =时，()0f x ¢≥，函数()f x 无极值点； 2）当12<，即1a >时，满足题意； 3）当12>，即10a <<时，不满足题意．综上所述，若()f x 在2x =处取得极小值，12a >． 19． 【解析】（1）由已知可得42p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．令11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 显然不能与x 轴垂直，令其方程为1y kx =+，带入24y x =整理得214y y k =×+，即2440ky y -+=．所以由已知可得016160k k ¹ìíD =->î，解得1k <且0k ¹．又因为直线l 不能过点()1,2-，否则PA 或PB 会与y 轴平行，无交点. 所以21310k --¹=--. 所以直线l 的斜率k 的取值范围为()()(),33,00,1-¥--．（2）由（1）知124y y k +=，124y y k=．而点11(,)A x y ，22(,)B x y 均在抛物线上，所以2114y x =，2224y x =．因为直线PA 与直线PB 与y 轴相交，则直线PA 与直线PB 的斜率均存在，即12y ¹-，22y ¹-．因为111221111224(2)414214PA y y y k y x y y ---====--+-，所以直线PA 的方程为142(1)2y x y -=-+， 令0x =，可得11124222M y y y y =-=++，即112(0,)2y M y +． 同理可得212(0,)2y N y +． 而由QM QO l =可得，11212y y l -=-+，所以11212y y l +=-． 同理由QN QO µ=可得，22212y y µ-=-+，所以22212y y µ+=-．所以121221121222(2)(2)(2)(2)1122(2)(2)y y y y y y y y y y l µ+++-++-+=+=---- 121212888882244442()424y y kk y y y y k k k---====+-++-´-． 20． 【解析】 解：（1）(1,1,0)a =，(0,1,1)b =11(,)[(11|11|)(11|11|)(00|00|)][220]222M a a =+--++--++--=++=，11(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)][020]122M a b =+--++--++--=++=，（2）,{0,1}i i x y ÎQ ，0,0||2,==1i i i i i i i i i i x y x y x y x y x y ==¹ì\+--=íî或，4n =，因为(,)M a a 为奇数，则a 有1项或3项为1，其余为0，所以理论上元素个数最多有1344C C 8+=个． 因为(,)M a b 为偶数（,a b 不同），则两者同为1的项数为0或者2（若为4，则a 与b 相同）． 综上，最大个数为4，{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}B =或者{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}B =．易知以上两种情况都可以满足题意，且一种情况集合中的元素与另一种情况集合中的元素结合，不满足题意，故最大个数为4．M a b=，（3）由（2）可知，任两不同的元素a与b满足(,)0n+，则a与b无同一位置同为1，∴元素个数最大为1B=．{(0,0,...,0),(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)}。
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数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 5 页）
绝密★本科目考试启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合{||2}Axx，{2,0,1,2}B，则AB
（A）{0,1} （B）{1,0,1}
（C）{2,0,1,2} （D）{1,0,1,2}
（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第二象限 （D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）12
（B）56
（C）76
（D）
7
12
否
1kk
k3
1,1ks
1
(1)1kssk
开始
是
结束
输出s
数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 5 页）
（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这
个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十
三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
12
2
．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
（A）32f （B）322f
（C）1252f （D）1272f
（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（6）设,ab均为单位向量，则“|3||3|abab”是“ab”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）在平面直角坐标系中，记d为点(cos,sin)P到直线20xmy的距离．当,m变
化时，d的最大值为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
（8）设集合{(,)1,4,2}Axyxyaxyxay，则
（A）对任意实数a，(2,1)A （B）对任意实数a，(2,1)A
（C）当且仅当0a时，(2,1)A （D）当且仅当32a时，(2,1)A
正（主）视图
2
1
1
俯视图
侧（左）视图
2
数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 5 页）
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（ 9 ）设{}na是等差数列，且13a，2536aa，则{}na的通项公式为 ．
（10）在极坐标中，直线cossin(0)aa与圆2cos相切，则a ．
（11）设函数()cos()(0)6fxx．若()()4fxf对任意的实数x都成立，则的最
小值为 ．
（12）若,xy满足12xyx，则2yx的最小值是 ．
（13）能说明“若()(0)fxf对任意的(0,2]x都成立，则()fx在[0,2]上是增函数”为假命
题的一个函数是 ．
（14）已知椭圆2222:1(0)xyMabab，双曲线2222:1xyNmn．若双曲线N的两条渐近线
与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离
心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
数学（理）（北京卷） 第 4 页（共 5 页）
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在ABC△中，7a，8b，1cos7B．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
（16）（本小题14分）
如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，,,,DEFG分别为1111,,,AAACACBB的
中点，5ABBC，12ACAA．
（Ⅰ）求证：AC平面BEF；
（Ⅱ）求二面角1BCDC的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
（17）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数
140 50 300 200 800 510
好评率
0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k”表示第k
类电影得到人们喜欢，“0k”表示第k类电影没有得到人们喜欢(1,2,3,4,5,6)k．写
出方差123456,,,,,DDDDDD的大小关系．
G
C
B
E
A
D
1
A
1
B
1
C
F
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（18）（本小题13分）
设函数2()[(41)43]exfxaxaxa．
（Ⅰ）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若()fx在2x处取得极小值，求a的取值范围．
（19）（本小题14分）
已知抛物线2:2Cypx经过点(1,2)P．过点(0,1)Q的直线l与抛物线C有两个不同的交
点,AB，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值．
（20）（本小题14分）
设n为正整数，集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}nkAttttkn．对于集合A中的任意
元素12(,,,)nxxx和12(,,,)nyyy，记
111122221(,)[(||)(||)(||)]2nnnn
Mxyxyxyxyxyxy
．
（Ⅰ）当3n时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求和的值；
（Ⅱ）当4n时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素,，当,相同时，
(,)M是奇数；当,不同时，(,)M
是偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,，
(,)0M
．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）